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• Joe Gonzalez

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1 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Definiciones y Termino-legía Una ecuación diferencial es una ecuación cuya incógnita es una función y en la que aparecen algunas derivadas de esa función. Si la función que interviene tiene sólo una variable independiente, la ecuación se llama ecuación diferencial ordinaria (E.D.O.). Si la función tiene varias variables independientes, se dice que es una ecuación diferencial en derivadas parciales (E.D.P.). En este tema restringimos nuestra atención a las ecuaciones diferenciales ordinarias. Además del tipo (ordinaria o parcial), las ecuaciones diferenciales se clasifican según su orden. El Orden de una ecuación diferencial viene determinado por la derivada de orden más alto que aparece en dicha ecuación. En su forma más general una ecuación diferencial de orden se puede escribir como:

F ( x, y, y / ,... y n )  0

Veamos algún ejemplo: ECUACION 1) y  4 y  2

TIPO Ordinaria

ORDEN 3

d 2s  32 dt 2 3) ( y / ) 2  3 y  e x

Ordinaria

2

Ordinaria

1

//

2)

4)

a 2 a 2u  0 ax 2 ay 2

5) y  seny /  0

2 Parcial Ordinaria

1

Una función y = f (x) se dice que es una solución de una ecuación diferencial si la ecuación se satisface al sustituir, en ella, y y sus derivadas por f (x) y sus derivadas respectivas. Por ejemplo:

1.2. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN (Variables Separables):

dy  0 , con g y h dx continuas, se dice que es separable o de variables separables. Se puede reescribir separando las variables en la forma h( y)dy   g ( x)dx . Una ecuación diferencial de primer orden de la forma g ( x)  h( y)

Ejemplo 1: 

Hallemos la solución general de la ecuación de variables separables dy ( x 2  4)  xy . dx

Al separar variables, queda la expresión

1 x dy  2 dx . Integrando ambos miembros, y x 4

tenemos:



dy x 1  2 dx  ln y  ln( x 2  4)  C1  ln x 2  4  C1 y 2 x 4

En consecuencia, y  e C1 x 2  4  y  e C1 x 2  4  y  C1 x 2  4

Si buscamos la solución partículas que cumplen una condición inicial dada, por ejemplo, y (2)=1, entonces tenemos 1  C1 x 2  4 , lo que implica que C1 

1 2 2

. La solución será

1

x 2  4 . Elevando al cuadrado, obtenemos la hipérbola 8 y 2  x 2  4 . La 2 2 solución es la rama positiva ( y > 0) . y ( x) 

Ejemplo 2: 

En primer lugar, observamos que una E.D.O. de primer orden que es fácil resolver es:

y /  f ( x) 

(1)

Donde f es una función integrable. Para resolver basta integrar ambos miembros con respecto a x y así se obtiene :

y /   f ( x)dx  c



De modo que su solución general viene dada por (2), y en ella se recogen todas las soluciones de la ecuación (1). Mas generalmente, toda ecuación de primer orden

y/  

g ( x) h( y )

(3)

Se llama ecuación de variables separables. Para resolver (3) se multiplican ambos miembros por h (y) para obtener

h(y) 

(2)

dy  g ( x) dx

(4)

Ahora se observa que si

h( f ( x)) f / ( x)  g ( x) 

Por lo que al integrar se obtendrá

 h( f ( x)) f 

/

( x)dx   g ( x)dx  c

Pero como dy  f / ( x)dx , entonces (5) se puede escribir así:

 h( y)dy   g ( x)dx  c 

(5)

(6)

De modo que (6) constituye una familia un paramétrica de soluciones, que generalmente vienen expresadas de forma implícita. El razonamiento anterior nos sugiere un método para resolver la ecuación (3): De la ecuación (3) pasamos a h( y)dy  g ( x)dx y finalmente integraremos ambos miembros para obtener la solución general de la ecuación dada. Nota._ Las ecuaciones y /  g ( x)h( y) , y /  separables y se resuelven de forma similar.

h( y ) también sin de variables g ( x)

1.3. ECUACIONES DE PRIMER ORDINARIAS (Homogéneas): Una ecuación diferencial de la forma

M ( x, y)dx  N ( x, y)dy  0,

Donde M y N son funciones homogéneas del mismo grado, se dice que es una ecuación diferencial homogénea. Estas ecuaciones se resuelven haciendo el cambio y =vx (donde v=v(x) es derivable), transformándolas en ecuaciones de variables separables. Ejemplo 1: 

Hallar la solución general de ( x 2  y 2 )dx  3xydy  0 . Como M ( x, y)  ( x 2  y 2 ) y N ( x, y)  3xy son ambas homogéneas de grado 2, hacemos y  vr . Así, dy  xdv  vdx , de modo que, sustituyendo y y dy en la ecuación, obtenemos:

( x 2  v 2 x 2 )dx  3x(vr)( xdv  udx)  0  ( x 2  2v 2 x 2 )dx  3x 3 vdv  0  x 2 (1  2v 2 )dx  x 2 (3vx)dv  0 Esta segunda ecuación es de variables separables. Dividiendo entre x 2 y separando variables, queda: (1  2v 2 )dx  3vxdv  

dx  3v  dv  x 1  2v 2

3  ln x   ln(1  2v 2 )  C1  4 ln x  3 ln(1  2v 2 )  ln C 2  4 4  ln x  ln C 2 (1  2v 2 ) 3  x 4  C 2 (1  2v 2 ) 3

Una vez resuelta la segunda ecuación, se deshace el cambio v 

y , para obtener: x

y   x  C 2 1  2( ) 2  x  

3

4

 ( x 2  2 y 2 ) 3  Cx 2

Ejemplo 2: Resolvamos la ecuación homogénea:

y  2 xe  y / x y  x /

En primer lugar, expresamos el segundo miembro como función de y / x

y/ 

y  2e  y / x x

Ahora, realizamos el cambio de variables z= y /x, con lo que al ser y /  xz /  z , la ecuación queda de la forma:

xz /  z  z  2e  z Esta ecuación es de variables separables, y la integraremos como tal:

xz /  z  z  e  z  xz /  e  z  e z z / 

2 2   e z dz   dx  C x x

 e z  2 ln x  C  e z  ln x 2  C Ahora, finalmente, se deshace el cambio de variable y tenemos:

e y / x  ln x 2  C

Casos Aplicativos CASO 1. ¿Se puede predecir la población de un país? La siguiente tabla muestra el número de millones de habitantes que había en toda la República Mexicana, de acuerdo al censo del año que se indica Año Población (millones de hab.)

1900 13.61

1910 15.16

1920 14.33

1930 16.53

1940 19.65

1950 25.78

1960 34.92

Con base en los datos de la tabla y ubicándonos en el año de 1960, ¿se podría haber hecho una estimación para la población de los años 1970 y 1980? Solución. Una suposición razonable es que la rapidez de variación de la población con respecto al tiempo es proporcional a la población, es decir si P (t) denota la población al tiempo t entonces

dP  xP dt Donde x es una constante positiva. Así, para conocer la población en cualquier tiempo hay que resolver la ecuación anterior. La solución es P (t) = ceat, con c una constante arbitraria. Para determinar c tenemos la condición inicial que en t = 0 (correspondiendo al año de 1950) la población es 25.78, de donde P(t) = 25.78eat. Para encontrar la constante de proporcionalidad podemos usar que P (IO) = 34.92. En consecuencia:

P(t )  25.78e 0.0303461t Ahora para 1970 la población aproximada sería P(20), que da por resultado:

P(20)  47.30 La población para 1980 se estimará en F(30) = 64.07. Es interesante comparar los valores calculados con los que se reportaron en los censos respectivos. Los censos realizados mostraron que la población en 1970 y 1980 fue de 48.22 y 67.41 millones de habitantes, respectivamente.

CASO 2. ¿Es posible medir el impacto de la publicidad? Cierta compañía produce un artículo destinado a una población en la que hay un número M de potenciales compradores. La compañía decide establecer una campaña de publicidad para promocionar su producto. Los propietarios de la compañía han solicitado a su departamento de publicidad una medida del impacto de la publicidad. ¿Se puede ayudar a los publicistas? Solución. Hay varias maneras de medir el impacto de la publicidad, una es la siguiente. Sea y (t) el número de personas que conocen el producto al tiempo t. Supongamos que la velocidad con que varía el número de personas que conocen el producto es proporcional tanto al número de personas que conocen el producto, como al de las que todavía no lo conocen. Entonces

dy  ky( M  y ) dt

(1.1)

Donde k es una constante positiva. Su solución es la función

y (t ) 

M 1  e kMt

(1.2)

Con c una constante. En la literatura económica a la ecuación (1.2) se le conoce como ecuación de la curva logística, la cual nos da una medida del número de personas que conocen el producto al tiempo t. La forma general de su gráfica se muestra en la figura 1.1.

CASO 3:

Cierta ciudad tenía una población de 25000 habitantes en 1960 y una población 30000 habitantes en 1970 suponiendo que su población continúe creciendo exponencialmente con un índice constante ¿Qué población esperara los urbanistas que tenga en el año 2011?

dx  KX dt Separamos variables:

dx  x   kdt  int egrando  ln( x)  Kt  c Aplicando propiedades de logaritmos que daría de esta forma:

x  ce Kt Se toma to en 1960 de tal modo que: 25000=x(0) Sustituyendo se obtiene: 25000  ce Kt (0) c  25000

Sustituyendo: x  25000e Kt

De 1970 a 1960 han transcurrido 10 años y la población ha aumentado 30000 x(10)  30000 30000  25000e K (10) 

ln(1.2) 6  e K (10)  10 K   0.018232 5 10

Al sustituir se obtiene la fórmula que nos permite calcular el tamaño de la población en función del tiempo donde x(10)e 0.018232t . Del año 1960 al año 2010 han transcurrido entonces esa población actualmente tiene:

x(51)  e 0.18232(51)  x(51)  62207.5157 personas

CASO 4: Una persona solicita un préstamo de 8000 pesos para comprar un automóvil el prestamista carga el interés a una tasa anual del 10% si se supone que el interés se compone de manera continua y que el deudor efectúa pagos continuamente con una cuota anual de constante K, ¿Determine la cuota de K necesaria para cubrir el adeudo en 3 años? Y ¿Determine el interés que se paga durante el periodo de 3 años? S (t): cantidad de dinero en cualquier momento t S(0)=So=800 cantidad de dinero prestado (en T=0) K: Cantidad de dinero inyectada anualmente Esta es la fórmula separando variables, integrando y aplicando propiedades de los logaritmos:

ds ds 1  rs  K     dt  ln( rs  K )  rt  cr  rs  K  e rt  cr dt rs  K r cr K e s  ce rt  (c  ) r r Sustituyen do : K K 8000  ce r ( 0)   c  8000  r r Sustituyen do : K rt K K K )e   s  8000e rt  e rt  r r r r K  s  8000e rt  (1  e rt ) r s  (8000 

Cuando la deuda se cancela, s=0 de tal manera que :

8000e rt 

Despejamos K de la ecuación de arriba:

K (1  e rt )  0 r

K K 8000re rt (1  e rt )  0  (1  e rt )  8000e rt  K  rt r r e 1 R  10%  0.1 T 3 8000e rt 

Sustituyen do : 8000(0.1)e ( 0.1)( 3) 8000e 0.3  0.3  K  3086.64 e ( 0.1)( 3)  1 e 1 3(3086.64)  8000  1259.92 K

La cuota anual seria de 3086.64 y su interés aproximado de 1259.5 CASOS 5: Encuentra el intervalo entre el momento de la muerte y el instante en que se descubre el cadáver, si la temperatura del cadáver en el momento que lo encontraron es de 85F y son horas más tarde ha bajado 74F además la temperatura del ambiente permanece constante a 32 F. T: temperatura del cadáver en el tiempo t Tm= 32F: temperatura ambiente Momento donde se descubre el cadáver t=0 T= 85F La ecuación para este momento es:

dT   K (T  Tm ) K  0 : Constante de proporcionalidad dt Así que:

dT  K (T  32) dt

Separando variables e integrando:

dT

 (T  32)    kdt  ln(T  32)  Kt  c Aplicando propiedades de logaritmos e Ktc  T  ec e Kt  32 Así quedaría:

T  ce  Kt32 (c  ec ) Sustituyendo la ecuación de arriba 85  ce  K (0)  32  85  ce 0  32  85  c  32  c  35

Esto quedaría: T  53ce Kt  32 Ahora ya tienen valores: t=2, T=74 Sustituyendo se obtiene:

74  53e  K ( 2)  32  42  53e  2 K  e 2 K 

53  2 K  ln(1.261)  0.2326223 42

K=0.1163111 Así que la temperatura del cadáver en el tiempo t, en horas, esta dada por:

T  53e 0.116311t  32 La temperatura de ser humano vivo es de 98.6F

66.6 53  e 0.1163t  e 0.1163t  53 66.6  0.2884  0.1163t ln(0.7957)  t  1.9638  0.9638(60)  58 min utos 0.116311

98.6  53e 011163t  32 

La hora de muerte se produjo aproximadamente 1 hora 58 minutos.