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Portafolio Ecuaciones Diferenciales

TEMA 1: Matemáticos Que Aportaron Al Estudio De Las Ecuaciones Diferenciales



PLANTEMIENTO DEL PROBLEMA 1. Contextualización El matemático noruego Niels Henrik Abel (1802-1829) hizo aportes en ecuaciones integrales, funciones elípticas, álgebra (probó que las ecuaciones polinómicas de quinto grado no tienen soluciones exactas. Identidad de Abel.



Daniel Bernoulli. El suizo Daniel Bernoulli (1700-1792) hace aportes en dinámica de fluidos (principio de Bernoulli), probabilidad, mecánica (incluyendo el problema de la cuerda vibrante).



Jacques Bernoulli (1654-1705), suizo, hace aportes a la mecánica, geometría, astronomía, probabilidad, cálculo de variaciones y problemas de la braquistócrona. La ecuación de Bernoulli fue propuesta por él en 1695 pero resuelta independientemente por Leibniz y su hermano Jean. Cadena colgante (catenaria).



Jean Bernoulli (1667-1748), matemático suizo, resuelve problemas de trayectorias ortogonales en 1698, mecánica, problema tautócrono; propuso y resolvió el problema de la baquistrócona (también resuelto por su hermano Jacques). Introdujo la idea del factor integrante.



Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846), alemán, hace aportes en astronomía, calculó la órbita del cometa Halley; introdujo las funciones de Bessel y en 1817 estudió el trabajo de Kepler.



El francés Augustin Louis Cauchy (1789-1857) hace aportes en cálculo de probabilidades, cálculo de variaciones, óptica, astronomía, mecánica,

elasticidad, análisis matemático. Creó la teoría de variable compleja (1820) y aplicó su teoría a las ecuaciones diferenciales.



El alemán Johannes Kepler (1571-1630) hace aportes a la geometría, especialmente encontrando áreas que ayudaron a la formulación de sus 3 leyes del movimiento planetario.

DESARROLLO DE EJERCICIOS

TEMA 2: Introducción Fundamentos PLANTEMIENTO DEL PROBLEMA 1. Contextualización Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en: Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente. Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables Aspectos generales Ecuación diferencial diferenciales.

es

una

ecuación

Función primitiva de una ecuación diferencial Dada la ecuación diferencial Ejemplo:

dy  4x  1 dx

que

contiene

derivadas

o

La siguiente función es una función primitiva

y  2x 2  x  C

dy  7x  5 dx

Ejemplo:

Orden de las ecuaciones diferenciales

y

dy  4x  1 dx

7 2 x  5x  C 2

De orden 1

y´ 2 y´´  3 y  2 x  3

De orden 2

y´´q. y  0

De orden 2

2

x  y dx   y  x dy y´´´ y´´ y  sen3x 

De orden 1 De orden 3

DESARROLLO DE EJERCICIOS Ejemplos dy  4x  1 dx

y´ 2 y´´  3 y  2 x  3 2

Derivadas parciales

 2U  2U  2U   0 x.y x 2 y 2

y´´ q. y  0

x  y dx   y  x dy

Diferenciales

y´´´ y´´ y  sen3 x 

TEMA 3: Ecuaciones diferenciales ordinarias PLANTEMIENTO DEL PROBLEMA 1. Contextualización Son ecuaciones que relacionan una función de una sola variable independiente con una o más funciones de sus derivadas.

DESARROLLO DE EJERCICIOS Ejemplos:





dy  x 2  2 ln y  dx

Variable independiente x

d2y dy  x. 0 2 dx dx

Variable independiente x

d3y 2  3y dt 3 y´´2 y´ y  x  1

Variable independiente t

Variable independiente x

2

d 2 s  ds      s 2  3e t 2 dt  dt 

Variable independiente t

TEMA 4: Ecuaciones diferenciales lineales

PLANTEMIENTO DEL PROBLEMA 1. Contextualización Ecuaciones lineales de orden 𝑛

a a x 

dny d n 1 d2y dy      a x  ....  a x  a n 1  x   a n x  y  Rx  1 n2 n n 1 2 dx dx dx dx

𝑛: Orden de la ecuación diferencial que es también el mayor orden de las derivadas.

dmy dx m

a n  m  m x 

Rx 

Derivada de orden m de la variable y con respecto a x

Coeficiente de la derivada de orden m de la variable y con respecto a x, que contiene exclusivamente expresiones en x.

Término independiente, que es función exclusiva de x

DESARROLLO DE EJERCICIOS

Ejemplo de ecuaciones lineales.

Sea :

Pasamos la ecuación a la forma lineal.

( ) Factor integrante:

∫

∫

[

]

∫

TEMA 5: Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas. PLANTEMIENTO DEL PROBLEMA 1. Contextualización Una ecuación diferencial ordinaria lineal y homogénea es una ecuación diferencial lineal que puede ser expresada como un conjunto de sumandos cada uno de los cuales es lineal en la incógnita o una de sus derivadas. A partir de la siguiente ecuación diferencial:

(

)

(

Forma Básica

)

Se dice que la ecuación es homogénea si

(

)

y

tienen el mismo grado.

Forma Básica

DESARROLLO DE EJERCICIOS Se puede obtener el grado de dos formas 

Por la Inspección (

)

(

).

Ejemplo: (

) ( )( (



)

Sumas de exponente por cada termino Ejemplo: (

) ( ( )

Cambio de Variables:

)

)

Ejemplo de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas.

Sea: ( ( ( )

)

(

) )

( (

)

( (

) )

)

∫

∫

TEMA 6: Ecuaciones Diferenciales Separables PLANTEMIENTO DEL PROBLEMA 1. Contextualización

y ´ f  x, y  dy  f x .g  y  dx



dy  gy

 f x dx

dy  f  x, y  dx dy  f  x dx gy

  y    x   C Solución

DESARROLLO DE EJERCICIOS

Ejemplo ecuaciones diferenciales separables

xy xy

2 2

   1dx  y x

  1dy

 x dx  x 2 y  y dy  0 2

 0

x y dx  dy  0 x2 1 y2 1 u  x 2  1;

du  2 x

v  y 2  1; dv  2 y 1 2 xdx 1 2 ydy   0 2  x2 1 2  y2 1 1 du 1 dv   0 2  u 2  v 1 1 ln u  ln v  C 2 2 1 1 ln x 2  1  ln y 2  1  C 2 2

Ejercicios Variados.

1.- Encontrar la solución implícita de la siguiente ecuación diferencial.

dy xy  2 x  4 y  8  dxxy  3x  y  3  0 dy x y  3   y  3  dx x y  2  4 y  2

dy xy  3x  y  3  dx xy  2 x  4 y  8

 y  3x  1  f  y g x  dy   y  2x  4 dx



 y  2dy y3



 y  2dy  x  1dx x  4 y3

x  1dx

 y  3dy

 x  4

5dy

x  4dx

5dy

5dx

  y  3   y  3   x  4   x  4

5dx

 dy   y  3   dx   x  4

y  5 ln y  3  x  5 ln x  4  C

Solución

2.- Ecuaciones diferenciales separables.

y ´ 3x y  4

2

dy  3 x y  4  dx

dy 2  3 x y  4  dx

2

Punto de apoyo dy

 y  4

2

dy

  y  4

 3 xdx

  y  4

2

dy 



  3 xdx

 y  41

3 2 x 2

 2   y  4 3x 2  C

2

1



u  k n 1 n   u  k du   n 1

3  x2  C 2

2 4 y 3x 2  c





n  1

1 3x 2  2c    y  4 2

y

2 4 3x 2  C

Solución

TEMA 7: Ecuaciones Diferenciales De Coeficiente Lineales. PLANTEMIENTO DEL PROBLEMA 1. Contextualización Es una ecuación diferencial que tiene la forma general y comprensible de escribir la ecuación es de la siguiente forma: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) O usando otra notación frecuente: ( )

( )

DESARROLLO DE EJERCICIOS

TEMA 8: Ecuaciones Diferenciales De Coeficiente Lineales de orden “N”. PLANTEMIENTO DEL PROBLEMA 1. Contextualización Del mismo modo que se ha definido la ecuación diferencial lineal de primer orden podemos definir una ecuación diferencial de orden N como: ( ) ( ) ( ) ( ) Donde la derivada mayor que aparece es de orden enésimo. ( ) Vamos a presuponer que para todo x, de modo que estudiaremos las ecuaciones diferenciales lineales de la forma: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) La ecuación diferencial anterior es homogénea si ( ) . En caso contrario se dice que es completa o no homogénea. Pasos para la solución de ecuaciones diferenciales de coeficiente lineal de primer orden: 1. Se convierte a la forma estándar de una ecuación lineal: ( )

( )

2. Hay que identificar P(x) y sacar el factor integrante.

∫ ( ) 3. La ecuación obtenida se multiplica por el factor integrante. 4. Se integran ambos lados de la ecuación obtenida.

DESARROLLO DE EJERCICIOS Ejercicio: (

)

∫ ( )

∫

( ) ( )

∫ [

]

TEMA 9: Ecuaciones Que No Contienen Una De Las Variables PLANTEMIENTO DEL PROBLEMA 1. Contextualización Si no aparece explícitamente en la ecuación diferencial, es decir, nuestra ecuación tiene la forma ( ) En tal caso, introducimos el cambio de variable

) Esta sustitución transforma la ecuación ( en una ecuación diferencial de primer orden ( ) ) Ahora, si logramos encontrar una solución para la ecuación ( , podemos sustituir en ella por e intentar resolver la ecuación diferencial resultante. Este procedimiento reduce la resolución de una ecuación diferencial de segundo orden como a la resolución de dos ecuaciones diferenciales de primer orden.

DESARROLLO DE EJERCICIOS Resolver la ecuación diferencial Solución: La variable está ausente, se puede hacer el cambio con queda

Integrando: ∫

∫

Y

TEMA 10: Ausencia de la variable independiente PLANTEMIENTO DEL PROBLEMA 1. Contextualización Si no está presente en la ecuación diferencial, esta se puede escribir como ( ) Del mismo modo que en el caso anterior, introducimos el cambio de variable , pero ahora expresamos en términos de una derivada respecto de .

Esto nos permite escribir la ecuación ( forma ( Ahora

encontramos

(

)

)

en la

) la

solución

de

la

ecuación

, luego sustituimos en ésta solución

por y resolvemos la ecuación resultante. DESARROLLO DE EJERCICIOS Ejemplo: Resuelva la ecuación diferencial Solución: Haciendo

podemos escribir la ecuación dada como

Separando variables e integrando

√ Separando variables √

√ Integrando

∫ √ 𝑛(

)

Despejando y renombrando las constantes, esta solución puede escribirse como 𝑛( )

TEMA 11: Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogéneas De Coeficientes Constantes PLANTEMIENTO DEL PROBLEMA 1. Contextualización Frecuentemente la resolución de una ecuación diferencial ordinaria puede ser planteada resolviendo primeramente la "versión homogénea" de dicha ecuación diferencial, consistente en una ecuación en que se han eliminado los sumandos necesarios hasta obtener una ecuación homogénea Una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden, con coeficientes constantes a y b, tiene la forma y″ + ay′ + by = 0. Encontramos que la solución de separables es ∫ ( ) Si ( ) es la constante k, ∫

Es la solución

( )

resuelta por variables

DESARROLLO DE EJERCICIOS

TEMA 12: Ecuaciones diferenciales exactas PLANTEMIENTO DEL PROBLEMA 1. Contextualización Una ecuación diferencial M ( x, y)dx  N ( x, y)dy es una diferencial exacta en una región R del plano xy si corresponde a la diferencial de alguna función definida f ( x, y ) en R. Por tanto, una ecuación diferencial de primer orden de la forma M ( x, y)dx  N ( x, y)dy  0 Es una ecuación exacta si la expresión del lado izquierdo es una diferencial exacta.

CRITERIO PARA UNA DIFERENCIAL EXACTA

Una forma de obtener una ecuación diferencial es suponer F (t, y) = C y calcular su diferencial total. En efecto,

(1)

Es frecuente encontrarnos con ecuaciones diferenciales escritas en la forma

y por comparación con (1), podemos preguntarnos si existirá una función F (t; y) tal que

Es un hecho conocido (Teorema de Schwartz) que si la función F (t; y) es ―razonablemente buena", entonces sus derivadas cruzadas coinciden. En consecuencia, tenemos una condición necesaria

Puede demostrarse, que esta condición también es suficiente. Diremos que la ecuación diferencial

es exacta, si cumple

Si la ecuación diferencial es exacta, entonces integrar con respecto a x dejando a y constante

Ahora, podemos derivar respecto de la variable y

En consecuencia,

Integramos respecto de y para encontrar el valor de '(y). Finalmente, la solución de la ecuación diferencial es F (t; y) = c. DESARROLLO DE EJERCICIOS

Ejemplo 1: Para la ecuación diferencial

Se tiene

y puesto que

es exacta. Por tanto, existirá una función F (t; y) tal que

Aplicando la técnica de resolución expuesta anteriormente

Entonces,

La función F (t; y) será: F (t; y) = y la solución general vendrá dada en forma implícita por:

Ejemplo 2: Resolver por el método de las exactas la siguiente ecuación diferencial 2 xydx  ( x 2  1)dy  0

Con M ( x, y )  2 xy

y

N ( x, y )  x 2  1 , se tiene que:

M N  2x  y x

f  2 xy x

f

y

 x   2 xy   f

f  x2 1 y

 2 xyx

Se saca la derivada parcial de la segunda expresión con respecto a y y luego se iguala el resultado con despejando

, se obtiene

se obtiene: g ( y)  1

y

g ( y)   y

2 Por consiguiente f ( x, y )  x y  y 2 forma implícita es: x y  y  c

la solución de la ecuación diferencial en

O bien, la solución de la ecuación diferencial en forma explícita es c y 2 para  1  x  1 x 1 TEMA 13: Factor integrante PLANTEMIENTO DEL PROBLEMA 1. Contextualización

Una ecuación diferencial de primer orden se dice que no es exacta si sus derivadas parciales no cumplen con el criterio para una diferencial exacta. Es decir, sus diferenciales parciales son diferentes: M N  y x

El factor integrante es aquel factor que al multiplicar las derivadas parciales de una ecuación diferencial no exacta la convierten en ecuación diferencial exacta, para luego resolverla con el método de las exactas:

Factor integrante (F.I.): Sea la ecuación diferencial

Teorema del factor integrante (F.I.)

Dos consideraciones importantes para obtener las ED generales por F.I.

Ejemplo 1: Obtener el F.I. de la siguiente ED no exacta y posteriormente resolverla por el método de las exactas 1º Paso: Checar si la ecuación diferencial es exacta o no exacta

2º Paso: Búsqueda del factor integrante (F.I.) para convertir la ecuación diferencial en exacta: Para esto es necesario realizar las dos consideraciones para ver cuál de las dos se puede factorizar y por ende produce un factor integrante:

Factorizando se tiene:

3º Paso: Conversión de la ecuación diferencial no exacta en exacta

4º Paso: Aplicación de los 4 pasos del método de solución de las ED exactas. 1. Comprobar si la ecuación diferencial es exacta

Exacta

2.- Integrar con respecto a x, dejando a y constante

3.- Derivar con respecto a y la ecuación resultante en el paso 2

Despejando g’ (y) de la igualdad anterior, se tiene:

4.- Obtener la función g (y)

5.-Sustitución del valor de g (y) en el paso 2

Solución general: x 2 y 3  2 xy 2  c1

siendo c1  c  k

Ejemplo 2: Obtener el factor integrante de la siguiente ecuación diferencial no exacta y posteriormente resolverla por el método de las exactas.

Solución:

Aplicando las propiedades de los logaritmos y exponenciales Se tiene lo siguiente:

c

( y  3x) ( y  3(0))  ex  c  ex ( y  2 x) ( y  2(0))

c

( y  0) ( y)  ex  c  ex ( y  0) ( y)

c1  e x  c  e x

TEMA : Ecuaciones Diferenciales De Primer Orden

PLANTEMIENTO DEL PROBLEMA 1. Contextualización Cuando se desea conocer la evolución en el tiempo de un sistema con una sola variable fundamental x, en general, no es posible obtener directamente la relación funcional, x = x (t), que existe entre t y x. En numerosos casos, al aplicar las leyes correspondientes al problema concreto, se obtiene una relación entre t, x y el ritmo de variación de x, es decir, entre t, x y . Esta relación se puede expresar en la forma (

)

,

que recibe el nombre de ecuación diferencial de primer orden. Encontrada la ecuación diferencial, se plantea el problema de determinar la relación ( ). Históricamente, el estudio de las ecuaciones diferenciales se originó en el siglo XVII, a la vez que se inicia el Cálculo con Newton y Leibniz. En buena medida, el papel central que juega la teoría de las ecuaciones diferenciales en el seno de las matemáticas se debe al hecho de que muchos problemas importantes, científicos y técnicos, pueden ser modelados por medio de ecuaciones diferenciales.

TEMA 14: Ecuaciones Diferenciales Lineales De Primer Orden

PLANTEMIENTO DEL PROBLEMA 1. Contextualización Tal vez, esta sea una de las ecuaciones diferenciales de mayor importancia, pues muchas de las aplicaciones que trataremos se modelan por medio de una ecuación de este tipo Una ecuación diferencial de primer orden que puede escribirse en la forma:

donde p(x) y q(x) son funciones reales, se llama ecuación diferencial lineal.

Observación: una ecuación diferencial lineal de orden

tiene la forma

donde los coeficientes ai(x) son funciones reales y an(x) ≠ 0. Note que cuando n = 1 tenemos que

y al dividir por a1(x)

La cual tiene la forma

donde

La solución general de la ecuación diferencial de primer orden

Está dada por

Demostración: 
Reescribiendo la ecuación

( )

( ) como

podemos comprobar que e∫ P(x)dx es un factor integrante. Multiplicando la ecuación

( )

( ) por este factor tenemos que

de donde

e integrando respecto con

como se quería.

DESARROLLO DE EJERCICIOS Ejemplo: Resolver la ecuación

Reescribiendo la ecuación tenemos

El factor integrante está dado por

Con lo cual la solución está dada por

Es decir:

TEMA 15: Ecuaciones diferenciales ordinarias

PLANTEMIENTO DEL PROBLEMA 1. Contextualización na ecuación diferencial es una ecuación cuya incógnita es una función y en la que aparecen algunas derivadas de esa función. i la función que interviene tiene sólo una variable independiente, la ecuación se llama ecuación diferencial ordinaria (E.D.O.). i la función tiene varias variables independientes, se dice

que es una ecuación diferencial en derivadas parciales (E.D.P.). En este tema restringimos nuestra atención a las ecuaciones diferenciales ordinarias. dem s del tipo (ordinaria o parcial), las ecuaciones diferenciales se clasifican seg n su orden. El orden de una ecuación diferencial viene determinado por la derivada de orden m s alto que aparece en dicha ecuación. En su forma m s general una ecuación diferencial de orden n se puede escribir como

DESARROLLO DE EJERCICIOS Veamos algunos ejemplos:

na función y f(x) se dice que es una solución de una ecuación diferencial si la ecuación se satisface al sustituir, en ella, y y sus derivadas por f(x) y sus derivadas respectivas. Por ejemplo, 1. Se puede comprobar que y = ln x es una solución de la ecuación xy‖+y’ 0 en el intervalo (0, ∞). 2. Se puede comprobar que y = 1/(x2 - 1) es una solución de y’ + 2xy2 = 0 en el intervalo (-1,1), pero no en ningún otro intervalo mayor que contenga a esté. 3. e puede probar que toda solución de la ecuación y’+2y 0 es de la forma y = Ce-2x.

A partir de ahora nos centraremos fundamentalmente en dos cuestiones:

 

qué ecuaciones diferenciales tienen solución cómo obtener las soluciones Los siguientes ejemplos nos muestran distintas situaciones:

— Hay E.D.O. que carecen de soluciones. soluciones de valor real la ecuación .

s , por ejemplo, carece de

— ay E.D.O. que tienen una nica solución. Esto le sucede, por ejemplo, a la ecuación

que sólo tiene la solución y

0.

— ay ecuaciones diferenciales que poseen infinitas soluciones. s ocurre en los dos siguientes casos: De la ecuación y‖ – 5y’+ 6y 0 son soluciones todas las funciones que se pueden expresar de la forma y = C1e2x + C2e3x, siendo C1 y C2 constantes cualesquiera. De la ecuación (y’)2 – xy’ + y

0 son soluciones todas las funciones y

con c constante, y también lo es

cx – c2

.

Las ecuaciones diferenciales que vamos a estudiar poseen por lo general infinitas soluciones, y muchas de estas soluciones se pueden escribir mediante una nica expresión. uele ocurrir que muchas de las soluciones de una ecuación diferencial de orden n se puedan dar mediante una expresión del tipo

que incluye n par metros C1, C2 , , Cn. En dicho caso, la familia nparamétrica de funciones que define (x,y,c 1,c2, ,cn) y que, geométricamente, representa una familia de curvas, la denominaremos solución general de la ecuación diferencial. s , por ejemplo, para la ecuación.

la familia uniparamétrica y

cx – c2 es lo que hemos denominado solución

general, aunque dicha expresión no abarque la solución

.

Llamaremos solución particular de una ecuación diferencial a cada una de las soluciones que forman parte de su solución general, y que se obtendr n dando valores particulares a los par metros que contiene la solución general. Las soluciones, si las hay, que no est n incluidas en la solución general las denominaremos soluciones singulares.

TEMA 16: Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

PLANTEMIENTO DEL PROBLEMA 1. Contextualización Definición e llama ecuación diferencial lineal de primer orden a toda ecuación de la forma:

Donde a(x), b(x) y c(x) son funciones nicamente de la variable x. Para las ecuaciones lineales de primer orden expresadas en su forma normal:

se cuenta con el siguiente teorema de existencia y unicidad de soluciones de un problema de valor inicial (caso particular del Teorema de Picard).

Teorema 3.2: Si p(x) y q(x) son funciones continuas en algún intervalo (a, b) que contiene al punto x0, entonces para cualquier y0 existe una única solución del problema de valor inicial:

Veremos a continuación dos métodos para resolver las ecuaciones lineales de la forma y’+ p(x)y q(x), que verifican las hipótesis del teorema anterior. PRIMER M TODO Mediante factores integrantes Las ecuaciones lineales siempre poseen un factor integrante del tipo µ = µ(x), y por tanto, se pueden integrar utilizando este hecho. En efecto, escribiendo la ecuación diferencial lineal y’+ forma:

p(x)y

q(x) en la

es nicamente función de x y, utilizando un resultado anterior, podemos asegurar que la ecuación posee un factor integrante que sólo es función de x. Por otra parte, se puede comprobar que un factor integrante de la ecuación y’+ p(x)y = q(x) es:

SE UNDO M TODO Por variación de la constante Este método se basa en el hecho de que todas las soluciones de la ecuación lineal y’+ p(x)y q(x) se pueden expresar como suma de la solución de la ecuación

(que se denomina ecuación incompleta u homogénea) y una solución particular de la ecuación completa y’+ p(x)y

q(x).

La solución general de la ecuación homogénea y’+ p(x)y 0 se puede obtener f cilmente, teniendo en cuenta que es una ecuación de variables separables:

ya que hay que considerar la solución y resolución.

0 que se descartó en los pasos de

Para obtener una solución particular de la ecuación completa se puede utilizar el que se denomina método de variación de la constante, y que se basa en que siempre existe, como comprobaremos, una función C(x) tal que

es una solución de la ecuación completa. s , una vez determinada C(x) se tendr una solución particular de la ecuación completa. (Obsérvese que el nombre del método se debe a que la expresión y C(x)e∫ - p(x)dx se obtiene de la solución general de la ecuación incompleta, considerando la constante ahora como una función). Escribamos, para simplificar, la expresión y

C(x)e∫ - p(x)dx en la forma

y comprobemos que la ecuación completa tiene una solución de este tipo. La función y

si, y solo si,

C(x) (x) es solución de y’+ p(x)y

q(x) cuando:

y como ( ) es solución de la ecuación incompleta

( ) ∫ Ahora, como ( ) conseguimos que una C(x) es

no se anula nunca, entonces integrando

Y, por tanto,

es una solución particular de la completa. Entonces, la solución general de la ecuación se puede expresar en la forma:

1. TEMA: Circuitos eléctricos 1.1 PLANTEMIENTO DEL PROBLEMA 1.1.1 Contextualización Componente: Terminales en el que puede fluir interiormente una carga. En la figura se ven 9 componentes entre resistores y fuentes. Nodo: Punto de un circuito donde concurren más de dos conductores. A, B, D, E son nodos. Nótese que C no es considerado como un nuevo nodo,

puesto que se puede considerar como un mismo nodo en A, ya que entre ellos no existe diferencia de potencial o tener tensión 0 (VA - VC = 0). Rama: Conjunto de todos los elementos de un circuito comprendidos entre dos nodos consecutivos. En la figura 1 se hallan siete ramales: AB por la fuente, BC por R1, AD, AE, BD, BE y DE. Obviamente, por un ramal sólo puede circular una corriente. Malla. Cualquier camino cerrado en un circuito eléctrico. Fuente: Componente que se encarga de transformar algún tipo de energía en energía eléctrica. En el circuito de la figura 1 hay tres fuentes, una de intensidad, I, y dos de tensión, E1 y E2. Conductor: Comúnmente llamado cable Leyes •

Ley de corriente de Kirchhoff: La suma de las corrientes que entran por un nodo debe ser igual a la suma de las corrientes que salen por ese nodo.

•

Ley de tensiones de Kirchhoff: La suma de las tensiones en un lazo debe ser 0.

•

Ley de Ohm: La tensión en una resistencia es igual al producto del valor de dicha resistencia por la corriente que fluye a través de ella.

•

Teorema de Norton: Cualquier red que tenga una fuente de tensión o de corriente y al menos una resistencia es equivalente a una fuente ideal de corriente en paralelo con una resistencia.

•

Teorema de Thévenin: Cualquier red que tenga una fuente de tensión o de corriente y al menos una resistencia es equivalente a una fuente ideal de tensión en serie con una resistencia.

Elementos

•

Circuitos RL y RC

•

Fórmulas elementales

CARGA

R

dq dt

CORRIENTE Ri

CARGA

1 q c

CORRIENTE

CARGA



1 i  d c 0

CORRIENTE

2

L

d q dt 2

L

di dt

E  Ri 

E R

R

1  i  d  0 c 0

E  Ri  L

dq 1  q0 dt c

dq 1  q  E t  dt c

•

di 0 dt

R

dq di L  E t  dt dt

R

dq d 2q L   E t  dt dt 2

Fórmulas para la solución general de las ecuaciones diferenciales para circuitos eléctricos RL y RC

E it   e t  0  L

e

t

 dt  c 



R L

a) Fuerza electromotriz constante

Si E  E0  cons tan te

b) Fuerza electromotriz periódica

E  it   e t  0  e t sentdt  c  L 

i t   ce

R   t L





R L Integrando por partes

E0 Rsent  L cos t  R 2   2 L2

i t   ce

•

R   t L



E0 L   sen  t   ,   arctan R R 2   2 L2

Circuito RC a) Fuerza electromotriz constante

i t   e



t RC

1  R

 dE dt  c  dt 

t

 e RC

Solución general

Si E es constante, entonces

i t   ce

t  RC

 ce

t  C

dE 0 dt

y toma la forma

, donde c  RC

Se llama cons tan te capacitiva del tiempo b) Fuerza electromotriz senoidal

Si

E t   E 0 sent ,

dE  E 0 cos t dt i t   ce



i t   ce

donde

•

 

t RC



t RC

entonces

Integrando por partes 

E 0 C cos t  RCsent  2 1  RC 



E 0 C 1  RC 

1 RC

Ejemplo E= 12V

i(0) = 0

2

sent  



R= 10



E it   e t  0  L

it  

0

12  ce 10

    10   t  1     2



 t  e dt  c

R

  t E it   0  ce  L  R

R L

6  ce 20t , como i0  0 5

6 6 cc   , 5 5

•

 

remplzando i t  

6 6  20t  e 5 5

Ecuaciones homogéneas lineales

M  x, y dx  N  x, y dy  0

M tx, ty   t n M  x, y 

y

N tx, ty   t n N  x, y 

f x, y   x  3 xy  5 y f tx, ty   tx  3

 tx  3t

txty  5ty

xy  5ty





 t x  3 xy  5 y  tf x, y 

La ecuación es homogénea de

grado 1

•

Ejemplo:

f  x, y   x 2  y 2  1 f tx, ty   t 2 x 2  t 2 y 2  1  t 2 f  x, y  La función no es homogénea ya que

t 2 f  x, y   t 2 x 2  t 2 y 2  t 2

Sumar una constante a una función

es destruir la homogeneidad



Ejemplo:

f  x, y   8 xy 4  x 2 y 3 función es homogénea de grado 5 •

Resolver la ecuación diferencial con la condición dada y

dy x  y  xe x dx

y 1  1

y

dy y  ex dx x

y  y  ux x

u

dy du ux dx dx

du  u  eu dx

ux

u  e du 

e

•



y x



dx x

 ln x  C

si

x 1 ;

e

1

x

du  eu dx

du dx  u x e

 e u  ln x  C C  e



y x

 ln x

y 1

 ln 1  C

e



y x

 ln x  e 1

Ecuación diferencial de Bernoulli

dy  P x  y  f  x  y n , dx

u y

1 n

;

n  0,1

1 y y´ P  x  n  f  x  n y y

nR

du  ny  n 

du dy  ny  n dx dx

y  n y´ P  x  y 1 n  f  x 

u´  ny  n y´





1 u´ y  n y´ n



1 u´ Px u  f x  n

Ecuaciones de Bernoulli

xy´ y  x 3 y 4

y´

1 y  x2 y4 x

y 3  u  u´ 3 y 4 y´ 3

h

 x dx  3

u

1 x3

u

1 x3

 3 y  4 y´

dx 3 ln x  3 ln x  e h  e x

  3x dx  c

u

5

 x  3x dx  c 3

y  4 y´ 3 3 y  3 x 2 x

e h  x 3  e h 

u´

1 x3

1 3 c x  3 2 x

Ecuaciones diferenciales mediante series de potencias 

•

Forma:

c0 , c1 ,...



m 0

m 0

m

x m  c0  c1 x  c2 x 2  c3 x 3  c4 x 4  ...

son cons tan tes llamadas coeficientes, a es cons tan te llamada centro

a  0, se

c

c

m

obtiene

una

3 u  3 x 2 x

1  1 6 1 c   x  c   u   x3  3 3  2 x  2 x 

y 3  

2

1 3 y  x2 x

serie :

x m  c 0  c1 x  c 2 x 2  c3 x 3  c 4 x 4  ...

Series de Maclaurin

1  1 x

e  x





m 0



x

 x  1, serie

 1  x  x 2  x 3  ...

m 0

geométrica 

xm x2 x3 x4  1 x     .... m! 2! 3! 4!



cos x    1

m

x 2m x2 x4 x6  1    ... 2m! 2! 4! 6!

m

x 2 m 1 x3 x5 x7  x    ... 2m  1! 3! 5! 7!

m 0



senx    1 m 0

•

m

Dada la función:

y  c 0  c1 x  c 2 x 2  c3 x 3  c 4 x 4  ... 

y´ c1  2c 2 x  3c3 x 2  4c 4 x 3  ...  y´´ 2c 2  3.2c3 x  4.3c 4 x 2  ... 



c

m 0



 mc m 1

m

m2

xm

x m 1



 mm  1c

m

m

x m2

k 0  k1 x  k 2 x 2  ...  0

•

Ejemplo. Resolver

x  1y´x  2y  0

x  1c1  2c 2 x  3c3 x 2  4c 4 x 3  ..  x  2c0  c1 x  c 2 x 2  c3 x 3  c 4 x 4  ..

c1 x  2c 2 x 2  3c 3 x 3  4c 4 x 4  ... 

sc s x s  ...

s  1c s 1 x s

 c1  2c 2 x  3c3 x 2  4c 4 x 3  ...

 c 0 x  c1 x 2  c 2 x 3  c3 x 4  ...

c s 1 x s  ...

 2c 0  2c1 x  2c 2 x 2  2c3 x 3  2c 4 x 4  ..

a 

c1  2c 0

b 

 ...

2c s x s  ...  0

2c 2  c1  c 0 , etc.

y,

en

general

sc s  s  1c s 1  c s 1  2c c  0 •

.(viene) Re solviendo (a)

a  s

para c1 y despejando cs 1

c1  2c0 b  cs 1 

general

1 cs1  2  s cs  s  1,2,... s 1 Fórmula recurrente

2  s cs

cs 1

en la

suma

s+ 1

cs 1 

suma s 1

cs 1

c1 =2c0 1

c0

c1

c0 + c1

2

2

c1

0

c1

3

3

C2

C3

c2 – c3

4

-

.

.

c0 c1  2 2 c1 3

c2 c3  4 4

.

3 2 5 4   y  c0 1  2 x  x 2  x 3  x  ...  2 3 24  

•

1

y  c0 1  x e x

Ecuación de Legendre (1752-1833) .Matemático Francés

1  x y´´2 xy´ nn  1 y  0 2

c2 

3 c0 2

c3 

2 c0 3

c4 

5 c0 24

2

y



c

m 0

1  x  mm  1c 

2

m2

3



 mm  1c

m2

m





m 1

m 0

m

xm

m2  2 x  mc m x m 1  k  c m x m  0 mx







m2

m 1

m 0

x m  2   mm  1c m x m  2 mc m x m  k  c m x m  0

2.1c 2  3.2c3 x  4.3c 4 x 2  ...  s  2 s  1c s  2 x s  ...

 2.1c 2 x 2  ...  s s  1c s x s  ...

 2.1c1 x  2.2c 2 x 2  ...  2 sc s x s  ...

 kc0  kc1 x  kc 2 x 2  ...  kc s x s  ...  0

•

(viene)

b  s  2s  1c s 2   ss  1  2s  nn  1c s  0

s  2s  1c s 2  n  s n  s  1c s  0

4

n  s n  s  1 c s  0,1,2,... s  2s  1 s Fórmula de recurrencia

cs2  

5 yx   c0 y1 x   c1 y 2 x  c2  

c4

nn  1 c0 2!

c3  

n  2n  3  n  2n n  1n  3 c  4.3

4!

5 yx   c0 y1 x   c1 y 2 x  7 

y 2 x   x 

6

n  1n  2 c

1

3!

c5  

y1 x   1 

n  3n  4 c 5.4

3



n  3n  1n  2n  4 c

3!

5!

nn  1 2 n  2nn  1n  3 4 x  x  2! 4!

n  1n  2 x 3  n  3n  1n  2n  4 x 5  ...

Estas series convergen para •

0

s=2,3,…

5!

x 1

Polinomios de Legendre Para encontrar los polinomios de Legendre, se aplica la forma (4)

1

8

cs  

s  2  s  1 c n  s n  s  1 s  2

s  n  2 

Se pueden expresar todos los coeficientes que no se anulan en términos del coeficiente cn de la máxima potencia de x del polinomio. Entonces el coeficiente cn es arbitrario. Se acostumbra a elegir cn = 1 cuando n =0

9 9 * cn  2

•

cn 

2n ! 2 2 n n!



1.3.5.... 2n  1 , n!

n  1,2,3,...

nn  1 nn  12n ! nn  12n2n  12n  2! cn    , 2 n 22n  1 22n  12 n nn  1!nn  1n  2! 22n  12 n! 2n  2!  n 2 n  1!n  2! cn. 2  

De manera semejante, cn  4  

n  2n  3 c  2n  4! n2 n 42n  3 2 2!n  2!n  4!

En general, cuando

10 

cn  2 m   1

m

2

n

2n  2m! m!n  m !n  2m !

La solución resultante de la ecuación de Legengre se llama polinomio de Legendre de grado n y se denota Pn (x) M

Pn  x     1 m 0



•

m

2

n

2n  2m ! x n2 m m!n  m !n  2m 

2n ! x n  2n  2m ! x n  2  .... 2 n n 2 1!n  m !n  2m  2 n!

Se puede encontrar los polinomios de Legendre, utilizando la fórmula de Orlindo Rodrígues

Px  





1 dn x2 1 n n n!2 dx

n

P0  x   1

P1  x   x





1 P2  x   3x 2  1 2 • Método de Frobenius P3  x  





1 5 x 3  3x 2 Ejemplo: xy´2 y´ xy  0

•

P4  x  



  n  r a

1 2 35 x 4 n 3  r30 x y´ y   8 an x n 0

P5  x   





n 0



1 63 x 5  70 x 3  15 x 8 n r 2

x  n  r  1n  r a n x n 0



 n  r  1n  r a n 0

n

n

y´´

x n  r 1

n 0





n 0

n 0

n

x n r 2

 2 n  r a n x n  r 1  x  a n x n  r

x n  r 1 

  x r  n  r  1n  r a n x n 1   n 0



 2n  r a n 0



 2n  r a n 0

n

n

x n  r 1 

  x r  n  r n  r  1a n x n 1   n 0



a n 0

n



a n 0

x n 1 

  x r  n  r  1n  r   2n  r a n x n 1   n 0

•



 n  r  1n  r a



a n 0



a n 0

n

n

n

x n  r 1

 x n 1   0 

 x n 1   0 

 x r 1   0 

Continuación

    x r r r  1c0 x 1  r  1r  2a1   n  r n  r  1a n x n1   a n x n1   0 n2 n 0       x r r r  1c0 x 1  r  1r  2a1   k  r  1k  r  2a k 1 x k   a k 1 x k   0 k 1 k 1  

k  n  1; n  k  1 k  n  1; n  k  1

  1 k           r r  1 c x  r  1 r  2 a  k  r  1 k  r  2 a  a x  0 1 k 1 k 1  0 k 1  

(1) r r  1 a  0

r1  0

•

Continuación

a k 1  

a k 1 ; k  1k  2 

k  1,2,3,4,5,...

k 1

a2  

a0 a  0 2 3 6

k 2

k 3

a4  

a0 a0 a2   4 5 4 56  120

k 4

k 5

a6  

a4

6 7 



a0

4 56 6 7 



a3   a5  

a1 0 34 

a3 0 56 

a0 5040

ECUACIONES DIFERENCIALES •

TRANSFORMADA DE LAPLACE

•

0,    R Sea f F definida por

la transformada de Laplace de f, es la función 

F s    e  st f t dt 0

El dominio de F es el conjunto de valores s L f oL f t 

Se llama abscisa de convergencia o asíntota de L(t) al número real sc sc  domLt 

Ejemplos:

1) 2) 3) 4)

1 f t   1, t  0  L f s   , domL f   0,   s 1 f t   e at , t  0, a  C  Lt s   , domL f   Ra ,   sa s f t   cos wt  L f s   2 , s0 s  w2 w f t   senwt  L f s   2 , s0 s  w2

•

Transformada de Laplace

•

Propiedad de linealidad

•

Sea  L f  g s   L f s   Lg s 

Ejemplos 1) 2)

f t   cosht   L f s  

s s 1 1 f t   senht   L f s   2 s 1 2

•

CONDICIONES DE LA EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA

•

La integral que define la Transformada de Laplace no converge necesariamente

 

2 1 L  ni L et Por ejemplo:  t 

existen

•

Las condiciones suficientes que garanticen la existencia de la transformada de Laplace son:

•

Continua a trazos

•

Orden exponencial

•

DEFINICIÓN( Discontinuidad del salto)

•

f : a, b   R tiene discontinuidad de salto en t0  a, b  si f es discontinua en to y los límites por la derecha e izquierda de f existen y son finitos.

•

t , 0  t  2  f t    t 2  , t2 2 Ejemplo: Tiene discontinuidad de salto en to = 2 DEFINICIÓN (Continuidad de trazos)

•

f : a, b   R es continua a trazos en el intervalo 0,   si tiene un número finito de discontinuidades de salto

•

Ejemplos: t  3, t  3  f t   t 2 ,  3  t  3  t  3, t  3 

1  , t0 f t    t 0, t  0

No es continua a trazos

TEMA : Ecuaciones Diferenciales De La Forma

(

)

PLANTEMIENTO DEL PROBLEMA 1. Contextualización Las ecuaciones de la forma:

con a, b y c constantes se convierten en variables separadas si se cambia la variable dependiente y por: u ax+bx+c. Entonces: u’ a +by’ y la ecuación sería:

que es evidentemente de variables separadas al no aparecer la variable independiente explícitamente. DESARROLLO DE EJERCICIOS

Ejemplo 1: Resolver la ecuación diferencial: (1+y2)xdx – y(1+x2)dy = 0 con la condición inicial: y(0) = 1. La ecuación se separa fácilmente:

Podemos simplificar la solución, definiendo la nueva constante: K = e2C, y escribirla en la forma:

Obtengamos ahora la solución particular que verifica y(0) = 1:

Ejemplo 2: Integrar la ecuación diferencial: y’ (x + y)2 con la condición y(0) 1 e trata de una ecuación de la forma ( ), antes comentada, con ax+bx+c = x+y. Definiendo: u

x + y, y derivando, se obtiene: u’

1+y, y as , en variables (x,u):

Deshaciendo el cambio y simplificando la solución general sería:

Sustituyendo la condición inicial se llega a la solución particular buscada: