• Author / Uploaded
• Clemente Hernández

• Categories
• Ecuaciones diferenciales
• Ecuaciones
• Linealidad
• Física y matemáticas
• Matemáticas

Citation preview

Universidad Tecnológica de Panamá

Facultad de Ingeniería Eléctrica

Carrera: Ingeniería Electromecánica

Portafolio de Ecuaciones Diferenciales

Estudiante: Clemente Hernández 4-794-307

Profesora: Aura Gómez

Grupo:2IE121

Año lectivo: 2019

Tabla de Contenido

1. Introducción 2. Carta de presentación 3. Clases: 3.1.

Módulo I

3.2.

Módulo II

3.3.

Módulo III

3.4.

Módulo IV

3.5.

Módulo V

4. Prácticas en casa 5. Tareas 6. Quices y sus correcciones 7. Parciales y sus correcciones 8. Diario Metacognitivo 9. Reflexiones y experiencias personales 10.

Conclusiones

Introducción Las ecuaciones diferenciales fundamentan una herramienta primordial en diversas ramas de las ciencias que a lo largo de la historia han sido de gran ayuda para explicar todos los acontecimientos y fenómenos que ocurren que sin el uso de las matemáticas fueran imposibles ser descritos de manera lógica. El curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias presenta especial énfasis en los conceptos fundamentales para la resolución de los problemas de aplicación en la vida real, para ello se necesitará la comprensión analítica y abstracta del modelamiento y toda la terminología que esto implica. Por ello, la secuencia de desarrollo de temas de este curso está en un orden que permita al estudiante desarrollar la suficiente destreza cognitiva del tema para tener una buena captación de conocimientos. Entre los temas a desarrollar en el curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias destacan ecuaciones de primer orden y las ecuaciones de orden superior que complementan junto a las aplicaciones de cada una de ellas la mayor parte del contenido que se encontrará desarrollado en cinco módulos descritos a continuación.

Carta de Presentación

Mi nombre es Clemente Hernández Castillo, tengo 21 años y vivo en Varital de Boquerón, en el corregimiento de Tijeras. Vivo con mis padres, mi hermano y mi abuela. Mis estudios primarios los realicé en la escuela la Guinea, luego Premedia en el Instituto Profesional y Técnico de la Concepción, y me gradué en bachiller de Ciencias en el Daniel O. Crespo. Posteriormente me gané una beca de 4 meses a estudiar inglés a Inglaterra por After School Program. Realicé los trámites de admisión y los cursos de preingreso de la UTP, y partí a UK. Primeramente, al regresar había escogido estudiar Ing. Civil, pero me arrepentí ya que decidí cambiar mi futuro, y es escoger Ing. Electromecánica. ¿Por qué Ing. Electromecánica en la UTP? Antes de decidir qué ingeniería tomar, tuve que investigar mucho los mejores campos laborales en Panamá, pues no es una decisión que tomaría fácilmente tratándose de mi futuro. Escogí Ing. Electromecánica ya que es la que mejor campo laboral posee, tiene una amplia gama de posibilidades de trabajo y una alta calidad de preparación. Además, según muchos expertos, es la más difícil y eso es algo que me apasiona, y realmente me genera demasiada curiosidad todo ese mundo de la electromecánica. De este curso de matemáticas avanzadas, más que nada espero añadir mucha destreza en cada tema porque sé que me será de ayuda en las demás materias. Además, es una de las materias que más me gusta y por eso no me costará practicar diariamente. Espero pasar exitosamente y con los cimientos suficiente para tener un buen desempeño en los temas de Matsup. el siguiente semestre. Por ello daré todo de mí, sacando el tiempo necesario para practicar cada tema dados en clase.

I.

Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones

1.1 Definición 1.2 Clasificación de las ecuaciones diferenciales 1.3 Orígenes 1.4 Solución de una ecuación diferencial 1.5 Problemas de valor inicial, problemas de valores en la frontera y existencia de soluciones 1.6 Existencia y Unicidad

II. Ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado 2.1 Definición 2.2 Variables separables 2.3 Ecuaciones Homogéneas 2.4 Ecuaciones de la forma 𝑑𝑦 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 + 𝐶 = 𝐹( ) 𝑑𝑥 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐

2.5 Ecuaciones diferenciales exactas 2.6 Factor de integración 2.6.1 Factor de la forma: 𝜕𝑀 𝜕𝑁 − 𝜕𝑦 𝜕𝑥 = 𝑓(𝑥) 𝑁 𝐹 ∗ 𝐼 = 𝑒 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 2.6.2 Factor de la forma: 𝜕𝑁 𝜕𝑀 − 𝜕𝑥 𝜕𝑦 = 𝑔(𝑦) 𝑀

𝐹 ∗ 𝐼 = 𝑒 ∫ 𝑔(𝑦)𝑑𝑥 2.6.3 Ecuaciones homogéneas 𝐹. 𝐼 =

1 𝑀𝑥 + 𝑁𝑦

2.6.4 Ecuaciones de la forma: 𝑦𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑥𝑔(𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0 𝐹. 𝐼 =

1 𝑀𝑥 + 𝑁𝑦

2.7 Ecuaciones diferenciales lineales 2.8 Ecuaciones de Bernoulli 2.9 Ecuaciones de segundo orden que se reducen a primer orden

III. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden 3.1 Trayectorias ortogonales y oblicuas 3.2 Mecánica elemental 3.3 Cables suspendidos

I. Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior 4.1 Definición y teorema básico de existencia 4.2 Teoría preliminar 4.2.1 Problemas de valor inicial y problemas de valores fronteras 4.2.2 Problemas de dependencia lineal e independencia lineal 4.2.3 El wronskiano 4.3 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.3.1 Ecuación auxiliar: raíces reales distintas, raíces reales iguales, raíces imaginarias 4.4 Ecuaciones no homogéneas con coeficientes constantes 4.4.1 Coeficientes indeterminados 4.4.2 Variación de parámetros 4.5 Ecuación no homogénea con coeficientes variables 4.5.1 Ecuación de Cauchy-Euler. Definición 4.5.1.1 Raíces reales y diferentes 4.5.1.2 Raíces reales e iguales 4.5.1.3 Raíces reales complejas 4.6 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales 4.6.1 Método de los operadores 4.7 Solución de Ecuaciones diferenciales mediante series

V. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes 5.1 Ecuaciones diferencial de las vibraciones 5.2 Movimiento libre no amortiguado 5.3 Movimiento libre amortiguado 5.4 Movimiento forzado 5.5 Sistemas análogos 5.5.1 Circuitos eléctrico en serie 5.5.2 Péndulo Prácticas

Diario Metacognitivo

Semana#1: 1 a 5 de abril

Tema discutido Introducción a las ecuaciones diferencias, comprobar soluciones de ecuaciones diferenciales y existencia y unidad de una solución

Datos interesantes discutidos ¿Qué cosas fueron difíciles? La linealidad fue la primera clase no logré entenderla del todo, ya en la segunda clase logré aprender las tres características principales de linealidad. También los modelos geométricos fueron algo abstractos para mí. ¿Cuáles fueron fáciles? Se me hizo sencillo la comprobación algebraica de una ecuación diferencial puesto que sólo se basaba en usar conocimiento de algebra y cálculo. Además, obtener el valor de las constantes se me hizo fácil. ¿Qué aprendí? Aprendí los tipos de clasificación de una ecuación diferencial ya sea por tipo, orden, grado o linealidad, obtener los valores de constantes arbitrarias usando las condiciones iniciales y comprender la aplicación del teorema de existencia y unicidad en una ecuación diferencial.

Semana#2: 8 a 12 de abril Tema discutido Ecuaciones de primer orden. Método de ecuaciones separables y lineales.

Datos interesantes discutidos

¿Qué cosas fueron difíciles? Se me complicó entender los cuatro pasos de resolución de una ecuación lineal, porque ya tenía cimentado el uso de la fórmula directa para resolver ese tipo de ecuaciones. ¿Cuáles fueron fáciles? Para mí fue sencillo las ecuaciones diferenciales separables, no hubo dificultades con ese tipo de ecuaciones, ya que resultaban ser muy practicas y para las que se complicaban utilizaba un método que aprendí de 3 pasos de verificación para saber si es o no separable. ¿Qué aprendí? Aprendí el método de resolución de ecuaciones diferenciales lineales con los cuatro pasos enseñados en clase.

Semana#3: 15 a 19 de abril Tema discutido Ecuaciones de Bernoulli, método de sustitución y planteamiento de modelos matemáticos que son descritos usando ecuaciones diferenciales

Datos interesantes discutidos ¿Qué cosas fueron difíciles? Al inicio se me complicó algunos casos de Ecuaciones de Bernoulli y también los problemas de aplicación obtener algunas condiciones iniciales, lo que significaba que faltaba entender ciertos conceptos que luego entendí en la siguiente clase. ¿Cuáles fueron fáciles? Se hizo fácil resolver los problemas usando las sustituciones de Bernoulli, ya que era una herramienta que permitía transformar problemas difíciles en ecuaciones lineales sencillas de resolver solo usando este método. ¿Qué aprendí? Aprendí varios conceptos nuevos del modelamiento matemático de las ecuaciones diferenciales y entendí el uso de la reducción de Bernoulli a lineales.

Semana# 4: 22 a 26 de abril Tema discutido Ecuaciones diferenciales homogéneas

Datos interesantes discutidos ¿Qué cosas fueron difíciles? Al inicio me costó volver a mecanizar las sustituciones que había que hacer para reducir una ecuación de coeficientes lineales a una ecuación homogénea, ya que sin practica puede confundir fácilmente. ¿Cuáles fueron fáciles? Una vez obtenida la ecuación diferencial homogénea se hacia fácil resolverla, ya que no eran muchos pasos los que había que hacer después de eso. ¿Qué aprendí? Aprendí el método de reducción utilizando las sustituciones, fueron muy eficaces sus clases para comprender ese tema.

Semana#5: del 29 de abril al 3 de mayo Tema discutido Ecuaciones diferenciales exactas y resolución de trayectorias ortogonales y oblicuas

Datos interesantes discutidos ¿Qué cosas fueron difíciles? Al inicio comprender las trayectorias ortogonales, pero en la siguiente clase lo logre entender muy bien, también las ecuaciones exactas al inicio se me complicaron algo. ¿Cuáles fueron fáciles? Las trayectorias ortogonales fue el tema que mejor entendí de esa semana, las ecuaciones exactas siempre tengo que estar pendiente de no confundir la x o y con los pasos que hay que hacer. ¿Qué aprendí? Aprendí a resolver trayectorias oblicuas usando su fórmula para hacerlo, fue nuevo e interesante para mí.

Semana#6: 6 a 10 de mayo Tema discutido Resolución de Modelos matemáticos vaciado, leyes de Newton y mezclas.

Datos interesantes discutidos ¿Qué cosas fueron difíciles? Me confundí al momento de diferenciar los conceptos de concentración y cantidad de sustancia al principio de este tema, una vez entendido bien ese detalle, lo demás fue fácil. ¿Cuáles fueron fáciles? Las leyes de Newton fueron sencillas aplicarla y entenderlas, me gusto aprender esa aplicación. ¿Qué aprendí? La resolución de los modelos matemáticos de algunos casos especiales que me confundía y no sabía como hacerlos y en clase se explicaron muy bien.

Semana#7: 13 a 17 de mayo Tema discutido Modelos matemáticos circuitos RC y RL

Datos interesantes discutidos ¿Qué cosas fueron difíciles? Se me complicaron algunos conceptos que aun no tenía claros de circuitos eléctricos y se me presentaban en los enunciados de distintos problemas en los libros. ¿Cuáles fueron fáciles? Fue muy fácil reemplazar las resistencias, capacitancias e inductancias, era algo bien metódico de hacer. ¿Qué aprendí? Logré resolver los problemas para encontrar las cargas y corrientes de un circuito usando ecuaciones diferenciales y claro, el modelo diferencial de la carga y corriente.

Semana#8: 20 a 24 de mayo Tema discutido Modelos matemáticos de temperatura

Datos interesantes discutidos ¿Qué cosas fueron difíciles? Se me hizo difícil entender los enunciados, no lograba captar algunas preguntas confusas de casos especiales como ondas senoidales y constante en edificios y aparatos y lugares cerrados. ¿Cuáles fueron fáciles? Lograr resolver un crimen usando este método, me gustaron muchos esos enunciados de ese caso en particular de buscar hora exacta de asesinatos y demás. ¿Qué aprendí? Al final logré entender de una manera satisfactoria cada tema tocado esta semana resolviendo los problemas, y los distintos casos que se podían presentar.

Semana#9: 27 a 31 de mayo Tema discutido Ecuaciones diferenciales Homogéneas de orden superior

Datos interesantes discutidos ¿Qué cosas fueron difíciles? En realidad, no sentí algo difícil en este tema, solo las demostraciones matemáticas de la fórmula de reducción, pero no era necesario realizar, solo aplicar formulas en nuestro caso. ¿Cuáles fueron fáciles? Entender el Wronskiano fue fácil y me gustó la practicidad que este daba para resolver los problemas. ¿Qué aprendí? Aplicar el Wronskiano para resolver este tipo de ecuación de orden superior homogéneas y de coefcientes constantes.

Semana#10: 3 a 7 de junio Tema discutido Ecuaciones diferenciales no homogéneas

Datos interesantes discutidos ¿Qué cosas fueron difíciles? Al inicio se me hizo complicado saber que supuesto colocar y luego la parte de superposición de soluciones que fue totalmente nuevo ese concepto para mí. ¿Cuáles fueron fáciles? La resolución de la misma ecuación una vez hecho el supuesto ya que lo demás era aplicar conocimientos algebraicos.

¿Qué aprendí? Aprendí cómo resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas de orden superior por el método de coeficientes indeterminados.

Semana11#: 10 a 14 de junio Tema discutido Método de variación de parámetros y ecuación de Cauchy-Euler

Datos interesantes discutidos ¿Qué cosas fueron difíciles? Se complicó algunas integrales, que me hacían utilizar fichas de cálculo 2. ¿Cuáles fueron fáciles? Fue algo fácil Cauchy-Euler, cuando las raíces eran distintas e iguales. Pero no logré tocar el caso cuando eran imaginarias. ¿Qué aprendí? Utilizar el método de variación de parámetros para resolver ecuaciones no homogéneas y también Cauchy-Euler.

Semana12#: 17 a 21 de junio Tema discutido Sistemas de ecuaciones diferenciales e introducción a las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de orden superior

Datos interesantes discutidos ¿Qué cosas fueron difíciles? Se complicó mucho eliminar un sistema de ecuaciones diferenciales esa clase en particular ya que no pude estudiar por los parciales de Estática, luego la siguiente clase domine fácilmente ese tema. ¿Cuáles fueron fáciles? Deducir las ecuaciones diferenciales de los circuitos eléctricos usando cada malla y hasta los nodos. ¿Qué aprendí? Aprendí a utilizar el operador de derivada D que la verdad no logré entender bien anteriormente, y en sus clases lo aprendí muy bien.

Semana13#: 24 a 28 de junio Tema discutido Solución en serie de potencias de ecuaciones diferenciales

Datos interesantes discutidos ¿Qué cosas fueron difíciles? Al inicio no entendí como se cambiaban las potencias e índices, y también derivarlas. ¿Cuáles fueron fáciles? Recordar las series de potencias, y todos los demás tipos de series como armónica, Taylor Maclaurin y otras. ¿Qué aprendí? Aprendí a usar una serie de potencia para resolver una ecuación diferencial y también demostrar ecuaciones diferenciales usando este tipo de series.

Reflexiones Reflexión Módulo I. Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones El primer módulo fue para mí el más importante de todos, porque se explicaron desde lo más básico y elemental de una ecuación diferencial ordinaria (y hasta una que otra parcial), como lo es su clasificaciones, existencia y unicidad, hasta lo que es el modelamiento y la señalización de las condiciones iniciales de los problemas. Es muy importante dominar este primer módulo para el resto de la materia.

Reflexión Módulo II Ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado Era este módulo el que más esperaba (y que aun no entiendo como perdí tantos puntos en ese 1er parcial), porque me siento cómodo resolviendo ecuaciones diferenciales ordinarias, buscar la solución implícita o general, ya sea con sus condiciones iniciales o de frontera. A pesar de mi error, siento que aprendí mucho y eso es lo que mas me reconforta y me gusta mucho.

Reflexión Módulo III Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden Gracias a que en el primer módulo Puga y yo decidimos resolver los modelos matemáticos de Nagle, se nos hizo fácil este módulo ya que lo habíamos hecho ya. Aunque algunos problemas fueron algo difícil, me gustó ver cómo se puede aplicar los problemas a ciencias como la Medicina. También me gustó las leyes de Newton de enfriamiento-calentamiento en lugares cerrados, así como edificios y autos, la manera en que cambiaba el modelo perfecto, a uno más realista y aplicable. Pero el que más me gusto fueron el de mezclas y todo lo relacionado a la Ley de Torricelli que me ayudaran muchos en cursos como Mecánica de Fluidos.

Reflexión Módulo IV Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior Entendí de gran manera como distinguir el uso de los métodos de coeficientes indeterminados y variación de parámetros, por conveniencia y ciertos parámetros. Me gustó mucho porque era más desarrollo algebraico y se me hizo sencillo mecanizar los pasos. Pero, ecuaciones diferenciales de coeficientes variables, o sea, CauchyEuler, admito que no estudie los casos de raíces especiales por desconocimiento de su existencia y sé que ese fue mi gran error en el 3er parcial. Pero de ello aprendí eso nuevo, cosa que no volverá a pasar con ese tema porque ahora lo sé.

Reflexión Módulo V Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes De este módulo aprendí la resolución de circuitos eléctricos RLC, usando ecuaciones diferenciales, me gustó implementar esta herramienta nueva. No sabía que en ecuaciones diferenciales iba a lograr entender una nueva manera de análisis de malla. Los resortes se me hicieron fáciles pues solo era entender ciertos conceptos que la profe explicó muy bien diapositivas para modelar el problema y presentar las condiciones iniciales de manera correcta, lo demás se trataba de resolver la ecuación de orden superior que ya se tornaba metódico.

Experiencia personal: Mediante este portafolio le comparto mi experiencia personal tanto en su materia como en las demás. Yo tengo el hábito de estudiar en verano la mayor cantidad de contenido que pueda de las materias que daré en el año, y este verano no fue la excepción. Entre abarcar aproximadamente 10 materias no es fácil en solo 3 o 4 meses de vacaciones solo con libros en la computadora y videos, pero eso trato. Estudié ecuaciones diferenciales desde el 8 de diciembre justo después del último semestral hasta Navidad, y logré abarcar todos los temas hasta aplicaciones de Orden Superior, es decir, el tema de series es nuevo para mí. Luego de Glyn James ví la mayor parte de transformadas, series de Fourier hasta lo que son ED Parciales y unas cuantas aplicaciones, sin duda en vacaciones de medio año volveré a repasarlo. Es algo que me gusta hacer por seguridad y así también entiendo mejor las clases al darlas. A pesar de esto quiero decirle que sin lugar a duda aprendí muchísimo en sus clases de ecuaciones diferenciales, ya que no es igual poder resolver los problemas y entender ciertos conceptos básicos que lograr entender el tema a cabalidad, así como lo he logrado hacer con cada uno de los temas de la materia gracias a sus clases. Con ello, me siento seguro que las clases que me esperan el siguiente semestre con Matsup serán de mucho provecho y pretendo aprovecharlas al máximo, que a pesar de que las otras materias también me consuman tiempo y energía, siempre trato y trataré de mantenerle un tiempo especial a su materia.

Conclusiones A lo largo de este semestre se han desarrollado diversos métodos de resolución de ecuaciones diferenciales que nos han hecho ser capaces de resolver una gran variedad de problemas que se nos presente. Fueron muchas las aplicaciones desarrolladas tanto en ecuaciones de primer orden como mezclas y temperatura, y en ecuaciones de orden superior como sistemas de resortes y circuitos eléctricos. Una vez adquirido este conocimiento básico en el área de las matemáticas avanzadas se nos abre un mundo de diversidades en aplicaciones a diversas ciencias que nuestra carrera nos hagan requerir utilizar, como lo será procesos relacionados la Termodinámicas en motores, como lo es el calor utilizando ecuaciones parciales. Personalmente, me siento satisfecho con todo lo aprendido en este curso que fue para nosotros sus estudiantes de gran ayuda a entender y dilucidar muchas dudas.