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1. De una funda que contiene una bola roja, 6 blancas y 4 negras se extrae una bola al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola seleccionada sea: a)

…roja?

Respuesta: El total de bolas es 6+4+1= 11 de las cuales solo 1 es roja por lo tanto la probabilidad de que al escoger al azar una bola esta sea de color rojo es de 1/ 11= 0.28 Interpretación: Esto quiere decir que de 100 veces que repitamos el experimento aproximadamente 28 veces tendremos una bola roja. b)

…blanca?

Respuesta: El total de bolas es 6+4+1= 11 de las cuales 6 son blancas por lo tanto la probabilidad de que al escoger al azar una bola esta sea de color blanco es de 6/ 11= 0.54 Interpretación: Esto quiere decir que de 100 veces que repitamos el experimento aproximadamente 54 veces tendremos una bola blanca. c)

…no sea blanca?

Respuesta: El total de bolas es 6+4+1= 11 de las cuales no son blancas 5 (=11-6) por lo tanto la probabilidad de que al escoger al azar una bola esta sea de color blanco es de 5/ 11= 0.45 Interpretación: Esto quiere decir que de 100 veces que repitamos el experimento aproximadamente 45 veces tendremos una bola que no sea blanca.

2. De una caja que contiene 14 fichas iguales en tamaño y forma de las cuales 4 son azules y el resto rojas, se extrae una ficha al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que: a)

…La ficha sea azul?

Respuesta: Total de fichas es 14 y el total de fichas azules es 4 por lo tanto la probabilidad de que al escoger al azar una ficha esta sea de color azul es de 4/ 14= 0.28 Interpretación: Esto quiere decir que de 100 veces que repitamos el experimento aproximadamente 28 veces tendremos una ficha azul.

b)

…La ficha sea roja?

Respuesta: Total de fichas es 14 y el total de fichas rojas es 14-4=10, por lo tanto la probabilidad de que al escoger al azar una ficha esta sea de color rojo es de 10/ 14= 0.71 Interpretación: Esto quiere decir que de 100 veces que repitamos el experimento aproximadamente 71 veces tendremos una ficha de color rojo.

3. Se selecciona aleatoriamente una letra del alfabeto. ¿ Cuál es la probabilidad de que: a)

…La letra sea una vocal?

Respuesta: El total de vocales es 26 de las cuales 5 son vocales 5; por lo tanto la probabilidad de que al escoger al azar una letra esta sea una vocal es de 5/ 26= 0.19 Interpretación: Esto quiere decir que de 100 veces que repitamos el experimento aproximadamente 19 veces tendremos una vocal.

b)

…La letra sea una consonante?

Respuesta: El total de vocales es 26 de las cuales 21 son consonantes; por lo tanto la probabilidad de que al escoger al azar una letra esta sea una consonante es de 21/ 26= 0.80 Interpretación: Esto quiere decir que de 100 veces que repitamos el experimento aproximadamente 80 veces tendremos una consonante.

4. Se lanzó un dado y se observó el número obtenido. Calcular la probabilidad de obtener: a)

3 puntos:

Respuesta: El total de resultados que podemos obtener al lanzar el dado es 6(debido a sus 6 caras). De sus caras solo una tiene 3 puntos; por lo tanto la probabilidad de obtener al azar la cara de 3 puntos es 1/6=0,16 Interpretación: Esto quiere decir que de 100 veces que repitamos el experimento aproximadamente 16 veces tendremos la cara pedida. b)

Al menos 5 puntos:

Respuesta: El total de resultados que podemos obtener al lanzar el dado es 6(debido a sus 6 caras). De sus caras solo 2 tienen al menos 5 puntos; por lo tanto la probabilidad de obtener al azar al menos 5 puntos es de 2/6=0.33 Interpretación: Esto quiere decir que de 100 veces que repitamos el experimento aproximadamente 33 veces obtendremos un resultado de al menos 5 puntos.

5. Se arroja dos monedas simultáneamente. Determine el espacio muestral y encuentre la probabilidad de observar a. Dos caras b. Al menos una cara C C Ω = {(C, C), (C, S), (S, C), (S, S)}

S C S S

P(“Dos caras”) =

#Casos favorables #Casos totales

1

=4

a. La probabilidad de observar dos caras es de 0,25 P(“Al menos una cara”) =

#Casos favorables #Casos totales

=

3 4

b. La probabilidad de observar al memos una cara es de 0,75

6. Una moneda se lanza tres veces. Liste el espacio muestral y encuentre la probabilidad de que a. Se observa 2 caras b. Se obtenga al menos 2 caras c. Se obtenga 3 figuras iguales Ω = {(C, C, C), (C, C, S), (C, S, C), (S, C, C), (S, S, S), (S, S, C), (S, C, S), (C, S, S)}

P(“Dos caras”) =

#Casos favorables #Casos totales

3

=8

a. La probabilidad de observar dos caras es de 0,375 P(“Al menos dos caras”) =

#Casos favorables #Casos totales

4

=8

b. La probabilidad de observar al menos dos caras es de 0,5 P(“tres figuras iguales”) =

#Casos favorables #Casos totales

=

2 8

c. La probabilidad de observar tres figuras iguales es de 0,25

7. Se escoge al azar una letra de la palabra UNIVERSIDAD. Encuentre las probabilidades de que la letra escogida haya sido a. b. c. d. e.

Una I Una T Una consonante Una vocal Una vocal o una consonante

#I=2 #T=o #consonantes=6 #vocal=5 #casos totales=11

P(“Una I”) =

#Casos favorables 2 = #Casos totales 11

P(“Una T”) =

#Casos favorables 0 = #Casos totales 11

P(“consonante”) = P(“vocal”) =

#Casos favorables 6 = #Casos totales 11

#Casos favorables 5 = #Casos totales 11

P(“vocal o consonante”) =

5 6 + =1 11 11

8. Una funda contiene 20 monedas numeradas del 1 al 20. Se extrae una moneda y se anota el número. Cuál es la probabilidad de que la moneda escogida a. Tenga un número impar b. Tenga un numero divisible por 3 c. Tenga un numero divisible por 3 o por 5 #impares=10 #divisibles para 3=6 #divisibles para 5=4

P(“Tenga un numero impar”) =

#Casos favorables 10 1 = = #Casos totales 20 2

P(“Tenga un numero divisible por 3”) =

#Casos favorables 6 3 = = #Casos totales 20 10

P(“Tenga un numero divisible por 3 o por 5”) =

6 4 1 + = 20 20 2

9. Se arroja un dado dos veces consecutivas. Determine el espacio muestral. Cuál es la probabilidad de observar: a) b) c) d) 1 1 1 1 1 1

Al menos un 5 Un 4 y un 3 Un par Una suma de 8 2 2 2 2 2 2

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

Respuesta: a) b) c) d)

11 de 36 = 0.305 2 de 36 = 0.05 6 de 36 = 0.16 5 de 36 = 0.13

3 3 3 3 3 3

1 2 3 4 5 6

4 4 4 4 4 4

1 2 3 4 5 6

5 5 5 5 5 5

1 2 3 4 5 6

6 6 6 6 6 6

1 2 3 4 5 6

10. Se arroja dados consecutivamente. Calcular la probabilidad de obtener: a) 7 puntos b) 6 puntos en el segundo lanzamiento c) 7 puntos y 6 solo en el segundo lanzamiento d) 7 puntos o 6 solo en el segundo lanzamiento

Respuestas: a) b) c) d)

6 de 36 = 0.166 6 de 36 = 0.166 1 de 36 = 0.027 11 de 36 = 0.305

11. Una familia tiene 3 hijos que pueden ser varones o mujeres. Construya el espacio muestral y encuentre la probabilidad de: a) Los 3 varones sean varones b) Haya dos varones y una mujer c) Haya al menos dos mujeres Espacio muestral V M V V M V M M

V M V M V M M V

V M M V V M V M

Respuesta: a) b) c)

I de 8 = 0.125 3 de 8 = 0.375 4 de 8 = 0.5

12. Se selecciona un naipe de un mazo de 52 cartas. Encuentre la probabilidad de que la carta sea: a) Roja b) De corazón rojo o negro c) Roja y un corazón

Respuestas: a) b) c)

26 de 52 = 0.5 26 de 52 = 0.5 13 de 52 = 0.25

13. De una caja que contiene 16 cubos de los cuales 6 son rojos, 4 son blancos y el resto negros. Se extrae aleatoriamente un cubo. Encuentre la probabilidad de que el cubo sea. a). rojo b) blanco c) negro d) rojo o blanco Número total de casos: 16 Cubos rojos: 6 Cubos blancos: 4 Cubos negros: 6

a) P(“de que sea roja”): casos favorables/casos totales 6/16 0.37 Respuesta: 37 de cada 100 veces al escoger un cubo esta sea de color rojo. b) P(“de que sea blanca”): casos favorables/casos totales 4/16 0.25 Respuesta: 25 de cada 100 veces al escoger un cubo esta sea de color blanca.

c) P(“de que sea negra”): casos favorables/casos totales 6/16 0.37 Respuesta: 37 de cada 100 veces al escoger un cubo esta sea de color negra.

d) P(“de que sea roja o blanca”): casos favorables/casos totales 10/16 0.62 Respuesta: 62 de cada 100 veces al escoger un cubo esta sea de color rojo o blanco.

14. Simultáneamente se arroja una moneda y se elige al azar un número del conjunto A{-2,-1,0,1,2} a) determine el espacio muestra b) cual es la probabilidad de obtener un número negativo y una cara. a) -2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2 2

C X C X C X C X C X

b)

P(“de que sea numero negativo y sea cara”)

Casos favorables: 2 Casos totales: 10 P=2/10 P=0,2 Respuesta: 20 de cada 100 veces al escoger una moneda y un número esta sea cara y negativa.

15. Un gerente de compras desea hacer perdidos a proveedores distintos a los q nombra como A,B,C todos los proveedores son iguales en lo que respecta a la calidad, por lo que escribe en cada letra en un papel, me da más los papeles y selecciona a ciegas a uno de ellos. Se hará el pedido al vendedor que salga seleccionado. Calcule la probabilidad. a) Se seleccionó al proveedor b b) Se seleccionó al proveedor a o c c) el proveedor a no se selecciona Casos totales = 3 Casos de a=1 Casos de b=1 Casos de c=1 a)

P(”de que se seleccionó al proveedor b”)=1/3 P(”de que se seleccionó al proveedor b”)=0.33

Respuesta: 33 de cada 100 veces se seleccionó al proveedor B b)

P(”de que se seleccionó al proveedor A o C”)=2/3 P(”de que se seleccionó al proveedor A o C”)=0.66

Respuesta: 66de cada 100 veces se seleccionó al proveedor A o C c)

P(”de que no se seleccionó al proveedor a”)=2/3 P(”de que no se seleccionó al proveedor a”)=0.66

Respuesta: 33 de cada 100 veces no se seleccionó al proveedor A

16. Se envía 3 oficios a 3 personas diferentes. Sin embargo una secretaria distraída devuelve los oficios y se puede considerar que los mando al azar. Calcule la probabilidad de que. a) ninguno recibió el oficio correcto b) solo una persona recibió el oficio correcto

a)

P(“de que ninguno recibió ”) = 2/6 P(“de que ninguno recibió ”) = 0,33

Respuesta: 33 de cada 100 veces se dice que ninguno recibió el oficio

b)

P(“de que solo una persona recibió el oficio”)=3/6 P(“de que solo una persona recibió el oficio”)=0,5

Respuesta: 55 de cada 100 veces se dice que una persona recibió el oficio a A B C C B a

b B C A B C a

C C A B A C B

17. Una caja contiene 3 bolas numeradas de 1 a 3. Las bolas se sacan al azar una por una sin regresarlas a la caja. 3!=3x2x1=6. a) Describa el espacio muestral. b) Calcule la probabilidad de que las bolas resulten en orden. Ascendente

Descendente

123

231

321

312

213

132

Respuesta: 2 de 6 = 0,33

18. Si se considera un cubo cuyas caras se han pintado de los colores rojo, amarillo, negro, verde y blanco (dos caras son blancas). Determine el espacio muestral asociada a la experiencia aleatoria consiste en lanzar dicho cubo y anotar y anotar el color de la cara superior. R= 1 de 6 A= 1 de 4 N= 1 de 6 V= 1 de 6 B= 2 de 6

19. Si el cubo del ejercicio anterior se lanza 2 veces. Escriba el conjunto de resultados disponibles. RA

AR

NR

VR

BR

RN

AN

NA

VA

BA

RV

AV

NV

VN

BN

RB

AB

NB

VB

BV

RB

AB

NB

VB

BB

20. Un experimento consiste en lanzar 4 monedas. Describa el espacio muestral del número de caras obtenidas. 1234 CCCC CCCS CCSC CSCC SCCC CCSS CSSC SSCC CSCS SCSC SSSS SSSC SSCS

2^4=16 SSCS SCSS CSSS SCCS

32 CARAS

21. Describa el espacio muestral asociado con cada una de las siguientes experiencias

a) Lanzamiento de 3 monedas CCC CCS CSC SCC CSS SSC SSS SCS b) Se hace una encuesta entre familias con 3 hijos y se anota el sexo de los hijos (por orden de edad, empezando por el mayor) VVV VVM VMV MVV MVM VMV MMV MMM

22. Se seleccionó al azar una de las letras de la palabra LATINOAMERICA. Encuentre la probabilidad de: a) Se escogió una I 2 de 13=0.15 b) Se escogió una consonante 6 de 13=0.46 c) No se escogió una A 10 de 13=0.77

23. Se extrajo una carta de un mazo de naipes. Calcule la probabilidad de: a) La carta es un tres 4 de 52=0.076 b) La carta es roja 26 de 52=0.5 c) La carta es un 3 y es roja 2 de 52=0.038 d) La carta es un 3 o roja (4/52)+(26/52)=0.57

24. Los eventos A y B son tales que P(A)=0.5 , P(B)=0.7 y P(A⋂▒B)=0.2. Encuentre: a) P(A U B)=0.5+0.7-0.2=1 b) P(BC)=1-0.7=0.3 c) P(A ⋂ BC )=0.3+0.2+0.5-0.7=0.3 d) P(AC ⋂ B)=0.3+0.2+0.5-0.5=0.5

25. Los elementos de A y B son tales que P(A)=0.35 P(b)=0.5 y P(A∩B)=0.15 con el empleo de un diagrama de ven encuentre a) P(AC)= 0.65 b) P(AUB)= 0.2+0.15+0.35=0.7 c) P(AUBc)=0.65

26. Los eventos A y B son tales que P(A)=0.45, P(B)=0.7 y P(A∩B)=0.2 con el empleo de un diagrama de ven encuentre a) P(AUB)= 0.25+0.2+0.5=0.95 b) P(AC∩BC)=0.05 c) P((A∩B)C )=0.8

27. En una clase de 25 estudiantes se encontró que 6 de ellos jugaban futbol y vóley, 10 jugaban solamente vóley y 3 no participaban en nada, se escogió un estudiante al azar de este grupo con la ayuda de un diagrama de ven, encuentre la probabilidad. De que el estudiante sea: a) Juegue futbol y vóley 6 de 25 =0.24 b) Juegue solamente vóley 10 de 25 = 0.4 c) No juegue futbol 13 de 25 = 0.52

Futbol y vóley

Vóley

28. Se arrojan un dado blanco y un dado rojo (ambos numerados del 1 al 6) a) Lista de los elementos de los espacios muestral

B 1 1 1 1 1 1

R 1 2 3 4 5 6

B 2 2 2 2 2 2

R 1 2 3 4 5 6

B 3 3 3 3 3 3

R 1 2 3 4 5 6

B 4 4 4 4 4 4

R 1 2 3 4 5 6

B 5 5 5 5 5 5

R 1 2 3 4 5 6

B 6 6 6 6 6 6

R 1 2 3 4 5 6

= 36 b) Encuentre la probabilidad de encontrar un número impar. 18/36=0.35 c) Encuentra la probabilidad de obtener un número par con el dado blanco. 18/36=0.35 d) Encuentre la probabilidad de que la suma de puntos sea iguala 7 6/36=0.166 e) Encontrar la probabilidad de que la suma de puntos sea igual a 7 o de tener un número impar en el dado rojo. 𝟔 𝟑𝟔

𝟏𝟖

𝟑

+ 𝟑𝟔 − 𝟑𝟔= 0.58

29. Se extrajo una carta al azar de un mazo de 52 cartas .Encuentre la probabilidad

de que sea: a) Un diamante -Existen 52 cartas en totales de un mazo de cartas el cual se tomara una al azar y de esta será una carta de diamantes. De las totales hay 13 cartas que solo son diamantes. *P(“de sacar una carta al azar”)=13/52=0.25 La probabilidad de que al escoger al azar una carta esta sea de diamantes es de 0.25 b) Un trébol o un diamante Existen 52 cartas en totales de un mazo de cartas el cual se tomara una al azar y de esta será una de trébol o una carta de diamantes. De las totales hay 13 son diamantes y 13 son de trébol. *P(“de sacar una carta al azar sea trébol o diamante”)= P(“una al azar sea diamantes”) azar sea de trébol”)

P(“una al

=13/52+13/52=0.5 La probabilidad de que al escoger al azar una carta esta sea diamantes o trébol es de 0.50 c) Una carta negra o una figura Existen 26 cartas negras del total de cartas que existen en la baraja de las cuales 6 son de las cartas de figura de corazones y rombos. La probabilidad de sacar una carta al azar sea negra o de figura es: *P(“de sacar una carta al azar sea negra o figura”)= P(“una al azar sea negra”) de figura”)

P(“una al azar sea

=26/52+6/52=0.61 La probabilidad de que al escoger al azar una carta esta sea carta negra o de figura es de 0.61 d) Una carta roja o una reina Existe 26 cartas rojas de las cuales se escogerá una al azar de las 4 cartas reinas 2 de ellas serán rojas *P(“de sacar una carta al azar se roja o reina”)= P(“una al azar sea roja”) reina”)

P(“una al azar sea

=26/52+2/52=0.538 La probabilidad de que al escoger al azar una carta esta sea carta roja o reina es de 0.538

30. Un grupo de 32 estudiantes a 20 les gusta la historia a 10 les gusta las ciencias naturales y a 8 las 2 materias .Al resto de estudiantes solo les gusta una materia (que no es ni historia ni ciencias). a) Realiza un diagrama de Venn que describa la situación

10

12

H

8

2

c.n

b) Encuentre la probabilidad de que a un estudiante le guste las 2 materias Dado que 8 estudiantes les gustan las dos materias de los 32 estudiantes, la probabilidad de que les gusten ambas materias es: *P(“ elegir un estudiante al azar le guste 2 materias”)= 8/32=0.25 Al escoger un estudiante al azar de cada 100 veces se elegirá 25 veces un estudiante que le guste las 2 materias. c) Encuentre la probabilidad de que a un estudiante no les gusta ninguna de las 2 materias. Dado que 10 estudiantes no les gusta ninguna materia de los 32 estudiantes, la probabilidad de que a 1 estudiante no le guste las 2 materias es de: *P(“elegir un estudiante al azar no le guste ninguna materia”)= 10/32=0.31 Al escoger un estudiante al azar de cada 100 veces ,31 veces se elegirá una estudiante que no le guste ninguna de las 2 materias. d) Encuentre la probabilidad de que a un estudiante le guste una sola materia Dado que 14 estudiantes les gusta una sola materia de los 32 estudiantes, la probabilidad de que a 1 estudiante al azar le guste 1 sola materias es de: *P(“elegir un estudiante al azar le guste 1 sola materia”)= 14/32=0.43 Al escoger un estudiante al azar de cada 100 veces ,43 veces se elegirá una estudiante que le guste una sola materia.

31. Suponga que una rifa consta de 1000 boletos en esta rifa un boleto se premia con 500 dólares, dos con 250 dólares, cinco con 100 dólares, cien con 5 dólares y las demás con nada. Sí se adquiere un boleto calcular la probabilidad de: a)

Ganar alguno de los premios 1 2 5 100 108

500$ 250$ 100$ 5$ 1000-108=892 (NO SE PREMIAN)

De los 1000 boletos ,108 boletos son los premiados la probabilidad de ganar algún premio es de: *P(“escoger al azar un boleto premiado”)= 108/1000=0.10 Al escoger un boleto al azar de cada 100 veces, 10 veces saldrán los boletos premiados b)

Ganar a lo más 100$

De los 1000 boletos ,105 boletos son los premiados la probabilidad de ganar a los más 100$ es de 105/1000=0.105 Al escoger un boleto al azar de cada 100 veces, 10 veces saldrán los boletos favorecidos. c)

No ganar premio alguno

De los 1000 boletos 892 no son los que son premiados, la probabilidad de no ganar ningún premio es de 892/1000=0.89 Al escoger un boleto al azar de cada 100 veces, 89 veces saldrán los boletos no favorecidos.

32. Calcule el valor de: Permutación de Pn= n! a) P3=3X2X1=6 b) P5=5X4X3X2X1=120 c) P6=6X5X4X3X2X1=720 d) P7=7X6X5X4X3X2X1X=5040

33. Calcule el valor de: a) A (8,4)= 8P4 =1680 b) A (25,24) =25P24=1.55x1025 c) A (15,10) = 15P10 = 1.0897x1010 d) A (12,2) = 12P2 = 132 e) A (6,0) = 6P0 = 1 f) A (6,1) =6P1 = 6

34. Calcule el valor de: a) C (8, 4)= 8C4 = 70 b) C (25, 24) =25C24= 25 c) C (15, 10) = 15C10 = 3003 d) C (12,2) = 12C2 = 66 e) C (6,0) = 6C0 = 1 f) C (6,1) =6C1 = 6

35. Forme todas las combinaciones y variaciones que se puede obtener a partir de los conjuntos: a) A = {a, e, i, o, u} en grupo de 3 5C3= 10 a a a e e i a a e a

e e e i i o i i o a

5P3 = 60 i o u o u u a u u u

b) B = {1, 2, 3, 4, 5} en grupo de 3 6C3 = 20 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 4

2 2 2 2 3 3 3 4 4 5 3 3 3 4 4 5 4 4 5 5

6P3 = 120 3 4 5 6 4 5 6 4 6 6 4 5 6 5 6 6 5 6 6 6

36. Para los conjuntos indicados, forme todas las parejas sin reposición y parejas con reposición. a) A = {a, e, i, o, u} en grupo de 3 Sin reposición ae ai ao au

ea ei eo eu

Con reposición

ia ie io iu

oa oe oi ou

ae ai ao au aa

ua ue ui uo

ea ei eo eu ee

ia ie io iu ii

oa oe oi ou oo

ua ue ui uo uu

b) B = {1, 2, 3, 4, 5} en grupo de 3 Sin reposición32 12 13 14 15 16

21 23 24 25 26

31 32 34 35 36

41 42 43 45 46

Con reposición 51 52 53 54 56

61 62 63 64 65

12 13 14 15 16 11

21 23 24 25 26 22

31 32 34 35 36 33

41 42 43 45 46 44

51 52 53 54 56 55

61 62 63 64 65 66

37. Cuantas Placas de automóviles pueden hacerse si cada placa consta de 2 letras diferentes, seguidas por 3 dígitos diferentes. - Como tienen q ser diferentes dígitos y letras, es una permutación, aplicando la formula tenemos: LETRAS: 26P2= 26 x 25= 650 DIGITOS: 10P3= 10 x 9 x 8= 720 - multiplicamos las dos permutaciones para conocer cuántas placas se podrían formar, entonces tenemos: PLACAS =26P2 x 10P3=650 x 720 = 468 000 RESPUESTA: 468 000 placas de automóvil se pueden hacer, teniendo en cuenta que las letras y los dígitos no se repiten. b) Resuelva el problema si el primer digito no puede ser cero: - Como tienen q ser diferentes dígitos y letras, es una permutación, aplicando la formula tenemos: LETRAS: 26P2= 26 x 25= 650 DIGITOS: Como ya no va incluido el cero, de los 10 números que normalmente son, se le excluye el 0 por lo que tenemos: 9P2= 9 x 8= 72 - multiplicamos las dos permutaciones para conocer cuántas placas se podrían formar, entonces tenemos: PLACAS =26P2 x 9P2=650 x 72 = 46 800 RESPUESTA: 46 800 placas de automóvil se pueden hacer, teniendo en cuenta que las letras y los dígitos no se repiten y el número cero (0) no está incluido.

38. Halle el número de manera en que siete personas pueden conducir un coche de madera si uno va manejando y otro de pasajero. - Como tiene que estar dos personas en el coche de madera, y uno no puede ir solo, podemos decir que es una permutación, aplicando la fórmula tenemos: MANERAS: 7P2= 7 x 6= 42 RESPUESTA: Existen 42 maneras de que 7 personas manejen un coche de madera, teniendo en cuenta que uno maneje y otro sea pasajero.

39. De cuantas maneras se puede repartir 3 premios si hay 15 personas que compiten, suponiendo que cada uno solo pueda alcanzar un premio. REPARTO DE PREMIOS: 𝒏!

nCr= (𝒏−𝒓)!𝒓! 𝟏𝟓!

15C3= (𝟏𝟓−𝟑)!𝒙

𝟑!

=

𝟏𝟓 𝒙 𝟏𝟒 𝒙 𝟏𝟑 𝒙 𝟏𝟐 𝒙 𝟏𝟏 𝒙 𝟏𝟎 𝒙 𝟗 𝒙 𝟖 𝒙 𝟕 𝒙 𝟔 𝒙 𝟓 𝒙 𝟒 𝒙 𝟑 𝒙 𝟐 𝒙 𝟏 (𝟏𝟐 𝒙 𝟏𝟏 𝒙 𝟏𝟎 𝒙 𝟗 𝒙 𝟖 𝒙 𝟕 𝒙 𝟔 𝒙 𝟓 𝒙 𝟒 𝒙 𝟑 𝒙 𝟐 𝒙 𝟏)𝒙 (𝟑 𝒙 𝟐 𝒙 𝟏)

𝟏𝟑𝟎𝟕𝟔𝟕𝟒𝟑𝟔𝟖𝟎𝟎𝟎

15C3= (𝟒𝟕𝟗𝟎𝟎𝟏𝟔𝟎𝟎)𝒙

(𝟔)

=

𝟏𝟑𝟎𝟕𝟔𝟕𝟒𝟑𝟔𝟖𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟖𝟕𝟒𝟎𝟎𝟗𝟔𝟎𝟎

= 455.

RESPUESTA: Existen 455 combinaciones que se puede hacer de 3 premios entre 15 personas, tomando en cuenta que solo pueden recibir un premio.

40. 5 alumnos forman cola en la ventanilla de la secretaría de la facultad

a) ¿De cuántas maneras pueden hacer la cola? 5!=5x4x3x2x1=120 b) ¿De cuántas maneras pueden hacer la cola si el alumno más alto debe estar al inicio de la cola? 4!=4x3x2x1=24

41. En el primer piso de un edificio de 10 pisos entran al ascensor 3 personas. Cada una se baja al azar a partir del segundo piso. ¿De cuántas maneras estas personas se pueden bajar en pisos diferentes? 9 pisos 3 personas

9P3 =

504

42. Un chico le quiere regalar a su novia 3 discos y los quiere elegir entre los 10 que más le gustan. ¿De cuántas maneras puede hacerlo? 10 discos 3 a elegir

10C3 =

120

43. ¿De cuantas maneras se pueden formar un comité de 5 personas seleccionándolas de un grupo de 34? Explicación: Para este ejercicio se debe tomar en cuenta que en las agrupaciones que se realice no se debe llevar un orden de jerarquía o de importancia, por lo que cualquier persona puede acceder a este grupo. Por esto se trata de realizar una combinación del grupo total de 34 personas se deben tomar 5 es decir una combinación de 24 objetos tomados 5 de ellos. ENTONCES TENEMOS: = 𝑪𝟐𝟒 𝟓 = 𝟒𝟐𝟓𝟎𝟒

∴ 𝑺𝑬 𝑷𝑼𝑬𝑫𝑬 𝑭𝑶𝑹𝑴𝑨𝑹 𝑬𝑳 𝑪𝑶𝑴𝑰𝑻𝑬 𝑫𝑬 𝟓 𝑷𝑬𝑹𝑺𝑶𝑵𝑨𝑺 𝑫𝑬 𝟒𝟐𝟓𝟎𝟒 𝑴𝑨𝑵𝑬𝑹𝑨𝑺 𝑫𝑰𝑭𝑬𝑹𝑬𝑵𝑻𝑬𝑺.

44. En una carretera de 400 metros participan 8 atletas ¿de cuantas formas distintas podrían ser premiados los 3 primeros lugares con medalla de oro plata y bronce?

Explicación: Para este ejercicio se necesita que de los 8 atletas se premie a los primeros 3 lugares es decir a un mismo atleta no se le puede otorgar 2 premios sino únicamente uno lo que nos lleva a concluir que se trata de una permutación DATOS: 8 NUMERO DE ATLETAS 3 NUMERO DE PREMIOS (ORO,PLATA Y BRONCE)

LO QUE SE NECESITA HACER ES UNA PERMUTACION DE 8 OBJETOS TOMADOS 3 DE ELLOS. = 𝟖𝟑𝑷 = 𝟑𝟑𝟔

∴ 𝑺𝑬 𝑷𝑼𝑬𝑫𝑬𝑵 𝑷𝑹𝑬𝑴𝑰𝑨𝑹 𝑫𝑬 𝟑𝟑𝟔 𝑴𝑨𝑵𝑬𝑹𝑨𝑺 𝑨 𝑳𝑶𝑺 𝟖 𝑨𝑻𝑳𝑬𝑻𝑨𝑺

45. Un comité de dirección de una empresa que consta de 6 gerentes y 4 subgerentes debe elegir un presidente y un vicepresidente ¿de cuantas maneras se pueden elegir este par de funcionamiento si el presidente debe ser gerente?

Hay 6 maneras de elegir un gerente como presidente nos quedan 5 gerentes y 4 subgerentes. Si suponemos todos igualmente probables, tenemos 9 formas de elegir un vicepresidente N = 6*9 = 54 Explicación: Para este problema tomamos en cuenta el número de gerentes que representan la totalidad de presidentes que se pueden obtener y del resto es decir de los que no son elegidos y los subgerentes, debe salir el vicepresidente.

46. Una distribuidora automotriz acaba de recibir un embarque de 15 automóviles de los cuales 10 son del modelo A y 5 son del modelo B. ¿De cuántas maneras se pueden vender 4 de los automóviles? a) Si los son del mismo modelo

(10C4)+ (5C4)=215 b) Si 2 son del modelo A 10C2 =45 5C2 =10

45*10=450

47. De entre 9 empleados se deben seleccionar a 3 para viajar a 3 plantas A, B y C fuera de la ciudad. Cada empleado irá a una ciudad diferente. ¿De cuántos modos se puede hacer la selección de los empleados que viajarán? 9P3 =504

48. En el ejercicio anterior considérese que los 3 empleados van a ir a la misma planta. ¿De cuántas maneras se puede hacer la selección? 9C3 =84

49. Cuatro personas abordan un automóvil en el que hay seis asientos. Si solo dos saben conducir. ¿De cuantas maneras diferentes pueden sentarse? 𝟔 𝑷𝟐

= 𝟑𝟎 × 𝟒 = 𝟏𝟐

𝟓! 𝟓−𝟑 𝟐! 𝟐−𝟏

= 60 =2

60 X 2= 120

50. Un menú del restaurante “El Típico” ofrece una selección de dos bebidas, 3 ensaladas, 5 entradas, y 3 postres. ¿De cuantas maneras una persona puede elegir la comida a base de cada una de las componentes del menú? 2 X 3 X5 X 3 = 90 maneras

51. Se seleccionan al azar dos bolas sin remplazo de una caja que contiene 4 blancas y 8 negras. a) Calcule la probabilidad de que ambas sean blancas 𝟒

𝟑

P (B yB) = 𝟏𝟐 x 𝟏𝟏= 0.090 b) calcule la probabilidad de que la segunda sea blanca 𝟒 𝟏𝟐 𝟖 𝟏𝟐

𝟑

x 𝟏𝟏= 0.09 x

𝟒 𝟏𝟏

= 0.24

0.33

52. En una oficina 6 hombres y 4 mujeres, se debe escoger 2 representantes. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos sean hombres? 𝑷(hombre y hombre) =

𝟔 𝟓 ∗ 𝟏𝟎 𝟗

𝑷(hombre y hombre) = 𝟎. 𝟑𝟑 Respuesta: La probabilidad de que los dos representantes escogidos sean hombres es 0.33.

53. Una caja contiene 7 caramelos, 2 de fresa, 2 de limón y 3 de naranja. Se extrajo un caramelo al azar y luego un segundo caramelo. Calcule la probabilidad de que el segundo caramelo extraído sea de fresa. 𝑷(𝟐𝒅𝒐 𝒄𝒂𝒓𝒂𝒎𝒆𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝒇𝒓𝒆𝒔𝒂) = 𝑷(𝒇𝒓𝒆𝒔𝒂 𝒚 𝒇𝒓𝒆𝒔𝒂)𝒐 (𝒇𝒓𝒆𝒔𝒂 𝒚 𝒍𝒊𝒎ó𝒏)𝒐 (𝒇𝒓𝒆𝒔𝒂 𝒚 𝒏𝒂𝒓𝒂𝒏𝒋𝒂) 𝑷(𝟐𝒅𝒐 𝒄𝒂𝒓𝒂𝒎𝒆𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝒇𝒓𝒆𝒔𝒂) =

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐 ∗ + ∗ + ∗ 𝟕 𝟕 𝟕 𝟕 𝟕 𝟕

𝑷(𝟐𝒅𝒐 𝒄𝒂𝒓𝒂𝒎𝒆𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝒇𝒓𝒆𝒔𝒂) = 𝟎. 𝟐𝟖 Respuesta: La probabilidad de que el segundo caramelo extraído sea de fresa es 0.28.

54. En una caja hay 11 discos, de los cuales 5 están en buen estado. Una persona toma al azar 4 discos. Halle la probabilidad de que por lo menos uno esté en buen estado. B= bueno M= malo 𝑷(𝑩, 𝑴, 𝑴, 𝑴) =

𝟓 𝟔 𝟔 𝟔 ∗ ∗ ∗ = 𝟎. 𝟎𝟕𝟑 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏

𝑷(𝑩, 𝑩, 𝑴, 𝑴) =

𝟓 𝟓 𝟔 𝟔 ∗ ∗ ∗ = 𝟎. 𝟎𝟔𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏

𝑷(𝑩, 𝐵, 𝑩, 𝑴) =

𝟓 𝟓 𝟓 𝟔 ∗ ∗ ∗ = 𝟎. 𝟎𝟓𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏

𝑷(𝑩, 𝑩, 𝑩, 𝑩) =

𝟓 𝟓 𝟓 𝟓 ∗ ∗ ∗ = 𝟎. 𝟎𝟒𝟐 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏

𝑷(𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒔 𝒖𝒏 𝒅𝒊𝒔𝒄𝒐 𝒆𝒔𝒕é 𝒆𝒏 𝒃𝒖𝒆𝒏 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒅𝒐) = 𝟎. 𝟎𝟕𝟑 + 𝟎. 𝟎𝟔𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟓𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟒𝟐 𝑷(𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒔 𝒖𝒏 𝒅𝒊𝒔𝒄𝒐 𝒆𝒔𝒕é 𝒆𝒏 𝒃𝒖𝒆𝒏 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒅𝒐) = 𝟎. 𝟐𝟐 Respuesta: La probabilidad que por lo menos un disco de los cuatro extraídos este en buen estado es 0.22.

55. En una prisión cuya población es de 100 reos se van a seleccionar 2 al azar para que participen en un programa de rehabilitación ¿Cuál es la probabilidad de que? a) El más viejo de los presos sea uno de los elegidos b) Se seleccione la pareja conformada por el más viejo y el más joven a) P (V y J o J y V) = ((1/100)*(99/99))+ ((99/100)*(1/99)) = 0.01 + 0.01 = 0.02 La probabilidad de que al escoger al azar un reo de entre 100 este sea el más viejo = 0.02 b) P (V y J o J y V) = ((1/100)*(1/99))+ ((1/100)*(1/99)) = 0.0001 + 0.0001 = 0.0002 La probabilidad de que al escoger al azar dos reos de entre 100 est0s sean el más viejo y el más joven = 0.0002

56. Al marcar un número de teléfono una persona olvida los tres últimos cifras, recordando que no son iguales. Las marca al azar. Halle la probabilidad de que se haya marcada las cifras correctas. P (B, B, B) = 1/10*1/10*1/10=0.001 La probabilidad de que se haya marcado la las cifras correctas del número de teléfono es = 0.001

57. Un paquete de 6 focos tiene 2 piezas defectuosas si se escogen 3 focos para su uso, calcule la probabilidad de que ninguno tenga defectos. P (B, B, B) = 4/6*3/5*2/4=0.2 La probabilidad de escoger 3 focos de un paquete de 6 estos no sean defectuosos es de 0.2

58. Un director de personal tiene ocho candidatos para cubrir cuatro puestos. De estas, 5 son hombre y 3 mujeres. Si, de hecho, toda combinación de candidatos tiene la misma probabilidad de ser elegida. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna mujer sea contratada? Total= 8 Hombre= 5 Mujeres= 3

𝟓

𝟒

𝟑

𝟐

𝑷(𝑯, 𝑯, 𝑯, 𝑯) = 𝟖 ∗ 𝟕 ∗ 𝟔 ∗ 𝟓 =0.07

59. Veinte personas se clasifican de acuerdo a su sexo y luego de procedencia de la siguiente manera: de los 13 hombres, 11 son de la capital y de las 7 mujeres, 3 son de provincia. Si se eligen, al azar, 2 personas, calcule la probabilidad de que:

a) Ambas sean hombres y de provincia. b) Al menos un de las dos escogidos sea mujer. c) Uno sea de la provincia y otro de la capital. Número de personas: 20 De la capital: 13 hombres y 4 mujeres. Provincia: 2 hombres y 3 mujeres.

A)

𝑷(𝑯 𝒚 𝑯 )𝑫𝑬𝑷𝑹𝑶𝑽𝑰𝑵𝑪𝑰𝑨 =

B)

𝑷(𝑯 𝒚 𝑴) =

𝑷(𝑴 𝒚 𝑯) = 𝑷(𝑴 𝒚 𝑴) =

𝟏𝟑 𝟐𝟎

𝟕

𝟐 𝟐𝟎

𝟏

∗ 𝟏𝟗 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟓

× 𝟏𝟗 = 𝟎. 𝟐𝟑

𝟕 𝟏𝟑 × = 𝟎. 𝟐𝟑𝟗 𝟐𝟎 𝟏𝟗 𝟕 𝟐𝟎

𝟔

× 𝟏𝟗 = 𝟎. 𝟏𝟏 = 𝟎. 𝟓𝟖𝟖

C)

𝑷(𝐶 𝒚 𝑷) =

D)

𝑷(𝑷 𝒚 𝑪) =

𝟓 𝟐𝟎 𝟏𝟓 𝟐𝟎

𝟏𝟓

× 𝟏𝟗 = 𝟎. 𝟏𝟗 𝟓

× 𝟏𝟗 = 𝟎. 𝟏𝟗

𝟎. 𝟏𝟗 + 𝟎. 𝟏𝟗 = 𝟎. 𝟑𝟖

60. Tres boletos ganadores son extraídos de un ánfora que contiene 100 boletos. ¿Cuál es la probabilidad que gane una persona que compro?

a) 4 boletos 4 de 100= 0.04 x 3 = 0.12 b) solo un boleto 1 de 100= 0.01 x 3 = 0.03

61. Se escoge al azar un número de 4 cifras. ¿Cuál es la probabilidad de los siguientes sucesos?

a) A={el número es múltiplo de 5} b) B={el número se compone de cifras impares}

a) b)

10 10 10 10

𝑥

10

𝑥

10

10

10

𝑥

10

𝑥

10

10

10

𝑥 𝑥

2 10 6 10

= 0.2 = 0.6

62. En el consejo universitario cada una de las 7 facultades está representada por el decano y el subdecano. Se nombra una comisión de 7 miembros elegidos al azar. Determine la probabilidad de que: 7 facultades 14 personas 2 personas por facultad a) Una determinada facultad esté representada 0.76 b) Todas las facultades estén representadas 0.03

63. Una enciclopedia de 6 volúmenes se coloca en una estantería de forma aleatoria. ¿Cuál es la probabilidad de que la colocación resulte en el orden ascendente o descendente? 6P6 =

720

2 = 0.0027 720

64. En un supermercado hay en exhibición 100 focos, de los cuales 10 están defectuosos. Si se compran 20 de esos focos.

a)

¿Cuál es la probabilidad de no comprar focos defectuosos?

El número total de focos defectuosos es 10, entonces se tendrá la probabilidad de que entre 90 focos que están en buen estado escojamos 20 de estos. 𝑷

𝑨=

𝟗𝟎 𝟖𝟗 𝟖𝟖 𝟖𝟕 𝟖𝟔 𝟖𝟓 𝟖𝟒 𝟖𝟑 𝟖𝟐 𝟖𝟏 𝟖𝟎 𝟕𝟗 𝟕𝟖 𝟕𝟕 𝟕𝟔 𝟕𝟓 𝟕𝟒 𝟕𝟑 𝟕𝟐 𝟕𝟏 𝒙 𝒙 𝒙 𝑿 𝒙 𝒙 𝒙 𝒙 𝒙 𝒙 𝒙 𝒙 𝒙 𝒙 𝒙 𝒙 𝒙 𝒙 𝒙 𝟏𝟎𝟎 𝟗𝟗 𝟗𝟖 𝟗𝟕 𝟗𝟔 𝟗𝟓 𝟗𝟒 𝟗𝟑 𝟗𝟐 𝟗𝟏 𝟗𝟎 𝟖𝟗 𝟖𝟖 𝟖𝟕 𝟖6 𝟖𝟓 𝟖𝟒 𝟖𝟑 𝟖𝟐 𝟖𝟏

𝑷𝑨 = 𝟎. 𝟎𝟗𝟓 La probabilidad es de un 9.5%. b)

¿Cuál es la probabilidad de comprar precisamente uno de los focos defectuosos? 𝑷

𝑨=

𝟗𝟎 𝟖𝟗 𝟖𝟖 𝟖𝟕 𝟖𝟔 𝟖𝟓 𝟖𝟒 𝟖𝟑 𝟖𝟐 𝟖𝟏 𝟖𝟎 𝟕𝟗 𝟕𝟖 𝟕𝟕 𝟕𝟔 𝟕𝟓 𝟕𝟒 𝟕𝟑 𝟕𝟐 𝟏 𝒙 𝒙 𝒙 𝑿 𝒙 𝒙 𝒙 𝒙 𝒙 𝒙 𝒙 𝒙 𝒙 𝒙 𝒙 𝒙 𝒙 𝒙 𝒙 𝟏𝟎𝟎 𝟗𝟗 𝟗𝟖 𝟗𝟕 𝟗𝟔 𝟗𝟓 𝟗𝟒 𝟗𝟑 𝟗𝟐 𝟗𝟏 𝟗𝟎 𝟖𝟗 𝟖𝟖 𝟖𝟕 𝟖𝟔 𝟖𝟓 8𝟒 𝟖𝟑 𝟖𝟐 𝟏𝟎

𝑷𝑨 = 𝟎. 𝟐𝟔

65. Dos eventos A y B son tales que 𝑷𝒓𝑨 = 𝟎. 𝟔 , 𝑷𝒓𝑩 = 𝟎. 𝟒 y 𝑷𝒓(𝑨∩𝑩) = 𝟎. 𝟑. Encuentre la probabilidad de los siguientes eventos.

a)

𝑷𝒓(𝑨𝑼𝑩) = 𝑷𝒓𝑨 + 𝑷𝒓𝑩 − 𝑷𝒓(𝑨∩𝑩) = 𝟎. 𝟔 + 𝟎. 𝟒 − 𝟎. 𝟑 = 𝟎. 𝟕

b)

𝑷𝒓(𝑨\𝑩) =

𝑷𝒓𝑨 ∩𝑷𝒓𝑩

c)

𝑷𝒓(𝑩\𝑨) =

𝑷𝒓𝑨 ∩𝑷𝒓𝑩

d)

𝑷𝒓(𝑨\𝑩𝑪) =

𝑷𝒓𝑩

𝑷𝒓𝑨

=

𝟎.𝟒

= 𝟎. 𝟕𝟓

𝟎.𝟑

= 𝟎.𝟔 = 𝟎. 𝟓

𝑷𝑟𝑨 ∩𝑷𝒓𝑩𝑪 𝑷𝒓𝑩𝑪

𝟎.𝟑

=

𝟎.𝟑𝟔 𝟎.𝟔

= 𝟎. 𝟔

66. Dos eventos A y B son tales que 𝑷𝒓𝑨 = 𝟎. 𝟑 , 𝑷𝒓𝑩 = 𝟎. 𝟓 y 𝑷𝒓(𝑨∩𝑩) = 𝟎. 𝟓𝟓. Encuentre la probabilidad de los siguientes eventos.

a) 𝑷𝒓(𝑨\𝑩) = b) 𝑷𝒓(𝑩\𝑨) =

𝑷𝒓𝑨 ∩𝑷𝒓𝑩 𝑷𝒓𝑩 𝑷𝒓𝑨 ∩𝑷𝒓𝑩

c) 𝑷𝒓(𝑨\𝑩𝑪) =

= =

𝑷𝒓𝑨 𝑷𝒓𝑨 ∩𝑷𝒓𝑩𝑪

d) 𝑷𝒓(𝑨𝑪\𝑩𝑪) =

𝟎.𝟐𝟓 𝟎.𝟓 𝟎.𝟐𝟓 𝟎.𝟑

= 𝟎. 𝟖𝟑

= 𝟎. 𝟏

𝑷𝒓𝑩𝑪 𝑷𝒓𝑨𝑪 ∩𝑷𝒓𝑩𝑪 𝑷𝒓𝑩𝑪

= 𝟎. 𝟓

= 𝟎. 𝟗

67. Una funda de tela A contiene 9 bolas, de las cuales 4 son rojas, otra funda B contiene 5 bolas, de las cuales dos son rojas, se extraen 2 bolas de cada funda. a)

Encuentre la probabilidad de que ambas bolas sean rojas.

A= 9 bolas 4 son rojas. B=5 bolas 2 son rojas. P (probabilidad que ambas bolas sean rojas) 𝑷 (𝑹𝒚𝑹) = 𝑷 (𝑹 ∩ 𝑹) = 𝑷(𝑹)𝒙𝑷(𝑹) = b)

𝟒 𝟐 𝒙 = 𝟎. 𝟏𝟕 𝟗 𝟓

Encuentre la probabilidad de que solo una bola sea roja.

P (Probabilidad que una bola sea roja) 𝑷(𝑹𝒚𝑩) = 𝑷(𝑹 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑹)𝒙𝑷(𝑩) =

𝟒 𝟑 𝒙 = 𝟎. 𝟐𝟔 𝟗 𝟓

𝑷(𝑩𝒚𝑹) = 𝑷(𝑩 ∩ 𝑹) = 𝑷(𝑩)𝒙𝑷(𝑹) =

𝟓 𝟐 𝒙 = 𝟎. 𝟐𝟐 𝟗 𝟓

𝑷(𝑹𝒚𝑩) + 𝑷(𝑩𝒚𝑹) = 𝟎. 𝟐𝟔 + 𝟎. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟒𝟖

c)

Si solo una bola es roja, calcule la probabilidad de que provenga de la funda A. 𝑷(𝑹𝒚𝑩) = 𝑷(𝑹 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑹)𝒙𝑷(𝑩) =

𝟒 𝟑 𝒙 = 𝟎. 𝟐𝟔 𝟗 𝟓

𝑷(𝑩𝒚𝑹) = 𝑷(𝐵 ∩ 𝑹) = 𝑷(𝑩)𝒙𝑷(𝑹) =

𝟓 𝟐 𝒙 = 𝟎. 𝟐𝟐 𝟗 𝟓

𝑷(𝑹𝒚𝑩) + 𝑷(𝑩𝒚𝑹) = 𝟎. 𝟐𝟔 + 𝟎. 𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟒𝟖

68. En una caja se encuentran 6 cubos rojos y 2 negros. Se extraen aleatoriamente un cubo y se anota su color. El cubo se reintroduce en la caja junto con 2 cubos más del mismo color luego se extrae el segundo cubo.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer cubo sea rojo? P (Primer cubo sea rojo) 𝑷(𝑹) =

𝟔 = 𝟎. 𝟕𝟓 𝟖

b) Determine la probabilidad de que el segundo cubo sea negro P (Que el segundo cubo sea negro) Si el primer cubo es rojo

𝑷(𝑵) =

Si el primer cubo es negro

𝑷(𝑵) =

𝟐 𝟏𝟎 𝟒 𝟏𝟎

= 𝟎. 𝟐 = 𝟎. 𝟒

69. Se arrojan dos monedas .Encuentre la probabilidad de que ambas aparezca una cara, dado que en al menos una de ellas aparece una cara.

P (Probabilidad que ambas aparezca cara/al menos una de ella aparece una cara) A=Probabilidad que ambas sean cara B=una de ellas ya apareció 𝑨 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) 𝑷(𝑨). 𝑷(𝑩) 𝑷( ) = = = 𝑷(𝑨) 𝑩 𝑷(𝑩) 𝑷(𝑩) 𝑷(𝑨) =

𝟏 𝟑

= 𝟎. 𝟑𝟑

70. En una caja se encuentran 10 fichas, 5 son amarillas, 3 son negras y el resto son verdes. Se extraen sucesivamente dos fichas, sin que la primera ficha se vuelva a reintroducir en la caja. Amarillas Negras Verdes Total

5 3 2 10

a) Encuentre la probabilidad de que ambas fichas sean de diferentes colores. 𝑷("1ra sea amarilla y que la 2da sea negra") = 𝑷("1ra sea amarilla")𝑷(2da sea negra)“ 𝑷("1ra sea amarilla y que la 2da sea negra")=

𝟓 𝟑 𝟏 × = 𝟏𝟎 𝟗 𝟔

𝑷("1ra sea amarilla y que la 2da sea verde") = 𝑷("𝟏𝒓𝒂 𝒔𝒆𝒂 𝒂𝒎𝒂𝒓𝒊𝒍𝒍𝒂")𝑷("𝟐𝒅𝒂 𝒔𝒆𝒂 𝒗𝒆𝒓𝒅𝒆") 𝑷("1ra sea amarilla y que la 2da sea verde")=

𝟓 𝟐 𝟏 × = 𝟏𝟎 𝟗 𝟗

𝑷("1ra sea verde y que la 2da sea negra") = 𝑷("𝟏𝒓𝒂 𝒔𝒆𝒂 𝒗𝒆𝒓𝒅𝒆")𝑷("𝟐𝒅𝒂 𝒔𝒆𝒂 𝒏𝒆𝒈𝒓𝒂") 𝑷("1ra sea verde y que la 2da sea negra")=

𝟐 𝟑 𝟏 × = 𝟏𝟎 𝟗 𝟏𝟓

𝑷("1ra sea negra y que la 2da sea amarilla") = 𝑷("1ra sea negra")𝑷("𝟐𝒅𝒂 𝒔𝒆𝒂 𝒂𝒎𝒂𝒓𝒊𝒍𝒍𝒂") 𝑷("1ra sea negra y que la 2da sea amarilla")=

𝟑 𝟓 𝟏 × = 𝟏𝟎 𝟗 𝟔

𝑷("1ra sea verde y que la 2da sea amarilla") = 𝑷("𝟏𝒓𝒂 𝒔𝒆𝒂 𝒗𝒆𝒓𝒅𝒆")𝑷("𝟐𝒅𝒂 𝒔𝒆𝒂 𝒂𝒎𝑎𝒓𝒊𝒍𝒍𝒂") 𝑷("1ra sea verde y que la 2da sea amarilla")=

𝟐 𝟓 𝟏 × = 𝟏𝟎 𝟗 𝟗

𝑷("1ra sea negra y que la 2da sea verde") = 𝑷("𝟏𝒓𝒂 𝒔𝒆𝒂 𝒏𝒆𝒈𝒓𝒂")𝑷("𝟐𝒅𝒂 𝒔𝒆𝒂 𝒗𝒆𝒓𝒅𝒆")

𝑷("1ra sea negra y que la 2da sea verde")=

𝟑 𝟐 𝟏 × = 𝟏𝟎 𝟗 𝟏𝟓

𝑷("De que ambas fichas sean de diferentes colores")= 𝑷("𝟏𝒓𝒂 𝑨 𝒚 𝟐𝒅𝒂 𝑽" 𝒐 𝑷("𝟏𝒓𝒂 𝑨 𝒚 𝟐𝒅𝒂 𝑵") 𝒐 𝑷(1ra V y 2da N)𝒐 𝑷(1ra V y 2da A) 𝒐 𝑷(1ra N y 2da A) 𝒐 𝑷("𝟏𝒓𝒂 𝑵 𝒚 𝟐𝒅𝒂 𝑽") 𝑷("De que ambas fichas sean de diferentes colores")=

𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 + + + + + = 0,68 𝟔 𝟗 𝟏𝟓 6 𝟗 𝟏𝟓

La probabilidad de que ambas fichas sean de diferentes colores es de 0,68 o el 68%. b) Dado que la segunda ficha fue negra. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas fichas sean negras? 𝑷("1ra N y 2da A")= 𝑷("1ra A y 2da N)=

𝟏 𝟔 𝟏 𝟔

𝑷("1ra N y 2da V")=

𝟏 𝟏𝟓

𝑷("1ra V y 2da N")=

𝟏 𝟏𝟓

𝑷("1ra N y 2da N") = 𝑷("1ra N y 2da A") o 𝑷("1ra N y 2da V") o 𝑷("1ra A y 2da N) o 𝑷("1ra V y 2da N") 𝑷("1ra N y 2da N") =

𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 + + + = 𝟎, 𝟒𝟔 𝟔 𝟏𝟓 𝟔 𝟏𝟓

La probabilidad de que las dos fichas sean negras dado que la segunda fue negra es de 0,46 o el 46%.

71. Una caja contiene 3 bolas rojas y 2 negras. Se sacan 2 bolas sin reintroducirlas. Rojas Negras Total

3 2 5

a) Calcule la probabilidad de que la segunda sea negra sabiendo que la primera también lo es. 𝑷("1ra sea negra y que la 2da sea negra") = 𝑷(1ra sea negra)𝑷("𝟐𝒅𝒂 𝒔𝒆𝒂 𝒏𝒆𝒈𝒓𝒂") 𝑷("1ra N y 2da N") =

𝟐 𝟏 × = 𝟎, 𝟏 𝟓 𝟒

b) Calcule la probabilidad de que la segunda sea del mismo color que a primera. 𝑷("1ra N y 2da N") = 𝟎, 𝟏 𝑷("1ra sea roja y que la 2da sea roja") = 𝑷(1ra sea roja)𝑃("𝟐𝒅𝒂 𝒔𝒆𝒂 𝒓𝒐𝒋𝒂") 𝑷("1ra R y 2da R") =

𝟑 𝟐 × = 𝟎, 𝟑 𝟓 𝟒

𝑷("1ra y 2da sean del mismo color") = 𝑷("1ra N y 2da N") 𝒐 𝑷("1ra R y 2da R") 𝑷("1ra y 2da sean del mismo color") = 𝟎, 𝟏 + 𝟎, 𝟑 = 𝟎, 𝟒

La probabilidad de que ambas bolas sean del mismo color es de 0,4 o del 40%.

72. Se arrojan 2 dados. Encuentre la probabilidad de que dos caras sean diferentes, dado que su suma es igual a 10. 𝑷("de que la suma sea 10") =

# 𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔 𝟑 = # 𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍𝒆𝒔 𝟔

𝑷("de que sean de diferentes caras ") =

# 𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔 𝟐 = # 𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍𝒆𝒔 𝟔

𝑷("sean de diferentes caras y sus suma sea 10") =

𝟑 𝟏 + = 𝟎, 𝟔𝟕 𝟔 𝟔

La probabilidad de que al lanzar dos dados y sus dos caras sean diferentes cuya suma sea 10 es de 0,67 o el 67%.

73. Para cierta localidad el promedio de días nublados en el mes de julio es de seis. Halle la probabilidad de que el primero y el dos de julio haga buen tiempo.

Número Total de Días=31 Días Nublados=6 Días Buenos=25 𝑷(“𝑫í𝒂𝒔 𝒏𝒖𝒃𝒍𝑎𝒅𝒐𝒔”) = 𝑷(“𝑫í𝒂𝒔 𝒃𝒖𝒆𝒏𝒐𝒔”) =

#𝑪𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔 #𝑪𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍𝒆𝒔

#𝑪𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔 #𝑪𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍𝒆𝒔

=

𝟔 𝟑𝟏

𝟐𝟓

= 𝟑𝟏

******Días buenos=25

𝑷(“𝑷𝒓𝒊𝒎𝒆𝒓 𝒅í𝒂 𝒃𝒖𝒆𝒏𝒐”) =

Días en julio=31******

#𝑪𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔 #𝑪𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍𝒆𝒔

=

𝟐𝟓 𝟑𝟏

**Se retira el primer día de los casos totales y de los casos favorables por lo que: ******Días buenos restantes=24

𝑷(“𝑺𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒐 𝒅í𝒂 𝒃𝒖𝒆𝒏𝒐”) =

Días restantes en julio=30******

#𝑪𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔 #𝑪𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍𝒆𝒔

=

𝟐𝟒 𝟑𝟎

𝑷(“𝑷𝒓𝒊𝒎𝒆𝒓 𝒅í𝒂 𝒃𝒖𝒆𝒏𝒐” 𝒚 “𝑺𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒐 𝒅í𝒂 𝒃𝒖𝒆𝒏𝒐”) = 𝑷(“𝑷𝒓𝒊𝒎𝒆𝒓 𝒅í𝒂 𝒃𝒖𝒆𝒏𝒐”) 𝒙 𝑷(“𝑺𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒐 𝒅í𝒂 𝒃𝒖𝒆𝒏𝒐”) =

𝟐𝟓 𝟑𝟏

𝟐𝟒

𝟐𝟎

𝒙 𝟑𝟎 = 𝟑𝟏 = 𝟎. 𝟔𝟒𝟓𝟏

Respuesta.- La probabilidad de que el primero y el dos de julio haga buen tiempo es de 0.6451, del 64.51% o de 20 de cada 31.

74. Esteban da a Lola una caja de bombones que contiene 50 unidades iguales en apariencia; sin embargo, 10 llevan almendra en el centro, 15 tienen pasas, 15 tienen relleno de vainilla y 10 tienen de miel.

a)

¿Cuál es la probabilidad de que los dos primeros bombones que tome Lola lleven pasa en el centro?

#almendra=10 #pasas=15 #vainilla=15 #miel=15 #casos totales=50

𝑷(“𝑷𝒓𝒊𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒑𝒂𝒔𝒂”) =

#𝑪𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔 #𝑪𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍𝒆𝒔

𝟏𝟓

= 𝟓𝟎

**Se retira el primer bombón con pasa de los casos totales y de los casos favorables por lo que: ******Bombones con pasa restantes=14

𝑷(“𝑺𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒐 𝒑𝒂𝒔𝒂”) =

#𝑪𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔 #𝑪𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍𝒆𝒔

Bombones restantes=49******

𝟏𝟒

= 𝟒𝟗

𝑷(“𝑷𝒓𝒊𝐦𝒆𝒓𝒐 𝒑𝒂𝒔𝒂” 𝒚 “𝑺𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒐 𝒑𝒂𝒔𝒂”) = 𝑷(“𝑷𝒓𝒊𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒑𝒂𝒔𝒂”) 𝒙 𝑷(“𝑺𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒐 𝒑𝒂𝒔𝒂”) = 𝟑 𝟑𝟓

𝟏𝟓 𝟓𝟎

𝟏𝟒

𝒙 𝟒𝟗 =

= 𝟎. 𝟎𝟖𝟓𝟕

Respuesta.- La probabilidad de que los dos primeros bombones que tome Lola lleven pasa en el centro es de 0.0857, del 8.57% o de 3 de cada 35.

b)

¿Cuál es la probabilidad de que en los 3 siguientes que elija, ninguno tenga relleno de miel?

Hasta el momento se han extraído 2 bombones de un total de 50, lo que nos deja con 48 bombones Eliminando el relleno de miel nos quedamos con rellenos de vainilla, de almendras y de pasas. Eliminando los dos bombones que llevaban pasa en el centro que se extrajeron en primera instancia, nos quedan 13 bombones rellenos con pasa. #almendra=10 #pasas=13 #vainilla=15 #casos totales=48

𝑷(“𝑷𝒂𝒔𝒂𝒔”) =

#𝑪𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔 #𝑪𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍𝒆𝒔

=

𝟏𝟑 𝟒𝟖

#𝑪𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒇𝒂𝑣𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔

𝟏𝟎

𝑷(“𝑨𝒍𝒎𝒆𝒏𝒅𝒓𝒂𝒔”) = #𝑪𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍𝒆𝒔 = 𝟒𝟕 ***Se resta 1 del # de casos totales porque se retiró un bombón. Nuevo #casos totales=47

#𝑪𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔

𝟏𝟓

𝑷(“𝑽𝒂𝒊𝒏𝒊𝒍𝒍𝒂”) = #𝑪𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍𝒆𝒔 = 𝟒𝟔 ***Se resta 1, otra vez, del # de casos totales porque se retiró otro bombón. Nuevo #casos totales=46

𝑷(“𝑵𝒊𝒏𝒈𝒖𝒏𝒂 𝒎𝒊𝒆𝒍”) = 𝑷(“𝑷𝒂𝒔𝒂𝒔” 𝒚 "𝑨𝒍𝒎𝒆𝒏𝒅𝒓𝒂𝒔" 𝒚 "𝑽𝒂𝒊𝒏𝒊𝒍𝒍𝒂") 𝑷(“𝑵𝒊𝒏𝒈𝒖𝒏𝐚 𝒎𝒊𝒆𝒍”) = 𝑷(“𝑷𝒂𝒔𝒂𝒔”) 𝒙 𝑷("𝑨𝒍𝒎𝒆𝒏𝒅𝒓𝒂𝒔") x P("𝑽𝒂𝒊𝒏𝒊𝒍𝒍𝒂") 𝟏𝟑

𝟏𝟎

𝟏𝟓

𝑷(“𝑵𝒊𝒏𝒈𝒖𝒏𝒂 𝒎𝒊𝒆𝒍”) = 𝟒𝟖 𝒙 𝟒𝟕 𝒙 𝟒𝟔

𝑷(“𝑵𝒊𝒏𝒈𝒖𝒏𝒂 𝒎𝒊𝒆𝒍”) = 𝟎. 𝟎𝟏𝟖𝟖

Respuesta.- La probabilidad de que en los tres siguientes bombones que elija Lola, ninguno tenga relleno de miel es de 0.0188 o del 1.88%.

c)

¿Cuál es la probabilidad de que entre los 3 primeros que elija, el primero tenga pasa, el segundo tenga almendra, y el tercero no sea de vainilla?

El literal c) es independiente de lo que haya pasado en los casos de los literales a) y b). Se debe analizar los casos para los que el tercero no sea de vainilla. Lo que significa que el tercero puede ser relleno de almendra, de pasa o de miel. #almendra=10 #pasas=15 #miel=10 #casos totales=50 𝑷(“𝑷𝒂𝒔𝒂𝒔”) =

#𝑪𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔 #𝑪𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍𝒆𝒔

𝑷(“𝑨𝒍𝒎𝒆𝒏𝒅𝒓𝒂𝒔”) =

=

𝟏𝟓 𝟓𝟎

#𝑪𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔 #𝑪𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍𝒆𝒔

Los posibles casos son: 1) Pasas, almendras, miel 2) Pasas, almendras, pasas 3) Pasas, almendras, almendras

=

𝟏𝟎 𝟒𝟗

Caso 1) **Para cuando se saca el bombón relleno de pasa, el total es 50 bombones. Como ya se extrae uno d ellos, para cuando se va asacar el de almendra, el total es de 49. Para cuando se va a sacar el tercero, en este caso de miel, el total pasa a ser de 48. [𝑷(“𝑴𝒊𝒆𝒍”) =

#𝑪𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔 #𝑪𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍𝒆𝒔

=

𝟏𝟎 𝟒𝟖

]

𝑷(“𝑷𝒂𝒔𝒂𝒔, 𝒂𝒍𝒎𝒆𝒏𝒅𝒓𝒂𝒔, 𝒎𝒊𝒆𝒍”) = 𝑷(“𝑷𝒂𝒔𝒂𝒔” 𝒚 "𝑨𝒍𝒎𝒆𝒏𝒅𝒓𝒂𝒔" 𝒚 "𝐌𝒊𝒆𝒍") 𝑷(“𝑷𝒂𝒔𝒂𝑠, 𝒂𝒍𝒎𝒆𝒏𝒅𝒓𝒂𝒔, 𝒎𝒊𝒆𝒍”) = 𝑷(“𝑷𝒂𝒔𝒂𝒔”) 𝒙 𝑷("𝑨𝒍𝒎𝒆𝒏𝒅𝒓𝒂𝒔" ) 𝒙 𝑷("𝑴𝒊𝒆𝒍" ) 𝑷(“𝑷𝒂𝒔𝒂𝒔, 𝒂𝒍𝒎𝒆𝒏𝒅𝒓𝒂𝒔, 𝒎𝒊𝒆𝒍”) = 𝑷(“𝑪𝒂𝒔𝒐𝟏”) =

𝟏𝟓 𝟓𝟎

𝒙

𝟏𝟎 𝟒𝟗

𝒙

𝟏𝟎 𝟒𝟖

=

𝟓 𝟑𝟗𝟐

𝟓 𝟑𝟗𝟐

Caso 2) **Para cuando se saca el bombón relleno de pasa, el total es 50 bombones. Como ya se extrae uno d ellos, para cuando se va asacar el de almendra, el total es de 49. Para cuando se va a sacar el tercero, en este caso de pasa, el total pasa a ser de 48 y el número de bombones de pasas es de 14. [𝑷(“𝑷𝒂𝒔𝒂𝒔”) =

#𝑪𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔 #𝑪𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍𝒆𝒔

𝟏𝟒

= 𝟒𝟖]

𝑷(“𝑷𝒂𝒔𝒂𝒔, 𝒂𝒍𝒎𝒆𝒏𝒅𝒓𝒂𝒔, 𝒎𝒊𝒆𝒍”) = 𝑷(“𝑷𝒂𝒔𝒂𝒔” 𝒚 "𝑨𝒍𝒎𝒆𝒏𝒅𝒓𝒂𝒔" 𝒚 "𝑷𝒂𝒔𝒂𝒔") 𝑷(“𝑷𝒂𝒔𝒂𝒔, 𝒂𝒍𝒎𝒆𝒏𝒅𝒓𝒂𝒔, 𝒎𝒊𝒆𝒍”) = 𝑷(“𝑷𝒂𝒔𝒂𝒔”) 𝒙 𝑷("𝑨𝒍𝒎𝒆𝒏𝒅𝒓𝒂𝒔" ) 𝒙 𝑷("𝑷𝒂𝒔𝒂𝐬" ) 𝑷(“𝑷𝒂𝒔𝒂𝒔, 𝒂𝒍𝒎𝒆𝒏𝒅𝒓𝑎𝒔, 𝒎𝒊𝒆𝒍”) = 𝑷(“𝑪𝒂𝒔𝒐𝟐”) =

𝟏𝟓 𝟓𝟎

𝟏𝟎

𝟏𝟒

𝟏

𝒙 𝟒𝟗 𝒙 𝟒𝟖 = 𝟓𝟔

𝟏 𝟓𝟔

Caso 3) **Para cuando se saca el bombón relleno de pasa, el total es 50 bombones. Como ya se extrae uno d ellos, para cuando se va asacar el de almendra, el total es de 49. Para cuando se va a sacar el tercero, en este caso de almendra, el total pasa a ser de 48 y el número de bombones de almendra es de 9

[𝑷(“𝑨𝒍𝒎𝒆𝒏𝒅𝒓𝒂”) =

#𝑪𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔 #𝑪𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍𝒆𝒔

𝟗

= 𝟒𝟖]

𝑷(“𝑷𝒂𝒔𝒂𝒔, 𝒂𝒍𝒎𝒆𝒏𝒅𝒓𝒂𝒔, 𝒎𝒊𝒆𝒍”) = 𝑷(“𝑷𝒂𝒔𝒂𝒔” 𝒚 "𝑨𝒍𝒎𝒆𝒏𝒅𝒓𝒂𝒔" 𝒚 "𝑨𝒍𝒎𝒆𝑛𝒅𝒓𝒂") 𝑷(“𝑷𝒂𝒔𝒂𝒔, 𝒂𝒍𝒎𝒆𝒏𝒅𝒓𝒂𝒔, 𝒎𝒊𝒆𝒍”) = 𝑷(“𝑷𝒂𝒔𝒂𝒔”) 𝒙 𝑷("𝑨𝒍𝒎𝒆𝒏𝒅𝒓𝒂𝒔" ) 𝒙 𝑷("𝑨𝒍𝒎𝒆𝒏𝒅𝒓𝒂" ) 𝑷(“𝑷𝒂𝒔𝒂𝒔, 𝒂𝒍𝒎𝒆𝒏𝒅𝒓𝒂𝒔, 𝒎𝒊𝒆𝒍”) = 𝑷(“𝑪𝒂𝒔𝒐𝟑”) =

𝟏𝟓 𝟓𝟎

𝟏𝟎

𝟗

𝟗

𝒙 𝟒𝟗 𝒙 𝟒𝟖 = 𝟕𝟖𝟒

𝟗 𝟕𝟖𝟒

Solución Final 𝑷(“𝑷𝒂𝒔𝒂𝒔, 𝒂𝒍𝒎𝒆𝒏𝒅𝒓𝒂𝒔, 𝒏𝒐 𝒗𝒂𝒊𝒏𝒊𝒍𝒍𝒂”) = 𝑷(“𝑪𝒂𝒔𝒐𝟏”𝒐“𝑪𝒂𝒔𝒐𝟐”𝒐“𝑪𝒂𝒔𝒐𝟑”) 𝑷(“𝑷𝒂𝒔𝒂𝒔, 𝒂𝒍𝒎𝒆𝒏𝒅𝒓𝒂𝒔, 𝒏𝒐 𝒗𝒂𝒊𝒏𝒊𝒍𝒍𝒂”) = 𝑷(“𝑪𝒂𝒔𝒐𝟏”) + 𝑷(“𝑪𝒂𝒔𝒐𝟐”) + 𝑷(“𝑪𝒂𝒔𝒐𝟑”) 𝟓

𝟏

𝟗

𝑷(“𝑷𝒂𝒔𝒂𝒔, 𝒂𝒍𝒎𝒆𝒏𝒅𝒓𝒂𝒔, 𝒏𝒐 𝒗𝒂𝒊𝒏𝒊𝒍𝒍𝒂”) = 𝟑𝟗𝟐 + 𝟓𝟔 + 𝟕𝟖𝟒 𝑷(“𝑷𝒂𝒔𝒂𝒔, 𝒂𝒍𝒎𝒆𝒏𝒅𝒓𝒂𝒔, 𝒏𝒐 𝒗𝒂𝒊𝒏𝒊𝒍𝒍𝒂”) =0.0421 Respuesta.- La probabilidad de que entre los tres primeros bombones que elija Lola, el primero tenga pasa, el segundo almendra, y el tercero no sea de vainilla es de 0.0421 o del 4.21%.

75. En una universidad hay matriculados 7500 estudiantes, en primer nivel hay 1600 mujeres y 1200 hombres; en segundo año hay 1300 mujeres y 1100 hombres; en tercer año 700 mujeres y 800 hombres y en cuarto año 400 de cada sexo. Si se elige al azar un estudiante, calcule la probabilidad de que: a) b) c) d) e)

La persona elegida sea una mujer Esa persona sea de primer año Sea de cuarto año y mujer No sea de cuarto año ni hombre Sea alumno de cuarto año o una mujer de segundo

La resolución de este ejercicio se facilita mediante la construcción de una tabla.

HOMBRES MUJERES TOTAL

PRIMER AÑO 1200 1600 2800

SEGUNDO AÑO 1100 1300 2400

𝑷𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒖𝒏 𝒆𝒗𝒆𝒏𝒕𝒐 =

a)

𝑷("𝑴𝒖𝒋𝒆𝒓") =

TERCER AÑO 800 700 1500

CUARTO AÑO 400 400 800

TOTAL 3500 4000 7500

#𝑪𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔 #𝑪𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍𝒆𝒔

#𝑴𝒖𝒋𝒆𝒓𝒆𝒔 #𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍

𝟒𝟎𝟎𝟎

= 𝟕𝟓𝟎𝟎 = 𝟎. 𝟓𝟑𝟑𝟑

Respuesta.- La probabilidad de que al escoger una persona al azar entre los matriculados en la universidad, ésta sea mujer es de 0.533 o del 53.33%.

b)

𝑷("𝑷𝒓𝒊𝒎𝒆𝒓 𝒂ñ𝒐") =

#𝑷𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏𝒂𝒔 𝒆𝒏 𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒓 𝒂ñ𝒐 #𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍

𝟐𝟖𝟎𝟎

= 𝟕𝟓𝟎𝟎 = 𝟎. 𝟑𝟕𝟑𝟑

Respuesta.- La probabilidad de que al escoger una persona al azar entre los matriculados en la universidad, ésta sea de primer año es de 0.373 o del 37.33%.

c)

𝑷("𝑪𝒖𝒂𝒓𝒕𝒐 𝒂ñ𝒐 𝒚 𝒎𝒖𝒋𝒆𝒓") =

#𝑷𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝒄𝒖𝒂𝒓𝒕𝒐 𝒂ñ𝒐 𝒚 𝒎𝒖𝒋𝒆𝒓𝒆𝒔 #𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍

𝟒𝟎𝟎

= 𝟕𝟓𝟎𝟎 = 𝟎. 𝟎𝟓𝟑𝟑

Respuesta.- La probabilidad de que al escoger una persona al azar entre los matriculados en la universidad, ésta sea de cuarto año y mujer es de 0.0533 o del 5.33%.

d)

Para obtener la probabilidad de un evento negativo, lo que hacemos es sacar la probabilidad del complemento del evento. Sabemos que la probabilidad del complemento de un evento es igual a la probabilidad del conjunto universo menos la probabilidad del evento. La probabilidad del conjunto universo es igual a 1. 𝑷(𝑨𝒄 ) = 𝑷(𝑼) − 𝑷(𝑨) 𝑷(𝑨𝒄 ) = 𝟏 − 𝑷(𝑨) 𝑷("𝑵𝒐 𝒅𝒆 𝒄𝒖𝒂𝒓𝒕𝒐 𝒂ñ𝒐 𝒏𝒊 𝒉𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆") = 𝑷(("𝑪𝒖𝒂𝒓𝒕𝒐 𝒂ñ𝒐")𝑪 𝒚 ("𝑯𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆")𝑪 ) 𝑷("𝑵𝒐 𝒅𝒆 𝒄𝒖𝒂𝒓𝒕𝒐 𝒂ñ𝒐 𝒏𝒊 𝒉𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆") = 𝑷(("𝑪𝒖𝒂𝒓𝒕𝒐 𝒂ñ𝒐")𝑪 ) 𝒙 𝑷(("𝑯𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆")𝑪 ) 𝑷("𝑵𝒐 𝒅𝒆 𝒄𝒖𝒂𝒓𝒕𝒐 𝒂ñ𝒐 𝒏𝒊 𝒉𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆") = [𝟏 − 𝑷("𝑪𝒖𝒂𝒓𝒕𝒐 𝒂ñ𝒐")] 𝒙 [𝟏 − 𝑷("𝑯𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆")] 𝑷("𝑪𝒖𝒂𝒓𝒕𝒐 𝒂ñ𝒐") =

#𝑷𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏𝒂𝒔 𝒄𝒖𝒂𝒓𝒕𝒐 𝒂ñ𝒐 𝟖𝟎𝟎 = #𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 𝟕𝟓𝟎𝟎

𝑷("𝑯𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆") =

#𝑯𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆𝒔 𝟑𝟓𝟎𝟎 = #𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 𝟕𝟓𝟎𝟎 𝟖𝟎𝟎

𝟑𝟓𝟎𝟎

𝑷("𝑵𝒐 𝒅𝒆 𝒄𝒖𝒂𝒓𝒕𝒐 𝒂ñ𝒐 𝒏𝒊 𝒉𝒐𝑚𝒃𝒓𝒆") = [𝟏 − 𝟕𝟓𝟎𝟎] 𝒙 [𝟏 − 𝟕𝟓𝟎𝟎] 𝑷("𝑵𝒐 𝒅𝒆 𝒄𝒖𝒂𝒓𝒕𝒐 𝒂ñ𝒐 𝒏𝒊 𝒉𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆") = 𝟎. 𝟒𝟕𝟔𝟒 Respuesta.- La probabilidad de que al escoger una persona al azar entre los matriculados en la universidad, ésta no sea de cuarto año ni hombre es de 0.4764 o del 47.64%.

e)

La probabilidad de un evento u otro está dada por la fórmula: *Considerando dos eventos: A y B 𝑷(𝑨 𝒐 𝑩) = 𝑷(𝑨 ⋃ 𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) − 𝑷(𝑨 ⋂ 𝑩)

𝑷("𝑪𝒖𝒂𝒓𝒕𝒐 𝒂ñ𝒐") =

#𝑷𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝒄𝒖𝒂𝒓𝒕𝒐 𝒂ñ𝒐 #𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍

𝑷("𝑴𝑢𝒋𝒆𝒓 𝒅𝒆 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒐 𝒂ñ𝒐") =

=

𝟖𝟎𝟎 𝟕𝟓𝟎𝟎

#𝑷𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒐 𝒂ñ𝒐 𝒚 𝒎𝒖𝒋𝒆𝒓𝒆𝒔 #𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍

𝑷("𝑪𝒖𝒂𝒓𝒕𝒐 𝒂ñ𝒐 𝒚 𝒎𝒖𝒋𝒆𝒓 𝒅𝒆 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒐 𝒂ñ𝒐") =

𝟏𝟑𝟎𝟎

= 𝟕𝟓𝟎𝟎

*No existe una persona que esté en segundo y cuarto año al mismo tiempo

𝑷("𝑪𝒖𝒂𝑟𝑡𝑜 𝑎ñ𝑜 𝑜 𝑚𝑢𝑗𝑒𝑟 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑎ñ𝑜") = 𝑃("𝐶𝑢𝑎𝑟𝑡𝑜 𝑎ñ𝑜" ⋃ "𝑀𝑢𝑗𝑒𝑟 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑎ñ𝑜")

𝑃("𝐶𝑢𝑎𝑟𝑡𝑜 𝑎ñ𝑜 𝑜 𝑚𝑢𝑗𝑒𝑟 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑎ñ𝑜") = 𝑃("𝐶𝑢𝑎𝑟𝑡𝑜 𝑎ñ𝑜") + P("Mujer segundo año") − P("Cuarto año" ⋂ "Mujer de segundo año") 800

1300

P("Cuarto año o mujer de segundo año") = 7500 + 7500 P("Cuarto año o mujer de segundo año") = 0.28 Respuesta.- La probabilidad de que al escoger una persona al azar entre los matriculados en la universidad, ésta sea alumno de cuarto año o una mujer de segundo año es de 0.28 o del 28%.

76. En una biblioteca hay 8 libros de literatura de ciencia –ficción 3 de los cuales son de Julio Vernet. La biblioteca toma al azar dos libros calcule la probabilidad de que ambos sean de Julio Verne. # de libros 8 De Julio Verne = 3 P (sea de Julio Verne Y sea de Julio Verne) = 3/8 * 2/7= 0.1071 Respuesta: La probabilidad de que salgan los dos libros de Julio Vernet es de 0.1071

77. Se arrojan 2 dados ¿cuál es la probabilidad de que en los dos dados salga el tres si la suma es 6? Espacio muestal: Cuál es la probabilidad de observar:

1

1

2

1

3

1

4

1

5

1

6

1

1

2

2

2

3

2

4

2

5

2

6

2

1

3

2

3

3

3

4

3

5

3

6

3

1

4

2

4

3

4

4

4

5

4

6

4

1

5

2

5

3

5

4

5

5

5

6

5

1

6

2

6

3

6

4

6

5

6

6

6

Como se observa en espacio muestral: P( salga 3 y salga 3) + P (la suma sea = a 6) 1/36 +

5/36 = 0.16

Respuestas: la probabilidad de que salga un tres se la suma de los dos dados es 6 es 0.16

78. Dado que Pr(A)=0.6, Pr(B) = 0.7, y que A y B son eventos independientes a) ( A∩B )=P(A)*P(B)= 0.6*0.7= 0.42 Respuesta: la probabilidad de A ∩ B es 0.42 b ) AUB = P(A)+P(B)- ( A∩B )= 0.6+0.7- 0.42= 0.88 Respuesta: la probabilidad de AUB = 0.88 c ) (A ⃥ B’)=P ( A∩B’ )/ P(B’) = P(A)*P(B’)/P(B’)= P(A)= 0.6 Respuesta: la probabilidad de (A ⃥ B’) es 0.6 d) ( A’∩B )=P(A’)*P(B)= 0.4*0.7= 0.28 Respuesta: la probabilidad de A’ ∩ B es 0.42

79. Se lanza un dado. Si el número es impar, ¿cuál es la probabilidad de que sea primo?

Números impares 1,3,5

Números primos 3,5

2 = 0,66 3

80. Se lanza un par de dados si los números que resultan son diferentes halla la probabilidad de que su suma sea par. 1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5 6

2 2 2 2 2 2

1 2 3 4 5 6

3 3 3 3 3 3

1 2 3 4 5 6

4 4 4 4 4 4

1 2 3 4 5 6

5 5 5 5 5 5

1 2 3 4 5 6

6 6 6 6 6 6

1 2 3 4 5 6

N=36 Suma: Par Sean Diferentes: 30 12 = 0,4 30

81. La probabilidad de que un perro sobreviva hasta 8 años es de 0,55 y la probabilidad de que una perra sobreviva hasta 8 años es de 0,60 encuentre la probabilidad de que: a) Ambos animales sobrevivan hasta los 8 años. 0,55*0,60=0,33 b) 0,27

Solo la perra está viva a los 8 años.

c) 0,82

Al menos una de los dos perros vive hasta los 8 años

d) La perra este todavía con vida a los 8 años dado que se sabe que solo uno de los animales está vivo a los 8 años. 0,551

82. Antonio tiene un 90% de posibilidades de aprobar una prueba de matemáticas, mientras que Diana tiene 85% de posibilidades de aprobar la misma prueba. Si ambos existen a rendir la prueba, determine las probabilidades de que:

a) Solo uno de ellos apruebe el examen. b) Al menos uno de ellos apruebe el examen 0.985. c) Diana haya pasado, dado que al menos uno de los dos pasó.

Literal a: Aprueba Antonio Reprueba Antonio Aprueba Antonio Reprueba Antonio

Aprueba Diana Aprueba Diana Reprueba Diana Reprueba Diana

0.9*0.85=0.765 0.10*0.85=0.085 0.9*0.15=0.135 0.1*0.15=0.015

A=”Solo uno de ellos apruebe el examen” P(A)=0.085+0.135=0.22 Literal b: B=”al menos uno de ellos apruebe el examen”. Al menos uno: {aprueba solo Antonio o Aprueba solo diana o Aprueban los dos} P(B)=0.765+0.085+0.135=0.985 Literal c: C=”Diana haya aprobado, dado que al menos uno de los dos aprobó”. P(C)= 0.765+0.085. P(C/B)=0.85/0.985 P(C/B)=0.8629.

83. Un estudiante corre las pruebas de 100m, 200 m y 400 m en los campeonatos intercolegiales de atletismo. Él tiene una posibilidad del 80% de ganar cada una de las pruebas. Encuentre la probabilidad de que el: a) Gane las 3 pruebas. b) Gane la Primera y la última prueba. C) Gane la segunda prueba, dado que el gana al menos dos prueba.

P1

P2

P3

R

G G G G P P P P

G G P P G G P P

G P G P G P G P

0.8*0.8*0.8=0.512 0.8*0.8*0.2=0.128 0.8*0.2*0.8=0.128 0.8*0.2*0.2=0.032 0.2*0.8*0.8=0.128 0.2*0.8*0.2=0.032 0.2*0.2*0.8=0.032 0.2*0.2*0.2=0.008

Literal a): A=”Gane las 3 pruebas”. P(A)=0.8*0.8*0.8=0.512. Literal b): B=”Gane la primera y la Última Prueba”. P(B)=0.8*0.2*0.8=0.128. Literal c): C=”Gane la 2da prueba dado que el gana al menos 2 pruebas”. P(C)=0.128+0.128+0.512.

84. Claudia y Daniel están tratando de resolver un problema de física en sus respectivas casas. Las posibilidades de que resuelvan el problema son 75% para Claudia y 65% para Daniel. Calcule la probabilidad de que: a) Solo Daniel resuelva el problema. b) Daniel resuelva el problema. c) Ambos Resuelvan el Problema. d) Dado que el problema fue resuelto, lo haya sido por Claudia. Literal a: A=”Solo Daniel lo resuelva”, P(A)=0.65*0.25=0.1625 Literal b: B=”Daniel resuelva el problema” P(B)=0.65*0.25 + 0.65*0.75 = 0.65. Literal c: C=”Ambos resuelvan el problema” P(C)=0.65*0.75= 0.4875 Literal d: D=”Lo haya resuelto Claudia” P(D)=0.65*0.75+0.35*0.75 =0.75.

85. Una moneda esta desequilibrada, de manera que hay un 70% de posibilidades de que muestre cara, se arroja la moneda 3 veces, encuentre la posibilidad de encontrar:

A) 3 escudos

C CC

0,0270 (TABLA )

C CS

B) 2 caras 0,1890 X

CSS 0,30

CSC

0,70 = 0,441

SCC

C) Dos caras, dado que ha aparecido al menos una cara 0,1890 X

SSC

0,30

SCS

0,70 = 0,44

SSS

86. La empresa de correos ha determinado que la probabilidad de que un paquete enviado al exterior no llegue a su destino es de 0,1. Dos libros se pueden enviar separadamente o en un solo paquete.

A) SI LOS DOS LIBROS SE ENVIARON EN UN SOLO PAQUETE, CALCULE: I) LA PROBABILIDAD DE QUE AMBOS LIBROS LLEGUEN A SU DESTINO: 1 – 0,1 = 0,9 II) LA POBABILIDAD DE QUE AL MENOS UN LIBRO HAYA LLEGADO A SU DESTINO 1 – 0,1 = 0,9 B) SI LOS DOS LIBROS SE ENVIARON SEPARADAMENTE CALCULE: I) LA PROBABILIDAD DE QUE AMBOS LIBROS LLEGUEN A SU DESTINO 1 – 0,1 = 0,9 X 0,9 = 0,81 II) LA POBABILIDAD DE QUE AL MENOS UN LIBRO LLEGUE A SU DESTINO 1 – ( 1 – 0,9 ) ² = 0,99

87. Entre los cinco aspirantes a un cargo de gerente, a dos se les considera buenos para una entrevista, se escoge al azar a dos de los cinco calcule la probabilidad de que se escoja: A) A LOS DOS EXELENTES:

2 5

X

1 4

=

1 10

= 0,1

N =5 2 BUENOS B) POR LO MENOS A UNO DE LOS EXELENTES:

2 5 2 5

X X

4 4 3 4

= 0,4 = 0,3

0,4 0,3 0,7

C) A LOS DOS EXELENTES DADO QUE YA SE SABE QUE UNO DE LOS SELECCIONADOS ES EXELENTE: 1 3 X = 0,15 5 4

88. Una familia piensa ir a vivir al frente de su casa. Usted sabe que esa familia esta formada por el marido, la esposa, y dos hijos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos hijos sean varones?

Espacio muestral V V M M V M M V Respuesta: la probabilidad de que los dos hijos sean varones es de ¼=0.25 b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea uno hombre y otra mujer?

Respuesta: La probabilidad de que sea uno hombre y otra mujer es igual a la probabilidad de que el primero sea hombre y la otra mujer más la probabilidad de que la primera sea mujer y el segundo hombre es 2/4=0.5 c) Suponiendo que usted sabe que uno de los hijos es varón ¿Cuál es la probabilidad de que el otro también lo sea? Respuesta: La probabilidad de que sea un varón dado que el otro es varón es de 2/4=0.25

89. Una junta está formada por 6 abogados y 4 economistas. 3 de los abogados son hombre y tres de los economistas también son hombres si se elige un hombre como presidente ¿Cuál es la probabilidad de que sea un economista? Total = 11 Hombres = 6 Respuesta: la probabilidad de de que sea un hombre y economista el igual a P (que sea economista/que sea hombre) = 3/6 = 0.5

90. Supongamos que el 15% de todos Los hombres y el 25% de todas de las mujeres sufren osteoporosis. Una persona al azar resulta que tiene osteoporosis ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre? Considere que la cantidad de hombres y mujeres sea iguales? Numero = 40 Hombres= 20 Mujeres = 20 20

100%

X

15%

20 X

x= 3 hombres

100% x= 5 mujeres 25%

Respuesta: la probabilidad de que un apersona tenga osteoporosis dado que sea hombre es P(que sea hombre/que tenga osteoporosis)= 3/20= 0.15

91. Se dispone de dos métodos A y B, para enseñar una destreza manual. El índice de reprobados es del 20% para el método A y 10% para el método B. Como el método B es más caro, solo se le usa el 30% del tiempo y el método A el otro 70%. A uno de los empleados se lo adiestra con uno de los dos métodos, pero reprueba, ¿cuál es la probabilidad de que se la haya adiestrado con el método A?

REPROBADOS TIEMPO

A 0,2 0,7

A=”Al escoger a un empleado se le adiestre con el método A”

20

80

70

30

3700

P(A)= 100 ∗ 100 + 100 ∗ 100 = 10000 = 0,37

B 0,1 0,3

92. En una fábrica el 70% de los empleados son lojanos. De entre los lojanos el 50% son hombres, mientras que de los no lojanos, solo son hombres el 20%. a) b) c)

¿Qué porcentaje de empleados no lojanos son mujeres? Calcule la probabilidad de que un empleado de la oficina sea mujer Fernando trabaja en dicha oficina, ¿cuál es la probabilidad de que sea lojano?

HOMBRES MUJERES

a)

CASOS TOTALES

b)

CASOS TOTALES

c)

10% 30%

= 0,33

30%

= 100% = 0,3

C=”Al escoger una persona este sea lojano dado que es hombre”

CASOS FAVORABLES

P(C)=

=

B=”Al escoger una persona esta sea mujer”

CASOS FAVORABLES

P(B)=

0,7 0,3 1

A=”Al escoger una persona esta sea mujer dado que no es lojana”

CASOS FAVORABLES

P(A)=

LOJANOS NO LOJANOS 0,5 0,2 0,2 0,1 0,7 0,3

CASOS TOTALES

50%

= 70% = 0,71

93. Del total de socios de un club, (3/5) son hombres y (2/3) son profesionales. Además (1/3) de las mujeres no son profesionales. Se elige al azar un miembro del club. a) b) c)

Calcule la probabilidad de que sea hombre y profesional Calcule la probabilidad de que sea hombre dado que es profesional Determine si son independientes los eventos “ser mujer” y “no ser profesional”

NP P

a)

CASOS TOTALES

b)

59%

= 100% = 0,59

B=”Al elegir un miembro del club sea hombre dado que es profesional”

CASOS FAVORABLES

P(B)=

0,34 0,66 1

A=”Al elegir un miembro del club sea hombre y profesional”

CASOS FAVORABLES

P(A)=

HOMBRES MUJERES 0,01 0,33 0,59 0,07 0,6 0,4

CASOS TOTALES

60%

= 66% = 0,90

c) Si son independientes dado que para que la probabilidad de que los dos eventos ocurran es igual al producto de sus probabilidades.