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• Alejandro Sánchez Martínez

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APLICADAS ALA FISICA

Circuito en serie

Cuando un circuito solo contiene un resistor y un inductor (circuito LR), la segunda ley de Kirchhoff establece que la suma de las caídas de voltaje a través del inductor (L(di/dt)) y del resistor (iR) es igual al voltaje aplicado , (E(t)), al circuito

Con lo anterior se obtiene la ecuacion diferencial que describe la corriente i(t). 𝑑𝑖 𝐿 + 𝑅𝑖 = 𝐸 𝑡 𝑑𝑡 esta es una ecuación diferencial lineal de primer orden ya que la derivada que contiene esta elevada ala primera potencia

En esta ecuacion L y R son las constantes conocidas como inductancia y resistencia, respectivamente. La corrientye i(t) se llama tambien, respuesta del sistema

La caída de voltaje a través de un capacitor da

capacitancia C es q(t)/C, donde q es la carga del capacitor: por lo tanto, para el circuito en serie de la figura anterior (circuito RC), la segunda ley de Kirchhoff establece : 1 𝑅𝑖 + 𝑞 = 𝐸 𝑡 𝐶

Pero la corriente i y la carga q se relacionan mediante i=dq/dt, asi, la ecuación anterior se transforma en la siguiente ecuación: 𝑑𝑞 1 𝑅 + 𝑞=𝐸 𝑡 𝑑𝑡 𝐶

Ejemplo

Un acomulador de 12 volts se conecta a un circuito en serie LR, con una inductancia de ½ henry y una resistencia de 10 ohms. Determinar la corriente i , si la corriente inicial es cero. Datos: L=1/2 R=10Ὠ E(t)= 12 volts i=? 𝑑𝑖 Solucion general: 𝐿 𝑑𝑡 + 𝑅𝑖 = 𝐸 𝑡

Le que se debe hacer es resolver la ecuacion: 1 𝑑𝑖 + 10𝑖 = 12 2 𝑑𝑡 Sujeta a i(O)=0. primero miltilplicamos la ecuacion diferencial por 2, y vemos que el factor de integrante es 𝑒 20𝑡 . Acontinuacion lo sustituimos 𝑑 20𝑡 [𝑒 𝑖] = 24𝑒 20𝑡 𝑑𝑡

Al integrar cada lado de esta ecuación y despejar i obtenemos 6 𝑖 = + 𝑒 −20𝑡 5 Si i(0)=0, entonces 0=(6/5)+c, o bien c= - (6/5); por consiguiente, la respuesta es: 6 6 −20𝑡 − 𝑒 5 5 A partir de la ecuación podemos formular una solución general de 𝑖 𝑡 =

𝑖 𝑡 =

𝑒

𝑅 −( 𝐿 )𝑡

𝐿

𝑒

𝑅 𝐿 𝑡𝐸

𝑡 𝑑𝑡

𝑅 − 𝐿 𝑡 + 𝑐𝑒

En especial, cuando E(t)=𝜖0 es una constante, la ecuación resulta: 𝑖 𝑡 =

𝜖0 𝑅

+

𝑅

− 𝑡 𝑐𝑒 𝐿 .