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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTADA DE EDUCACIÓN ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE EDUCACIÓN ESPECIALIDAD DE MATEMÁTICA E INFORMÁTICA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE MATEMÁTICAS

Asignatura

:

Ecuaciones Diferenciales

Docente

:

M.Cs. Ing. Juan Julca Novoa

Tema de investigación

:

SistemasLinealesde Ecuaciones Diferenciales

Grupo de trabajo

:

N° 5

Integrantes

:

Cabanillas Soto, José Orlando Sandoval Minchán, Luis Manuel

Cajamarca, 26 de Octubre del 2011.

Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

PRESENTACIÓN El estudio de las ecuaciones diferenciales es una hermosa aplicación de las ideas y procedimientos del cálculo a nuestra vida cotidiana. En el presente trabajo nos enfocamos en los procedimientos para estudiar los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Mostraremos cómo usar la forma algebraica para dar solución de los sistemas lineales con coeficientes constantes.

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RESUMEN En el presente trabajo consideraremos sistema de dos ecuaciones con dos funciones incógnitas, y más en general sistema de n ecuaciones diferenciales con n funciones incógnitas. Estudiaremos solamente los sistemas lineales, empezando con la consideración de varios tipos de tales sistemas. Después nos dedicaremos a estudiar la teoría fundamental y los métodos básicos de resolución de un tipo canónico de sistemas lineales en el caso especial de dos ecuaciones con dos funciones incógnita. Finalmente aplicaremos las propiedades del algebra lineal para el estudio de la teoría y los métodos básicos de resolución del correspondiente tipo canónico de sistema lineal en el caso general de n ecuaciones con n incógnitas.

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ÍNDICE MARCO TEÓRICO I. TIPOS DE SISTEMAS LINEALES. II. SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS CON COEFICIENTES CONSTANTES: DOS ECUACIONES CON DOS FUNCIONES INCÓGNITAS. A. LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN CARACTERÍSTICA SON REALES Y DIFERENTES. B. LAS RAICES DE LA ECUACIÓN CARATERISTICA SON REALES E IGUALES. C. LAS RAICES DE LA ECUACIÓN CARACTERÍSTICA SON COMPLEJAS CONJUGADAS. III. SISTEMAS LINEALES HOGÉNEOS CON COEFICIENTES CONSTANTES: N ECUACIONES CON N FUNCIONES INCOGNITAS A. CASO DE N AUTOVALORES DISTINTOS B. OBSERVACIONES SOBRE EL CASO DE AUTOVALORES REPETIDOS IV. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGENEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES EJERCICIOS RESUELTOS RESULTADOS Y/O CONCLUSIONES BIBLIOGRAFÍA

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MARCO TEÓRICO V. TIPOS DE SISTEMAS LINEALES. Empezamos introduciendo los diferentes tipos de sistemas lineales que tomaremos en consideración. El sistema lineal general con dos ecuaciones y dos funciones incógnitas, x e y, tiene la forma:

a1 t 

dx dy  a2 t   a3 t x  a4 t  y  F1 t , dt dt dx dy b1 t   b2 t   b3 t x  b4 t  y  F2 t . dt dt

…(1)

nosocuparemos de los sistemas del tipo que tengan los coeficientes constantes. Un ejemplo de tal sistema es:

dx dy 3  2x  y  t 2 , dt dt dx dy 2  3x  4 y  e t . dt dt

2

El sistema lineal general con tres ecuaciones y tres funciones incógnitas, x, y y z, tiene la forma:

a1 t 

dx dy dz  a2 t   a3 t   a4 t x  a5 t  y  a6 t z  F1 t , dt dt dt dx dy dz b1 t   b2 t   b3 t   b4 t x  b5 t  y  b6 t z  F2 t , dt dt dt dx dy dz c1 t   c2 t   c3 t   c4 t x  c5 t  y  c6 t z  F3 t . dt dt dt

…(2)

Como en el caso de los sistemas de la forma (1), nos ocuparemos de los sistemas que tengan los coeficientes constantes. Un ejemplo de tal sistema es:

dx dy dz   2  2 x  3 y  z  t, dt dt dt dx dy dz 2   3  x  4 y  5z  sen(t ), dt dt dt dx dy dz  2   3x  2 y  z  cos(t ) dt dt dt E.A. Profesional De Matemática E Informática

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Decimos que una terna ordenada (f, g, h) de funciones reales es una solución del sistema (2), si poniendo x=f (t), y=g (t), z=h (t), las tres soluciones del sistema (2) se satisfacen simultáneamente en cierto intervalo de la recta real a  t  b . Los sistemas de los tipos (1) y (2) contienen solamente primeras derivadas; consideramos ahora los sistemas lineales básicos que contienen derivadas de orden superior. Se trata del sistema lineal general de segundo orden con dos ecuaciones y dos funciones incógnitas, x e y, que tienen la forma:

d 2x d2y dx dy    a t  a3 t   a 4 t   a5 t x  a6 t  y  F1 t , 2 2 2 dt dt dt dt d 2x d2y dx dy b1 t  2  b2 t  2  b3 t   b4 t   b5 t x  b6 t  y  F2 t . dt dt dt dt a1 t 

…(3)

También en este caso nos ocuparemos de aquellos sistemas que tengan los coeficientes constantes; un ejemplo de tal sistema es:

d 2x d2y dx dy 2 2  5 2  7  3  2 y  3t  1, dt dt dt dt 2 2 d x d y dy 3 2  2 2  2  4 x  y  0. dt dt dt Dados dos enteros positivos, m y n, podríamos definir de una manera parecida el sistema general de orden m con n ecuaciones diferenciales y n funciones incógnitas y podríamos también dar ejemplos de este tipo de sistema. En lugar de esto vamos introducir la forma canónica del sistema lineal (1) con dos ecuaciones diferenciales de primer orden y dos funciones incógnitas x e y. Consideremos el tipo especial de sistema lineal (1) que tiene la forma:

dx  a11(t ) x  a12 (t ) y  F1 (t ), dt dy  a21(t ) x  a22 (t ) y  F2 (t ) dt

…(4)

estaes la llamada forma normal en el caso de dos ecuaciones diferenciales con dos funciones incógnita. El rasgo distintivo del sistema anterior es manifiesto por la E.A. Profesional De Matemática E Informática

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manera como aparecen las derivadas en él. Un ejemplo del sistema con coeficientes variables es:

dx 2  t x  (t  1) y  t 3 , dt dy  tet x  t 3 y  et . dt Mientras que uno con coeficientes constantes es:

dx  5x  7 y  t 2 , dt dy  2 x  3 y  2t. dt La forma normal en el caso de un sistema lineal con tres ecuaciones diferenciales y tres funciones incógnitas, x, y y z, es:

dx  a11 (t ) x  a12 (t ) y  a13 (t ) z  F1 (t ), dt dy  a21 (t ) x  a22 (t ) y  a23 (t ) z  F2 (t ), dt dz  a31 (t ) x  a32 (t ) y  a33 (t ) z  F3 (t ). dt Un ejemplo del sistema con coeficientes constantes es:

dx  3x  2 y  z  t , dt dy  2 x  4 y  5z  t 2 , dt dz  4 x  y  3z  2t  1. dt La forma normal en el caso general de un sistema lineal con n ecuaciones diferenciales y n funciones incógnita, x1 , x2 ,, xn , es:

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dx1  a11 (t ) x1  a12 (t ) x2    a1n (t ) xn  F1 (t ), dt dx2  a21 (t ) x1  a22 (t ) x2    a2n (t ) xn  F2 (t ), dt

…(5)

 dxn  an1 (t ) x1  an 2 (t ) x2    ann (t ) xn  Fn (t ). dt Una propiedad fundamental importante de un sistema lineal normal (5) es la relación que tiene con una ecuación diferencial de orden n con una función incógnita. Precisando, consideremos la llamada ecuación normalizada de orden n (es decir, que tenga el coeficiente del término de mayor orden igual a uno) lineal

dnx d n 1 x dx  a ( t )    an 1 (t )  an (t ) x  F (t ) 1 n n 1 dt dt dt

…(6)

Con la función incógnita x. Sean

x1  x, x2 

dx d 2x d n 2 x d n 1 x , x3  2 ,, xn 1  n  2 , xn  n 1 . …(7) dt dt dt dt

De (7) se deduce

dx dx1 d 2 x dx2 d n 1x dxn 1 d n x dxn  ,  ,  ,  ,  . dt dt dt2 dt dt dt dtn 1 dtn

…(8)

Utilizando (7) y (8), la ecuación de orden n (6) puede ser convertida en

dx1  x2 , dt dx2  x3 , dt 

…(9)

dxn 1  xn , dt dxn  an (t ) x1  an 1 (t ) x2    a1 (t ) xn  F (t ). dt

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Que es un caso especial del sistema lineal normal (5) con n ecuaciones y n funciones incógnitas. Vemos pues que una ecuación diferencial lineal de orden n del tipo (6), está íntimamente relacionada con un sistema lineal normal (5) con n ecuaciones diferenciales de primer orden y n funciones incógnitas.

VI. SISTEMAS

LINEALES

CONSTANTES:

DOS

HOMOGÉNEOS ECUACIONES

CON

CON

COEFICIENTES

DOS

FUNCIONES

INCÓGNITAS. El sistema es de la forma:

dx  a1 x  b1 y, dt dy  a2 x  b2 y. dt

…(10)

Donde los coeficientes a1 , b2 , a 2 y b2 son constantes reales. Para encontrar las soluciones de este sistema intentamos determinar una solución del tipo:

x  Aet , y  Bet .

…(11)

En donde A, B y  son constantes. Si sustituimos (11) en (10) obtenemos

Aet  a1 Aet  b1Bet , Bet  a2 Aet  b2 Bet Estas ecuaciones nos llevan de una manera inmediata al sistema

(a1   ) A  b1B  0, a2 A  (b2   ) B  0.

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…(12)

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En donde las incógnitas son A y B . El sistema tiene, obviamente, la solución trivial A  B  0 , la cual nos daría la solución trivial x  y  0 del sistema (10). Busquemos, pues, soluciones no triviales de (12). Una condición necesaria y suficiente para que este sistema tenga una solución no trivial es que el determinante verifique

a1   b1 0 a2 b2  

…(13)

Desarrollando este determinante nos encontramos con la ecuación de segundo grado

2  (a1  b2 )  (a1b2  a2b1 )  0

…(14)

En donde  es una incógnita. Esta ecuación se llama ecuación característica asociada al sistema (10). Sus raíces 1 y 2 se llaman las raíces características.Si el par (11) es una solución del sistema (10), entonces la  de (11) debe ser una de estas raíces. Supongamos que   1 . Sustituyendo  por 1 en el sistema algebraico (12), podemos obtener una solución no trivial A1 , B1 de este sistema algebraico. Con estos valores obtenemos la solución no trivial

x  A1e 1t , y  B1e 1t . Del sistema dado.Tres casos deben tomarse en consideración: 

Las dos raíces 1 y 2 son reales y diferentes.



Las dos raíces 1 y 2 son reales e iguales.



Las dos raíces 1 y 2 son complejas conjugadas.

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D. LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN CARACTERÍSTICA (14) SON REALES Y DIFERENTES. Si las raíces 1 y 2 de la ecuación característica (14) son reales y diferentes, parece que debemos esperar que dos soluciones distintas del tipo (11), cada una correspondiente a una de las soluciones distintas, sean válidas. Esta suposición es en realidad cierta; además estas dos soluciones son linealmente independientes. Resumimos este caso en el siguiente teorema. TEOREMA 1: Hipótesis. Las raíces 1 y 2 de la ecuación característica (14) asociada al sistema (10) son reales y diferentes. Conclusión. El sistema (10) tiene dos soluciones linealmente independientes no triviales del tipo.

x  A1e1t ,

x  A2 e2t ,

y  B1e1t .

y  B2 e2t .

dondeA1, B1, A2 y B2 son constantes apropiadas. La solución general del sistema (10) puede escribirse entonces

x  c1 A1e1t  c2 A2e2t , y  c1B1e1t  c2 B2e2t ,

en donde c1 y c2 son constantes arbitrarias. E. LAS RAICES DE LA ECUACIÓN CARATERÍSTICA (14) SON REALES E IGUALES. Si las dos raíces de la ecuación característica (14) son reales e iguales, solamente podemos encontrar una solución de la forma (11) excepto en el subcaso especial a1 =b2 ≠0, a2 = b1 =0. En general ¿qué haremos para hallar E.A. Profesional De Matemática E Informática

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otra solución linealmente independiente? Recordemos la situación análoga que se produce al tener la ecuación auxiliar correspondiente a una ecuación diferencial lineal de orden n una raíz doble. La analogía nos hace pensar que podemos esperar una segunda solución del tipo

x  A1e 1t , y  B1e 1t . sinembargo, en nuestro caso la situación no es tan sencilla. Debemos buscar una segunda solución

x  ( A1t  A2 )et , y  ( B1  B2 )et .

…(15)

TEOREMA 2. Hipótesis. Las raíces 1 y 2 de la ecuación característica (14) asociada al sistema (10) son reales e iguales. Sea  su valor común, Supongamos además que el sistema (10) no es tal que a1 =b2 ≠0, a2 = b1 = 0 . Conclusión. El sistema (10) tiene dos soluciones linealmente independientes del tipo

x  A1et , y  B1et ,

x  ( A1t  A2 )et , y

y  ( B1  B2 )et ,

en donde A, B, A1, A2,B1 y B2 son constantes apropiadas, A1 y B1 no se anulan simultáneamente y B1/A1= B/A. La solución general puede escribirse, pues, en la forma

x  c1 Aet  c2 ( A1t  A2 )et , y  c1Bet  c2 ( B1  B2 )et , en donde c1 y c2 son constantes arbitrarias. E.A. Profesional De Matemática E Informática

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F. LAS RAICES DE LA ECUACIÓN CARACTERÍSTICA (14) SON COMPLEJAS CONJUGADAS. Si las raíces 1 y 2 de la ecuación característica (14) son los números complejos conjugados a+bi y a-bi, obtenemos las dos soluciones distintas

x  A 2 et ,

x  A 1 e( abi )t ,

…(16)

y y  B 1 e( abi)t ,

y  B 2 et ,

de la forma (11), correspondiente a cada una de las raíces complejas. Sin embargo las soluciones (16) son soluciones complejas. Para obtener soluciones reales consideramos la primera de las soluciones y hacemos lo siguiente: primeramente expresamos las constantes complejas A 1 y B 1 de la forma

A 1  A1  iA2 y B1  B1  iB2 , en donde A1, A2 , B1 y B2 son reales. Aplicamos después la fórmula de Euler ei  cos  isen y expresamos la primera solución (16) en la forma

x  ( A1  iA2 )eat (cos bt  isenbt) y  ( B1  iB2 )eat (cos bt  isenbt)

que operando da

x  eat [( A1 cos bt  A2 senbt)  i( A2 cos bt  A1senbt)], y  eat [( B1 cos bt  B2 senbt)  i( B2 cos bt  B1senbt)],

…(17)

Se puede demostrar que un par  f1 (t )  if 2 (t ), g1 (t )  ig2 (t ) de funciones complejas es una solución del sistema (10) si y solamente si los pares

 f1(t), g1(t) constituidos por las partes reales y el par  f 2 (t), g2 (t) formado E.A. Profesional De Matemática E Informática

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por las partes imaginarias son ambos soluciones de (10). Por lo que tanto la parte real

x  e at [( A1 cos bt  A2 senbt)], y  e at [( B1 cos bt  B2 senbt),

…(18)

comola parte imaginaria

x  eat ( A2 cos bt  A1senbt), y  eat ( B2 cos bt  B1senbt),

…(19)

de la solución (17) del sistema (10) son soluciones de (10). Además, las soluciones (18) y (19) son linealmente independientes. Hallamos

( t ) 

eat ( A1 cos bt  A2 senbt)

eat ( A2 cos bt  A1senbt)

e ( B1 cos bt  B2 senbt)

e ( B2 cos bt  B1senbt)

at

at

 e2at ( A1B2  A2 B1 ).…(20)

Ahora bien, la constante B1 es un múltiplo no real de la constante A 1 . Si suponemos que A1B2  A2 B1  0 , se deduce B1 que es un múltiplo real de

A 1 (es decir es el resultado de multiplicar A 1 por cierto número real), lo cual está en contradicción con lo que decíamos al principio. Así, pues,

A1B2  A2 B1  0 y por lo tanto el determinante (t ) de (20) es diferente de cero. Por lo tanto en virtud del teorema 7.4.

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TEOREMA 7.4 “Sean

x  f1 (t )

x  f 2 (t ) x y

y  g1 (t )

y  g 2 (t )

dossoluciones de un sistema lineal homogéneo Una condición necesaria y suficiente para que estas dos soluciones sean linealmente independientes en

a  t  b es que el determinante

(t ) 

f1 (t ) f 2 (t ) x g1 (t ) g 2 (t )

sea diferente de cero para todo t tal que a  t  b ”1 las soluciones (18) y (19) son efectivamente linealmente independientes. En consecuencia una combinación lineal de estas dos soluciones reales da, en este caso, la solución general de este sistema (10). No hay ninguna necesidad de tomar en consideración la segunda solución de (16). Resumimos los resultados anteriores en el siguiente teorema: TEOREMA 3 Hipótesis. Las raíces 1 y 2 de la ecuación característica (14) asociada al sistema (10) son los números complejos conjugados a  bi .

1

Shepley L. Ross, 1979, p.333

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Conclusión. El sistema (10) tiene dos soluciones linealmente independientes de la forma.

x  eat ( A1 cos bt  A2 senbt),

y

y  eat ( B1 cos bt  B2 senbt),

x  eat ( A2 cos bt  A1senbt), y  eat ( B2 cos bt  B1senbt),

donde A1, A2, B1 y B2 son ciertas constantes reales. La solución general del sistema (10) puede pues escribirse

x  eat [c1 ( A1 cos bt  A2 senbt)  c2 ( A2 cos bt  A1senbt)], y  eat [c1 ( B1 cos bt  B2 senbt)  c2 ( B2 cos bt  B1senbt)], en donde c1 y c2 son constantes arbitrarias.

VII. SISTEMAS

LINEALES

HOGÉNEOS

CON

COEFICIENTES

CONSTANTES: N ECUACIONES CON N FUNCIONES INCOGNITAS Consideraremos ahora la forma normal de un sistema lineal homogéneo de n ecuaciones diferenciales de primer orden con n funciones incógnitas x1,x2,…, xn, donde todos los coeficientes son constantes. Para ser más específicos, estudiaremos el caso en que cada coeficiente es un número real. Por tanto, el sistema que consideraremos será de la forma

dx1  a11x1  a12 x2    a1n xn , dt dx2  a21x1  a22 x2    a2n xn , dt  dxn  an1 x1  an 2 x2    ann xn . dt

…(21)

Donde todos los aij, i=1, 2, 3, …, n; j=1, 2, 3,…,n son números reales. Introducimos la matriz constante n  n de números reales

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 a11   a21 A   a  n1

      ann 

a12  a1n a22  a2n   an 2

…(22)

y el vector

 x1  x x 2    xn

   ,  

…(23)

el sistema (21) puede expresarse como ecuación diferencial vectorial lineal y homogénea:

dx  Ax dt

…(24)

La matriz constante A que aparece en (24) y se define en (22), se denomina matriz de coeficientes de (24). Buscamos soluciones del sistema (21), es decir, de la ecuación diferencial vectorial correspondiente (24).En efecto, buscamos soluciones no triviales del sistema (21) de la forma

x1  1e t , t

x2   2 e ,

…(25)

 xn   n e t , donde 1 ,  2 ,…,  n y  son números. Haciendo

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 1     2    n

     

…(26)

yutilizando (23), vemos que la forma vectorial de la solución deseada (25) es

x   et . Buscamos, pues, soluciones de la ecuación diferencial vectorial (24) que sean de la forma

x   et

…(27)

donde  es un vector constante y  un número.

Aplicando ahora (27) en (24), obtenemos

 et  A et que se reduce inmediatamente a

A  

…(28)

yde aquí se obtiene

( A  I )  0, Donde I es la matriz unidad n  n . Escrito en forma de componentes, este sistema es un sistema lineal homogéneo

(a11 -  )1  a12 2  ...  a211  (a22 -  ) 2  ...  an11 

an 2 2  ... 

a1n n  0, a2n n  0,

…(29)

(ann   ) n  0,

con las n incógnitas 1 ,  2 ,…,  n . Según el teorema A de la sección7,5B,

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TEOREMA A “Un sistema de n ecuaciones lineales homogéneas algebraicas con n incógnitas tiene un solución no trivial si, y solo si, el determinante de los coeficientes del sistema es igual a cero”2 Este sistema posee una solución no trivial si, y solos si,

(a11 -  )  a12  ...  a21  (a22 -  )  ...  an1 

an 2  ... 

a1n  0, a2n  0,  0

…(30)

(ann   )  0,

es decir, en notación matricial, A  I  0 Del resultado C de la sección 7.5 RESULTADO C “Supongamos que los n autovalores 1 , 2 ,..., n de la matriz n  n, A son distintos (es decir no hay ningún repetido); sea x1 , x2 ,..., xn un conjunto de n autovectores correspondientes en A . Entonces este conjunto de n autovectores es linealmente independiente”(Shepley L. Ross, 1979, p.370). Reconocemos que la ecuación (30) es la ecuación característica de la matriz de coeficientes, A  (aij ) , de la ecuación diferencial vectorial (24). Sabemos que esta ecuación característica es una de ecuación polinómica de n-ésimo grado en  , recordemos que sus raíces, 1 , 2 ,…, n , son los autovalores o valores propios de A. Sustituyendo cada autovalor i (i  1,2,3,..., n) en el sistema (29), obtenemos las soluciones no triviales correspondientes

1  1i , 2  2i , ...,n  ni (i  1,2,3,.., n) del sitema (29). Puesto que tal 2

Shepley L. Ross, 1979, p.362

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sistema es meramente el (28) escrito en forma de componentes, el vector definido por

 (i )

 1i     2i     ni

     

(i  1,2,..., n)

…(31)

es un vector propio correspondiente al autovalor i (i  1,2,3,..., n) . Vemos entonces que si la ecuación diferencial vectorial

dx  Ax dt

…(24)

tiene una solución de la forma

x   et

…(27)

el número  debe ser un autovalor i de la matriz de coeficientes A y el vector  ha de ser un vector propio  (i ) correspondiente a este autovalor i . C. CASO DE N AUTOVALORES DISTINTOS

Supongamos ahora que los autovalores, 1 , 2 ,…, n , de la matriz de coeficientes A de la ecuación diferencial vectorial son los distintos (es decir, no se repiten) y sea  (1) ,  ( 2) ,..., ( n) un conjunto de n vectores propios …(32)

respectivos de A. Entonces las n funciones vectoriales distintas x1 , x2 ,..., xn definidas respectivamente por

x1 (t )   (1) e1t , x2 (t )   ( 2) e2t ,..., xn (t )   ( n ) ent son soluciones de la ecuación diferencial vectorial (24) en todo intervalo real [a,b].

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Esto se ve fácilmente de la manera siguiente: De (28), para cada

i  1,2,3,...,n , tenemos

i (i )  A (i ) ; y utilizando además la definición (32) de xi (t ) obtenemos

dxi (t )  i (i ) eit  A (i ) eit  Axi (t ), dt que evidentemente muestra que xi(t) satisface la ecuación diferencial vectorial

dx  Ax, dt

…(24)

en [a,b] Consideremos ahora el Wronskiano de las n soluciones, x1 , x2 ,.., xn , definimos por (32). Hallamos

11 e t 12 e t ... 1n e t 1

W ( x1 , x2 ,.., xn )(t ) 

n

2

 21 e t  22 e t ...  2n e t 1



 n1 e

n

2

 1t



 n 2 e ...  nn e t

 e( 1  2 ... n

2 t

n

11 12 ... 1n )t  21  22 ...  2 n 





 n1  n 2 . ..  nn Según el resultado C de la sección 7.5 (ya mencionado en las pág19 y 20), los n vectores propios  (1) ,  ( 2) ,..., ( n) son linealmente independiente. Por tanto resulta.

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Pág. 21

Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

11 12 ... 1n  21  22 ...  2n 





0

 n1  n 2 . ..  nn Además, es evidente que

e(12 ...n )t  0 para todo t. Entonces

W ( x1, x2 ,.., xn )(t )  0 para todo t en el intervalo [a,b]. Por tanto, según el teorema 7.15. Teorema 7.15 “Sean las funciones vectoriales 1 , 2 ,...,n , definidas por

 1n (t )   11 (t )   12 (t )         2n (t )   21 (t )   22 (t )  1   ,  ,...,n     2             ( t )  ( t )  ( t )  n1   n2   nn  , n soluciones de la ecuación diferencial vectorial línea y homogénea

dx  A(t ) x, en el intervaloreal [a,b]. Estas n soluciones 1 , 2 ,...,n son dt linealmente independiente en [a,b] si, y solo si, W (1 , 2 ,...,n )  0 para todo

t [a, b] ”3 Las soluciones x1 , x2 ,..., xn de la ecuación diferencial (24), definidas por (32), son linealmente independientes a [a,b], formando entonces un conjunto fundamental de soluciones de (24) en [a,b].En consecuencia, una solución general (24) viene dada por

c1 x1  c2 x2  ...  cn xn ,

3

Shepley L. Ross, 1979, p.389

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Pág. 22

Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

donde c1 , c2 ,..., cn son números arbitrarios. Resumimos los resultados obtenidos en el siguiente teorema

TEOREMA 4. Consideremos la ecuación diferencial vectorial

dx  Ax, dt

…(24)

dondeA es una matriz real constante n  n . Supongamos distintos cada uno de los autovalores de A y sea  (1) ,  ( 2) ,..., ( n) un conjunto de los n vectores propios de A correspondientes. Se verifica entonces que, en todo intervalo real [a,b], las n funciones definidas por  (1) e1t ,  ( 2) e2t ,...,  (n) ent forman un conjunto linealmente independiente (conjunto fundamental) de soluciones (24) y

x  c1 (1) e 1t  c2  ( 2) e 2t  ...  cn ( n ) e nt , donde c1 , c2 ,..., cn son números arbitrarios, es una solución general de (24) en el intervalo [a,b].

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D. OBSERVACIONES SOBRE EL CASO DE AUTOVALORES

REPETIDOS Consideremos de nuevo la ecuación diferencial vectorial

dx  Ax, dt

…(24)

donde A es una matriz real constante n  n , pero ahora daremos una breve introducción al caso en que A posea un autovalor repetido. Para concretar, supongamos que A posee un autovalor real i de multiplicidad m, donde 1