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• Edgar Augusto Rodriguez Rodriguez

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TRABAJO COLBORATIVO UNIDAD Nº1 PROBABILIDAD PROGRAMA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Temas: Definición de experimento aleatorio y espacio muestral Eventos o sucesos , operaciones entre eventos Técnicas de conteo: permutaciones, combinaciones Axiomas de probabilidad: Regla de la adición, regla de la multiplicación Probabilidad condicional Teorema de Bayes EJERCICIO Nº1: A continuación se mencionan algunos experimentos aleatorios .En cada uno de los casos se pide describir un espacio muestral. Se extrae una carta de una baraja española (40 cartas ) y se anota la escogida. Se lanzan 6 monedas y se observa la aparición de cara y sellos. Un joven tiene en su bolsillo una moneda de 10 centavos, una de 20, una de 25,una de 50, y otra de un peso. Saca ,una tras otra, dos monedas. ¿Si las saca simultáneamente? En una encuesta a familias con 4 hijos se anotan sus sexos por edad a partir del mayor) Los miembros del club eligen un comité de tres miembros entre los seis candidatos: A, B, C, D, E y F. TEMA: Definición de experimento aleatorio y espacio muestral PROPUESTO POR: Dc Alexander Díaz REFERENCIA: Tomado de ESTADÍSTICA Y MUESTREO, Ciro Martínez Bencardino (1998), Ediciones Ecoe, Bogotá. DESARROLLO: Primero debemos conocer que el espacio muestral son todos los posibles resultados de un experimento.

El espacio muestral son todas las 40 cartas, todas por igual tienen la misma posibilidad de ser escogidas, puede ser cualquier carta de la baraja. Hay dos posibles resultados para cada moneda : cara o sello , y como hay 6 monedas , hay 2^6 =64 posibles resultados, que van desde (s)(s)(s)(s)(s)(s) hasta (c)(c)(c)(c)(c)(c). Si el joven saca las monedas una tras otra el espacio muestral es: 10 centavos, 20 centavos, 25 centavos, 50 centavos, y otra de un peso.Si las saca todas al mismo tiempo hay 5^5 posibles resultados , es decir, desde la primera hasta la quinta moneda tienen las mismas 5 posibilidades de valor: 10 centavos, 20 centavos, 25 centavos….. Hay dos posibles sexos para cada individuo: Hombre o Mujer, como son 4 hijos por cada familia hay 2^4 =16 posibles resultados, que van desde HHHH hasta MMMM. En este caso, el espacio muestral son todas las combinaciones posibles de los 6 candidatos en grupos de a tres.Este ejercicio se soluciona haciendo una combinación , ya que no es necesario tener en cuenta el orden ,es decir, no importa si colocamos ABC o BCA porque estaríamos hablando del mismo comité. Así: posibles comites=n!/(n-r)!r!=6C3= 6!/(6-3)!3!=20 EJERCICIO Nº2: Cuando agregamos un antibiótico al cultivo de una cepa de bacterias encontramos que de 7.627 bacterias ,4.036 murieron en 1 hora. ¿Cuál es la probabilidad que tiene una bacteria de morir en una hora? Suponiendo que lo sucedido a una bacteria es independiente de lo sucedido a otra y que la probabilidad de morir es constante ¿Cuántas bacterias se esperaría que murieran al cabo de la segunda hora? ¿Cuántas se esperaría que sobrevivieran las primeras dos horas ? TEMA: Eventos o sucesos, operaciones entre eventos PROPUESTO POR: Dc Alexander Díaz REFERENCIA: Tomado de ESTADÍSTICA Y MUESTREO, Ciro Martínez Bencardino (1998), Ediciones Ecoe, Bogotá. DESARROLLO: ¿Cuál es la probabilidad que tiene una bacteria de morir en una hora? P=(Nº de casos favorables)/(Nº de casos posibles)=4036/7627=0.529≅0.53% Suponiendo que lo sucedido a una bacteria es independiente de lo sucedido a otra y que la probabilidad de morir es constante ¿Cuántas bacterias se esperaría que murieran al cabo de la segunda hora?

Llegan vivas a la segunda hora 7627-4036=3591 bacterias, si la probabilidad de morir es constante morirá el 53% de esas bacterias, es decir: Bacterias muertas en la 2 hora=3591×(0.53)=1903.23≅1903 ¿Cuántas se esperaría que sobrevivieran las primeras dos horas ? Se esperaría que vivieran las primeras dos horas: Bacterias sobrevivientes=3591-1903=1688 Sobreviven 1688 bacterias. EJERCICIO Nº3: Se lanza un dado. Verifique si los eventos A y B son independientes: A =numero par y B= número divisible entre 3 A=numero par y B=número mayor a 3 A=numero divisible entre 3 y B=número mayor a 3 TEMA: Eventos o sucesos, operaciones entre eventos. PROPUESTO POR: Dc Alexander Díaz REFERENCIA: Tomado de Problemario de probabilidad Escrito por Piotr Marian Wisniewski,Gabriel Velasco Sotomayor(2001).Editorial Cengage Learning , México. DESARROLLO: Los sucesos independientes , la ocurrencia del uno no afecta la ocurrencia del otro . A = número par y B= número divisible entre 3 .No son independientes, puesto que hay un número par que a su vez es divisible por 3: el seis. Son sucesos compatibles, pueden suceder simultáneamente. A=número par y B=número mayor a 3.No son independientes puesto que hay dos números pares mayores que tres: 4 y 6. Son sucesos compatibles, pueden suceder simultáneamente. A=número divisible entre 3 y B=número mayor a 3 .No son independientes puesto que el seis es divisible por 3 y es mayor que este. Son sucesos compatibles , pueden suceder simultáneamente. EJERCICIO Nº4: Se selecciona un comité de 3 personas entre los miembros A, B, C, D, E y F.

Calcular la probabilidad de que A y B sean elegidos sabiendo que ni C ni D formarán parte del comité. Calcular la probabilidad de que A o B sean elegidos, sabiendo que ni C ni D formarán parte del comité. TEMA: Axiomas de probabilidad: Regla de la adición, regla de la multiplicación PROPUESTO POR: Dc Alexander Díaz REFERENCIA: Tomado de ESTADÍSTICA Y MUESTREO, Ciro Martínez Bencardino (1998), Ediciones Ecoe, Bogotá. DESARROLLO: La elección de A y B en el comité son sucesos dependientes. La probabilidad de que ocurra la elección de A, es afectada por la de B y viceversa. Esto se debe a que al elegir el primero hay 4 candidatos, para elegir al siguiente quedan 3 candidatos, lo cual cambia la probabilidad. Calculamos la probabilidad de ocurrencia de cada uno de los sucesos por separado: Pa=1/4 Como ya se eligió A , quedan 3 candidatos entre los cuales se puede elegir a B: Pb=1/3 Luego, aplicamos la regla de la multiplicación para encontrar la probabilidad de que A y B sean elegidos: Pa y b=1/4×1/3=1/12 La probabilidad de que alguno de los dos A o B sean elegidos se obtiene sumando las probabilidades de ser elegidos cada uno de ellos por separado entre los 4 candidatos: Pa y b=Pa+ Pb=1/4+1/4=1/2=0.5=50% EJERCICIO Nº5: Supóngase que en lote de 200 automóviles Nissan se repartirán aleatoriamente 120 para el mercado interno y 80 para exportación.30 de los autos de exportación son de color gris, 30 son verdes y los otros 20 azules. Además, la mitad de los automóviles del mercado interno son grises, 30 verdes y el resto azules. Si el gerente elige aleatoriamente un automóvil de color gris, ¿cúal es la probabilidad de que dicho automóvil sea de exportación?. TEMA: Probabilidad condicional PROPUESTO POR: Dc Alexander Díaz

REFERENCIA: Tomado de Fundamentos de Probabilidad y Estadística ,escrito por Olga Vladimirovna Panteleeva,(2005) , Toluca México. DESARROLLO: Hacemos un cuadro de dos entradas: EXPORTACION MERCADO INTERNO GRIS 30 60 VERDE 30 30 AZUL 20 30 TOTAL 80 120 Loa autos grises y de exportación son 30=15%=0.15 Los autos de exportación son 80=40%=0.4 Si el gerente elige aleatoriamente un automóvil de color gris, la probabilidad de que dicho automóvil sea de exportación. P=(0.15)/(0.4)=0.375=37.5% EJERCICIO Nº6: Determine cuantas permutaciones distinguibles se pueden hacer con las siete letras de la palabra manzana si la condición es que: Las tres a queden juntas Empiecen con las dos n TEMA: Técnicas de conteo: permutaciones, combinaciones PROPUESTO POR: Dc Alexander Díaz REFERENCIA: Tomado de Problemario de probabilidad Escrito por Piotr Marian Wisniewski,Gabriel Velasco Sotomayor(2001).Editorial Cengage Learning , México. DESARROLLO: La palabra manzana tiene letras repetidas: dos N y tres A. a) Como las tres A tienen que quedar juntas , podemos considerar estas tres letras como una sola. Así, queda una palabra con 5 letras , de las cuales hay una n repetida(permutación con repetición).Entonces se pueden formar: P_(5(r:2))=5!/2!=60 palabras

b) Si las palabras tienen que empezar y terminar en n , en el primero y ultimo lugar de la palabra solo hay una posibilidad .Así: n_ _ _ _ _ n Luego: quedan 5 letras para ubicar de las cuales tres son A (permutación con repetición).Con estas 5 letras se pueden formar: P_(5(r:3))=5!/3!=20 palabras A todas ellas les podemos colocar n al inicio y al final para formar 20 palabras que empiecen y terminen con n. EJERCICIO Nº7: Un fabricante estudia los efectos de la temperatura en la cocción, tiempo de cocción y tipo de aceite para la cocción para hacer papas fritas. Se utilizan tres diferentes temperaturas, cuatro diferentes tiempos de cocción y tres diferentes aceites. ¿Cuál es el número total de combinaciones a estudiar? ¿Cuántas combinaciones se utilizaran para cada tipo de aceite? Discuta ¿Por qué las permutaciones no son un problema en este ejercicio? TEMA: Técnicas de conteo: permutaciones, combinaciones PROPUESTO POR: Dc Alexander Díaz REFERENCIA: Tomado de Probabilidad y estadística para ingenieros, Sexta edición, Ronald E. Walpole, Raymond H. Myers y Sharon L. Myers (1999), México. DESARROLLO: Para hallar el número total de combinaciones a estudiar , escribimos las opciones que hay para cada elemento de la fórmula: Elementos={ T1,T2,T3; t1,t2,t3,t4 ;A1,A2,A3 } Donde T es temperatura, t es tiempo y A es aceite. De cada uno de los subgrupos de los factores: temperatura, tiempo y tipo de aceite necesitamos sacar uno solo en cada fórmula (un grupo de 1 solo elemneto). No importa el orden de los elementos, puesto que forman una misma fórmula en la cual además no se repite ningún elemento para ninguno de los factores. posibles Temperaturas=n!/(n-r)!r!=3C1= 3!/(3-1)!1!=3 posibles tiempos=n!/(n-r)!r!=4C1=4

posibles tipos de aceite=n!/(n-r)!r!=3C1=3 El número total de combinaciones a estudiar es: Total combinaciones=3×4×3=36 Para cada tipo de aceite se utilizarán: Combinaciones por cada tipo de aceite=totalcomb/Nºaceites = 36/3 Combinaciones por cada tipo de aceite=4T×3t=12 En las permutaciones se tiene en cuenta el orden de los elementos, es decir, cuando estamos hablando de una de ellas ABC es diferente de CBA, se diferencian las posibles agrupaciones por el orden de sus elementos. En cambio, las combinaciones son un arreglo de elementos sin importar el orden. No importa el orden de los elementos a utilizar en la cocción, hablaremos de la misma fórmula para cocer papas fritas. EJERCICIO Nº8: Un fabricante de una vacuna contra la gripe se interesa en la calidad de su suero. Tres diferentes departamentos procesan los lotes de suero y tiene tasa de rechazo de 0.10 , 0.08 y 0.12 , respectivamente .Las inspecciones de los departamentos son secuenciales e independientes. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un lote de suero sobreviva a la primera inspección departamental pero, sea rechazado por el segundo departamento? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un lote de suero sea rechazado por el tercer departamento? TEMA: Axiomas de probabilidad: Regla de la adición, regla de la multiplicación PROPUESTO POR: Dc Alexander Díaz REFERENCIA: Tomado de Probabilidad y estadística para ingenieros, Sexta edición, Ronald E. Walpole, Raymond H. Myers y Sharon L. Myers(1999), México. DESARROLLO: a) ¿Cuál es la probabilidad de que un lote de suero sobreviva a la primera inspección departamental pero, sea rechazado por el segundo departamento? Se trata de sucesos dependientes. De la probabilidad de sobrevivir a la primera inspección depende la probabilidad de ser rechazada en la segunda. La probabilidad de sobrevivir a la primera inspección es: Sprimera=1-0.10=0.9

La probabilidad de sobrevivir a la primera inspección Y ser rechazada en la segunda se obtiene multiplicando las dos: S primera y Rsegunda=S primera ×S segunda S primera y R segunda=0.9 ×0.08=0.072=7.2% b)¿Cuál es la probabilidad de que un lote de suero sea rechazado por el tercer departamento? S primera ,R segunda y R tercera=0.9 ×0.08×0.12=0.00864=0.864% EJERCICIO Nº9: Cierta agencia federal emplea a tres empresas consultoras (A, B y C) con probabilidades de 0.110, 0.35 y 0.25 respectivamente. De la experiencia pasada se sabe que las probabilidades de excesos en costo de las empresas son 0.05, 0.03 y 0.15 respectivamente. Suponga que la agencia experimenta un exceso en los costos. ¿Cuál es la probabilidad de que la empresa consultora implicada sea la compañía C? ¿Cuál es la probabilidad de que sea la compañía A? TEMA: Teorema de Bayes PROPUESTO POR: Dc Alexander Díaz REFERENCIA: Tomado de Probabilidad y estadística para ingenieros, Sexta edición, Ronald E. Walpole, Raymond H. Myers y Sharon L. Myers(1999), México. DESARROLLO: Las probabilidades de que sea empleada la consultora a, b y c son: Pa=0.11;Pb=0.35 y Pc=0.25 La probabilidad de que sea empleada determinada consultora y se experimente un exceso de costos en la agencia es: Pea=0.05 ×0.11=0.0055 Peb=0.03 ×0.35=0.0105 Pec=0.15×0.25=0.0375 Los sucesos son independientes, es decir, si se experimenta un incremento en los costos de la agencia, este solo puede haber sido ocasionado por una sola consultora por lo tanto la probabilidad de que el tanque haya salido de la consultora A o de la consultora B o de la C, se obtiene aplicando la regla de adición. Petotal=0.0055+0.0105+0.0375=0.0535

Ahora sí, podemos aplicar la formula de Bayes para hallar la probabilidad de que la consultora implicada sea la C es : Pc|e=Pec/Petotal=0.0375/0.0535=0.7=70% Aplicamos la formula de Bayes para hallar la probabilidad de que la consultora implicada sea la A es : Pa|e=Pea/Petotal=0.0055/0.0535=0.102=10.2% EJERCICIO Nº10: Tres distribuidores de gas se distribuyen el mercado de una ciudad , al distribuidor A le corresponde el 50%,al B el 30% y al C únicamente el 20%.Las autoridades locales hacen una inspección en cada una de las distribuidoras y encuentran que en A el 5% de las válvulas de los tanques está defectuosos , en B el 3%, y en C es del 8%.Suponiendo que la distribución no esté demarcada por zonas , se presenta un escape con las consecuencias de una explosión que produce daños ¿Cuál es la probabilidad de que el tanque causante del daño haya sido suministrado por el distribuidor A o el distribuidor B o el distribuidor C. TEMA: Teorema de Bayes. PROPUESTO POR: Dc Alexander Díaz REFERENCIA: Tomado de ESTADÍSTICA Y MUESTREO, Ciro Martínez Bencardino, Ediciones Ecoe (1998), Bogotá. DESARROLLO: Las probabilidades de que un tanque de la cuidad haya sido distribuido por la empresa a, b y c son: Pa=0.5;Pb=0.30 y Pc=0.2 La probabilidad de que sean de determinada distribuidora y estén defectuosos es: Pea=0.05 ×0.5=0.025 Peb=0.030 ×0.3=0.009 Pec=0.08×0.2=0.016 Los sucesos son independientes, es decir , si se escoge un tanque defectuoso este solo puede haber salido de una sola distribuidora por lo tanto la probabilidad de que el tanque haya salido de la distribuidora A o de la distribuidora B o de la C se obtiene aplicando la regla de adición. Petotal=0.025+0.009+0.016=0.05

Ahora sí, podemos aplicar la formula de Bayes para hallar la probabilidad de que el tanque que produjo el daño haya sido consecuencia de la distribución de A o la distribuidora B o de la C es : Pa|e=Pea/Petotal=0.025/0.05=0.5=50% Pb|e=Peb/Petotal=0.009/0.05=0.18=18% Pb|e=Peb/Petotal=0.016/0.05=0.32=32%