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Tema 2: Probabilidad y variables aleatorias

Maribel Toc´ on (UCO)

Tema 2

I Cuatrimestre

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Recordemos que: La Inferencia Estad´ıstica se encarga de extraer conclusiones generales sobre una poblaci´ on a partir del estudio de una muestra. El C´ alculo de Probabilidades proporciona medidas de fiabilidad de las inferencias realizadas.

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Fen´omenos determin´ısticos y aleatorios Fen´ omenos que se presentan en la Naturaleza. . . Determin´ısticos: Son aquellos en que se obtiene siempre el mismo resultado bajo las mismas condiciones iniciales. La relaci´on causa-efecto se conoce en su totalidad. Ejemplo: todos los fen´ omenos que siguen las leyes de la f´ısica cl´asica, como puede ser la ca´ıda de un cuerpo. Aleatorios: Son aquellos que, bajo el mismo conjunto de condiciones iniciales, pueden presentar resultados diferentes. No se puede predecir el resultado de cada experiencia particular. Ejemplo: el lanzamiento de un dado.

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Nos ocuparemos del estudio de los fen´ omenos aleatorios Definici´on Un experimento se dice aleatorio si verifica las siguientes condiciones: (a) Es posible conocer previamente todos los posibles resultados asociados al experimento. (b) Es imposible predecir el resultado del mismo antes de realizarlo. (c) Es posible repetirlo bajo las mismas condiciones iniciales un n´ umero ilimitado de veces. Definici´on A cada realizaci´on de un experimento la llamaremos experiencia o prueba.

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Espacios muestrales

Definici´on Se llama espacio muestral al conjunto de todos los posibles resultados individuales de un experimento aleatorio, y se representa por W . Sus elementos se representan por letras min´ usculas y se denominan sucesos elementales. Los subconjuntos de W , se designan por medio de letras may´ usculas (A, B, C , . . .) y se denominan sucesos. Representan los posibles resultados del experimento aleatorio.

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Espacios muestrales

Ejemplo: Para el experimento aleatorio “lanzar un dado”, el espacio muestral ser´ıa: W = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Un posible suceso (distinto de los sucesos elementales) ser´ıa: A = “Obtener un n´ umero par” = {2, 4, 6}

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Dados dos sucesos A y B de un experimento aleatorio, definimos los siguientes sucesos: Uni´ on, A ∪ B, es aquel suceso en el que, o bien ocurre A o bien ocurre B (o ambos). Intersecci´ on, A ∩ B, es aquel suceso en el que tanto A como B ocurren. Complementario, A, es aquel suceso en el que A no ocurre. Es decir, es el conjunto formado por los elementos de W que no est´an en A. Diferencia, A\B, es aquel en el que ocurre A pero no ocurre B, es decir, es el formado por los elementos de A que no est´an en B. A\B = {ω ∈ W : ω ∈ A , ω ∈ / B} = A ∩ B Suceso imposible, ∅, es aquel suceso que no puede ocurrir nunca. Suceso seguro, W , es aquel suceso que contiene todos los posibles resultados del experimento. Maribel Toc´ on (UCO)

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Definici´on Diremos que dos sucesos A y B son incompatibles o mutuamente excluyentes, y lo denotaremos A ∩ B = ∅, si no pueden darse simult´aneamente. EJEMPLO: En el lanzamiento de un dado, ser´ıan sucesos incompatibles A B

= =

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“Obtener un n´ umero par” “Obtener un n´ umero impar”

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= =

{2,4,6} {1,3,5}

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Definici´on Dados dos sucesos A y B, diremos que A est´ a incluido en B, y lo denotaremos A ⊂ B, cuando cada resultado de A tambi´en est´a en B, es decir, cuando se cumple que si A ocurre, tambi´en ocurre B.

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Algunas relaciones importantes

A∩B=A∪B

,

A∪B=A∩B

A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ) A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) A ⊂ B =⇒ B = A ∪ (B ∩ A) A ⊂ B =⇒ A ∩ C ⊂ B ∩ C A ⊂ B =⇒ A ∪ C ⊂ B ∪ C A ∩ B = ∅ y C ⊂ A =⇒ B ∩ C = ∅

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Concepto de Probabilidad

A cada suceso A le vamos a asignar un valor num´erico p(A) de [0, 1], que denominaremos probabilidad de ocurrencia del suceso A, y que expresar´a el grado de certidumbre que ocurra el suceso A, esto es, la verosimilitud de ocurrencia del suceso A. Por ejemplo, si p(A) = 0, 98, se considera que es muy veros´ımil pensar que puede ocurrir el suceso A, mientras que si p(A) = 0, 0003, se considera poco probable que ocurra A. La forma de asignar estos valores debe cumplir unas condiciones o axiomas.

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Axiom´atica de Kolmogorov (1933) Axioma 1 A todo suceso A le corresponde un u ´nico numero no negativo, p(A), al que llamaremos probabilidad de A. Axioma 2 La probabilidad del suceso seguro es 1, p(W ) = 1 Axioma 3 Sean A y B sucesos tales que A ∩ B = ∅. Entonces: P(A ∪ B) = p(A) + p(B) (idem para uniones numerables de sucesos mutuamente excluyentes).

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Asignaci´on de probabilidades a sucesos

M´etodo frecuentista M´etodo de Laplace M´etodo subjetivo

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Asignaci´on Frecuentista (Bernouilli) de probabilidades

La regularidad estad´ıstica es un hecho experimental que se observa cuando se repite sucesivamente un mismo experimento de azar en id´enticas condiciones. La frecuencia relativa de ocurrencia de cada suceso A fr (A) =

nA n

Es un hecho experimental comprobar que, al aumentar n, esta frecuencia tiende a estabilizarse. Se define entonces la probabilidad de ocurrencia de A como su valor l´ımite. Ejemplo: lanzamiento de una moneda.

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Asignaci´on de Laplace de probabilidades

En muchos experimentos aleatorios el espacio muestral es finito y los sucesos elementales son igualmente probables o veros´ımiles (Ejemplo: lanzamiento de un dado no trucado, o en general los juegos de azar). Entonces pueden calcularse probabilidades de sucesos utilizando la Regla de Laplace Regla de Laplace “La probabilidad de un suceso cualquiera es el cociente entre el n´ umero de casos favorables a la ocurrencia de dicho suceso y el n´ umero total de casos posibles”.

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Asignaci´on subjetiva de probabilidades

La probabilidad de ocurrencia de un suceso se asigna atendiendo al grado de creencia justificada mediante una informaci´ on a priori sobre el suceso. Ejemplo “Se espera que la ocupaci´ on hotelera en C´ ordoba en el primer fin de semana de mayo sea del 90%”.

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Propiedades de la Probabilidad Teorema: (a) Sean A y B sucesos tales que B ⊆ A. Entonces p(B) ≤ p(A). (b) Para todo suceso A se tiene que p(A) ≤ 1 (c) Todo suceso A verifica que p(A) = 1 − p(A). En particular, p(∅) = 0. (d) Si A ⊆ B entonces p(B\A) = p(B) − P(A) (e) Dados A1 , ..., An sucesos incompatibles dos a dos, se verifica: p(

n [

Ai ) =

i=1

n X

p(Ai )

i=1

(f) Dados dos sucesos A y B se verifica: p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B)

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Probabilidad condicionada: dependencia e independencia de sucesos

La probabilidad de un determinado suceso puede verse modificada si se posee alguna informaci´on previa sobre el resultado del experimento. Ejemplo La probabilidad de obtener un 2 en el lanzamiento de un dado es 1/6. Pero si se sabe que en el lanzamiento del dado ha salido un n´ umero par, aunque no se sabe cu´al, la probabilidad de obtener el 2 es ahora de 1/3, el doble que antes.

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Definici´on Sean A y B dos sucesos con p(B) > 0. Se define la probabilidad del suceso A condicionada al suceso B como: p(A|B) =

p(A ∩ B) p(B)

y representa la probabilidad del suceso A cuando ha ocurrido B.

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Intuitivamente, dos sucesos son independientes cuando el que haya ocurrido uno de ellos no modifica la probabilidad de ocurrencia del otro.

Ejemplo: dos sucesos mutuamente excluyentes son dependientes

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Definici´on Sean A y B sucesos tales que P(B) > 0. Diremos que A es independiente de B si P(A|B) = P(A)

Proposici´on Sean A y B sucesos tales que P(A), P(B) > 0. Entonces: A es independiente de B

⇐⇒

B es independiente de A

Condici´on necesaria y suficiente de independencia Sean A y B sucesos tales que P(A), P(B) > 0. Entonces: A y B son independientes

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⇐⇒

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P(A ∩ B) = P(A)P(B)

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Ejemplo El 20% de los alumnos de una clase de Estad´ıstica son mujeres y se sabe que el 30% de las mujeres son rubias. ¿Cu´al es la probabilidad de escoger un alumno de la clase que sea mujer y rubia? Para resolverlo, se consideran los siguientes sucesos: M = {Ser mujer}

R = {Tener el pelo rubio}

La probabilidad que se pide es: p(M ∩ R) = p(R|M) p(M) = 00 3 · 00 2 = 00 06

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Regla de la multiplicaci´on Sean A1 , ..., An sucesos tales que P(Ai ) > 0 ∀ i. Entonces: p(A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An−1 ∩ An ) = = p(A1 ) · p(A2 |A1 ) · p(A3 |A1 ∩ A2 ) . . . p(An |A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An−1 )

Ejemplo Continuando con el ejemplo anterior, si se sabe que el 10% de las mujeres rubias de la clase usan gafas, ¿cu´al es la probabilidad de que al escoger un alumno resulte una mujer rubia y con gafas? Para resolverlo, se define el suceso G={Usar gafas}, por lo que la probabilidad pedida ser´a: p(M ∩ R ∩ G ) = p(G |(R ∩ M))p(R|M)P(M) = 00 1 · 00 3 · 00 2 = 00 006

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Teorema de la Probabilidad Total

Teorema de la Probabilidad Total Sea {B1 , B2 , . . . , Bn } un sistema completo de sucesos con p(Bi ) > 0 ∀ i. Entonces, para todo suceso A se verifica: p(A) =

n X

p(A|Bi )P(Bi )

i=1

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Ejemplo Continuando con el ejemplo anterior, si se sabe que el 10% de los hombres de la clase son rubios, ¿cu´al es la probabilidad de escoger aleatoriamente una persona rubia? La probabilidad pedida es: p(R) = p(R|M)P(M) + p(R|H)P(H) = 00 3 · 00 2 + 00 1 · 00 8 = 00 14

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Ejemplo El 70% de los ordenadores de un laboratorio de pr´acticas tiene instalado Windows-98, el 20% Linux RedHat y el resto Windows-XP. En un 25% de los sistemas Win98 se ha instalado el software estad´ıstico SPSS, mientras que en los sistemas Linux se ha instalado en un 60% de los equipos, y en los sistemas XP en un 90%. ¿Cu´al es la probabilidad de que al escoger un equipo al azar ´este tenga instalado SPSS? Sean W98={Sistema Win98}, LX={Sistema Linux}, XP={Sistema XP} y SPSS={Instalado SPSS}. Entonces: p(SPSS) = p(SPSS|W 98)P(W 98) + p(SPSS|LX )P(LX )+ +p(SPSS|XP)P(XP) = = 00 25 · 00 7 + 00 6 · 00 2 + 00 9 · 00 1 = 00 385

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Teorema de Bayes Teorema de Bayes Sea {B1 , B2 , . . . , Bn } un sistema completo de sucesos con p(Bi ) > 0 ∀ i. Si A es un suceso cualquiera, se verifica: p(A|Bk )P(Bk ) p(Bk |A) = Pn i=1 p(A|Bi )p(Bi ) p(Bi ):

probabilidades a priori

p(Bi |A): probabilidades a posteriori p(A|Bi ): verosimilitudes El teorema de Bayes resulta u ´til cuando conocemos el resultado final de un experimento, pero desconocemos alguno de los pasos intermedios en el que estamos interesados. Maribel Toc´ on (UCO)

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Ejemplo Continuando con el ejemplo de la clase, si se sabe que se ha elegido a una persona rubia, ¿cu´al es la probabilidad de que sea mujer? La probabilidad pedida es: p(M|R) =

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00 3 · 00 2 p(R|M)p(M) = = 00 4286 p(R) 00 14

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Ejemplo Continuando con el ejemplo de los ordenadores, si seleccionamos un equipo al azar y resulta que tiene instalado SPSS, ¿cu´al es la probabilidad de que est´e trabajando con Sistema Operativo Linux? La probabilidad pedida es: p(LX |SPSS) =

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00 6 · 00 2 p(SPSS|LX )p(LX ) = 0 = 00 312 p(SPSS) 0 385

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Variables aleatorias Ejemplo Sea (W , A, p) un espacio probabil´ıstico asociado a un experimento aleatorio. Una variable aleatoria es una funci´ on medible X :W →R Por ejemplo: Consideremos el experimento aleatorio consistente en lanzar dos monedas W = {(c, c), (c, e), (e, c), (e, e)} con p(w ) = 1/4 ∀w ∈ W , X (w ) = no de caras que aparecen X ((c, c)) = 2, X ((c, e)) = X ((e, c)) = 1, X ((e, e)) = 0

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Variables aleatorias

Otro ejemplo Sea W una poblaci´on de personas, se elige una, w al azar, X (w ) = edad del encuestado X (w ) = sexo (codificado 0 = hombre, 1 = mujer) X (w ) = renta familiar

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Denotaremos por SX al espacio muestral de X , es decir, al conjunto de todos los valores posibles de X . Variables aleatorias discretas / Variables aleatorias continuas

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Funci´on de probabilidad de variables aleatorias discretas

Una variable aleatoria discreta tiene asociada una funci´ on de probabilidad: f (x) = p(X = x) := p(X −1 (x)) Observaci´ on: X

f (x) = 1

x∈SX

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Continuando con el ejemplo del lanzamiento de dos monedas

X (w ) = no de caras que aparecen, SX = {0, 1, 2} (v.a. Discreta) En este caso: f (0) = p(X = 0) = p((e, e)) = 1/4 f (1) = p(X = 1) = p((c, e) ∪ (e, c)) = 2/4 = 1/2 f (2) = p(X = 2) = p((c, c)) = 1/4 f (x) = 0,

x∈ / SX

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Funci´on de distribuci´on de variables aleatorias discretas

F (x) = p(X ≤ x),

x ∈R

Utilizando la funci´on de probabilidad: F (x) =

X

f (t)

t≤x

En el ejemplo del lanzamiento de dos monedas: F (0) = p(X ≤ 0) = p(X = 0) = 1/4 F (1) = p(X ≤ 1) = p(X = 0) + p(X = 1) = 1/4 + 2/4 = 3/4 F (2) = p(X ≤ 2) = p(X = 0) + p(X = 1) + p(X = 2) = 4/4 = 1

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Media y varianza

Media o esperanza matem´atica: µ = E [X ] =

X

xf (x)

x∈SX

Varianza: σ 2 = V [X ] = E [(X − µ)2 ]

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Distribuciones discretas usuales Distribuci´on de Bernouilli Consideremos un experimento aleatorio que admite s´ olo dos posibles resultados con probabilidad p de ´exito: SX = {1, 0} tal que p(X = 1) = p,

p(X = 0) = 1 − p = q

Se comprueba que µ=p

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σ 2 = pq

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Distribuci´on Binomial B(n, p) Un experimento binomial consiste en la repetici´ on de n pruebas independientes de Bernouilli con probabilidad constante p de ´exito: X = X1 + X2 + · · · + Xn ≡ no de ´exitos obtenidos Por tanto SX = {0, 1, . . . , n},

  n k n−k p(X = k) = p q k

En este caso µ = np

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σ 2 = npq

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Distribuci´on de Poisson P(λ) La variable X representa el no de ocurrencias por unidad de tiempo donde λ es la tasa media de ocurrencia. p(X = k) = e −λ

SX = {0, 1, . . . },

λk k!

Se comprueba que µ=λ

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σ2 = λ

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Convergencia de la distribuci´ on binomial a la de Poisson Cuando se considera un n´ umero elevado n de experimentos independientes de Bernouilli con probabilidad de ´exito peque˜ na, se tiene: B(n, p) → P(np)

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Otras distribuciones discretas usuales

Binomial negativa Geom´etrica Hipergeom´etrica

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Variables aleatorias continuas

Siempre se satisface p(X = x) = 0 Funci´on de densidad Funci´on de distribuci´on

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Distribuciones continuas usuales

Distribuci´on Normal N(µ, σ 2 ) X ∼ N(µ, σ 2 ) ⇒ Z =

X −µ ∼ N(0, 1) σ

Se define el cuantil de orden α: xα como el valor de la abscisa que deja a su derecha una probabilidad α. Distribuci´on t de Student con g grados de libertad t(g ) Para g > 2: µ = 0,

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σ2 =

g g −2

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Convergencia a la distribuci´on normal

B(n, p) → N(np, npq), np ≥ 5 P(λ) → N(λ, λ), λ ≥ 10 t(g ) → N(0, 1), g → ∞

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Otras distribuciones continuas usuales

F de Snedecor Exponencial Chi-cuadrado

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