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• Julian Alberto Pinzon Leon

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Taller Preparcial Primer Corte Universidad de la Sabana Facultad de Ingenier´ıa ´ Area de Matem´ aticas Probabilidad y Estad´ıstica I

Estad´ıstica Descriptiva y Probabilidad 1. El Higher Education Research Institute cuenta con estad´ısticas sobre las ´areas que son m´as elegidas por los estudiantes de nuevo ingreso. Las cinco m´as elegidas son arte y humanidades (A), administraci´on de negocios (B), ingenier´ıa (E), pol´ıtica (P) y ciencias sociales (S).1 Otras ´areas (O), entre las que se encuentran biolog´ıa, f´ısica, ciencias de la computaci´ on y educaci´on se agruparon todas en una sola categor´ıa. Las siguientes fueron las ´ areas elegidas por 64 estudiantes de reci´en ingreso: S O B A

P E A E

P E S B

O B O E

B S E A

E O A A

O B B P

E O O O

P A S O

O O S E

O E O O

B O O B

O E E B

O O B O

O B O P

A P B B

a) Identifique muestra y poblaci´ on. b) Identifique la variable medida sobre la muestra e indique si es de tipo cuantitativo o cualitativo. c) Realice la distribuci´ on de frecuencias y elabore un diagrama de barras para frecuencias relativas y otro para frecuencias acumuladas. d) ¿Qu´e porcentaje de los estudiantes nuevos elige una de las cinco ´areas m´as elegidas? e) ¿Cu´ al es el ´ area m´as elegida por los estudiantes de nuevo ingreso?

Utilice el software EXCEL, para elaborar una distribuci´ on (tabla) de frecuencias para datos agrupados el punto 2 y 3. 2. Un art´ıculo publicado en Technometrics presenta los datos siguientes sobre el octanaje de varias mezclas de gasolina 88.5 94.7 84.3 90.1 89.0 89.8 91.6 90.3 90.0

87.7 91.1 86.7 93.4 96.1 89.6 90.4 91.6 90.7

83.4 91.0 88.2 88.5 93.3 87.4 91.1 90.5

86.7 94.2 90.8 90.1 91.8 88.4 92.6 93.7

87.5 87.8 88.3 89.2 92.3 88.9 89.8 92.7

91.5 89.9 98.8 88.3 90.4 91.2 90.6 92.2

a) Realice un diagrama de tallos y hojas para los datos. 1 The

New York Times Almanac, 2006.

1

88.6 88.3 94.2 85.3 90.1 89.3 91.1 92.2

100.3 87.6 92.7 87.9 93.0 94.4 90.4 91.2

96.5 84.3 93.2 88.6 88.7 92.7 89.3 91.0

93.3 86.7 91.0 90.9 89.9 91.8 89.7 92.2

b) ¿Qu´e conclusiones puede obtener sobre los datos? c) Describa la forma de la distribuci´ on, ¿es sim´etrica? d) Calcule Media, Moda y Mediana e) Calcule Cuartiles Q1 , Q2 y Q3 . f) Calcule varianza y desviaci´ on est´ andar. g) Elabore un diagrama de cajas y bigotes

3. Los siguientes datos representan la duraci´on de la vida, en segundos, de 50 moscas de la fruta que se someten a un nuevo aerosol en un experimento de laboratorio controlado 17 12 16 13 7

20 14 18 7 10

10 6 8 18 5

9 9 3 7 14

23 13 3 10 15

13 6 32 4 10

12 7 9 27 9

19 10 7 19 6

18 13 10 16 7

24 7 11 8 15

a) Elabore un diagrama de tallos y hojas para el periodo de vida de las moscas de la fruta. Comente sobre lo que indica la gr´ afica al respecto. b) Realice un histograma de frecuencias relativas c) Calcule los valor de la media, mediana y moda d) Calcule la Desviaci´on est´ andar y el rango de la muestra e) ¿Qu´e porcentaje de moscas vive entre 9 y 14 segundos?

4. Los estudiantes de derecho de la Universidad de la Sabana se clasifican como estudiantes de primer a˜ no, segundo a˜ no, pen´ ultimo a˜ no o de u ´ltimo a˜ no, y tambi´en de acuerdo con su g´enero (hombre o mujer). Calcule el n´ umero total de clasificaciones posibles para los estudiantes de la universidad. 5. Un urbanista de un nuevo fraccionamiento ofrece a un posible comprador de una casa elegir entre 4 dise˜ nos, 3 diferentes sistemas de calefacci´on, un garaje o cobertizo, y un patio o porche cubierto. ¿De cu´ antos planos diferentes dispone el comprador? 6. Cuatro parejas compran 8 lugares en la misma fila para el concierto. ¿De cu´ antas maneras diferentes se pueden sentar a) Sin restricciones? b) si cada pareja se sienta junta? c) Si todos los hombres se sientan juntos a la derecha de las mujeres? 7. ¿De cu´ antas formas se puede seleccionar a 3 de 8 candidatos reci´en graduados, igualmente calificados, para ocupar las vacantes de un despacho de contabilidad?

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8. Suponga que se descubre que, en un grupo de 500 estudiantes universitarios, 210 fuman, 258 consumen bebidas alcoh´olicas, 216 comen entre comidas, 122 fuman y consumen bebidas alcoh´olicas, 83 comen entre comidas y consumen bebidas alcoh´olicas, 97 fuman y comen entre comidas y 52 tienen esos tres h´abitos. Si se selecciona al azar a un miembro de este grupo, calcule la probabilidad de que el estudiante a) fume pero no consuma bebidas alcoh´olicas b) coma entre comidas y consuma bebidas alcoh´olicas pero no fume c) no fume ni coma entre comidas 9. La probabilidad de que en una industria estadounidense se ubique en Bogot´a es de 0.7, la probabilidad de que se ubique en Medell´ın es de 0.4 y la probabilidad de que se ubique en Bogot´a o Medell´ın es 0.8. ¿Cu´ al es la probabilidad de que la industria se ubique a) en ambas ciudades? b) en ninguna de esas ciudades? 10. Un pedido de 20 computadores port´atiles similares para la una tienda electr´onica contiene 3 que est´ an defectuosos. Si una la universidad de la Sabana compra al azar 2 de estas computadoras. Calcule la probabilidad de a) no adquirir ninguna computadora defectuosa b) adquirir una computadora defectuosa c) Que las dos computadoras est´en defectuosas. 11. Un grupo de estudiantes de Estad´ıstica y Probabilidad I de la universidad de la Sabana se compone de 10 alumnos de la escuela, 30 de gastronom´ıa y 10 de ingenier´ıa. Las calificaciones finales muestran que 3 estudiantes de la escuela, 10 de gastronom´ıa y 5 de ingenier´ıa obtuvieron una calificaci´on de 100. Si se elige un estudiante al azar de este grupo y se descubre que es uno de los que obtuvieron 100 en la calificaci´on, ¿cu´ al es la probabilidad de que sea un estudiante de gastronom´ıa? 12. En un experimento para estudiar la relaci´ on que existe entre h´abito de fumar y la hipertensi´ on arterial se re´ unen los siguientes datos para 180 individuos:

H SH

No fumadores 21 48

Fumadores moderados 36 26

Fumadores empedernidos 30 19

donde las letras H y SH de la tabla representa Hipertensi´ on y Sin Hipertensi´ on, respectivamente. Si se selecciona uno de estos individuos al azar, calcula la probabilidad de que la persona a) Sufra hipertensi´ on, dado que es una fumadora empedernida. b) No fume, dado que no padece hipertensi´ on.

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13. La probabilidad de que un doctor diagnostique de manera correcta una enfermedad espec´ıfica es 0.7. Dado que el doctor hace un diagnostico incorrecto, la probabilidad de que el paciente entable una demanda legal es 0.9. ¿Cu´ al es la probabilidad de que el doctor haga un diagn´ostico incorrecto y el paciente lo demande? 14. Una urna contiene 3 bolas rojas y 7 negras. Los jugadores A y B extraen consecutivamente una bola de la urna, sin sustituci´on, hasta que una bola roja es seleccionada. Si A empieza el juego, ¿cu´ al es la probabilidad de que A extraiga la bola roja? 15. Basado en su experiencia, un agente burs´ atil considera que en las condiciones econ´ omicas actuales la probabilidad de que un cliente invierta en bonos libres de impuestos es 0.6, la de que invierta en fondos comunes de inversi´on es 0.3 y la de que invierta en ambos es 0.15. En esta ocasi´on encuentre la probabilidad de que un cliente invierta en bonos libres de impuestos o en fondos comunes de inversi´on. 16. Demuestre que P (Ac ∩ B c ) = 1 + P (A ∩ B) − P (A) − P (B) 17. La probabilidad de que un vuelo programado normalmente salga a tiempo es P (D) = 0.83, la probabilidad de que llegue a tiempo es P (A) = 0.82 y la probabilidad de que salga y llegue a tiempo es P (D ∩ A) = 0.78. Calcule la probabilidad de que un avi´on a) llegue a tiempo, dado que sali´ o a tiempo b) sali´ o a tiempo, dado que lleg´ o a tiempo. 18. Una peque˜ na ciudad dispone de un carro de bomberos y una ambulancia para emergencias. La probabilidad de que el carro de bomberos est´e disponible cuando se necesite es 0.98 y la probabilidad de que la ambulancia est´e disponible cuando se le requiera es 0.92. En el evento de un herido en un incendio, calcule la probabilidad de que tanto la ambulancia como el carro de bomberos est´en disponibles, suponiendo que operan de forma independiente. 19. Se sacan tres cartas seguidas, sin reemplazo, de una baraja ordinaria. Encuentre la probabilidad de que ocurra el evento A1 ∩ A2 ∩ A3 , donde A1 es el evento de que la primera carta sea un as rojo, A2 el evento de que la segunda carta sea un 10 o una jota y A3 el evento de que la tercera carta sea mayor que 3 pero menor que 7. 20. Una cadena de tiendas de pintura produce y vende pintura de l´ atex y semiesmaltada. De acuerdo con las ventas a largo plazo, la probabilidad de que un cliente compre pintura de l´ atex es 0.75. De los que compran pintura de l´ atex, 60% tambi´en compra rodillos. Sin embargo, s´ olo 30% de los que compran pintura semiesmaltada compra rodillos. Un comprador que se selecciona al azar adquiere un rodillo y una lata de pintura. ¿Cu´ al es la probabilidad de que sea pintura de l´ atex? 21. Denote como A, B y C a los eventos de que un gran premio se encuentra detr´as de las puertas A, B y C, respectivamente. Suponga que elige al azar una puerta, por ejemplo la A. El presentador del juego abre una puerta, por ejemplo la B, y muestra que no hay un premio detr´as de ella. Ahora, el presentador le da la opci´ on de conservar la puerta que eligi´o (A) o de cambiarla por la puerta que queda (C). Utilice la probabilidad para explicar si debe o no hacer el cambio. 22. Encuentre la posibilidad de seleccionar aleatoriamente 4 litros de leche en buenas condiciones sucesivamente de un refrigerador que contiene 20 litros, de los cuales 5 est´ an echados a perder.

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23. La probabilidad de que un hombre casado vea cierto programa de televisi´ on es 0.4 y la probabilidad de que lo vea una mujer casada es 0.5. La probabilidad de que un hombre vea el programa, dado que su esposa lo ve, es 0.7. Calcule la probabilidad de que a) una pareja casada vea el programa; b) una esposa vea el programa dado que su esposo lo ve; c) al menos uno de los miembros de la pareja casada vea el programa. 24. Un fabricante de una vacuna para la gripe est´ a interesado en determinar la calidad de su suero. Con ese fin tres departamentos diferentes procesan los lotes de suero y tienen tasas de rechazo de 0.10, 0.08 y 0.12, respectivamente. Las inspecciones de los tres departamentos son secuenciales e independientes. a) ¿Cu´ al es la probabilidad de que un lote de suero sobreviva a la primera inspecci´ on departamental pero sea rechazado por el segundo departamento? b) ¿Cu´ al es la probabilidad de que un lote de suero sea rechazado por el tercer departamento?

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