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• Darlyn Bolaños Garcia

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RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS Ejercicio No. 1. Descarga de granos: La caja de un camión transportador de granos está siendo llenada con el grano proveniente de un silo a razón de 0.5 m3 / min. El grano forma un cono circular recto cuya altura es constantemente igual a 5/4 del radio de la base.

Calcular: a) ¿A qué velocidad está subiendo el vértice del cono cuando la altura es de 1,50 m? b) ¿Cuál es el radio de la base del cono en ese momento y a qué velocidad está variando?

Respuesta (a): 

Calcular la velocidad con que está subiendo el vórtice.

Datos: Si h es la altura del cono, se debe calcular el

𝒅𝒉 𝒅𝒕

cuando h=1,50 m

h r

𝒅𝒗 𝒅𝒕

𝒅𝒉

= 0,5 𝑚3 /𝑚𝑖𝑛

5

ℎ =4∗𝑟

𝒅𝒕

𝑟=

4ℎ 5

=?

si,

ℎ = 1,50 𝑚

Determinar el volumen del grano en cierto intervalo de t; 𝟏

𝑽 = ∗ 𝝅 ∗ 𝒓𝟐 ∗ 𝒉 (1) Reemplazar 𝟑

Entonces, 𝑉=

1 4ℎ 2 ∗𝝅∗( ) ∗ℎ 3 5

𝑉=

1 16ℎ2 ∗𝜋∗ ∗ℎ 3 5

𝑉=

16𝜋 ∗ ℎ3 75

Se derivan ambos lados respecto de t; 𝒅𝒗 𝟏𝟔𝝅 𝒅𝒉 = ∗ 𝟑𝒉𝟐 ∗ 𝒅𝒕 𝟕𝟓 𝒅𝒕 𝑑𝑣 𝑑𝑡

=

16𝜋 75

∗ 3ℎ2 ∗

𝑑ℎ 𝑑𝑡

16𝜋 0,5𝑚3⁄ 2 𝑚𝑖𝑛 = 75 ∗ 3 ℎ ∗

𝑑ℎ 𝑑𝑡

16𝜋 0,5𝑚3⁄ 2 𝑚𝑖𝑛 = 25 ∗ 2,25𝑚 ∗

25 0,5𝑚3⁄ 2 𝑚𝑖𝑛∗ 16∗ 𝜋∗ 2,25𝑚

𝑑ℎ 25 = 𝑑𝑡 56,54𝑚⁄ 𝑚𝑖𝑛

=

𝑑ℎ 𝑑𝑡

𝑑ℎ 𝑑𝑡

𝑑ℎ 25 = = 0,44 𝑚⁄𝑚𝑖𝑛 𝑑𝑡 56,54 𝒅𝒉 = 𝟎, 𝟒𝟒 𝒎/𝒎𝒊𝒏 𝒅𝒕 Respuesta (b): 

Radio de la base del cono en ese momento. 𝑟= 𝑟=



4 ∗ℎ 5

4 ∗ (1,5𝑚) = 𝟏, 𝟐𝟎𝒎 5

Velocidad a la que está variando.

Relación de las derivadas r y t 𝑑𝑟 4 𝑑ℎ = ∗ 𝑑𝑡 5 𝑑𝑡 Entonces, 𝑑𝑟 4 = ∗ (0,44𝑚/𝑚𝑖𝑛 ) 𝑑𝑡 5 𝒅𝒓 = 𝟎, 𝟑𝟓𝒎/𝒎𝒊𝒏 ) 𝒅𝒕

Ejercicio. No. 2. Población de bacterias: La población P de una colonia de bacterias con espacio y alimentos ilimitados, varía con el tiempo de acuerdo a la expresión: P(t)= C. e K.t con C y K constantes, t en horas y K en 1 / hora.

Determinar a) Si en el instante inicial t = 0 la población era de 1000 bacterias y al cabo de 1 hora la misma se duplicó, determina los valores de C y K. b) Bosqueja el gráfico de la función P, halla la velocidad v de crecimiento de la población en función de t y determina el instante de mínima velocidad. c) Calcula la población al cabo de 2 horas y la velocidad de crecimiento en ese instante. d) Demuestra que el modelo matemático adoptado para el estudio del problema consistió en suponer que la velocidad de crecimiento de la población en un instante fue proporcional al número de bacterias en ese instante.

Respuesta a: 

Si cuando, t=0 , P= 1000

calcular valores de C y K cuando 𝑷(𝒕) = 𝑪 ∗ 𝒆𝒌∗𝒕

C y K son constantes, t en horas y K en 1/hora C= 1000

P(1)=2000

Reemplazando en la formula; 𝑃(1) = 1000 ∗ 𝑒 𝑘∗(1) = 2000 𝑒𝑘 =

2000 =2 1000

𝑒𝑘 = 2 𝑲 = 𝒍𝒏 𝟐

t = 1hora

Respuesta b: 

Gráfico de la función de P

Grafico de la funcion P 9000 8000

POBLACION

7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 0

1

2 TIEMPO Serie 1



Velocidad de crecimiento de la población en función de t. 𝑑𝑃 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑡 𝑽(𝒕) =



𝒅𝑷 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒍𝒏 𝟐 ∗ 𝒆(𝒍𝒏 𝟐)𝒕 𝒅𝒕

Al ser la velocidad creciente, la mínima velocidad es = 0, t =0 𝑉𝑚𝑖𝑛 = 1000 ∗ 𝑙𝑛 2𝑏𝑎𝑐𝑡/ℎ 𝑽𝒎𝒊𝒏 = 𝟔𝟗𝟑 𝒃𝒂𝒄𝒕/𝒉

3

Respuesta c: 𝑷(𝒕) = 𝑪 ∗ 𝒆𝒌∗𝒕



Calcular P, cuando t = 2, 𝑃(𝑡) = 𝐶 ∗ 𝑒 𝑘∗𝑡 𝑃(2) = 1000 ∗ 𝑒 (𝑙𝑛 2)(2) 𝑃(2) = 1000 ∗ 𝑒 1,3862 𝑃(2) = 1000 ∗ 3,9996 𝑷(𝟐) = 𝟑𝟗𝟗𝟗, 𝟔 ≈ 𝟒𝟎𝟎𝟎



Velocidad de crecimiento en el mismo instante, es decir cuando t =2, 𝑉(2) = 1000 ∗ 𝑙𝑛 2 ∗ 𝑒 (𝑙𝑛 2)(2) 𝑏𝑎𝑐𝑡/ℎ 𝑉(2) = 1000 ∗ ln 2 ∗ (3,9996)𝑏𝑎𝑐𝑡/ℎ 𝑽(𝟐) = 𝟐𝟕𝟕𝟐 𝒃𝒂𝒄𝒕/𝒉

Respuesta d: Si, 𝑃(𝑡) = 𝐶 ∗ 𝑒 𝑘∗𝑡 𝑑𝑃 𝑑𝑡

= 𝐶 ∗ 𝑒 𝑘∗𝑡

Entonces,

𝑑𝑃 𝑑𝑡

= 𝑘 ∗ 𝑃(𝑡)

Por lo tanto, se puede concluir que la velocidad de crecimiento de la colonia de bacterias es proporcional a la cantidad en cada instante y K es la constante de proporcionalidad.