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• Eblé Christian Flores Romero

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26. Hallar la ecuación diferencial de la familia de curvas que satisfacen la siguiente propiedad: “El área de la región encerrada por la curva, los ejes coordenados x e y. y la coordenada del punto p(x,y) de la curva es igual a Y (𝑥 2 + 𝑦 2 )′′ 𝒚𝒗 + 𝒚𝒊𝒊𝒊 = 𝒙𝟐 − 𝟏 SOLUCION Y=f(x)

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = ∫ 𝒚𝒅𝒙 Derivando;

Y

A

′

𝟐𝒙 + 𝟐𝒚𝒚 = 𝒚 Respuesta

X

𝟐𝒚𝒚′ + 𝟐𝒙 − 𝒚 = 𝟎

27. Hallar la ecuación diferencial de la familia de curvas que cumple con la siguiente propiedad: “Si por un punto cualquiera de una curva de la familia se trazan las rectas tangente y normal a ella, el área del triángulo formado por dichas rectas con el eje y es igual a

𝑥 2 𝑦0 2

, donde 𝑦0 es la coordenada del punto

en que la tangente corta el eje y. RESOLUCION En el punto 𝑨(𝟎, 𝒚𝑵 )

Y

Y=f(x)

1 𝐿𝑁 : 𝑦 − 𝑦𝑛 = − ′ (𝑥 − 0) 𝑦 1 𝑦𝑁 . = 𝑌 + ′ … … … … (1) 𝑦 Para el punto 𝑩(𝟎, 𝒚𝟎 )

𝐿𝑇 (0, 𝑦 𝑁 ) ⬚

P(x,y)

Y

𝐿𝑁 : 𝑦 − 𝑦0 = 𝑦′(𝑥 − 0) 𝑦𝑁 . = 𝑌 +

1 … … … … (2) 𝑦′

(0, 𝑦 0 )

X

⬚

X

Se cumple que 𝐴𝑟𝑒𝑎 =

𝑥𝑦0 (𝑦𝑁 − 𝑦0 )𝑥 = … … … … (3) 2 2

Remplazando (1) y (2) en (3): se tiene 2 ∴ 𝑦 ′ (𝑥 + 1) − 𝑦𝑦 ′ + 1 = 0

Respuesta 𝟐 𝒚′ (𝟏 + 𝒙) − 𝒚𝒚′ + 𝟏 = 𝟎

𝐿𝑁

28. Hallar la ecuación diferencial de la familia de curvas que satisface la condición siguiente: “Si por el punto p(x,y) de una curva, en el primer cuadrante, se trazan las rectas tangente > normal a ella, siendo T el punto de intersección de la tangente con el eje 0X y N el punto de intersección de la normal con el eje 𝑥𝑦 0Y, entonces el área del triángulo TON es igual al 2 , donde 0 es el origen de coordenadas. RESOLUCION

Y

𝐿𝑇 : 𝑦 − 0 = 𝑦′(𝑥 − 𝑥𝑇 ) ⇒𝑥+

𝑦 = 𝑥𝑇 … … … … (1) 𝑦′

𝐿𝑇

N Y=f(x)

𝐿𝑁 : 𝑦 − 𝑦𝑁 = 𝑦′(𝑥 − 0) ⇒𝑦+

𝑦 = 𝑦𝑁 … … … … (2) 𝑦′

Del enunciado: 𝐴 =

𝑥𝑦 2

𝑥𝑇 𝑦𝑁 … … … … (3)

Remplazando (1) y (2) en (3): se tiene 𝑦 𝑥 ⇒ 𝑥𝑦 = (𝑥 − ′ )(𝑦 + ) 𝑦 𝑦′ 2

2

𝑥𝑦𝑦 ′ = 𝑥𝑦𝑦 ′ + 𝑥 2 𝑦 ′ − 𝑦 2 𝑦 ′ − 𝑥𝑦 Simplificando ∴ 𝑦′(𝑥 2 − 𝑦 2 ) = 𝑥𝑦 Respuesta (𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 )𝒚′ = 𝒙𝒚

𝐿𝑁 0

T

X

29. Hallar la ecuación diferencial de la familia de curvas que satisfacen la siguiente condición: “Si por un punto cualquiera p(x,y) de una curva de la familia se trazan las rectas tangente y normal a la curva, y si además A es el punto de intersección de la recta normal con la recta y = x y B es la intersección de la recta ̅̅̅̅̅tiene longitud √2 tangente con la recta y = x entonces el segmento 𝐴𝐵 RESOLUCION 𝑝(𝑥, 𝑦), 𝐴(𝑥0 , 𝑦0 ), 𝐵(𝑥1 , 𝑦1 ) 𝒑𝒐𝒓 𝒅𝒂𝒕𝒐: |𝐴𝐵| = √2 ⇒ |𝐴𝐵|2 = 2 … … … … (1) 𝒑𝒐𝒓 𝒕𝒆𝒐𝒓𝒊𝒂: |𝐴𝐵|2 = (𝑥1 − 𝑥0 )2 + (𝑦1 − 𝑦0 )2 … … … … (2) 𝒑𝒆𝒓𝒐: 𝑥0 = 𝑦0 ∧ 𝑥1 𝑦1 … … … … (3) Remplazando (3) en (2): |𝐴𝐵|2 = (𝑥1 − 𝑥0 )2 + (𝑥1 − 𝑥0 )2 = 2(𝑥1 − 𝑥0 )2 … … … … (4) Igualando (4) y (1): (𝑥1 − 𝑥0 )2 = 1 … … … … (5) 𝑦−𝑥

Para 𝐿𝑇 : 𝑦 ′ = 𝑥−𝑥1 ⇒ 𝑦 ′ 𝑥 − 𝑦 ′𝑥1 = 𝑦 − 𝑥1 1

⇒ 𝑥1 =

𝑦′𝑥 − 𝑦 … … … … (6) 𝑦′ − 1

𝒑𝒂𝒓𝒂 𝐿𝑁 : − ⇒ 𝑥0 =

Y

1 𝑦 − 𝑥0 = ⇒ 𝑥0 − 𝑥 = 𝑦𝑦 ′ − 𝑥0 𝑦′ 𝑦 ′ 𝑥 − 𝑥0

𝑦𝑦 ′ + 𝑥 … … … … (7) 𝑦′ + 1

Y=X

Y=f(x) B 𝐿𝑇

A

𝑃(𝑥, 𝑦)

Reemplazando (6) y (7) en (5) se tiene:

𝐴(𝑥0 , 𝑦0 )

2

𝐵(𝑥1 , 𝑦1 )

𝑦 ′ 𝑥 − 𝑦 𝑦𝑦 ′ + 𝑥 ( ′ − ′ ) =1 𝑦 −1 𝑦 +1

X

Simplificando ∴ (𝑦 ′2 − 1)2 = (𝑥 − 𝑦)2 (𝑦 ′2 + 1)2 Respuesta (𝒚′𝟐 − 𝟏)𝟐 = (𝒙 − 𝒚)𝟐 (𝒚′𝟐 + 𝟏)𝟐 = 𝟎

𝐿𝑁

30. Hallar la ecuación diferencial perteneciente a las cardioides 𝑟 = 𝑎(1 − sen 𝜃) RESOLUCION 𝑟 = 𝑎(1 − 𝑠𝑒𝑛𝜃) 𝑑𝑟 = −𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 Remplazando a: 𝑑𝑟 𝑟 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 (1 − 𝑠𝑒𝑛𝜃) Simplificando: ∴ (1 − 𝑠𝑒𝑛𝜃)𝑑𝑟 + 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 = 0 Resultado (𝟏 − 𝒔𝒆𝒏𝜽)𝒅𝒓 + 𝒓 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝜽 = 𝟎