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2.1

DEFINICION ELEMENTAL DE PROBABILIDAD

Si se lanza una moneda al aire, ¿cuál es la probabilidad de que resulte cara? La mayoría de la gente diría que esta probabilidad debe ser 0.5 o algo muy cercano a 0.5. Al seguir preguntando, se puede determinar que para la mayoría de la gente el significado del 0.5 es que aproximadamente la mitad de las veces, en lanzamientos repetidos, la moneda debe caer con el lado de la cara hacia arriba. A partir de allí, el razonamiento se vuelve más confuso. ¿En 10 lanzamientos se tendrán exactamente 5 caras? ¿En 50 lanzamientos se obtendrán exactamente 25 caras? Es probable que no. Por lo tanto, se supone que 0.5 es una frecuencia relativa a largo plazo, o sea, frecuencia relativa límite a medida que aumenta el número de lanzamientos. Para ver lo que pasaría en la realidad, se observarán datos de lanzamientos reales generados, por John Kerrich, matemático detenido en Dinamarca durante la Segunda Guerra Mundial. Kerrich tiró una moneda 10 000 veces, y registró el número de caras obtenidas. Después de 10 lanzamientos tuvo 4 caras, lo cual es una frecuencia relativa de 0.4. Luego de 100 lanzamientos obtuvo 44 caras (0.44); a los mil lanzamientos obtuvo 502 caras (0.502); y al completar los 10 000 lanzamientos obtuvo 5067 caras (0.5067). La frecuencia relativa de caras permaneció muy cercana a 0.5 después de los 1000 lanzamientos, aunque la cifra para 10 000 está un poco más alejada de 0.5 que para 1000. Si n es el número de ensayos de un experimento, como por ejemplo, el número de lanzamientos de una moneda, parece que entonces se podría definir la probabilidad de un evento E, como por ejemplo obtener cara, mediante:

número de veces que sucede E n→ α n

P( E )=lím

Pero, ¿convergerá siempre este límite? Si es así. ¿siempre se podrá determinar si converge, sin llevar a cabo el experimento muchas veces? Por esta y otras razones, la anterior no es una definición correcta de probabilidad, desde el punto de vista matemático, aunque es una propiedad que debe ser válida, en cierto sentido. Se debe encontrar otra definición de probabilidad, que permita que el resultado al límite sea válido como una consecuencia. Esta definición se presentará en la Secc. 2.3. 2.2

BREVE REPASO DE NOTACION DE CONJUNTOS

Antes de entrar en una descripción formal de la probabilidad, es necesario describir la notación de conjuntos que se utilizará. Supóngase un conjunto S que consiste en los puntos identificados con 1, 2, 3 y 4. Esto se denota con S = {1, 2, 3, 4}. Si A = {1, 2} y B = {2, 3, 4}, entonces A y B son subconjuntos de S, lo cual se indica mediante A ⊂ S y B ⊂ S (B “está en” o “ está contenido en” S). El hecho de que 2 es un elemento de A se denota con 2 ∈ A. La unión de A y B es el conjunto que consiste en todos los puntos que están en A, en B, o en ambos. Esto se representa mediante A ∪ B = {1, 2, 3, 4}. Si C = {4}, entonces A ∪ C = {1, 2, 4}. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto que consta de todos los puntos que están tanto en A como en B y se representa mediante A ∩ B o, simplemente mediante AB. Para el ejemplo anterior, A ∩ B = AB = {2}, y AC = ∅. Donde ∅ denota el conjunto vacío, que es el conjunto que no contiene puntos. FIGURA 2.1 Diagramas de Venn para relaciones de conjuntos A

B

A∪B

A S

B AB

S

A A

A

S

B

AB=∅ 1. (Conjuntos disjuntos)

S

El complemento de A con respecto a S es el conjunto de todos los puntos en S que no están en A y se representa mediante A . Para los conjuntos específicos anteriores. A {3, 4}. Se dice que dos conjuntos son mutuamente excluyentes, o disjuntos, si no tienen puntos en común, como los conjuntos A y C anteriores. Se puede emplear diagramas de Venn para representar los conceptos de unión, intersección, complemento y conjuntos disjuntos, como en la Fig. 2.1. Se puede ver fácilmente. en la Fig. 2.1, que A∪ A= S

para todo conjunto A. Otras relaciones importantes entre los eventos son las leyes distributivas: A( B∪ C) = AB ∪ AC A∪ BC) = A∪ B) A∪ C) ( ( ( y las leyes de DeMorgan:

A∪ B =A B AB = A∪ B

Es importante poder relacionar las descripciones de conjuntos con su notación simbólica, mediante los símbolos dados y listar o contar correctamente los elementos en los conjuntos de interés. El ejemplo siguiente ilustra este asunto.

EJEMPLO 2.1 Veinte motores eléctricos se sacan de una línea de ensamble y se examinan para ver si tienen defectos. Once de los motores no tienen defectos, 8 tienen defectos en el acabado exterior, y 3 tienen defectos en su ensamble y no funcionarán. Sea A el conjunto de motores que tienen defectos de armando y F el conjunto que tiene defectos en su acabado exterior. Con A y F, escribir una notación simbólica para: (a) El conjunto de motores que tienen los dos tipos de defectos (b) El conjunto de motores que tienen por lo menos un tipo de defecto (c) El conjunto de motores que no tiene defectos (d) El conjunto de motores que tiene exactamente un tipo de defecto Mencionar a continuación el número de motores en cada conjunto. Solución (a) Los motores con ambos tipos de defectos deben estar en A y en F; por lo tanto, este evento se puede representar con AF. Como sólo 9 de los motores tienen defectos, A contiene 3 motores y F8, entonces 2 motores deben estar en AF. (Véase Fig. 2.2)

FIGURA 2.2 Diagrama de Venn para el ejemplo 2.1. (Se muestra el número de motores en cada conjunto.)

11 1 A

2

6 F

S

(b) Los motores que tienen por lo menos un tipo de defecto deben tener un defecto de ensamble o un defecto de acabado. Por lo tanto, este conjunto se representa con A ∪ F. Como 11 motores no tienen defectos, 9 deben tener por lo menos un defecto. (c) El conjunto de motores que no tienen defectos es el complemento del conjunto de los que tienen al F= A F (por la ley de DeMorgan). Es claro que 11 menos un defecto , y se representan mediante A ∪ motores quedan dentro de este conjunto. (d) El conjunto de motores que tienen exactamente un tipo de defecto debe estar en A y no en F, o bien, A F , y son 7 los motores que en F y no en A. Este conjunto se puede representar mediante AF ∪ pertenecen a este conjunto. ν

EJERCICIOS 2.1 De 25 microcomputadoras disponibles en un almacén, 10 de ellas tienen tarjetas adaptadoras para una impresora, 5 tienen tarjetas adaptadoras para un modem, y 13 no tienen ninguna es éstas. Utilizar P para representar a aquellas que tengan tarjetas de impresora, M para las que tienen tarjetas de modem y, luego, representar simbólicamente los siguientes conjuntos, así como mencionar el número de microcomputadoras que hay en cada uno. (a) Las que tengan ambas tarjetas. (b) Las que no tengan tarjeta alguna. (c) Las que sólo tengan tarjetas para impresora. (d) Las que tengan exactamente una de las tarjetas. 2.2 Se tienen cinco aspirantes (Juan, Darío, María, Susana y Natalia) para dos trabajos idénticos. Un supervisor selecciona dos aspirantes para ocupar esos puestos. (a) Hacer una lista de los modos posibles en que se pueden ocupar los puestos. Es decir, hacer una lista de todas las selecciones posibles de dos de los cinco aspirantes. (b) Sea A el conjunto de selecciones que contienen por lo menos un hombre. ¿Cuántos elementos tiene A? (c) Sea B el conjunto de selecciones que contienen exactamente un hombre. ¿Cuántos elementos tiene B? (d) Escribir el conjunto que contiene dos mujeres, en términos de A y B. (e) Hacer un lista de los elementos en A, AB, A ∪ B, y AB . 2.3 Usar diagramas de Venn par comprobar las leyes distributivas. 2.4 Usar diagramas de Venn para comprobar las leyes de DeMorgan. ___________________________________________________________________________________

2.3

DEFINICION FORMAL DE PROBABILIDAD

Supóngase que se lanza un dado de seis caras en una mesa y que se observa el número que quedó en la cara superior. Este es un caso probabilístico, ya que el número que queda en la cara superior no puede determinarse con anterioridad. Se analizarán los componentes de este caso experimental y se llegará a una definición de probabilidad que permita modelar matemáticamente lo que sucede en los lanzamientos de dados, así como en muchas situaciones semejantes. Primero lanzaría el dado una o varias veces, para reunir datos sobre los resultados posibles. A esta fase de generación de datos se le llama experimento.

DEFINICIÓN 2.1 Un experimento es el proceso de efectuar una observación. Cualquier experimento puede originar varios resultados posibles. A la lista o conjunto de todos los resultados posibles de un experimento se le llama espacio de la muestra o espacio muestral.

DEFINICIÓN 2.2 Un espacio muestral S es un conjunto que comprende todos los resultados posibles de un experimento, listados de modo completo y mutuamente excluyente. “Mutuamente excluyente" quiere decir que los elementos del conjunto no se traslapan, y “completo” quiere decir que la lista contiene todos los resultados posibles. Para el lanzamiento del dado, se puede decir que el espacio muestral es: S1 = {1,2,3.4,5,6} donde los enteros indican los números posibles de puntos en la cara superior del dado, o también: S2 = {pares, nones} Tanto S1 como S2 satisfacen la definición 2.2, pero S1 parece ser una mejor selección porque da todos los detalles necesarios, S2 tiene tres resultados posibles en cada elemento de la lista, mientras que S1 tiene sólo un resultado posible por cada elemento. Como otro ejemplo, supóngase que un inspector mide la longitud de una varilla maquinada. Este proceso de medición constituye el experimento. Un espacio muestral podría ser el siguiente: S3 {l, 2, 3, ... 50, 51, 52,... 70, 71, 72, ...} en caso de redondear la longitud al número entero de pulgadas más cercano. Por otro lado, un espacio muestral adecuado sería S4 = {x/x> 0} que se lee “el conjunto de todos los números reales x tales que x > 0”. Si S3 o S4 se usan en un problema determinado depende de la naturaleza del proceso de medición. Si la medición debe ser precisa, se necesita S4. Si sólo se usa enteros, bastará con S 3. El asunto es entonces que los espacios muestrales para un determinado experimento no son únicos, y se deben seleccionar de tal modo que se obtenga toda la información pertinente para un caso dado. Se regresará al primer ejemplo, el lanzamiento de un dado. Supongamos que el jugador A puede tener el primer lugar en una competencia si obtiene un seis. Por lo tanto, el evento “sacar seis” es importante para él. Otros elementos posibles en el experimento de lanzar el dado son “sacar un número par,” “sacar un número mayor que cuatro,” etc.

DEFINICIÓN 2.3 Un evento es cualquier subconjunto de un espacio muestral

La definición 2.3 vale, como está enunciada, para cualquier espacio muestral que tenga un número finito de elementos. Se deben excluir algunos subconjuntos si el espacio muestral abarca un continuo de números reales, como el S4 que se describió antes; pero cualquier subconjunto que probablemente se presente en la práctica se puede llamar evento. Según esta definición de eventos, se observa que un evento es un conjunto de elementos del espacio muestral. Para el experimento de lanzar el dado se observa cómo funciona lo anterior, por ejemplo, si se define que: A sea “un número par” B sea “un número impar” C sea “un número mayor que 4” E1 sea “observar un 1” y, en general: Ei sea “observar un entero i” Entonces, si S = {1, 2, 3,4, 5, 6}, A = {2, 4, 6} B = {1, 3, 5} C = {5, 6} E1 = {1} y Ei = {i},

i = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Los espacios muestrales y los eventos se representan con frecuencia convenientemente con diagramas de Venn. Algunos eventos del experimento de lanzar un dado se muestran en la Fig. 2.3.

FIGURA 2.3 Diagrama de Venn para un lanzamiento de dados

3 E3

1

5 C

2

4 A

6 S

Ahora ya se sabe establecer un espacio muestral y hacer la lista de los eventos adecuados para un experimento. El siguiente paso es definir una probabilidad para esos eventos, Ya se ha visto que la idea intuitiva de probabilidad se relaciona con la frecuencia relativa de ocurrencia. Un dado normal debe mostrar un número par, al ser lanzado, aproximadamente la mitad de las veces, y se debe obtener "3" aproximadamente la sexta parte de las veces. Por lo tanto, las probabilidades deben ser fracciones entre 0 y 1. Uno de los enteros, 1, 2, 3, 4, 5 ó 6, debe aparecer cada vez que se lanza el dado y, por lo tanto, la probabilidad total asociada con el espacio muestral debe ser 1. Al lanzar repetidamente el dado, si aparece "1" 1/6 de las veces, entonces "1 ó 2" debe ocurrir 1/6 + 1/6 = 1/3 de las veces. Como se suman las frecuencias relativas de eventos mutuamente excluyentes, lo mismo debe ser para las probabilidades. Estas consideraciones llevan a la siguiente definición.

DEFINICION 2.4 Supóngase que un experimento tiene asociado un espacio muestral S. Una probabilidad es una función de valor numérico que asigna un número P(A) a cada evento A de tal manera que son válidos los siguientes axiomas: (1) P(A) ≥ 0 (2) P(S) = 1 (3) Si A1, A2, ….. es una sucesión de eventos mutuamente excluyentes, es decir, A 1 A1 = ∅ para toda i ≠ j), entonces:

∞  ∞ P∪Ai  = ∑P (Ai )  i=1  i=1 De acuerdo con el axioma (3) se llega a la conclusión de que si A y B son eventos mutuamente excluyentes, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) Este caso es semejante al de la suma de frecuencias relativas en el ejemplo del lanzamiento de dados que se describió antes. Es fácil ver ahora que si A ⊂ B entonces P(A) ≤ P(B). Para verlo, se escribe B= A∪ AB

de modo que P( B) = P( A∪ A B) = P( A) + P () AB A B) ≥ 0 , según el axioma (1), en consecuencia P () A ≤ P () B . En especial, como A ⊂ S, para Como P ( cualquier evento A, y P(S) = 1, entonces P(A) ≤ 1. De igual modo se puede demostrar que P(∅) = 0. Como S y ∅ son disjuntos y S ∪ ∅ = S,

1 = P(S) = P(S ∪ ∅) = P(S) + P(∅) La definición de probabilidad sólo señala los axiomas a los que debe apegarse esa función; no dice qué números asignar a eventos específicos. La asignación real de números se lleva a cabo, normalmente, de acuerdo a la evidencia empírica, o según consideraciones cuidadosas acerca del experimento. Si el dado es normal, se podría lanzarlo algunas veces para ver si cada una de las caras tiene la misma probabilidad de ocurrir o son equiprobables. O bien, se podría suponer que esto sucede y asignar una probabilidad de 1/6 a cada uno de los seis elementos de S: P(Ei) = 1/6, i = 1, 2, …, 6. Una vez hecho lo anterior, el modelo queda completo, porque, de acuerdo con el axioma (3), se puede calcular ahora la probabilidad de cualquier evento. Por ejemplo, para los eventos definidos en la página 28 y en la Fig. 2.3,

P () A =P ( E2 ∪ E4 ∪ E6)

= P( E 2 )+ P( E 4 )+ P( E6) 1 1 1 1 = + + = 6 6 6 2 y

P () C =P ( E5 ∪ E6) =P ( E 5 )+P ( E6) 1 1 1 = + = 6 6 3

Es importante recordar que Definición 2.4 y la asignación real de probabilidades a los eventos dan un modelo probabilístico de un experimento. Si se usa P(Ei) = 1/6 en el experimento de tirar el dado, el modelo es bueno o malo dependiendo de qué tan cercanas están las frecuencias relativas a largo plazo de cada resultado, obtenido en realidad, de los valores sugeridos por la teoría. Si el dado es normal, es decir, no está cargado, el modelo debe ser bueno; indica lo que se debe esperar que suceda. Si el dado está cargado, entonces el modelo no es bueno y se deben sustituir otras probabilidades en P(Ei). En el resto del libro crearán muchos modelos específicos basados en esta definición general, y se explicarán los casos prácticos en los que funcionan bien. Ningún modelo es perfecto, pero muchos son adecuados para representar los fenómenos probabilísticos del mundo real.

EJEMPLO 2.2 Un gerente de compras desea hacer pedidos a tres proveedores posibles, a los que numera 1, 2 y 3. Todos los vendedores son iguales en lo que respecta a calidad y precio; por lo tanto, el gerente escribe cada número en un pedazo de papel: mezcla los papeles y, a ciegas, selecciona uno de ellos. Se coloca el pedido con el vendedor cuyo número salió seleccionado. Sean E i el evento en el que se ha seleccionado al proveedor i (i = 1, 2, 3); B el evento en el que se selecciona al proveedor 1 ó 3: y C el evento en el que el proveedor 1 no se selecciona. Calcular las probabilidades de los eventos E i, B y C. Solución Los eventos E1, E2, y E3 corresponden a los elementos de S, ya que representan todos los “resultados únicos posibles.” Así, si se asignan las probabilidades correctas a esos eventos, entonces se podrá calcular con facilidad la probabilidad de cualquier otro evento. Como se selecciona al azar un número de entre los tres disponibles, parecería intuitivamente razonable asignar una probabilidad de 1/3 a cada Ei. Esto es,

1 P (E1 )=P (E 2 )=P (E 3 )= 3 No se ve la razón de creer que un número tiene mayor probabilidad que los otros de ser seleccionado. Ahora bien, B = E1 ∪ E3 y de acuerdo al axioma (3) de la definición 2.4,

1 1 2 P () B =P ( E1 ∪ E 3 )=P ( E1 )+P ( E 3 )= + = 3 3 3 Igualmente, C = E2 ∪ E3

y así

2 P( C )=P (E 2 )+P (E 3 )= 3 Nótese que se podrían haber seleccionado modelos probabilísticos distintos para el espacio muestral relacionado con este experimento, pero sólo este modelo parece razonable bajo la hipótesis de que los proveedores se deben seleccionar con igual probabilidad. Los términos a ciegas, al azar y aleatorio se interpretan como una imposición de probabilidades iguales al número finito de puntos en el espacio muestral. ν Los ejemplos que se han visto hasta ahora asignan probabilidades iguales a los elementos de un espacio muestral, pero no siempre es éste el caso. Si se tienen en la bolsa dos monedas de tamaño distinto, y se saca la primera que la mano toque, la moneda de tamaño mayor será la que tenga mayor probabilidad de ser escogida debido a sus dimensiones. Con frecuencia, las probabilidades que se asignan a los eventos se basan en evidencia experimental o en estudios de observación, que producen datos de frecuencia relativa para los eventos de interés. Los datos sólo dan aproximaciones a las verdaderas probabilidades, pero esas aproximaciones son con frecuencia bastante buenas y, en general, constituyen la única información de que se dispone acerca de los eventos de interés. En el ejemplo 2.3 se muestra este caso.

EJEMPLO 2.3 Los datos de la Fig. 2.4, acerca del estado civil de los desempleados en Estados Unidos, los publicó el Bureau of Labor Statistics (Oficina de Estadística laboral) de ese país.

FIGURA 2.4 Estado civil de los desempleados en Estados Unidos.

Solteros 37%

42%

Hombres casados, 32%

25%

Mujeres casadas, 16%

Viudos, divorciados, separados, 15%

1956

15% 18%

1982

Suponga que usted encuentra un desempleado en 1956. ¿Cuál es la probabilidad aproximada que el desempleado sea (a) ¿una mujer casada? (b) ¿un(a) soltero(a)? (c) ¿un(a) casado(a)? Contestar los incisos (a), (b) y (c) también para cuando encuentra a un desempleado en 1982. Solución Se supondrá que no se conoce nada acerca de la persona desempleada que se encuentra. De hecho, la persona se selecciona al azar entre la población de trabajadores desempleados. Se ve directamente de la gráfica de 1956 que: P(mujeres casadas)

= 0.16

P(solteros)

= 0.37

P(casados)

= P(casados) + P(casadas) = 0.16 + 0.32 – 0.48

En la figura para 1982 se ve que:

P(mujeres casadas)

= 0.18

P(solteros)

= 0.42

P(casados)

= 0.18 + 0.25 = 0.43

Nótese que no se puede contestar algunas preguntas de interés potencial basándose en estas figuras. Por ejemplo, no se puede determinar la probabilidad de que el desempleado sea una mujer soltera. ν

EJERCICIOS

2.5 Un vehículo que llega a un cruce puede virar hacia la izquierda, virar hacia la derecha o continuar de frente. Un experimento consiste en observar el movimiento de un vehículo en este cruce. (a) Hacer una lista de los elementos de un espacio muestral. (b) Atribuir probabilidades a aquellos elementos para el caso en que todos los resultados son igualmente probables. (c) Determinar la probabilidad de que el vehículo dé vuelta, con el modelo probabilístico de la parte (b). 2.6 Una compañía manufacturera tiene dos expendios al menudeo. Se sabe que el 30% de los clientes potenciales compran productos sólo en la tienda I, el 50% compra en la tienda II, el 10% compra en las tiendas I y II, y el 10% de los consumidores no compra en ninguna de las dos. Sea A el evento en el que un cliente potencial, seleccionado al azar, compra en I y B el evento en el que compre en II. Calcular las siguientes probabilidades: a P (A) ()

b P (A ∪ B) ()

c P () B ()

d P( AB) ()

e P (A ∪ B) ()

f P( AB ) ()

g P (A ∪ B) ()

2.7 Para los voluntarios que acuden a un centro de donación de sangre, 1 de cada 3 tiene sangre O +, 1 de cada 15 tiene sangre O-, 1 de cada 3 tiene A+, y 1 de cada 16 tiene A -. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera persona que llegue mañana done sangre. (a) (b) (c) (d)

¿Tipo O+? ¿Tipo O? ¿Tipo A? ¿Ya sea tipo A+ u O+?

2.8 En la siguiente figura se muestra la información acerca de los modos en que se transporta el carbón que sale de los Apalaches. Si el carbón que llega a determinada planta de energía eléctrica proviene de esta región, determinar la probabilidad de que haya salido de la región: (a) (b) (c) (d) (e)

de camión a ferrocarril sólo por transportes acuáticos por lo menos parcialmente en camión por lo menos parcialmente en ferrocarril por medios que no sea transporte acuático. Suponer que en "otros" no interviene el agua.

Sólo camión, 12% Camión a transporte acuático, 4% Sólo transportes acuáticos, 5%

Camión a ferrocarril, 43%

Otros, 5% Sólo ferrocarril, 31%

Fuente: Elmes, G.. Transportation Research, 18A, Nº 1, 1984, p 19.

2.9 Para encontrar defectos se inspeccionan las partes hidráulicas del tren de aterrizaje que proviene de una instalación de reparación de aviones. Los antecedentes demuestran que 8% tiene defectos solo en los ejes, 6% tiene defectos solo en los bujes, y que el 2% tiene defectos tanto en los ejes como en los bujes. Si se seleccionan al azar las partes hidráulicas que se usarán en una aeronave, determinar la probabilidad de que tengan: (a) (b) (c) (d)

2.4

un defecto en los bujes. un defecto en un eje o en un buje. sólo uno de los dos tipos de defectos. ningún defecto en los ejes.

REGLAS DE CONTEO UTILES EN PROBABILIDAD

Considérese el experimento de lanzar el dado desde una perspectiva ligeramente distinta. Como hay seis resultados que deben ser igualmente probables si el dado es normal, entonces la probabilidad de A, el observar un número par, es: 3 número de resultados favorables a A P () A == 6 número total de resultados equiprobables

Esta “definición” de probabilidad funcionará para cualquier experimento que dé como resultado un espacio muestral finito con resultados equiprobables. Así, es importante poder contar el número de resultados posibles de un experimento. Este número de resultados, para un experimento puede llegar a ser bastante grande; el conteo se hace difícil a menos que se conozcan algunas reglas de conteo. En esta sección se presentan cuatro de esas reglas, en forma de teoremas. Supóngase que un inspector de control de calidad examina dos artículos manufacturados que se seleccionaron de una línea de producción. El artículo 1 puede tener defectos o no tenerlos, así como el artículo 2. ¿Cuántos resultados posibles tiene este experimento? En este caso es fácil hacer una lista de

ellos. Si se usa D para representar que el iésimo artículo es defectuoso y N i para indicar que ese artículo no es defectuoso, los resultados posibles son: D1 D2

D1 N2

N1 D2

N1 N2

Estos cuatro resultados se podrían haber colocado en una tabla de dos columnas, como en la Fig. 2.5. Esta tabla ayuda a ver que los cuatro resultados surgen del hecho de que el primer artículo tiene dos resultados posibles y el segundo también dos resultados posibles; por lo tanto, el experimento de examinar los dos artículos tiene 2 x 2 = 4 resultados. Es un ejemplo de la regla de multiplicación, que se da como teorema 2.1.

FIGURA 2.5 Resultados posibles para inspeccionarlos artículos (Di indica que el i-ésimo artículo es defectuoso; Ni señala que el i-ésimo artículo no es defectuoso)

2º artículo D2

er

1 artículo

D1 N1

D ∩ D N ∩ D 1

2

1

2

N2 D1 N1

∩N ∩N

2

2

TEOREMA 2.1 Si la primera tarea de un experimento da como resultado n1 resultados posibles y, para cada uno de ellos, la segunda tarea da como resultado n2 resultados posibles, entonces se tienen n1 y n2 resultados posibles para las dos tareas juntas. La regla de multiplicación se amplía a más tareas sucesivas. Si, por ejemplo, se inspeccionan tres artículos y cada uno puede ser defectuoso o no defectuoso, entonces habrían 2 x 2 x 2 = 8 resultados posibles. También los diagramas de árbol son útiles para comprobar la regla de multiplicación y para tener la lista de los resultados. Supóngase que una empresa ha de decidir dónde construir dos plantas nuevas, una en el lado oriente y otra en el poniente. Como ciudades posibles se tienen cuatro ciudades en el oriente y dos en el oeste. Entonces, habrá n1 n2 = 4(2) = 8 posibilidades para ubicar las dos plantas. La Fig. 2.6 es una presentación de estas posibilidades en forma de diagrama de árbol.

Primera planta (ciudad en el este)

E A

F

Segunda planta (ciudad en el oeste)

E FIGURA 2.6 Resultados posibles para ubicar dos plantas (A, B, C, D representan ciudades en el este; E y F representan ciudades en el oeste)

B

F E

C

F E

D

F

La regla de multiplicación (teorema 2.1) sólo ayuda a determinar el número de elementos en un espacio muestral para un experimento. Todavía se deben asignar probabilidades a esos elementos para completar el modelo probabilístico. Esto se lleva a cabo en el problema de selección de lugar en el ejemplo 2.4 EJEMPLO 2.4

Acerca de la firma que planea construir dos plantas nuevas, en la Fig. 2.6 se muestran los ocho resultados posibles. Si las ocho selecciones son equiprobables, es decir, se selecciona al azar uno de los pares de ciudades, calcular la probabilidad de que sea seleccionada la ciudad E. Solución La ciudad E se puede seleccionar en cuatro maneras distintas, ya que hay cuatro ciudades posibles en el lado oriente para formar pareja con ella. Así: {E sale seleccionada} = {A ∩ E} ∪ {B ∩ E} ∪ {C ∩ E} ∪ {D ∩ E} Cada uno de los 8 resultados tiene una probabilidad de 1/8, porque se supone que los ocho eventos son igualmente probables. Como estos 8 eventos son mutuamente excluyentes, P{E sale seleccionada} =P(A ∩ E) ∪ P(B ∩ E) ∪ P(C ∩ E) ∪ P(D ∩ E)

1 1 1 1 1 = + + + = 8 8 8 8 2

ν

EJEMPLO 2.5 Se tiene cinco motores, numerados del 1 al 5, disponibles para su uso, y el motor número 2 tiene un defecto. Los motores 1 y 2 proviene del proveedor I y los motores 3, 4 y 5 del proveedor II. Supóngase que se seleccionan a lazar dos motores para usarlos determinado día. Sea A el evento en el que se selecciona el motor defectuoso y B el evento en el que por lo menos uno de los motores se obtuvo del proveedor I. Calcular P(A) y P(B). Solución Se ve en el diagrama de árbol de la Fig. 2.7 que hay 20 resultados posibles para este experimento, lo cual concuerda con el cálculo en el que se usa la regla de multiplicación. Esto es, hay 29 eventos de la forma {1, 2}, {1, 3}, y así sucesivamente. Como los motores se seleccionan al azar, cada uno de los 20 resultados tiene una probabilidad iguala 1/20. Así, P(A) = P({1, 2} ∪ {2, 1} ∪ {2, 3} ∪ {2, 4} ∪ {2, 5} ∪ {3, 2} ∪ {4, 2} ∪ {5, 2})

8 = =0.4 20 ya que la probabilidad de la unión es la suma de probabilidades de los eventos en la unión. Primer motor seleccionado 1

FIGURA 2.7 Resultados del experimento del ejemplo 2.5

Segundo motor seleccionado 2 3 4 5

2

1 3 4 5

3

1 2 4 5

4

1 2 3 5

5

1 2 3 4

El lector puede demostrar que B contiene 14 de los 20 resultados, y que:

14 P (B)= =0.7 20

ν Con frecuencia se usa la regla de multiplicación para elaborar otras reglas de conteo. Supóngase que de tres pilotos se selecciona una tripulación de dos pilotos, para formar un equipo piloto-copiloto. Para contar el número de maneras en las que esto se puede llevar a cabo, obsérvese que el asiento del piloto se puede llenar de tres modos y el del copiloto de dos, después de haber seleccionado al piloto; por lo tanto, hay 3 por 2 = 6 maneras de formar el equipo. Este es un ejemplo de una permutación, para la cual en el teorema 2.2 se da el resultado general.

TEOREMA 2.2 El número de arreglos ordenados, o permutaciones, de r objetos seleccionados entre n objetos distintos, si (r ≤n) está dado por: n! ! (n −r)

Prn =n ( n− 1) ...( n− r+ 1)=

Demostración Se puede imaginar la idea básica de una permutación como el llenado de r ranuras en una línea, con un objeto en cada ranura, si esos objetos se toman de uno en uno de una reserva de n objetos distintos. La primera ranura se puede llenar de n maneras, pero la segunda sólo de (n – 1) maneras, después de haber llenado la primera ranura. Así, de acuerdo con la regla de multiplicación, las primeras dos ranuras se pueden llenar de n(n –1) maneras. Si se generaliza este razonamiento a r ranuras, se tiene que el número de maneras de llenarlas a todas es: n! n( n− 1) ...( n− r+ 1)= =Prn n− r) ! ( Por consiguiente, queda demostrado el teorema. Se ilustrará la aplicación de este teorema con los siguientes ejemplos.

EJEMPLO 2.6 De entre 10 empleados se deben seleccionar tres para viajar a tres plantas A, B y C, fuera de la ciudad. Cada empleado irá a una planta. Como las plantas están en distintas ciudades, es importante el orden de asignación de los empleados a las plantas ¿De cuántos modos se puede hacer la selección? Solución Como es importante el orden, el número de asignaciones diferentes posibles es

10! P310 = = 10() 9 () 8 =720 7!

En otras palabras, hay 10 posibilidades para la planta A, pero después sólo quedan 9 para la planta B y 8 para la C. Esto da un total de 10(9)(8) maneras de asignar empleados a las plantas. ν

EJEMPLO 2.7 Una operación de ensamble en una planta de manufactura consta de cuatro pasos, que se pueden llevar a cabo en cualquier orden. Si el fabricante desea comparar en forma experimental los tiempos de ensamble para cada acomodo posible de los pasos, ¿cuántos acomodos habrá en el experimento? Solución El número de maneras de ordenar es la permutación de n = 4 cosas tomadas r = 4 a la vez. Se deben efectuar todos los pasos cada vez. Este número es:

4! P44 = =4!=4 ⋅3⋅2 ⋅1 =24 0! ya que 0! = 1 por definición. De hecho,

Prr =r! para cualquier entero r.

ν A veces no es importante el orden, y sólo interesa el número de subconjuntos de determinado tamaño que se pueden seleccionar de un conjunto dado. La forma general de esa combinación la da el teorema 2.3.

TEOREMA 2.3 El numero de subconjuntos distintos, o combinaciones, de tamaño r que se pueden seleccionar de n objetos distintos, (r ≤n), es:

n  n!  = r  r!(n −r)!

Demostración El número de subconjuntos ordenados de tamaño r, seleccionados entre n objetos distintos. está dado por

 n Prn . El número de subconjuntos sin ordenar de tamaño r se representa mediante   . Como cualquier  r r conjunto determinado de r objetos se puede ordenar entre ellos de Pr =r! modos, por lo tanto, n   r!=Prn r  o sea

n  1 n n!  = Pr = r  r! r!(n −r) ! EJEMPLO 2.8 Supóngase que en el ejemplo 2.6 los 3 empleados se deben seleccionar de entre los 10 para ir a la misma planta. ¿De cuántos modos se puede hacer la selección? Solución

En este caso no es importante el orden, y tan sólo se desea saber cuántos subconjuntos de tamaño r = 3 se pueden formar con n = 10 personas. El resultado es:

10 10! 10 ⋅9 ⋅8 =120  = = 3  3!7! 1⋅2 ⋅3

ν

EJEMPLO 2.9 Véase el ejemplo 2.8. Si 2 de los 10 empleados son mujeres y 8 son hombres, ¿cuál es la probabilidad de seleccionar exactamente una mujer entre los tres candidatos? Solución

10   2 =120 maneras de seleccionar 3 empleados de los 10. Igualmente hay   3   1 8  modos de seleccionar 1 mujer entre las 2 que se tienen, y   =28 maneras de seleccionar 2 hombres de 2  Se ha visto que hay 

entre los 8 que hay. Si se hacen al azar las selecciones (es decir, se pueden seleccionar con igual probabilidad todos los subconjuntos de 3 empleados), entonces la probabilidad de seleccionar exactamente una mujer es:

P( seleccionar exactamente una mujer)=

 2  8     1  2 = 2( 28) = 7  10 120 15   3

ν

EJEMPLO 2.10 Se clasifican cinco aspirantes a un empleo de acuerdo a su destreza, siendo el mejor el número 1, el segundo mejor el número 2, y así sucesivamente. Estas clasificaciones no las conoce un empleador, quien simplemente contrata a dos aspirantes al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que este empleador contrate exactamente uno de los dos mejores aspirantes? Solución El número de resultados posibles en este proceso de selección de dos aspirantes de entre cinco es:

5  5! =10  = 2  2!3! Si se selecciona uno de los dos mejores; esta selección se puede hacer en:

2  2! =2  = 1  1!1!

maneras. El otro aspirante seleccionado debe provenir de entre los tres con menor calificación, lo cual se puede hacer en:

3  3! =3  = 1  1!2! maneras. Así, el evento de interés, que es la contratación de uno de los dos aspirantes mejores, se puede hacer de 2 •3 =6 maneras. La probabilidad de este evento es entonces 6/10 = 0.6

TEOREMA 2.4 El número de maneras de dividir n objetos distintos en k grupos que contienen n1, n2, ……nk objetos, respectivamente, es:

n! n1!n 2!...n k ! donde: k

∑n

i

=n

i=1

Demostración La división de n objetos en k grupos se puede llevar a cabo primero, mediante la selección de un subconjunto de tamaño n1 de los n objetos; a continuación, se selecciona un subconjunto de tamaño n2 de los n – n1 objetos restantes, y así sucesivamente hasta que todos los grupos están completos. El número de modos de llevar a cabo lo anterior es:

n n−n1  n−n1 ⋅⋅⋅⋅⋅n k−1         ⋅⋅⋅   n1  n 2   n k 

! ! n! n! (n −n1) (n −n1 ⋅⋅⋅−n k−1) = ⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅ = n1!( n −n1) ! n 2!( n −n1 −n 2 ) ! n k !0! n1!n 2!⋅⋅⋅n k !

EJEMPLO 2.11 Supóngase que se deben dividir 10 empleados en tres puestos, de tal modo que 3 empleados estén en el puesto I, 4 en el puesto II y 3 en el puesto III. ¿De cuántos modos puede hacerse la asignación de los puestos? Solución Este problema requiere una división de los n = 10 empleados en grupos de tamaño n1 = 3, n2 = 4 y n3 = 3 y se puede llevar a cabo en:

n! 10! 10 ⋅9 ⋅8 ⋅7 ⋅6 ⋅5 = = =4200 n1!n 2!n 3! 3!4!3! 3⋅2 ⋅1⋅3⋅2 ⋅1 formas. (Obsérvese el número enorme de maneras en que se puede realizar esta tarea).

EJEMPLO 2.12 En el planteamiento del ejemplo 2.11, supóngase que sólo 3 empleados de un solo grupo étnico se asignan al empleo I. ¿Cuál es la probabilidad de que esto suceda en una asignación aleatoria de empleados a trabajos? Solución En el ejemplo 2.11 se vio que hay 4200 maneras de asignar los 10 trabajadores a los tres puestos. El evento de interés asigna tres empleados determinados al empleo I. Queda por determinar de cuántos modos se pueden asignar los siete empleados restantes a los puestos II y III. Este número es: 7() 6 () 5 7! = =35 4!3! 3() 2 () 1

Así, la posibilidad de asignar tres trabajadores determinados al puesto I es:

35 1 = 4200 120 la cual realmente es muy pequeña ______________________________________________________________________________________ EJERCICIOS

2.10 Un experimento consiste en observar dos vehículos en sucesión que pasan por el cruce de dos calles. (a) Hacer una lista de los resultados posibles, si se supone que cada vehículo se sigue de frente, gira hacia la izquierda o vira hacia la derecha. (b) Suponiendo que son equiprobables los resultados, determinar la probabilidad de que por lo menos uno devuelta a la izquierda. (¿Sería razonable siempre esta suposición?) (c) Suponiendo que son igualmente posibles los resultados, calcular la probabilidad de que cuando mucho un vehículo dé vuelta. 2.11 Un edificio comercial se proyecta con dos entradas, la I y la II. Llegan dos clientes y entran al edificio. (a) Hacer una lista de los elementos de un espacio muestral para este experimento de observación. (b) Si son igualmente posibles todos los elementos de la parte (a), calcular la probabilidad de que ambos clientes entren por la puerta I, y de que ambos clientes entren por la misma puerta. 2.12 Una empresa tiene dos contratos de construcción que se han de asignar a una o más de tres firmas que concursan. Una firma puede recibir ambos contratos. (a) Hacer una lista de los resultados posibles de la asignación de contratos a las firmas. (b) Si todos los resultados son igualmente posibles, calcular la probabilidad de que ambos contratos sean para la misma firma. (c) Bajo la hipótesis de (b), calcular la probabilidad de que una firma específica, por ejemplo la firma I, obtenga por lo menos un contrato. 2.13 Entre cinco generadores portátiles producidos en una línea de montaje en un día, hay dos defectuosos. Si se seleccionan dos generadores para su venta, determinar la probabilidad de que

ambos no tengan defectos. Suponer que la selección de los dos generadores para la venta se hizo de tal modo que todas las muestras posibles de tamaño dos tienen la misma probabilidad de ser seleccionadas. 2.14 Siete personas han solicitado trabajo para llenar dos vacantes. ¿De cuántos modos se pueden llenar las vacantes? (a) ¿La primera persona seleccionada? (b) ¿No hay diferencias entre la vacantes? 2.15 Un paquete de seis focos tiene dos piezas defectuosas. Si se seleccionan tres focos para su uso, calcular la probabilidad de que ninguno tenga defectos. 2.16 ¿Cuántos números de serie de cuatro dígitos se pueden formar si ninguno de los dígitos se debe repetir en cualquier número de serie? El primer dígito puede ser cero. 2.17 Una flota de ocho taxis se destina al azar a tres aeropuertos, A, B y C. Dos taxis van a A, 5 a B y 1 a C. (a) ¿De cuántos modos se puede hacer esta asignación? (b) Cuál es la probabilidad de que el taxi que conduce Juan se asigne al aeropuerto C?

n  n−1 n−1 2.18 Demostrar que  = + ,1 ≤r ≤n r  r−1  r  2.19 Cinco empleados de una firma están clasificados del 1 al 5 de acuerdo con su destreza para programar una computadora. Se seleccionan tres de esos empleados para ocupar vacantes de programador. Si son igualmente posibles todas las selecciones de tres (de entre los cinco), calcular la probabilidad de que: (a) sea seleccionado el empleado clasificado como número 1. (b) el empleado mejor clasificado de los tres seleccionados sea el que estaba clasificado como número 2 o menor. (c) se seleccionan los empleados clasificados en el 4º y 5º lugares. 2.20 Para determinado modelo de un automóvil nuevo se tiene igual demanda de colores azul, blanco, negro y verde. Se hacen tres pedidos sucesivos de automóviles de ese modelo. Determinar la probabilidad de que: (a) Se pidan uno azul, uno blanco y uno verde. (b) Se pidan dos azules. (c) Se pida por lo menos uno negro. (d) Exactamente dos de los que expidieron tengan el mismo color. 2.21 Una empresa ha hecho tres pedidos para refacciones entre cinco distribuidores distintos. Cada pedido se asigna al azar a uno de los distribuidores, y un distribuidor puede recibir pedidos múltiples. Calcular la probabilidad de que (a) Todos los pedidos sean para distribuidores distintos. (b) Todos los pedidos sean para el mismo distribuidor. (c) Exactamente dos de los tres pedidos sean para un determinado distribuidor. 2.22 Una operación de ensamble de tarjeta de circuitos de computadora consiste en cuatro operaciones que se pueden llevar a cabo en cualquier orden. (a) ¿De cuántos modos se puede llevar a cabo la operación de ensamble? (b) Una de las operaciones consiste en soldar conductores a un microcircuito. Si todos los arreglos de ensamble son igualmente posibles, ¿cuál es la probabilidad de que la soldadura sea la primera o la segunda operación? 2.13 Se dividirán nueve llaves de tuercas por igual entre tres líneas de ensamble. (a) ¿De cuántas maneras se puede llevar a cabo lo anterior?

(b) Dos de las llaves son usadas y siete son nuevas. ¿Cuál es la probabilidad de que una línea de ensamble determinada, por ejemplo la línea A, tenga ambas llaves usadas?

2.5

PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA

A veces un espacio muestral para un experimento se puede reducir mediante información adicional disponible sobre los elementos en cuestión. Por ejemplo, un espacio muestral adecuado para medir los pesos de todas las personas se podría reducir en gran medida si se sabe que sólo serán considerados los adultos en el estudio. Esta información adicional se llama información condicional. Considérese con más detalle un ejemplo específico. De 100 estudiantes que terminaron un curso elemental de estadística, 20 eran ejecutivos. Diez estudiantes obtuvieron A en el curso, y tres de éstos eran ejecutivos. Estos hechos se muestran con facilidad en un diagrama de Venn, como el de la Fig. 2.8, en la que A representa a los estudiantes que obtuvieron A, y B representa a los ejecutivos. Figura 2.8

B

B

A 3 17

7 73

Ahora bien, para un estudiante de esta clase seleccionado al azar, P(A) = 0.1 y P(B) = 0.2. Pero supóngase que se sabe que el estudiante seleccionado al azar es ejecutivo. En ese caso se desea conocer la probabilidad de que el estudiante obtuviera una A, en vista de que es un ejecutivo. Entre los 20 ejecutivos, 3 obtuvieron A. Así P(A dado B), que se escribe P(A  B) es 3/20. A partir del diagrama de Venn se ve que la información condicional (o dada) reduce el espacio muestral efectivo a tan sólo 20 ejecutivos. Entre ellos, 3 obtuvieron A. Nótese que: P(A  B) =

P (AB) 3/100 3 = = 20 P( B) 20 /100

este hecho motiva la definición 2.5.

DEFINICION 2.5 Si A y B son dos eventos cualesquiera, la probabilidad condicional de A dado B, que se representa mediante P(A  B), es: P(A  B) =

P (AB) P (B)

siempre que P(B) > 0. EJEMPLO 2.13 De 5 motores uno de ellos tiene defectos. y se deben seleccionar 2 al azar para utilizarlos en determinado día. Calcular la probabilidad de que el segundo motor seleccionado no tenga defectos, en caso de que el primero no haya sido defectuoso.

Solución Sea N, el evento en el que el iésimo motor seleccionado no tenga defectos. Se desea calcular P(N 2N1). De acuerdo con la definición 2.5 se tiene que

P( N 2 N 1 ) =

P( N 1 ∩ N 2 ) ′ P( N 1 )

Con respecto a los veinte resultados posibles que se presentan en la Fig. 2.7, el evento N 1 contiene 16 de esos resultados, y N1N2 contiene 12, Por tanto, como los veinte resultados son igualmente posibles,

P( N 2 N1 ) =

P( N 1 ∩ N 2 ) 12 / 20 12 3 = = = P( N1 ) 16 / 20 16 4

¿Parece razonable esta respuesta? ν Las probabilidades condicionales satisfacen los tres axiomas de la probabilidad (definición 2.4), como se puede demostrar con facilidad. Primero, como AB ⊂ B, entonces P(AB) ≤ P(B). También P(AB) ≥0, y P(B) ≥0; por lo tanto,

0≤P ( A B ) =

P ( A ∩B ) ≤1 P( B )

La segunda,

P( S B ) =

P( S ∩ B ) P( B ) = =1 P( B ) P( B )

En tercer lugar, si A1 y A2 … son eventos mutuamente excluyentes, también lo serán A 1 B1, A2 B2, … y

 ∞   P U Ai B ∞  i=1   PU Ai | B = i=1  P (B) ∞  P  ( Ai ∩ B )  i = 1 = =  P( B ) ∞

=∑ i =1

∞

∑P( A i =1

i

∩ B)

P( B )

P( Ai ∩ B ) ∞ = ∑ P( Ai | B ) P( B ) i =1

La probabilidad condicional es muy importante en muchas aplicaciones prácticas de la probabilidad. En dichas aplicaciones, con frecuencia cambios aparentemente pequeños en la información básica a partir de la cual se obtienen las probabilidades, afectan drásticamente las probabilidades condicionales. Si la información adicional para saber que ha sucedido un evento B no cambia la probabilidad de A, esto es, si P(A | B) = P(A), entonces se dice que los eventos A y B son independientes. Como

P( A B ) =

P( A ∩ B ) P( B )

la condición P(A | B) = P(A) es equivalente a

o sea

P( A ∩ B ) = P ( A) P( B )

P ( A ∩ B ) = P ( A) P ( B )

DEFINICION 2.6 Se dice que dos eventos A y B son independientes si: P(A|B) = P(A) o bien, P(B|A) = P(B) Esto es equivalente a afirmar que:

P(A ∩ B) = P(A)P(B)

EJEMPLO 2.14 Supóngase que un supervisor debe seleccionar un trabajador para un puesto especial, de un conjunto de cuatro trabajadores, numerados 1, 2, 3 y 4. Lleva a cabo la selección mezclando los cuatro nombres y tomando uno al azar. Sea A el evento de que se selecciona el trabajador 1 ó 2; B el evento de que se selecciona el trabajador 1 ó 3, y C el evento de que se selecciona el trabajador 1. ¿Son independientes A y B? ¿Son independientes A y C? Solución Como el nombre se selecciona al azar, una hipótesis razonable para el modelo probabilístico es asignar una probabilidad de 1/4 a cada trabajador individual. Entonces P(A) = 1/2, P(B) = 1/2 y P(C) = 1/4. Como la intersección AB contiene sólo al trabajador 1, P(A ∩ B) = 1/4. Ahora bien, P(A ∩ B) = 1/4 = P(A)P(B) y, entonces, A y B son independientes, Como A ∩ C también contiene sólo al trabajador 1, entonces P(A ∩ C) = 1/4. Pero P(A ∩ C) = 1/4 ≠P(A)P(C); por lo tanto, A y C no son independientes. Se dice que A y C son dependientes debido al hecho de que si sucede C cambia la probabilidad de que suceda A. ν La mayor parte de los casos en los que se presentan asuntos de independencia no es como el que se vio en el ejemplo 2.14, en el que los eventos están bien definidos y tan sólo se calculan las probabilidades para comprobar la definición. Con frecuencia, se supone la independencia de dos eventos para poder calcular su probabilidad conjunta. Supóngase, por ejemplo, que A denota que la máquina A no se descompondrá hoy, y B, que la máquina B no se descompondrá hoy. P(A) y P(B) se pueden estimar a partir de los registros de mantenimiento de las máquinas. ¿Cuál es P(AB), la probabilidad de que ninguna máquina se descomponga hoy? Si se supone independencia, P(AB) = P(A)P(B), se trata de un cálculo directo. Sin embargo, si no se supone independencia, no se puede calcular P(AB) a menos que se forme un modelo para su estructura de dependencia, o se reúnan datos acerca de sus comportamientos conjuntos. ¿Es la independencia una hipótesis razonable? Puede ser si el funcionamiento de una máquina no queda afectado por el de la otra, pero puede no ser si las máquinas están en el mismo recinto, tienen la misma fuente de corriente o el mismo

supervisor. Por lo tanto, vea el lector que la independencia se usa frecuentemente como hipótesis simplificadora, y que podría no cumplirse en todos los casos para los que se supone. Recuérdese que los modelos probabilísticos simplemente son modelos, y que no siempre reflejan exactamente la realidad. Esto no debería ser motivo de mayor preocupación, ya que en todas las ramas de la ciencia se hacen hipótesis simplificadoras al crear sus modelos, sean probabilísticos o deterministas. A continuación se mostrará cómo estas definiciones ayudan a establecer reglas de cálculo de probabilidades de eventos compuestos.

2.6 REGLAS DE PROBABILIDAD A continuación se presentarán cuatro reglas que ayudarán a calcular probabilidades de eventos. Recuerde primero que el complemento A de un evento A es el conjunto de todos los resultados de un espacio muestral S que no están en A. Así, A y A son mutuamente excluyentes, y su unión es S; es decir,

A∪ A= S Se deduce que

P(A ∪ A)= P(A )+P (A) = P(S) =1

o bien,

P(A )=1 − P(A )

Con ello se ha establecido el siguiente teorema:

TEOREMA 2.5 Si A es el complemento de un evento A en el espacio muestral S, entonces: P(A )=1 − P(A )

EJEMPLO 2.15 Un inspector de control de calidad tiene 10 líneas de montaje de dónde selecciona productos para su prueba. Cada mañana de una semana de 5 días selecciona al azar una de las líneas para inspeccionarla ese día. Calcular la probabilidad de que seleccione una línea más de una vez durante la semana. Solución En este caso es más fácil razonar en términos de complementos, y determinar primero la probabilidad de que no haya línea que se seleccione más de una vez. Si no se repite línea alguna, deben seleccionarse 5 líneas distintas en días sucesivos, lo cual se puede llevar a cabo en: 10 5

P

=

10! =10(9)(8)(7)(6) 5!

maneras. El número total de resultados posibles para la selección de 5 líneas sin restricción alguna es (10) 5, de acuerdo con una ampliación de la regla de la multiplicación. Así,

P P(no se selecciona una línea más de una vez) =

10 5 5

(10)

=

10(9)(8)(7)(6) = 0.30 (10)5

y P(se selecciona una línea más de una vez) = 1.0 - 0.30 = 0.70 ν El axioma 3 se aplica a P(A∪B) si A y B son disjuntos. Pero ¿qué sucede si A y B no son disjuntos? La respuesta, está en el teorema 2.6.

TEOREMA 2.6 Si A y B son dos eventos cualesquiera, entonces: P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(AB) Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces: P(A∪B) = P(A) + P(B) Demostración De acuerdo con un diagrama de Venn para la unión de A y B (véase Fig. 2.1) es fácil ver que:

A ∪ B = AB ∪ A B ∪ AB y que los tres eventos del lado derecho de la igualdad son mutuamente excluyentes. Por lo tanto, P(A ∪B )= P(AB )+ P(A B )+P (AB) Ahora bien,

A = AB ∪ AB

y

B = A B ∪ AB

de modo que

P(A) = P(AB )+P(AB)

y

P(B) = P(A B)+ P(AB )

En consecuencia,

P(AB )= P(A) −P(AB )

y

P(A B )= P(B)− P(AB )

Sustituyendo P(A∪B) de la demostración, se tiene:

P( A ∪ B ) = P( A) − P( AB ) + P( B) − P( AB ) + P( AB ) = P(A) + P(B) − P (AB) con lo que se termina la demostración.

La fórmula para la probabilidad de la unión de k eventos, A1 , A2 , ..., Ak , se deduce en una forma semejante, y está dada por: k

P (A1 ∪ A2 ∪ L∪ Ak )=∑ P (Ai )−∑ P( Ai A j ) +∑ ∑ ∑ P( Ai A j Al ) −L +L −− (1)P (A1 A2 K Ak ) ∑ k

i= 1

i