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PROBABILIDAD

Dado un experimento y cualquier evento : La expresión

( ) denota la probabilidad de que

ocurra el evento . ( ) constituye la proporción de veces que se presenta el evento

en el tiempo, si es que el

experimento se realizara una y otra vez.

AXIOMAS DE LA PROBABILIDAD Sea

un espacio muestral. Entonces

= 1.

Para cualquier evento , 0 ≤ ( ) ≤ 1. Si

y son eventos mutuamente excluyentes, entonces ∪ = + ( ). De forma más general, si , , … son eventos mutuamente excluyentes, entonces ∪ ∪⋯ = + + ⋯.

Sea

y

cualesquiera eventos, entonces: ∪

=

+

− ( ∩ )

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES

Los eventos

y

son mutuamente excluyentes

AXIOMAS DE LA PROBABILIDAD Para cualquier evento , =1− ( ) Esta ecuación establece que la probabilidad de que un evento no ocurra es igual a 1 menos la probabilidad de que ocurra. Por ejemplo, si existe una probabilidad de 40% de que llueva, hay una probabilidad de 60% de que no llueva.

AXIOMAS DE LA PROBABILIDAD Si ∅ denota el espacio vacío, entonces ∅ =0 Esta ecuación establece que es imposible que un experimento no tenga ningún resultado.

PROBABILIDAD SIMPLE Si un espacio muestral contiene

resultados igualmente

probables, la probabilidad de cada resultado es . Si

es un espacio muestral que contiene

igualmente probables y si

resultados

es un evento que contiene

resultados, entonces =

EJEMPLO 1 Un troquel de extrusión produce varillas de aluminio.. Para cada una de las varillas, la longitud puede ser demasiado corta, demasiado larga o esta bien y el diámetro se clasifica en muy delgado, muy grueso o esta bien. En una población de mil varillas, el número de ellas en cada clase es: Longitud Demasiado corta Está bien Demasiado larga

Diámetro Muy delgado Está bien Muy grueso 10 3 5 38 900 4 2 25 13

EJEMPLO 1 Si se toma una varilla al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea demasiada corta? b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea muy gruesa? c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea demasiado corta y muy gruesa? d) ¿Cuál es la probabilidad de que sea demasiado corta o muy gruesa?

EJEMPLO 1 Longitud Demasiado corta Está bien Demasiado larga

Diámetro Muy delgado Está bien Muy grueso 10 3 5 38 900 4 2 25 13

a) El número de varillas que tienen longitud demasiado cortas es 10+3+5=18 18 = 1000

EJEMPLO 1 Longitud Demasiado corta Está bien Demasiado larga

Diámetro Muy delgado Está bien Muy grueso 10 3 5 38 900 4 2 25 13

b) El número de varillas de diámetro muy grueso es 5+4+13=22 "# $ "

22 = 1000

EJEMPLO 1 Longitud Demasiado corta Está bien Demasiado larga

Diámetro Muy delgado Está bien Muy grueso 10 3 5 38 900 4 2 25 13

c) El número de varillas con longitud demasiado corta y diámetro muy grueso son 5. #

"# $ "

5 = 1000

EJEMPLO 1 Longitud Demasiado corta Está bien Demasiado larga

Diámetro Muy delgado Está bien Muy grueso 10 3 5 38 900 4 2 25 13

d) El número de varillas que son demasiado cortas o muy gruesas es 10+3+5+4+13=35. "# $ "

35 = 1000

EJEMPLO 1 d) El número de varillas con longitud demasiado corta y diámetro muy grueso son 5.

"#

+

=

("# $ "

−

$ " "# $ "

18 22 5 = + − 1000 1000 1000 "# $ "

35 = 1000

# "# $ "

EJEMPLO 2 En un proceso de fabricación de latas de aluminio, la probabilidad de que una lata tenga alguna fisura en su costado es de 0.02, la de que otra la tenga en la tapa es de 0.03 y de que una más presente una fisura en el costado y en la tapa es de 0.01. Si se elige una lata al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir una lata en forma aleatoria tenga una fisura? b) ¿Cuál es la probabilidad de que no la tenga?

EJEMPLO 2 Solución: ) "

*

) "

*

) "

*

= 0.02 ,

= 0.03 #

*

,

= 0.01

a) La probabilidad de que una lata tenga una fisura es: ) "

= () "

) " * ) " * ,

*

) "

) " =

*

+

) " * ,

−

*

, )

) " * #) " * ,

EJEMPLO 2 ) " ) "

*

) "

*

*

,

= 0.02 + 0.03 − 0.01 ) "

*

,

= 0.04

b) Para determinar la probabilidad de que una lata no tenga ninguna fisura, se calcula $"

) "

= 1 − () "

$"

) "

= 1 − 0.04

$"

) "

= 0.96

)

PROBABILIDAD CONDICIONAL La probabilidad de que un evento 0 ocurra cuando se sabe que ya ocurrió algún evento 1 se llama probabilidad condicional y se denota por 2 0 1 . El símbolo 2 0 1

por lo general se lee "la

probabilidad de que ocurra 0 dado que ocurrió 1" o simplemente "la probabilidad de 0, dado 1".

PROBABILIDAD CONDICIONAL Sea

y

eventos con

( ) ≠ 0 . La

probabilidad condicional de 0, dado 1 se define mediante la ecuación: =

4 5∩6 4 6

si

>0

EJEMPLO 1 En un proceso de fabricación de latas de aluminio, la probabilidad de que una lata tenga alguna fisura en su costado es de 0.02, la de que otra la tenga en la tapa es de 0.03 y de que una más presente una fisura en el costado y en la tapa es de 0.01. Si se elige una lata al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que una lata tenga una fisura en el costado, dado que tiene una fisura en la tapa? b) ¿Cuál es la probabilidad de que una lata tenga una fisura en la tapa, dado que tiene una fisura en el costado?

EJEMPLO 1 a) Solución: Se tiene que ) " * , = 0.03 y que ) " * #) " * , = 0.01 utilizando la ecuación de probabilidad condicional se tiene que:

) "

*

) "

*

,

=

89:; >? @:A=B@ 4 C 89:; ?= A=D= 4 89:; ?= A=D=

) "

*

) "

*

,

) "

*

) "

*

,

0.01 = 0.03 = 0.33

EJEMPLO 1 b) Solución: Se tiene que ) " * = 0.02 y que ) " * #) " * , = 0.01 utilizando la ecuación de probabilidad condicional se tiene que:

) "

*

, ) "

*

=

) "

*

, ) "

*

) "

*

, ) "

*

89:; ?= A=D= 4 C 89:; >? @:A=B@ 4 89:; >? @:A=B@

0.01 = 0.02 = 0.5

EJEMPLO 2 La

probabilidad

de

que

un

vuelo

normalmente salga a tiempo es probabilidad de que llegue a tiempo es

programado = 0.83 , la = 0.82, y

la probabilidad de que salga y llegue a tiempo es ∩

= 0.78.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un avión salga a tiempo, dado que llegó a tiempo?

EJEMPLO 2 a) La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es: = ∩

∩

= 0.78 = 0.83

0.78 = 0.83 = 0.9397

EJEMPLO 2 b) La probabilidad de que un avión salga a tiempo, dado que llego a tiempo es: = ∩

∩

= 0.78 = 0.82

0.78 = 0.82 = 0.9512

EVENTOS INDEPENDIENTES Dos eventos

y

son independientes si la

probabilidad de cada uno es la misma si ocurren o no los demás eventos. = De otra forma,

y

y son dependientes.

=

EJEMPLO 1 Un troquel de extrusión produce varillas de aluminio.. Para cada una de las varillas, la longitud puede ser demasiado corta, demasiado larga o esta bien y el diámetro se clasifica en muy delgado, muy grueso o esta bien. En una población de mil varillas, el número de ellas en cada clase es: Longitud Demasiado corta Está bien Demasiado larga

Diámetro Muy delgado Está bien Muy grueso 10 3 5 38 900 4 2 25 13

EJEMPLO 1 Determinar *

$

( "#

* *$

*

Longitud Demasiado corta Está bien Demasiado larga

$

$ )

y

. 40 = = 0.04 1000

Diámetro Muy delgado Está bien Muy grueso 10 3 5 38 900 4 2 25 13

EJEMPLO 1 * *

$ $

Longitud Demasiado corta Está bien Demasiado larga

"# "#

* $ # "# *$ ( "# *$ )

*$

=

*$

2/1000 = = 0.040 50/1000

Diámetro Muy delgado Está bien Muy grueso 10 3 5 38 900 4 2 25 13

EJEMPLO 1 La probabilidad condicional y la probabilidad incondicional son las mismas. La información de que la varilla es muy angosta no cambia la probabilidad de que la varilla es demasiado larga. El evento de que una varilla es demasiada larga y el evento de que una varilla es muy angosta son independientes.

REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN Algunas veces se conoce encontrar Si

y

∩

.

son dos eventos con ( ) ≠ 0, entonces ∩

Si

y

y se desea

=

son dos eventos con ( ) ≠ 0, entonces ∩

=

REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN Si

y

son eventos independientes, entonces ∩

Si

,

,… ∩

=

( )

son eventos independientes, entonces

∩ ⋯∩

=

… (

)

Por lo tanto, para obtener la probabilidad de que ocurran dos eventos independientes, simplemente calculamos el producto de sus probabilidades individuales.

EJEMPLO 1 Un sistema contiene dos componentes,

y

. Ambos

componentes deben funcionar para que el sistema trabaje. La probabilidad de que el componente de 0.08 y de que el

falle es

lo haga es de 0.05. Suponga que los

dos componentes funcionan de manera independiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema funcione?

EJEMPLO 1 Solución: La probabilidad de que el sistema funcione es la probabilidad de que ambos componentes funcionen. )"

*

= ()"

# )"

)

Puesto que los componentes funcionan de manera independiente, )"

# )"

)"

=

# )"

)"

= (1 − 0.08)(1 − 0.05)

# )" )"

)"

= 1 − ( ) ** ) 1 − ( ) ** )

# )" )"

)"

# )"

= (0.92)(0.95) = 0.874

EJEMPLO 2 Un vehículo tiene dos motores: uno principal y otro auxiliar. El componente del motor falla sólo si fallan ambos motores. La probabilidad de que el motor principal falle es de 0.05 y la de que el motor auxiliar falle es de 0.10. Suponga que los motores principal y auxiliar funcionan de manera independiente. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el componente del motor falle? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el componente del motor funcione?