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• Diego Ramírez González

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La probabilidad es una parte de las matemáticas relativamente reciente. Si bien cierto que los juegos de azar muestran que ha habido un interés en cuantificar las ideas de la probabilidad durante milenios, las descripciones matemáticas exactas de estos problemas sólo surgieron mucho después.

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 Retomando el ejemplo inicial de las formas para la comida de la reunión del grupo. Suponiendo que deben elegir entre refresco de manzana o de naranja, y entre hamburguesas, tacos o hotdogs. Para resolverlo la clave está en examinar el problema por pasos: primero, para el refresco hay dos opciones; luego en el segundo paso, para cada una de ellas, hay tres opciones.

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 Las placas de los automóviles llevan tres letras y cuatro números. ¿Cuántas placas distintas podrás contar? A) Se pueden repetir las letras y números. B) No se deben repetir las letras y números. Solución

Si se considera que hay 26 letras y 10 dígitos se tiene: A)? è26)è26)è26)è10)è10)è10)è10) = 175 760 000 placas distintas. B)? è26)è25)è24)è19è9)è )è7) = 7 624 000 placas distintas Nota que para la primera posición se puede elegir una letra de entre 26 letras, en la segunda sólo se puede elegir de entre 25 letras porque ya se eligió una para la primera posición; para la tercera posición sólo quedan 24 letras a elegir. De manera similar para los dígitos.

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 Cinco personas compiten entre sí. ¿De cuántas formas distintas puede terminar la competencia? Solución

Hay cinco opciones para el primer lugar, cuatro para el segundo èporque en el primer lugar ya se quedó uno), tres para el tercero, dos para el cuarto y uno para el quinto. è5)è4)è
)è2)è1) = 120 formas distintas de terminar la competencia.

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  ·rás a comer el día de hoy y puedes elegir entre el restaurante A o el B. En el restaurante A hay a elegir entre tres platillos y dos bebidas y en el B entre dos platillos y cuatro bebidas. ¿De cuántas formas distintas podrás comer? Solución

Restaurante A: è
) è2) = 6 formas distintas Restaurante B: è2) è4) = formas distintas.

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 1.- ¿De cuántas formas distintas se puede formar una fila de 10 personas?


.- Los números de teléfonos celulares constan de 10 dígitos, ¿Cuántos números diferentes se pueden tener si el primer dígito no debe ser 0?

4.- Juan tiene que elegir entre 5 pantalones y 6 camisas. ¿De cuántas maneras distintas puede hacer la elección?

6.- En la nevería se ofrecen 6 clases de helados servidos en cono sencillo, doble o triple. ¿De cuántas maneras distintas se puede comprar el helado?

7.- Si al problema anterior se añade que puede agregarse al helado coco espolvoreado o chispas de chocolate, ¿De cuántas formas distintas puede adquirirse el helado?

15.- Tienes que realizar tres tareas escolares èmatemáticas, español y orientación) y dos tareas de casa èrecoger el cuarto y limpiar el patio) A) ¿De cuántas formas distintas puedes organizar el orden en que realizarás dichas tareas?

B) Si debes hacer primero las tareas escolares y luego las de la casa, ¿De cuántas maneras puedes organizar el orden en que las realizarás?

17. En un examen hay 10 preguntas con cuatro opciones de respuesta. A) ¿De cuántas maneras diferentes se puede contestar el examen?

B) Si al leer examen te das cuenta que te sabes bien cinco de las preguntas, ¿De cuántas maneras puedes contestar el resto del examen?

20.- Cinco parejas llegan a una fiesta y les asignan una mesa para 10 personas. Determina el número de maneras diferentes en que pueden sentarse sí: A) No importa la manera en que queden distribuidos.

B) Las parejas no deben separase, quedando alternados hombres y mujeres.

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La permutación es una clasificación de un número determinado de objetos en cierto orden.

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  Se van a rifar premios entre los 40 alumnos del salón. ¿De cuántas formas distintas se pueden entregar los premios? Solución P è40, 5) =

A
A 


= 7 960 960 formas

En ocasiones es necesario saber el número de permutaciones de objetos de los cuales algunos son iguales. En este caso se habla de permutaciones con repetición.

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 ¿De cuántas formas distintas se pueden colocar 10 pelotas en una fila si 4 son rojas, 2 son verdes,
son azules y una es negra? Solución

n1 = 4 èrojas), n2 = 2 èverde), n
=
èazules), n4 = 1 ènegra), n = 10 P è11;
, 1, 1, 1, 2, 2, 1) =

â

â
â
â

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La combinación se le define como cada uno de los diferentes grupos que pueden formarse tomando todos o parte de los elementos de un conjunto, sin considerar el orden de los elementos tomados.

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 Sean las letras a, b, c, d. Se formarán grupos de dos de ellas. Encuentra el número de permutaciones y de combinaciones. Solución

P è4, 2) = C è4,2)* =

A
= 12 A  A

A 


=6

*En la calculadora, la tecla nCr permite saber directamente el valor de Cèn,r) si se escriben sucesivamente los valores de n y r.

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 En la Preparatoria Núm. 1 hay 15 maestros de matemáticas, de los cuales 9 son hombres y 6 son mujeres. ¿De cuántas maneras diferentes se puede formar un equipo de maestros integrado por 4 mujeres y 4 hombres? Solución

El equipo estará formado por C èmaestros) C èmaestras) = C è9, 4) C è6, 4) Los cuatro maestros se podrán seleccionar a partir de las combinaciones C è9, 4): š


C è9, 4) =

A
šA

= 126 formas diferentes de seleccionar a los maestros.

Las cuatro maestras se podrían seleccionar a partir de las combinaciones C è6, 4): C è6,4) =


A
 A


= 15 formas diferentes de seleccionar a las maestras.

Por lo tanto habrá: C è9, 4) C è6, 4) = è126) è15) = 1 90 formas diferentes de formar al equipo.

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 1.- Evalúa a) P è5, 5) b) P è10,
) c) P è40, 5) d) P è10;
,
,
, 1) e) C è5, 5) f) C è5, 2)

4.- Se tiene un grupo de 10 personas. A) ¿De cuántas formas se puede hacer una fila con las 10 personas?

b) ¿De cuántas maneras se puede hacer una fila de cuatro personas de las 10?

9.- Se tiene un grupo de seis personas. A) ¿De cuántas maneras se puede hacer una fila con dichas personas?

B) ¿De cuántas maneras se puede hacer una fila de tres personas?

17.- En un salón de clases hay
0 alumnos, de los cuales 16 son mujeres y 14 son hombres. Se debe elegir un equipo formado de cinco alumnos. Determina el número de formas en que se puede seleccionarse el equipo sí: A) No hay restricción si son hombres o mujeres.

B) En el equipo estará formado sólo por mujeres-

C) El equipo deberá tener dos hombres y tres mujeres.

22.- En el juego de póker, hay cuatro figuras: |, ,
,; hay 1
cartas de cada figura con los números: 2,
, 4, 5, 6, 7, , 9, 10 y las letras: J, Q, K, A. Se le llama mano al conjunto de 5 cartas. A) Al repartir las cartas ¿cuántas manos diferentes pueden salir en el juego?

B) ¿De cuántas maneras diferentes puede salir J, Q o K?


 



Para entender el teorema del binomio es conveniente revisar primero el binomio èa + b) elevado a diferentes potencias, a fin de detectar el patrón que se presenta durante su desarrollo.

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7.- ¿De cuántas maneras distintas puede ocurrir que al lanzar 4 monedas salgan exactamente
águilas?

9.- Raúl le sugiere ofrecer piezas hasta con 6 ingredientes si Carnen lo hace así ¿Cuántas opciones tendrán para elegir?

10.- En Nava͛s pizzería, el de la competencia, dice en su publicidad que con los ingredientes que ofrece a elegir pueden preparar hasta 512 pizzas diferentes. ¿Cuántos ingredientes tienen disponibles?

12.- Una pareja planea tener 4 hijos. Encuentra las posibles formas en que se pueden presentar los cuatro hijos.

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.- Una pareja portadora de un gene que produce cierta enfermedad que se transmite por la herencia recesiva simple planea tener tres hijos. En la descendencia los hijos pueden ser sanos o enfermos. ¿Cuáles son las formas en que se puede presentar la descendencia?

14.- En un examen las respuestas son de falso ʹ verdadero. Si en el examen hay 5 preguntas, ¿De cuántas formas diferentes puedes contestar?

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La probabilidad   es el grado de creencia o juicio personal. La probabilidad     es el cociente entra la frecuencia observada de un suceso y el total de observaciones cuando un experimento se realiza un número grande de veces. La probabilidad   se define como el cociente entre el número de resultados favorables y los posibles si todos tienen la misma posibilidad de presentarse.

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 Al tirar una moneda al aire, puede caer ͞águila͟ o ͞solo͟, ¿cuál es la probabilidad de que caiga ͞águila͟? Solución

P èE) =

®
     ®
     
 

P èáguila) =

P èa) =

â

â    

x
  ¿Cuál es la posibilidad de que al tirar dos monedas al aire caigan dos águilas? Solución

Al tirar dos monedas al aire, su espacio muestras es: èa, a) èa, s), ès, a), ès, s), esto es 22; la probabilidad de que caigan dos águilas será: P èE) =

®
     ®
     
 

P èáguila, águila) =

P è a, a) =

â   A  

â A

Podrás notar que la probabilidad está expresas en forma de fracción común: 1/2 , 1/4 . Estos valores pueden también expresarse como fracción decimal: 0.5, 0.25; en ciertos casos esos mismos valores pueden expresarse como porcentajes: 50%, 25%.

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 1.- Se tira un dado. a) Escribe el espacio muestral. b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 6? c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número non? d) ¿Cuál es la probabilidad de que no salga
?


.- Se tiran dos dados: uno blanco y uno negro. a) Escribe el espacio muestral. b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un è2, 2)? c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 2 negro? d) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 5 blanco? e) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma igual a 5?

4.- Se saca una carta de un mazo normal de 52 cartas. Determina la probabilidad para cado caso: a) La carta que se saca sea ͞J͟ b) La carta que se obtiene sea ͞J͟, ͞Q͟, o ͞R͟ c) La carta que se obtiene sea negra. d) La carta sea un ocho de corazones

9.- Mario tiene tres pantalones de diferente color èazul, café y negro) y cinco camisas también de diferente color èblanca, negra, azul, café y gris). Si Mario escoge una combinación al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que se vista con pantalón azul y camisa blanca?

12.- Se tira una moneda al aire, ¿Cuál es la probabilidad de que salga águila?

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.- Se lanza un dado, ¿Cuál es la probabilidad de que salga un 4?

14.- Se lanza un dado, ¿Cuál es la probabilidad de que salga un ?

15.- Se lanzan dos dados, ¿Cuál es la probabilidad de que salga una suma igual a 4?

16.- Se lanzan dos dados, ¿Cuál es la probabilidad de que salga una suma igual a ?

17.- Se lanza un dado, ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número mayor que 5?

1 .- Se lanzan dos dados, ¿Cuál es la probabilidad de que salga una suma mayor que 5?

19.- Se lanza un dado, ¿Cuál es la probabilidad de que no salga ni 2 ni 4?

20.- Se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que en la suma no salga ni 2 ni 4?