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Probabilidades conjunta, marginal y condicional. Para introducir las principales ideas de este tema, considere el siguiente ejemplo: Ejemplo. Una oficina tiene 100 computadoras. Algunas son portátiles (L), mientras que otras son de mesa (M). Además, algunas son nuevas (N), mientras que otras son usadas (U). La tabla de abajo da el número de máquinas de cada categoría: L

M

N

40

30

U

20

10

Si se escoge al azar una computadora, calcule la probabilidad de que: a) La máquina sea nueva. b) La máquina sea una laptop usada. c) Si la computadora es nueva, ésta sea una PC (de mesa). d) Si la máquina escogida es una laptop, ésta sea usada. Solución

40+30 70 = =0.7 100 100 20 b) P( L∩U )= =0.2 100 c) Observe que en este caso, se sabe de antemano que la computadora es nueva, por consiguiente, el 30 3 espacio muestral se ha reducido a N. Por lo tanto P( M∣N )= = ≈0.43 70 7 d) De manera similar al literal c), el espacio muestral en este caso se ha reducido a L, la probabilidad 20 2 1 requerida es P(U∣L)= = = ≈0.33 . 60 6 3 a) P( N )=

Ahora generalizaremos los conceptos vistos en el ejemplo anterior mediante un ejemplo más general. Ejemplo Un experimento consiste en elegir aleatoriamente a una persona adulta que viva en una ciudad con n personas adultas, y se anotan sus características con respecto al hábito de fumar y su sexo. Sea el espacio muestral la población de adultos de la ciudad, que se divide en los siguientes pares de eventos disjuntos: A 1 = “fumador”, A 2 = “no fumador”; B 1 = “hombre”, B 2 = “mujer”. Los eventos pueden representarse como se muestra en la siguiente tabla: B1

B2

A1

n11

n12

A2

n21

n22 1

Supóngase que se desea determinar la probabilidad de ocurrencia simultánea de los eventos A 1 y B 2 . Dado que exactamente n12 de los n adultos poseen ambos atributos, la probabilidad es n12 / n . Esta última recibe el nombre de “probabilidad conjunta” dado que se trata de la probabilidad de resultados comunes a ambos eventos A 1 y B 2 . En general, la probabilidad de los eventos A i y B j , está dada por P( Ai∩B j)=nij /n Supóngase que ahora el interés recae en determinar la probabilidad de A i , sin considerar otro evento B j del espacio muestral S. Por ejemplo, el número total de personas no fumadoras ( A 2 ) es n21 +n22 , así se obtiene P( A2 )=(n21+ n22)/n Este tipo de probabilidad se conoce como “probabilidad marginal”, porque para determinarla se ignoraron una o más características del espacio muestral. De lo anterior se deduce la siguiente fórmula más general: 2

P( Ai )=∑ n ij /n j=1

pero, dado que

P( Ai∩B j)=nij /n entonces 2

P( Ai )=∑ P( A i∩B j ) j=1

En otras palabras, la probabilidad marginal de un evento A i es igual a la suma de las probabilidades conjuntas de A i y B j , donde la suma se efectúa sobre todos los eventos B j . De manera similar, la probabilidad marginal de B j está dada por 2

P( B j )=∑ P( A i∩B j ) i=1

Estas fórmulas pueden extenderse para incluir más de dos eventos disjuntos. Finalmente, suponga que el interés recae en determinar la probabilidad de un evento A i , dado que ha ocurrido el evento B j . Por ejemplo, se ha elegido una mujer adulta (ha ocurrido B 2 ). ¿Cuál es la probabilidad de que la mujer fume? Una vez que el evento “mujer” ocurre, éste reemplaza a S como el espacio muestral de interés. Por lo tanto, la probabilidad de tener un fumador en este caso es el número de mujeres que fuman entre el número total de estas, es decir, P( A1∣B 2)=n12 /(n12 +n22) donde la barra vertical se lee “dado que”. La anterior recibe el nombre de “probabilidad condicional” de A 1 dada la ocurrencia de B 2 . En general se tiene que

2

2

P( Ai∣B j )=nij / ∑ nij i=1

y por simetría, 2

P(B j∣Ai )=nij / ∑ nij j=1

Al dividir el numerador y el denominador del miembro derecho de la primera fórmula de la probabilidad condicional por n , se tiene: P( Ai∣B j )=

n ij /n 2

∑ nij / n i=1

2

pero P( Ai∩B j)=nij /n y P( B j )=∑ nij /n , por consiguiente, i=1

P( Ai∣B j )=

P (A i∩B j) , P( B j )>0 P(B j )

P( B j∣Ai )=

P (A i∩B j) , P( Ai )>0 P( Ai )

y equivalentemente

█ Para definir las probabilidades conjunta, marginal y condicional se ha empleado un ejemplo específico, en el cual el espacio muestral contiene un número finito de resultados. Sin embargo, las definiciones anteriores se pueden extender para incluir cualquier espacio muestral discreto o continuo. Definición. Sean A y B dos eventos cualesquiera que se encuentran en un espacio muestral S de manera tal que P( B)> 0 . La probabilidad condicional de A al ocurrir el evento B, es el cociente de la probabilidad conjunta de A y B con respecto a la probabilidad marginal de B. De esta manera P( A∣B)=

P( A∩B) , P( B)> 0 P(B)

La identidad de la definición anterior se puede reescribir, lo que da como resultado la regla de multiplicación de probabilidades, dada por P( A∩B)=P (B) P( A∣B) Por simetría, P( B∣A)=

P( A∩B) , P( A)>0 y entonces P( A∩B)=P ( A )P(B∣A) . P (A )

Comparando las dos fórmulas de la regla de multiplicación, se deduce que

3

P( A)P (B∣A)=P (B) P( A∣B) Ejemplo A los habitantes de una gran ciudad de los Estados Unidos se les hizo una encuesta con el propósito de determinar el número de lectores de los semanarios Time y Newsweek. Los resultados de la encuesta fueron los siguientes: 20% de los habitantes leen el Time, el 16% lee el Newsweek y un 1% lee ambos semanarios. Si se selecciona al azar a un lector del Time, ¿cuál es la probabilidad de que también lea el Newsweek? Solución Sean A = “el lector lee el Time” y B = “el lector lee el Newsweek”. Dado que P(A) = 0.2, P(B) = 0.16 y P(A ∩ B) = 0.01, P( A∩B) 0.01 P( B∣A)= = =0.05 P (A ) 0.2 También se puede determinar la probabilidad de que un lector del Newsweek lea además el Time: P( A∣B)=

P( A∩B) 0.01 = =0.0625 P(B) 0.16

y se verifica la relación P( A) P (B∣A)=P (B) P( A∣B) 0 (0.2)(0.05)=( 0.16)(0.0625)

█

Ejemplo Determine la probabilidad de tomar al azar en sucesión dos ases de una baraja de 52 cartas, si la selección se realiza sin reemplazo. Solución Sean los sucesos A1 = “se obtiene un as en la primera selección” y A2 = “se obtiene un as en la segunda selección”, entonces:

( 524 )( 513 )=( 131 )( 171 ) = 2211

P (A1∩ A2)= P( A1) P (A2∣A1 )=

█

La regla de la multiplicación (o del producto) extendida hasta incluir n sucesos A1 , A2 ,… , An se presenta enseguida: P (A1∩ A2∩…∩ An)=P ( A1) P (A2∣A1 ) P ( A3∣A1∩ A2)… P( An∣A1∩ A2∩…∩ An−1)

Ejemplo En una reunión hay 10 personas. Calcular la probabilidad de que celebren su cumpleaños el mismo día del año al menos dos personas. Solución P (al menos 2 cumplan año el mismo día)=1− P(todos cumplan año en un día distinto)

4

364 363 356 ⋯ ( 365 365 )( 365 )( 365 ) ( 365 )

█

=1−

Ejemplo Muchos bancos usan modelos computarizados para dar un puntaje determinado a las solicitudes de préstamo. Este puntaje se emplea como una ayuda para decidir si otorgar el préstamo. Supóngase que el 3% de todos los préstamos que se otorgan presentan problemas por incumplimiento de pago y que los modelos de crédito son precisos en un 80%. Si el 85% de todas las solicitudes reciben puntuaciones favorables por los modelos computarizados y se les otorga el préstamo, determinar la probabilidad de que una solicitud que recibe una puntuación favorable y a la que se le otorga el préstamo, no presente ningún problema para el pago de éste. Solución Sean los eventos A = “incumplimiento de pago” y B = “puntuación favorable”. Del enunciado del problema se tiene que: P(A) = 0.03, P(B) = 0.85 y P(B│AC) = 0.8, donde AC = “cumplimiento de pago”. Lo que se busca es P(AC │B), es decir, la probabilidad de que no exista ningún problema en el pago del préstamo, dado que la solicitud obtuvo una puntuación favorable. Usando la relación P( B) P( AC∣B)=P( AC ) P (B∣AC ) o equivalentemente P( A C ) P( B∣A C ) C P( A ∣B)= P(B) y dado que P(AC) = 0.97, la probabilidad deseada es P( AC∣B)=

(0.97)(0.8) =0.9129 . 0.85

█

Ejemplo Una planta recibe reguladores de voltaje de dos diferentes proveedores B 1 y B 2 ; el 75% de los reguladores se compra a B 1 y el resto a B 2 . El porcentaje de reguladores defectuosos que se reciben de B 1 es 8% y el de B 2 es de 10%. Determinar la probabilidad de que funcione un regulador de voltaje de acuerdo con las especificaciones (es decir, el regulador no está defectuoso). Solución Sea A = “el regulador de voltaje es no defectuoso”. Es claro que B 1∩B 2=∅ . Por lo tanto P( A)=P( A∩B1)+ P( A∩B2 ) pero P( A∩B 1)=P(B1 )P( A∣B1 ) y P( A∩B 2)=P( B2 )P ( A∣B2 ) , en donde se conocen P( B1)=0.75 , P( B2)=0.25 , P( A∣B1)=0.92 y P( A∣B2)=0.9 . Sustituyendo:

P( A)=P( B1 ) P( A∣B1 )+P (B 2) P( A∣B2)=(0.75)(0.92)+( 0.25)(0.90)=0.915 █

5

La última fórmula del ejemplo anterior se generaliza en el siguiente teorema: Teorema de la Probabilidad Total. Sea B1 , B 2 ,… , B n una partición del espacio muestral S y A un evento de S , entonces n

P (A)=∑ P ( B i) P ( A∣Bi ) i=1

Demostración Sean B1 , B 2 ,… , B n una partición de S y A un evento de S . Entonces A= A∩S= A∩(B1∪B 2∪…∪ Bn )=( A∩B1 )∪(A∩B 2)∪…∪( A∩B n) La siguiente figura ilustra el caso n = 4:

Entonces observemos que la probabilidad de A puede calcularse como: P (A)=P ( A∩B1)+ P ( A∩B 2)+⋯+ P (A∩ Bn ) =P (B 1) P( A∣B1)+ P ( B 2) P ( A∣B2 )+⋯+ P( Bn ) P ( A∣B n) n

=∑ P ( B i) P (A∣Bi )

█

i=1

Ejemplo Cierto artículo es manufacturado por dos fábricas: la fábrica 1 y la fábrica 2. La fábrica 1 suministra el 60% de la producción y produce un 3% de artículos defectuosos, mientras que la fábrica 2 suministra el 40% de la producción y produce un 2% de artículos defectuosos. Si se escoge un artículo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuoso? Solución Sean los eventos A = “el artículo escogido es defectuoso”, B1 = “el artículo proviene de la fábrica 1” y B2 = “el artículo proviene de la fábrica 2”. Entonces P ( A)=P (B1 ) P ( A∣B 1)+ P ( B 2) P( A∣B2 ) =(0.60)(0.03)+(0.40)( 0.02)=0.026

█

Supóngase ahora que la ocurrencia de un evento B no tiene efecto alguno sobre la probabilidad de otro 6

evento A, es decir, que la probabilidad condicional P( A∣B) es igual a la probabilidad marginal P( A) , a pesar de que ya haya ocurrido el evento B. Esta situación origina un concepto muy importante que se conoce como independencia estadística. Definición. Sean A y B dos eventos cualesquiera de un espacio muestral S. Se dice que el evento A es estadísticamente independiente del evento B si P( A∣B)=P( A) . Algunas consecuencias importantes de la definición anterior se deducen a continuación. Si un evento A es estadísticamente independiente de otro B, puesto que P( A)=P( A∣B)=

P( A∩B) , se P (B)

deduce que P (A∩ B)=P (A)P ( B) . Además, puesto que P( A∩B)=P ( A )P(B∣A) entonces P( A)P (B)=P (A ) P( B∣A) o bien P( B)=P( B∣A) . Por lo tanto, puede concluirse que si un evento A es estadísticamente independiente de otro B, entonces B es estadísticamente independiente de A y se cumplen las tres relaciones siguientes: 1) P( A∣B)=P( A) 2) P( B)=P( B∣A) 3) P( A∩B)=P ( A ) P( B) Se puede demostrar también que “dos sucesos A y B son independientes entre sí, si y sólo si P ( A∩ B)=P (A) P (B) ”. Otra observación importante es que “si A y B son independientes, entonces también lo son las parejas de eventos A y BC, AC y B, AC y BC”. Con la siguiente definición se extiende el concepto de independencia estadística: Definición. Los eventos A 1 , A 2 ,… , A k de un espacio muestral S son estadísticamente independientes si y solo si la probabilidad conjunta de cualquier 2,3, …, k de ellos es igual al producto de sus probabilidades marginales. Por ejemplo, tres eventos A, B y C son estadísticamente independientes si y solo si 1) 2) 3) 4)

P( A∩B)=P ( A ) P( B) P( A∩C)=P( A) P(C) P( B∩C )=P(B) P(C ) P( A∩B∩C)=P ( A ) P( B) P (C)

Ejemplo Se lanza un dado normal y se observa el número de puntos en la cara superior. Sean los sucesos A = “el 1 dado muestra un número par” y B = “el dado muestra un 5 o un 6”. Entonces P( A∩B)= y 6 7

3 2 1 P( A) P (B)= ⋅ = , luego P ( A∩ B)=P ( A) P (B) y A y B son independientes. 6 6 6

█

Ejemplo Un sistema tiene 5 componentes conectadas entre sí como se muestra en la figura: P(B) = 0.90

P(D) = 0.93

B

D

C

E

P(C) = 0.95

P(E) = 0.97

A P(A) = 0.98

donde las probabilidades indican la seguridad de que la componente funcione adecuadamente. Si se supone que el funcionamiento de una componente en particular es independiente del de las demás, ¿cuál es la probabilidad de que el sistema trabaje? Solución Suponiendo la independencia de los eventos, el sistema funcionará si A y B y/o C, y D y/o E lo hacen. El evento que representa al sistema funcionando será F=A∩( B∪C )∩( D∪E) , por consiguiente P( F)=P ( A∩( B∪C )∩( D ∪E))=P( A) P( B∪C) P ( D∪E) C C C C C pero P( B∪C )=1−P( B∪C) =1−P (B ∩C )=1−P( B ) P(C )=1−(0.10)(0.05)=0.995 y C C C C C P( D∪E)=1−P( D∪E) =1−P( D ∩E )=1−P ( D ) P( E )=1−(0.07 )( 0.03)=0.9979 , por tanto

█

P( F)=(0.98)(0.995)(0.9979)=0.973

El teorema de Bayes, es una proposición planteada por el filósofo inglés Thomas Bayes (1702-1761), que expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A. El teorema de Bayes es de enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A. Comúnmente se inicia un análisis de probabilidades con una asignación inicial, probabilidad a priori. Cuando se tiene alguna información adicional se procede a calcular las probabilidades revisadas o a posteriori. El teorema de Bayes permite calcular las probabilidades a posteriori y a continuación se presenta su enunciado.

8

Teorema de Bayes Sean B 1 , B2 , …, B n una partición del espacio muestral S y A un evento de S, entonces la probabilidad condicional P (B j∣A) se puede calcular mediante la siguiente fórmula: P ( B j∣A)=

P ( A∩ B j ) P( B j ) P ( A∣B j) = k P (A) ∑ P (B i) P ( A∣Bi ) i=1

Ejemplo Una fábrica de neumáticos tiene tres líneas de producción. Cada una de estas líneas produce el 20, 30 y 50 por 100 de la producción total de un día. Se conoce, por experiencia de diversas inspecciones, que el porcentaje de neumáticos defectuosos fabricados por cada una de las tres líneas es de 1%, 1.5% y 2%. De la producción de un día se elige un neumático al azar, calcular: 1) La probabilidad de que sea defectuoso. 2) Si el neumático elegido es defectuoso, la probabilidad de que haya sido fabricado en la línea 2. 3) Si el neumático no tiene defectos, la probabilidad que haya sido fabricado por una de las dos primeras líneas. Solución Sean los eventos D = “el neumático escogido es defectuoso”, L1 = “el neumático proviene de la linea 1”, L2 = “el neumático proviene de la linea 2” y L3 = “el neumático proviene de la linea 3”. Observe que S = L1 U L2 U L3. 1) Por el Teorema de la Probabilidad Total: P (D)=P ( L1 ) P( D∣L1)+ P (L 2) P ( D∣L2 )+ P ( L3 )P ( D∣L 3) =(0.20)(0.01)+(0.30)(0.015)+(0.50)(0.02)=0.0165≡1.65 % 2) Por el Teorema de Bayes: P ( L 2) P( D∣L2 ) (0.30)(0.015) P (L2∣D)= = =0.273≡27.3 % P (L1 )P ( D∣L 1)+ P ( L2 ) P( D∣L2 )+ P( L3) P (D∣L3 ) 0.0165 3) La probabilidad pedida es: P ( L1∪ L2∣DC )=P ( L1∣DC )+ P (L 2∣DC ) =

P (DC∣L1 )P ( L1) P ( DC∣L2) P ( L 2) + P ( DC ) P( DC )

=

(1−0.01)( 0.2) (1−0.015)(0.3) + 1−0.0165 1−0.0165 █

=0.2013+0.3004=0.5017=50.17 %

Ejemplo Un estudiante de Matemática tiene un despertador que sonaría a la hora fijada con probabilidad 0.7. Si suena, le despertaría a tiempo para llegar a su clase de estadística con probabilidad de 0.8. Si no suena, la probabilidad de que llegue a clase es 0.3. Calcular: a) Probabilidad de que un día cualquiera llegue a clase de estadística. 9

b) Encontramos al estudiante en su clase de estadística. Probabilidad de que el despertador haya sonado. Solución Definiendo los sucesos: L = “llegar a tiempo a la clase de Estadística” Q = “que suene el despertador” a) Por el Teorema de la Probabilidad Total: P ( L)=P ( L∣Q) P(Q)+ P ( L∣Q C ) P (QC )=(0.8)(0.7)+(0.3)(1−0.7)=0.65≡65 % b) La probabilidad buscada es: P (Q∣L)=

P( L∣Q)P (Q) (0.8)(0.7) = =0.861≡86.1 % P ( L) 0.65

█

Permutaciones y combinaciones. En probabilidad es necesario a menudo contar el número posible de resultados de un experimento, así como el número de resultados que son favorables a un evento dado. Este proceso de conteo puede simplificarse mucho con las dos técnicas de conteo llamadas permutaciones y combinaciones. Una permutación es un arreglo en un orden particular de los objetos que forman un conjunto. Considere por ejemplo, todos los posibles ordenamientos de las letras a, b y c. Por el principio del producto1 hay 3×2×1=6 maneras en las que se pueden arreglar las 3 letras. Los 6 arreglos o permutaciones son: abc , acb , bac , bca , cab , cba Con el mismo razonamiento, el número total de maneras en que pueden arreglarse las letras a, b, c y d es 4×3×2×1=24 . En general, el número de permutaciones de n objetos distintos es: n(n−1)(n−2)⋯(3)(2)(1) El anterior producto se denota por n! y se lee “n factorial”. Por ejemplo, 2!=2×1=2 , 3!=3×2×1=6 , 4!=4×3×2×1=24 , etc. De la fórmula general del factorial se obtiene:

n!=n(n−1)! Se definen 1!=1 y 0!=1 . Deduzcamos ahora el número de permutaciones de n objetos, si se toman r a la vez: P(n , r )=n( n−1)(n−2)⋯(n−( r−1))=n(n−1)(n−2)⋯(n−r + 1)

1 Si un evento puede ocurrir de n1 maneras diferentes y si una vez que ha ocurrido, otro evento puede ocurrir de n2 maneras diferentes, entonces la cantidad de maneras en que pueden ocurrir los dos eventos, en este orden específico es n1 n 2 .

10

=

n(n−1)(n−2)⋯(n−r +1)(n−r )! n! = (n−r )! (n−r )!

Por consiguiente, P(n , r )=

n! . (n−r )!

Ejemplo En cierto país, las placas de los automóviles se identifican por tres letras y tres números. a) ¿Cuál es el número total si ninguna letra de placas posible puede usarse más de una ocasión? b) ¿Cuál es el número total, sin esta restricción? Solución

27! 27×26×25×24! ×103= ×103=17550000 24! (27−3)! 3 3 b) 27 ×10 =19683000 a)

P(27,3)×103 =

█

Una selección de r objetos, tomados de un conjunto de n objetos diferentes, en la cual no importa el orden de los r objetos seleccionados es llamada una combinación. El número de combinaciones de r objetos, tomados de un conjunto de n objetos distintos se denota por n y se lee “n combinación r”. r

()

Puede obtenerse el número de combinaciones de n objetos tomando r a la vez, dividiendo el número de permutaciones por r! , dado que en cada combinación existen r! permutaciones. Por tanto

(nr)=

P(n , r ) n! = r! r !(n−r )!

Ejemplo El número de combinaciones que se pueden formar con las letras a, b y c tomadas de dos en dos, es 3 = 3! =3 . Estas combinaciones son {a,b}, {a,c} y {b,c} (observe que {a,b} = {b,a}). █ 2 2!1!

()

Ejemplo En un grupo de 5 hombres y 4 mujeres, ¿de cuántas maneras es posible seleccionar a 3 hombres y a 2 mujeres? Solución Se pueden elegir 3 hombres de 5 en 5 maneras y se pueden elegir 2 mujeres de 4 en 4 maneras. 3 2 Por lo tanto, se pueden elegir los hombres y las mujeres de 5 ⋅ 4 =10⋅6=60 maneras distintas. █ 3 2

()

()

( )( )

11

Ejercicios sobre probabilidad conjunta, marginal, condicional, eventos independientes y Teorema de Bayes. 1) Los empleados de la compañía New Horizons se encuentran separados en tres divisiones: administración, operación de planta y ventas. La siguiente tabla indica el número de empleados en cada división clasificados por sexo.

Mujer (M) Hombre (H)

Totales

Administración (A)

20

30

50

Operación de planta (O)

60

140

200

Ventas (V)

100

50

150

Totales

180

220

400

a) Usar un diagrama de Venn para ilustrar los eventos O y M para todos los empleados de la compañía. ¿Son mutuamente excluyentes? b) Si se elige aleatoriamente un empleado: i) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer? ii) ¿Cuál es la probabilidad de que trabaje en ventas? iii) ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre y trabaje en la división de administración? iv) ¿Cuál es la probabilidad de que trabaje en la división de operación de planta, si es mujer? v) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer si trabaja en la división de operación de planta? c) ¿Son los eventos V y H estadísticamente independientes? d) ¿Son los eventos A y M estadísticamente independientes? e) Determinar las siguientes probabilidades: C i) P( A∪M ) ii) P( A∪M ) iii) P(O∩M ) iv) P( M∣A) C

2) Demuéstrese que para cualesquiera dos eventos A y B, P( A∣B)+ P( A ∣B)=1 , a condición de que P( B)≠0 . 3) Sean A y B dos eventos mutuamente excluyentes. Muéstrese que no pueden ser independientes. ¿Hay alguna excepción? 4) Una familia tiene tres hijos. Determinar todas las posibles permutaciones, con respecto al sexo de los hijos (el espacio muestral). Bajo suposiciones adecuadas, ¿cuál es la probabilidad de que, exactamente, dos de los hijos tengan el mismo sexo?, ¿cuál es la probabilidad de tener un varón y dos mujeres?, ¿cuál es la probabilidad de tener tres hijos del mismo sexo? 5) Se lanza una moneda diez veces y en todos los lanzamientos el resultado es cara. ¿Cuál es la probabilidad de este evento?, ¿cuál es la probabilidad de que en el decimoprimero lanzamiento el resultado sea cruz? 6) Una agencia automotriz recibe un embarque de 20 automóviles nuevos. Entre éstos, dos tienen defectos. La agencia decide seleccionar, aleatoriamente, dos automóviles de entre los 20 y aceptar el embarque si ninguno de los dos vehículos seleccionados tiene defectos. ¿Cuál es la probabilidad de aceptar el embarque? 7) Se lanza una moneda con una probabilidad de 2/3 que el resultado sea cara. Si aparece una cara, se extrae una pelota, aleatoriamente, de una urna que contiene dos pelotas rojas y tres verdes. Si el resultado es cruz se extrae una pelota, de otra urna, que contiene dos rojas y dos verdes. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una pelota roja?

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8) Expedientes médicos muestran que uno de 10 individuos de cierta ciudad tienen una condición tiroidal baja. Si se eligen al azar 20 personas de esa ciudad y se les examina, ¿cuál es la probabilidad de que cuando menos uno de ellos tendrá una condición tiroidal baja? 9) La probabilidad de que cierto componente eléctrico funcione es de 0.9. Un aparato contiene dos de estos componentes. El aparato funcionará mientras lo haga, por lo menos, uno de los componentes. i) Sin importar cuál de los dos componentes funcione o no, ¿cuáles son los posibles resultados y sus respectivas probabilidades? (Pude suponerse independencia en la operación entre los componentes). ii) ¿Cuál es la probabilidad de que el aparato funcione? 10) Un sistema contiene tres componentes A, B y C. Éstos pueden conectarse en una cualquiera, de las cuatro configuraciones mostradas en la figura que se muestra abajo. Si los tres componentes operan

de manera independiente y si la probabilidad de que uno, cualquiera de ellos, esté funcionando es de 0.95, determinar la probabilidad de que el sistema funcione para cada una de las cuatro configuraciones.

11) El 5% de las unidades producidas en una fábrica se encuentran defectuosas cuando el proceso de fabricación se en encuentra bajo control. Si el proceso se encuentra fuera de control, se produce un 30% de unidades defectuosas. La probabilidad marginal de que el proceso se encuentre bajo control es de 0.92. Si se escoge aleatoriamente una unidad y se encuentra que es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que el proceso se encuentre bajo control? 12) Una planta armadora recibe microcircuitos provenientes de tres distintos fabricantes B 1 , B 2 y B 3 . El 50% del total se compra a B 1 , mientras que a B 2 y B 3 se les compra un 25% a cada uno. El porcentaje de circuitos defectuosos para B 1 , B 2 y B 3 es de 5, 10 y 12% respectivamente. Si los circuitos se almacenan en la planta sin importar quién fue el proveedor: i) Determinar la probabilidad de que una unidad armada en la planta contenga un circuito defectuoso. ii) Si un circuito no está defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido vendido por el proveedor B 2 ? 13) Un inversionista está pensando en comprar un número muy grande de acciones de una compañía. La cotización de las acciones en la bolsa, durante los seis meses anteriores, es de gran interés para el

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inversionista. Con base en esta información, se observa que la cotización se relaciona con el producto nacional bruto (PNB). Si el PNB aumenta, la probabilidad de que el valor de las acciones aumente es de 0.8. Si el PNB es el mismo, la probabilidad de que las acciones aumenten su valor es de 0.2. Si el PNB disminuye, la probabilidad es de solo 0.1. Si para los siguientes seis meses se asignan las probabilidades 0.4, 0.3 y 0.3 a los eventos: el PNB aumenta, es el mismo y disminuye, respectivamente, determinar la probabilidad de que las acciones aumenten su valor en los próximos seis meses. 14) Con base en varios estudios una compañía ha clasificado, de acuerdo con la posibilidad de descubrir petróleo, las formaciones geológicas en tres tipos. La compañía pretende perforar un pozo en un determinado sitio, al que se le asignan las probabilidades de 0.35, 0.40 y 0.25 para los tres tipos de formaciones respectivamente. De acuerdo con la experiencia, se sabe que el petróleo se encuentra en un 40% de formaciones del tipo I, en un 20% de formaciones del tipo II y en un 30% de formaciones del tipo III. Si la compañía no descubre petróleo en ese lugar, determínese la probabilidad de que exista una formación del tipo II. 15) En cierta comunidad, el 8% de todos los adultos de más de 50 años de edad padecen diabetes. Si una agencia de atención a la salud de esta comunidad diagnostica correctamente el 95% de todos los casos de diabetes y lo hace de forma incorrecta en el 2% de todos los casos en que no se tiene la enfermedad, determine las probabilidades de que a) la agencia de atención a la salud, diagnosticará que, un adulto mayor de 50 años tiene diabetes b) una persona de más de 50 años a quién la agencia de atención a la salud le diagnosticó diabetes, en realidad no padece la enfermedad 16) Demuestre que si P( A∣B)> P ( A ) entonces P( B∣A)> P (B) . 17) Dados tres eventos A, B y C, tales que P( A∩B∩C)≠0 y P(C∣A∩B)=P(C∣B) , demuestre que P( A∣B∩C)=P( A∣B) . 18) Pruebe que si los eventos A y B son independientes, entonces i) Los eventos A

C

ii) Los eventos A

C

y B son también independientes. y B

C

son también independientes.

19) Si los tres eventos A, B y C son independientes, pruebe que i) A y B∩C son independientes. ii) A y B∪C son independientes. iii) A

C

y B∩C

C

son independientes.

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