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PROBABILIDAD

INTRODUCCIÓN El termino probabilidad se refiere al estudio de la aleatoriedad y la incertidumbre de cualquier situación donde podría ocurrir uno de varios resultados posibles, la teoría de la probabilidad proporciona métodos para cuantificar las probabilidades relacionadas con varios resultados. La teoría de probabilidades es muy importante en muchos problemas de Ingeniería, Administración, Economía, Educación, etc. Por ejemplo, para un ingeniero posiblemente tenga sentido en preguntarse: ¿Cuál es la probabilidad de que se termine un proyecto en el plazo convenido?, Para un fabricante a gran escala tendrá sentido en preguntarse ¿Cuál es la probabilidad de aceptación de su nuevo producto que ha lanzado al mercado a nivel regional? A un empresario le interesará saber el porcentaje de boletos que se venden de un determinado concierto. En la mayoría de problemas hay que tomar decisiones con base a experimentos. En este capítulo estudiaremos primero los experimentos aleatorios, luego a manera de pre requisito recordar la teoría intuitiva de conjuntos, el análisis combinatorio; finalmente el concepto de probabilidad, sus propiedades y aplicaciones.

1.1. EXPERIMENTO ALEATORIO, ESPACIO MUESTRAL Y EVENTO 1.1.1.

EXPERIMENTO. Se utiliza para describir un proceso que genera un conjunto de datos cualitativos o cuantitativos. Los experimentos reales o hipotéticos pueden dividirse en dos clases:

a.

EXPERIMENTO DETERMINÍSTICO. Si los resultados del experimento están completamente determinado y puede describirse por una fórmula matemática llamado también modelo determinístico. Ejemplo:

-

Soltar una piedra en el aire

-

Lanzar una pelota en un tanque de agua y ver si flota o se hunde.

b.

EXPERIMENTO NO DETERMINÍSTICO. Llamado también experimento aleatorio. Es todo proceso que consiste de la ejecución de un acto (o prueba) una o más veces, cuyo resultado en cada prueba depende del azar y en consecuencia no se puede predecir con certeza antes de realizar el experimento. Se denota por (𝜀) Ejemplo: 𝜀1 : Lanzar tres monedas al aire y observar la cara superior. 𝜀2 : Lanzar dos dados y observar los números que aparecen en la cara superior.

1.1.2.

ESPACIO MUESTRAL. Se denomina espacio muestral al conjunto que consiste de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Este conjunto se denota por (Ω). Cada resultado posible de un experimento aleatorio es un elemento del espacio muestral.

Ejemplo: Hallar los espacios muestrales asociados a los experimentos aleatorios anteriores. Solución. Para obtener el espacio muestral del experimento N° 01 utilizaremos el DIAGRAMA DEL ÁRBOL. Del 𝜀1 tenemos:

Ω1 = {𝑐𝑐𝑐; 𝑐𝑐𝑠; 𝑐𝑠𝑐; 𝑠𝑐𝑐; 𝑠𝑠𝑐; 𝑠𝑐𝑠; 𝑐𝑠𝑠; 𝑠𝑠𝑠} Para obtener el espacio muestral del experimento N° 02 utilizaremos el CUADRO DE DOBLE ENTRADA. Del 𝜀2 tenemos: 1

2

3

4

5

6

1

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

2

2,1

2,2

2,3

2,4

2,5

2,6

3

3,1

3,2

3,3

3,4

3,5

3,6

4

4,1

4,2

4,3

4,4

4,5

4,6

5

5,1

5,2

5,3

5,4

5,5

5,6

6

6,1

6,2

6,3

6,4

6,5

6,6

Ω2 = {1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5; 1,6 2,1; 2,2; 2,3; 2,4; 2,5; 2,6; 3,1; 3,2; 3,3; 3,4; 3,5; 3,6; 4,1; 4,2; 4,3; 4,4; 4,5; 4,6; 5,1; 5,2; 5,3; 5,4; 5,5; 5,6; 6,1; 6,2; 6,3; 6,4; 6,5; 6,6} 1.1.2.1.

TIPOS DE ESPACIO MUESTRAL

a.

ESPACIO MUESTRAL DISCRETO. Si tienen un número finito o infinito numerable de elementos.



Espacio muestral discreto finito: Si el espacio muestral tiene número finito. Ejemplo:

𝜀3 : Extraer un artículo de un lote que contiene artículos defectuosos y no defectuosos. Ω3 = {𝐷; 𝑁𝐷} 𝜀4 : Designar un delegado de un grupo de 50 personas. Ω4 = {𝐴1 ; 𝐴2 ; 𝐴3 ; … ; 𝐴50 }



Espacio muestral discreto infinito: Cuando puede establecerse una correspondencia uno a uno con el conjunto de los enteros positivos de modo que pueda ser enumerado como 1, 2, 3, … Ejemplo:

𝜀5 : Contar el número de automóviles que cruzan la intersección de dos calles, hasta antes de que ocurra un accidente. Ω5 = {0; 1; 2; 3; 4; … } 𝜀6 : Fabricar artículos, hasta producir cinco defectuosos y contar el número total de artículos fabricados Ω6 = {5; 6; 7; 8; 9; 10; … } 𝜀7 : Contar el número de vehículos que llegan a una estación de servicio en un día. Ω7 = {0; 1; 2; 3; … } b.

ESPACIO MUESTRAL CONTINUO. Se dice que es continuo, si tiene un número no numerable de elementos. Es decir, cuyos elementos son todos los puntos de algún intervalo. Ejemplo: 𝜀8 : Elegir un punto del intervalo cerrado [0, 1] Ω8 = {𝑥 ∈ ℝ/ 0 ≤ 𝑥 ≤ 1} 𝜀9 : Se examina la vida útil de una computadora. Ω9 = {𝑡 ∈ ℝ/ 𝑡 ≥ 0}

1.1.3.

EVENTO Se denomina evento a cualquier sub conjunto de un espacio muestral y se denota por las letras mayúsculas del abecedario. El espacio muestral finitos de n elementos en el que se puede definir 2n eventos diferentes. Ejemplo: Hallar un evento de cada experimento trabajado anteriormente. En 𝜀1 : A: Que la primera moneda caiga cara A = {𝑐𝑐𝑐; 𝑐𝑐𝑠; 𝑐𝑠𝑐; 𝑐𝑠𝑠} En 𝜀2 : A: Que los resultados sean iguales A = {1,1; 2,2; 3,3; 4,4; 5,5; 6,6} En 𝜀5 : A: Ocurre un accidente antes de que crucen 100 automóviles A = {0; 1; 2; 3; … ; 99} En 𝜀9 : A: la computadora dura más de tres horas A = {𝑡 ∈ ℝ/ 𝑡 ≥ 3}

1.1.4.

SUCESO. Llamamos suceso a todo elemento del espacio muestral. Un evento con un solo elemento es un evento elemental.

PROBLEMAS PROPUESTOS 1.1

1. Dar cinco ejemplos de experimentos aleatorios relacionado con sus especialidades 2. Construir el espacio muestral apropiado para los siguientes experimentos aleatorios: a. Preguntar a un ciudadano sobre el noticiero televisivo de su preferencia b. Preguntar a un trabajador de una empresa “X” sobre el monto de su sueldo mensual c. Elegir una carta de una baraja de 52 cartas d. Observar la actividad laboral del ciudadano Huaracino. e. Verificar el estado de 10 transistores f. Se lanzar n monedas y se observa el número de caras g. Inspeccionar las medidas de seguridad contra accidentes de una fabrica h. Extraer una muestra de 5 bolas con reemplazo de una urna que contiene 12 bolas diferentes 3. Durante el día una máquina produce tres artículos cuya calidad individual, definida como defectuoso o no defectuoso, se determina al final del día. Describa el espacio muestral generado por la producción diaria.

4. El gerente general de una firma comercial entrevista a 10 aspirantes a un puesto de trabajo. Cada uno de los aspirantes es calificado como: Deficiente, Regular, Bueno, Excelente. a.

Dar un espacio muestral adecuado para este experimento.

b.

Describir los siguientes eventos: J: Todos los aspirantes son calificados como deficientes o excelentes. V: Solo la última persona entrevistada es calificada excelente

5. Suponga que la demanda diaria de una estación de servicio de gasolina está acotada en 1000 galones, que se lleva a un registro diario de venta. Describa el espacio muestral.

6. Una urna contiene tres fichas numeradas: 1,2,3; un experimento consiste en lanzar un dado y luego extraer una ficha de la urna. Describa el espacio muestral.

7. Una línea de producción clasifica sus productos en defectuosos “D” y no defectuosos “N”. De un almacén donde guardan la producción diaria de esta línea, se extrae artículos hasta observar tres defectuosos consecutivos o hasta que se hayan verificado cinco artículos. Describa el espacio muestral.

8. En la ciudad de Huaraz, hay cuatro supermercados (numerados 1, 2, 3, 4). Seis damas que viven en ese sector seleccionan al azar y en forma independiente, un supermercado para hacer sus compras sin salir de su sector a.

Dar un espacio muestral adecuado para este experimento

b.

Describir los siguientes eventos: Z: “Todas las damas escogen uno de los tres primeros supermercados”

F: “Dos escogen el supermercado N° 02, dos el supermercado N° 03, y las otras dos el supermercado N° 04”. R: “Dos escogen el supermercado N° 02 y las otras diferentes supermercados”

9. Tres máquinas idénticas funcionan independientemente se mantienen funcionando hasta darle de baja y se anota el tiempo que duren. Suponer que ninguno dure más de 10 años.

a.

Definir el espacio muestral adecuado para este experimento.

b.

Describir los siguientes eventos: A: “Las tres máquinas duran más de 8 años” B: “El menor tiempo de duración de los tres es de 7 años” C: “Ninguna es dada de baja antes de los 9 años” D: “El mayor tiempo de duración de los tres es de 9 años”

10. Lanzar un dado hasta que ocurra el número 4. Hallar el espacio muestral asociado a este experimento. 11. Describa el espacio muestral del funcionamiento del siguiente sistema:

Donde 𝐴𝑖 = 1 𝑠𝑖 𝑒𝑠𝑡á 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜, 𝐴𝑖 = 0 𝑠𝑖 𝑒𝑠𝑡á 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑚𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜, 𝑖 = 1,2,3. a.

Describir el espacio muestral

b.

Describir los eventos: A: “Por lo menos una componente funciona” B: “Todo el sistema funciona” ¿Son A1 y A2 mutuamente excluyente?

12. Un experimento consiste en observar la vida útil de dos objetos, describa el evento: D: “La duración del primero más la duración del segundo es al menos cuatro años”

13. Un experimento consiste en lanzar 4 monedas, Describa el espacio muestral del número de caras obtenidas.

14. Cierta marca de sierra eléctrica es calificada por especialistas en cuanto al rendimiento, como: “Muy buena” (B1) o “buena” (B2) o “regular” (B3), y en cuanto al precio, como “Cara” (C1) “Barata” (C2). Describa el espacio muestral.

1.1.3.1.

TIPOS DE EVENTOS

a.

Evento simple. Cuando contiene solamente un punto del espacio muestral.

b.

Evento compuesto. Cuando puede expresarse como la unión de dos o más eventos simples.

c.

Evento imposible. (∅), Cuando no tiene puntos muestrales, en consecuencia, no ocurre nunca.

d.

Evento unitarios o elementales. (Wi), Cuando contienen un solo punto muestral.

e.

Evento seguro o cierto. (Ω), es el mismo espacio muestral, ya que es el sub conjunto que contiene a todos los eventos elementales.

1.1.3.2.

OPERACIONES CON EVENTOS Usando las operaciones de un conjunto podemos formar nuevos eventos. Estos nuevos eventos serán nuevamente subconjuntos del mismo espacio muestral de los eventos dados.

a. Unión de un evento: (𝐴 ∪ 𝐵) Sean A y B dos eventos cualesquiera definidos sobre un mismo espacio muestral, la unión de eventos es el que ocurre si A ocurre o B ocurre o ambos ocurren. Simbólicamente: 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑤 ∈ Ω/𝑤 ∈ 𝐴 ∨ 𝑤 ∈ 𝐵}

(𝐴 ∪ 𝐵)

(𝐴 ∪ 𝐵)

b. Intersección de un evento: (A ∩ 𝐵) Sean A y B dos eventos cualesquiera definidos sobre un mismo espacio muestral, la intersección de estos eventos es el evento que ocurre si A y B ocurren simultáneamente. Simbólicamente: 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑤 ∈ Ω/𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵}

𝐴 ∩𝐵 c. Complemento de un evento: (Ac o 𝐴´ o 𝐴̅) Si A es un evento del espacio muestral, se llama complemento del evento A, a todos los puntos muestrales que no están en el evento A.

Ac

d. Diferencia de un evento: (A −𝐵) Sean A y B dos eventos cualesquiera definidos sobre un mismo espacio muestral, se llama diferencia de los eventos A y B al evento formado por los elementos que son favorables a A pero que no son favorables a B. Simbólicamente: 𝐴 − 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵̅ = {𝑤 ∈ Ω/𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∉ 𝐵}

A − B = A ∩ 𝐵̅

A − B = A ∩ 𝐵̅ = 𝐴

e. Inclusión de un evento: (A⊂ B) Dados dos eventos A y B cualesquiera definidos en un mismo espacio muestral, se dice que el evento A esta contenida en B si siempre que ocurre A ocurre B. Simbólicamente: 𝐴 ⊂ 𝐵, 𝑠𝑖 𝑤 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑤 ∈ 𝐵

A⊂ B f. Eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos 

Dos eventos A y B definidos en el mismo espacio muestral, se dice que son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir juntos.

A∩B=∅ 

Una colección de eventos 𝐴1 , 𝐴2 , 𝐴3 , … , 𝐴𝑘 definidos sobre un mismo espacio muestral. Se dice que son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de uno de ellos excluye la ocurrencia de los otros, es decir: 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = ∅



∀ 𝑖 ≠ 𝑗; 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑘

Se dice que una colección de eventos 𝐴1 , 𝐴2 , 𝐴3 , … , 𝐴𝑘 definidos sobre un mismo espacio muestral son colectivamente exhaustivos si la unión de ellos es igual al espacio muestral. 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3 ∪ … ∪ 𝐴𝑘 = ⋃𝑘𝑖=1 𝐴𝑖 = Ω ∀ 𝑖; 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑘



El producto cartesiano de los eventos A y B, es el evento A x B que consiste de todos los pares ordenados de puntos muestrales (𝑤1 , 𝑤2 ) siendo 𝑤1 ∈ 𝐴 y 𝑤2 ∈ 𝐵, esto es: 𝐴 × 𝐵 = {(𝑤1 , 𝑤2 )/ 𝑤1 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤2 ∈ 𝐵}



El espacio muestral Ω asociado a un experimento aleatorio compuesto de dos espacios aleatorios Ω1 y Ω2 se puede expresar como un producto cartesiano, esto es, Ω = Ω1 × Ω 2

1.2. ALGEBRA DE EVENTOS Las siguientes identidades básicas se verifican para eventos a.

Ley conmutativa 𝐴∪𝐵 =𝐵∪𝐴 𝐴∩𝐵 =𝐵∩𝐴

b.

Ley asociativa (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶 = 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶) (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)

c.

Ley distributiva 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶) 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)

d.

Complemento del complemento (𝐴𝐶 )𝐶 = 𝐴

e.

Ω∪A=Ω ∅∪𝐴 = 𝐴 𝐴 ∪ 𝐴𝐶 = Ω

𝐴∪𝐴 =𝐴 f.

Ω∩A=A ∅∩𝐴 = ∅ 𝐴 ∩ 𝐴𝐶 = ∅ 𝐴∩𝐴 =𝐴

g.

Leyes de Morgan ̅̅̅̅̅̅̅ 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴̅ ∩ 𝐵̅ ̅̅̅̅̅̅̅ 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴̅ ∪ 𝐵̅

PROBLEMAS PROPUESTOS 1.2

1. Dados los conjuntos 𝐴 = {2,4,6,8,10} 𝐵 = {0,1,2,3} 𝐶 = {−2, −1,0, 3} Construir los diagramas de Veen Euler de: 𝐴 ∪ 𝐵; 𝐴 ∩ 𝐵;

𝐴 ∩ 𝐶; 𝐵 ∩ 𝐶

𝐴 − 𝐵;

𝐴 ∪ 𝐶; 𝐵 ∪ 𝐶;

𝐴 − 𝐶; 𝐵 − 𝐶; 𝐶 − 𝐵

2. Dados los conjuntos no vacíos A, B, tales que 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 entonces es verdad que: a. b. c. d. e. 3.

𝐵−𝐴=𝐴 𝐵𝑐 = 𝐴 𝐴−𝐵 = 𝐴 𝐴∩𝐵 =𝐴 𝐵⊆𝐴=𝐵 Sea los conjuntos A, B y C no vacíos y diferentes, tal que 𝐶 ⊂ (𝐴 ∩ 𝐵), entonces es verdad que:

a. (𝐴 ∪ 𝐶) ⊂ (𝐵 ∩ 𝐶) b. (𝐴 − 𝐵) = ∅ c. (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐵 − 𝐴) = 𝐶 d. (𝐴 − 𝐵) ⊂ 𝐶 e. (𝐶 − 𝐴) = ∅ 4. Sea A, B, C tres conjuntos no vacíos de un mismo referencial. Indique ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es CORRECTA? a.

(𝐴 − 𝐵) ∩ 𝐶 = 𝐴 − (𝐵 ∩ 𝐶)

b.

(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶)𝑐 =𝐴𝑐 ∩ 𝐵𝑐 ∩ 𝐶 𝑐

c.

𝐴 − (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 − 𝐵) − 𝐶

d.

𝐴 − (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 − 𝐵) − 𝐶

e.

𝐴 ∪ (𝐵 − 𝐶) = (𝐴 − 𝐵) ∪ 𝐶

5. Demuestra que: a.

𝐴 = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 − 𝐵)

b.

(𝐴 − 𝐵) ∩ (𝐴 − 𝐶) = 𝐴 − (𝐵 ∪ 𝐶)

c.

𝐴 − (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐴 − 𝐶)

6. Se realizó una encuesta a grupo de cien personas sobre la presencia de dos tipos de marcas de zapatos, la marca X y la marca Y. Cincuenta y seis dijeron que preferían la marca X; treinta y ocho preferían la marca Y; y veintiuno preferían las dos marcas. ¿Cuál es el número de personas que preferían exclusivamente la marca Y?

7. En una empresa se consulta a cincuenta y cinco trabajadores sobre la preferencia de golosinas de sus hijos contestando lo siguiente: treinta y uno niños le gustan los caramelos, treinta y tres niños le gustan los chocolates, veintinueve niños le gustan las galletas, diecinueve niños le gusta niños le gustan caramelos y chocolates, diecisiete niños le gusta niños le gustan caramelos y galletas, dieciocho niños le gusta niños le gustan chocolates y galletas, diez niños le gusta niños le gustan chocolates, caramelos y galletas. ¿Cuántos niños no le gusta golosinas? ¿Cuántos les gusta sólo una golosina?

8. De un grupo de sesenta y cinco trabajadores, treinta prefieren ser asistentes de servicio, cuarenta prefieren el área de ventas, cinco prefieren otras áreas. ¿Cuántos prefieren ser asistentes de servicio y el área de ventas?

9. En una prueba de conocimientos a cien docentes, sesenta y cinco aprobaron razonamiento matemático, veinticinco aprobaron razonamiento matemático y razonamiento verbal, quince aprobaron solamente razonamiento verbal. ¿Cuántos no aprobaron ninguno de los cursos mencionados?

10. En una encuesta realizada a ciento veinte trabajadores: cuarenta leen solamente la revista Gente sesenta leen solamente la revista Caretas, doce no leen ninguna de estas revistas. ¿Cuántos no leen la revista Caretas?

11. Un Economista realiza un viaje mensual durante todo el año a Lima o Trujillo. Si ocho viajes fueron a Lima y once viajes fueron a Trujillo, ¿Cuántos meses visito los dos lugares?

12. Durante todas las noches del mes de mayo, una administradora se capacita mirando videos o leyendo libros. Si mira videos veintiún noches y lee libros quince noches, ¿Cuántas noches miró videos y lee libros solamente?

13. Cien trabajadores de una empresa solicitan beca y al hacer un estudio socio económico, se establece que sesenta tienen televisor y setenta y ocho tienen radio. ¿Cuántos tienen solo radio, si se sabe además que nueve no tienen ni televisor ni radio?

14. De un total de sesenta trabajadores de una empresa quince estudian francés solamente, once estudian francés e inglés; doce estudian alemán solamente; ocho estudian francés y alemán; diez estudian ingles solamente; cinco estudian inglés y alemán; y tres los tres idiomas. Determina: a.

¿Cuántos no estudian ningún idioma?

b.

¿Cuántos estudian alemán?

c.

¿Cuántos estudian alemán e inglés solamente?

d.

¿Cuántos estudian francés?

1.3. TÉCNICAS DE CONTEO Para conocer el número de elementos que tiene el espacio muestral o un evento, se recurre a técnicas de conteo, siendo de gran ayuda en estos casos. 1.3.1. PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN Si una operación puede realizarse de 𝑛1 formas y por cada una de estas una segunda operación puede realizarse de 𝑛2 formas, entonces, las dos operaciones pueden realizarse de 𝑛1 × 𝑛2 . Esto es, si A y B son dos conjuntos finitos, entonces, el número de elementos del producto cartesiano A × B está dado por: 𝑛(𝐴) × 𝑛(𝐵) Ejemplo ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral que resulta de lanzar dos dados a la vez? Solución Sean los eventos: A: Resultado del dado 01

⇒ 𝑛(𝐴) = 6

B: Resultado del dado 02

⇒ 𝑛(𝐵) = 6

𝑛(𝐴) × 𝑛(𝐵) = 6 × 6 = 36 resultados posibles La extensión de la regla de la multiplicación con 𝑘 experimentos se puede expresar en términos de conjuntos como sigue: Si 𝐴1 , 𝐴2 , 𝐴3 , … , 𝐴𝑘 son 𝑘 conjuntos finitos, entonces, el número de elementos del producto cartesiano 𝐴1 × 𝐴2 × 𝐴3 × … × 𝐴𝑘 es igual a: 𝑛(𝐴1 ) × 𝑛(𝐴2 ) × 𝑛(𝐴3 ) × … × 𝑛(𝐴𝑘 ) Ejemplo ¿Cuantos pares de tres dígitos distintos se puede formar con los dígitos: 1, 4, 7, 8, 9? Solución Sean los eventos: 𝐴1 : Representa a los dígitos de las centenas ⇒ 𝑛(𝐴1 ) = 4 𝐴2 : Representa a los dígitos de las decenas

⇒ 𝑛(𝐴2 ) = 3

𝐴3 : Representa a los dígitos de las unidades

⇒ 𝑛(𝐴3 ) = 2

𝑛(𝐴1 ) × 𝑛(𝐴2 ) × 𝑛(𝐴3 ) = 4 × 3 × 2 = 24 resultados posibles NOTA Si la extracción es con reposición 𝑛(𝐴1 ) × 𝑛(𝐴2 ) × 𝑛(𝐴3 ) × … × 𝑛(𝐴𝑘 ) = 𝑛(𝑛 − 1) × 𝑛(𝑛 − 2) × … × (𝑛 − 𝑘 + 1) Si la extracción es sin reposición Cada elemento (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … , 𝑎𝑘 ) del evento 𝐴1 , 𝐴2 , 𝐴3 , … , 𝐴𝑘 se denomina en el primer caso, variación con repetición y en el segundo caso variación sin repetición. 1.3.2. PRINCIPIO DE LA ADICIÓN 

Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces, 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵)

Ejemplo ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral que resulta de lanzar una moneda o un dado? Solución Sean los eventos: A: Resultado de la moneda

⇒ 𝑛(𝐴) = 2

B: Resultado del dado

⇒ 𝑛(𝐵) = 6

𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) = 2 + 6 = 8 resultados posibles 

En general si los 𝑛 eventos 𝐴1 , 𝐴2 , 𝐴3 , … , 𝐴𝑘 no ocurren juntos (son disjuntos mutuamente), entonces, 𝑘

𝑛(𝐴1 , 𝐴2 , 𝐴3 , … , 𝐴𝑘 ) = ∑ 𝑛(𝐴𝑖 ) 𝑖=1



Si A y B son dos eventos cualesquiera, entonces, 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)