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• Milena Alarcón

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UNIVERSIDAD TECNICA DE MANABI INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS

FACULTAD DE CIENCIAS MATEMATICAS, FISICAS Y QUIMICAS

PORTAFOLIO ECUACIONES DIFERENCIALES. TECER SEMESTRE

CARRERA: INGENIERIA INDUSTRIAL PARALELO: “G”

DOCENTE DE LA ASIGNATURA: ING. MIGUEL ANGEL LAPO PALACIOS

PERIODO ACADEMICO ABRIL – AGOSTO 2019

SYLLABUS

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ FACULTAD DE CIENCIAS MATEMATICAS FISICAS Y QUIMICAS ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL ABRIL DEL 2019 HASTA: AGOSTO DEL 2019

SYLLABUS

4

Aplicación

Aplicar las series de potencias mediante criterios -lecciones orales y/o escritas -participación en convenientes para la solución de ecuaciones diferenciales talleres colaborativos y de investigación -tareas ordinarias en problemas típicos del campo profesional de extra clases -portafolio estudiantil estudio.

AULA REAL.

UNIDAD 1. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer, Segundo y Orden Superior. Inicia al: 2019/04/22

Finaliza al:2019/06/08

Asistidas:22 Colaborativas:0 Prácticas de Aprendizaje: 33 Aprendizaje Autónomo: 0

Resultado de Aprendizaje: Solucionar las ecuaciones diferenciales de primer orden y de orden superior, utilizando los diferentes métodos de solución, para la aplicación de modelos generales de estas ecuaciones en problemas típicos del campo profesional de estudio.

Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior con coeficientes constantes Homogéneas y no Homogéneas. 2. Ecuaciones Diferenciales de orden superior reducibles a ecuaciones diferenciales de primer orden. 1.

3.

Método de los coeficientes indeterminados

4.

Aplicación del Método de Variación de los Parámetros.

5.

Ecuación de Cauchy-Euler

Ecuaciones diferenciales de primer orden: Definición, orden, grado y linealidad de una ecuación diferencial. 7. Definición de ecuaciones diferenciales como ordinarias (EDO) y en derivadas parciales (EDP) 8. Definición de la solución particular y solución general de una ecuación diferencial 9. Definición de una familia de curvas como solución de una ecuación diferencial. 6.

10. Problemas con condiciones iniciales de Ecuaciones diferenciales. 11. Teorema sobre la existencia y unicidad de la solución en una ecuación

diferencial.

12. Resolución de Ecuaciones Diferenciales por separación de variables 13. Resolución de Ecuaciones Diferenciales homogéneas.

14. Resolución de Ecuaciones Diferenciales reducibles a homogéneas. 15. Ecuaciones Diferenciales Lineales y su Resolución 16. Resolución de Ecuaciones Diferenciales reducibles a lineales utilizando la

Ecuación de Bernoulli y la Ecuación de Ricatti.

17. Resolución de Ecuaciones Diferenciales exactas. Resolución de Ecuaciones

reducibles a exactas utilizando el factor de integración. 18. Resolución de ecuaciones no definidas respecto a la derivada utilizando la

Ecuación de Clairaut y la Ecuación de Lagrange. 19. Ecuaciones Diferenciales lineales de Orden Superior. 20. Problemas de valor inicial y problemas de frontera para ecuaciones

diferenciales de orden superior. Resolución de problemas de valor inicial y problemas de valor de frontera para ecuaciones diferenciales de orden superior. Componente de docencia

Tipo de Actividad

Aprendizaje asistido

Aprendizaje colaborativo

Actividad

Lecciones orales/escritas

Proyecto de problematización y resolución casos

Estrategia Las lecciones orales y/o escritas serán presenciales con los temas explicados, las orales (máximo tres por parcial) con un problema en pizarra con guía de compañero de clase o profesor y las escritas (máximo uno por parcial) con 1 a 4 problemas de acuerdo al tiempo aplicado en un máximo de dos evaluaciones en promedio. El equipo de trabajo estará conformado por cinco estudiantes y mediante la investigación se pretende contribuir a la búsqueda del problema en la generación de varias interrogantes que tengan relación con la experiencia de vida, estrategia espontánea de tema generativo, de incentivo y de analogía.

Componente de prácticas de aplicación y experimentación de los aprendizajes Actividad

Estrategia

Los talleres estarán sujetos a los contenidos estudiados y serán desarrollados en grupos de al menos cinco estudiantes, de los cuales se nombrará un líder que se hará cargo de la organización del trabajo para la exposición final del aprendizaje alcanzado.

Talleres

Componente de aprendizaje autónomo Actividad

Estrategia Presentarán en físico los ejercicios resueltos de manera individual al final de cada parcial, lo cual esta actividad permitirá fortalecer el dominio de los contenidos y dará la oportunidad de hacer la retroalimentación cuando el caso amerita.

Otros

UNIDAD 2. Series numéricas y solución de ecuaciones diferenciales mediante series de potencias. Inicia al: 2019/06/10

Finaliza al:2019/07/06

6.

Sucesiones: Límite de sucesiones. Series y convergencias: serie geométrica, armónica, telescópica, serie P, prueba de la divergencia. Criterio de la integral, comparación directa, comparación por límites, prueba de las series alternante, convergencia absoluta, criterio de la razón, criterio de la raíz. Serie de Potencias: radio e intervalo de convergencia. Representación de funciones como serie de potencias: manipulando serie geométrica, por derivación o integración. Serie de Taylor y McLaren

7.

Funciones ortogonales y series de Fourier.

8.

Solución de ecuaciones diferenciales mediante serie de potencia.

1.

Asistidas:12 Colaborativas:0 Prácticas de Aprendizaje:18 Aprendizaje Autónomo:0

2.

Resultado de Aprendizaje:Aplicar las series de potencias mediante criterios convenientes para la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias en problemas típicos del campo profesional de estudio.

4.

3.

5.

Componente de docencia Tipo de Actividad

Aprendizaje asistido

Aprendizaje colaborativo

Actividad

Lecciones orales/escritas

Proyecto de problematización y resolución casos

Estrategia Las lecciones orales y/o escritas serán presenciales con los temas explicados, las orales (máximo tres por parcial) con un problema en pizarra con guía de compañero de clase o profesor y las escritas (máximo uno por parcial) con 1 a 4 problemas de acuerdo al tiempo aplicado en un máximo de dos evaluaciones en promedio. El equipo de trabajo estará conformado por cinco estudiantes y mediante la investigación se pretende contribuir a la búsqueda del problema en la generación de varias interrogantes que tengan relación con la experiencia de vida, estrategia espontánea de tema generativo, de incentivo y de analogía.

Componente de prácticas de aplicación y experimentación de los aprendizajes Actividad Talleres

Estrategia Los talleres estarán sujetos a los contenidos estudiados y serán desarrollados en grupos de al menos cinco estudiantes, de los cuales se nombrará un líder que se hará cargo de la organización del trabajo para la exposición final del aprendizaje alcanzado.

Componente de aprendizaje autónomo Actividad Otros

Estrategia Presentarán en físico los ejercicios resueltos de manera individual al final de cada parcial, lo cual esta actividad permitirá fortalecer el dominio de los contenidos y dará la oportunidad de hacer la retroalimentación cuando el caso lo amerita.

UNIDAD 3. Transformada de Laplace y su Inversa

Inicia al:2019/07/08

Finaliza al:2019/07/27

Asistidas:18 Colaborativas:0 Prácticas de Aprendizaje: 27 Aprendizaje Autónomo: 0

1.

2.

Resultado de Aprendizaje: Aplicar algunas fórmulas de transformada de Laplace utilizando propiedades convenientes para la solución de ecuaciones diferenciales y sistemas de ecuaciones diferenciales aplicados en problemas típicos del campo profesional de estudio.

3. 4.

5.

6. 7.

Definición de Transformada de Laplace. Transformada de Laplace de algunas funciones elementales con el apoyo de un software. Propiedades importantes de la Transformada de Laplace. Transformada de Laplace de una función multiplicada por potencia n-ésima de t. Transformada de Laplace de una función dividida por potencia n-ésima de t. Transformada de Laplace de una función multiplicada por potencia nésima de t. Transformada de Laplace de la derivada y la integración. Transformada inversa de Laplace. Transformada inversa de Laplace de funciones elementales con el apoyo de un software. Propiedades fundamentales de la Transformada inversa de Laplace Transformada inversa de Laplace de una función multiplicada por potencia n-ésima de s. Transformada inversa de Laplace de una función dividida por potencia n-ésima de s. Método de las fracciones parciales y el teorema de Heaviside. Aplicación de la transformada de Laplace en la solución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales.

Componente de docencia Tipo de Actividad

Aprendizaje asistido

Aprendizaje colaborativo

Actividad

Lecciones orales/escritas

Proyecto de problematización y resolución casos

Estrategia Las lecciones orales y/o escritas serán presenciales con los temas explicados, las orales (máximo tres por parcial) con un problema en pizarra con guía de compañero de clase o profesor y las escritas (máximo uno por parcial) con 1 a 4 problemas de acuerdo al tiempo aplicado en un máximo de dos evaluaciones en promedio

El equipo de trabajo estará conformado por cinco estudiantes y mediante la investigación se pretende contribuir a la búsqueda del problema en la generación de varias interrogantes que tengan relación con la experiencia de vida, estrategia espontánea de tema generativo, de incentivo y de analogía.

Componente de prácticas de aplicación y experimentación de los aprendizajes Actividad Talleres

Estrategia Los talleres estarán sujetos a los contenidos estudiados y serán desarrollados en grupos de al menos cinco estudiantes, de los cuales se nombrará un líder que se hará cargo de la organización del trabajo para la exposición final del aprendizaje alcanzado.

Componente de aprendizaje autónomo

Actividad Otros

Estrategia Presentarán en físico los ejercicios resueltos de manera individual al final de cada parcial, lo cual esta actividad permitirá fortalecer el dominio de los contenidos y dará la oportunidad de hacer la retroalimentación cuando el caso lo amerita.

UNIDAD 4. Métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias.

Inicia al:2019/07/29

Finaliza al:2019/08/17

Asistidas:12 Colaborativas:0 Prácticas de Aprendizaje: 18 Aprendizaje Autónomo: 0

1. Interpolación lineal y de potencias. 2. Polinomios interpoladores de Lagrange. 3. Métodos de diferencias divididas de Newton. 4. Interpolación inversa.

5. Solución del problema del valor inicial de ecuaciones diferenciales Resultado de Aprendizaje: Aplicar métodos ordinarias por el método de Euler. numéricos a la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales en problemas 6. Solución del problema de valor inicial en ecuaciones diferenciales ordinarias por el método de Rungue Kutta de orden dos. típicos del campo profesional de estudio mediante un software. 7. Solución del problema del valor inicial de ecuaciones diferenciales ordinarias por el método de Rungue Kutta de orden cuatro. 8. Solución de Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior y sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias mediante el método de Rungue Kutta. 9. Método de Newton Cotes. Trapecio, Simpson 1/3 y 3/8. 10. Solución de la ecuación de la onda por el método de diferencia finita. 11. Raíces de funciones trascendentes y polinómicas: bisección, Regula Falsa,

Newton Rapasen.

12. Solución de la ecuación de calor por el método de diferencia hacia adelante. 13. Solución de la ecuación de calor por el método de crank-nicholson.

Componente de docencia Tipo de Actividad

Aprendizaje asistido

Aprendizaje colaborativo

Actividad

Lecciones orales/escritas

Proyecto de problematización y resolución casos

Estrategia Las lecciones orales y/o escritas serán presenciales con los temas explicados, las orales (máximo tres por parcial) con un problema en pizarra con guía de compañero de clase o profesor y las escritas (máximo uno por parcial) con 1 a 4 problemas de acuerdo al tiempo aplicado en un máximo de dos evaluaciones en promedio. El equipo de trabajo estará conformado por cinco estudiantes y mediante la investigación se pretende contribuir a la búsqueda del problema en la generación de varias interrogantes que tengan relación con la experiencia de vida, estrategia espontánea de tema generativo, de incentivo y de analogía.

Componente de prácticas de aplicación y experimentación de los aprendizajes Actividad Talleres

Estrategia Los talleres estarán sujetos a los contenidos estudiados y serán desarrollados en grupos de al menos cinco estudiantes, de los cuales se nombrará un líder que se hará cargo de la organización del trabajo para la exposición final del aprendizaje alcanzado.

Componente de aprendizaje autónomo Actividad

Otros

Toma de apuntes

Estrategia Presentarán en físico los ejercicios resueltos de manera individual al final de cada parcial, lo cual esta actividad permitirá fortalecer el dominio de los contenidos y dará la oportunidad de hacer la retroalimentación cuando el caso amerita. Al final del periodo académico los estudiantes presentarán el portafolio de la asignatura en archivo lógico, mediante el cual evidenciarán el trabajo desarrollado en clases, los apuntes de los contenidos tratados, talleres y evaluaciones realizadas, entre otros.

Aprobado por: GOROZABEL CHATA FRANCIS BENJAMIN Al 17/04/2019

Centro de Evaluación y Aseguramiento de la Calidad Sistema de Planificación y Control Académica Generado por: [email protected] Fecha de impresión: 18/08/2019 12:31 SBM2928P95D76733C4

HOJA DE VIDA

HOJA DE VIDA CEDULA:

2100952304

NACIONALIDAD:

ECUATORIANA

APELLIDOS:

QUINTERO VELEZ

NOMBRES:

MIGUEL ANGEL

GENERO:

MASCULINO

EST. CIVIL:

SOLTERO (A)

FECHA NACIMIENTO: 15/04/1999 PAIS NACIMIENTO:

ECUADOR

PROVINCIA NACIM.:

ESMERALDAS

EDAD:

20 AÑOS

CANTON NACIM.:

RÍOVERDE

ETNIA:

MESTIZO

PARROQUIA NACIM.: MONTALVO (CAB EN HORQUETA)

TIPO SANGRE:

O+

DISCAPACIDAD:

TIPO DISCAPACIDAD: NINGUNA

NO

INFORMACIÓN PERSONAL

CLASES

ECUACIONES DIFERENCIALES Son definidas como una expresión matemática con un símbolo de igualdad 𝐲 𝐧 + 𝟐𝐲´ + 𝐲 = 𝟎 Dado un problema inverso donde se conoce la derivada de la función se desee saber cuál fue la función original del cual se derivo 𝑦" + 2𝑦¨ + 𝑦 = 0

𝑦” = 2𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎

𝑦 2 + 3𝑦 = 0

𝑦 ∙ = 1𝑒𝑟 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑦¨¨ = 3𝑒𝑟 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑦 𝐼𝑉 = 4𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎

𝑦´ =

𝑑𝑦 → 𝑣. 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑥 → 𝑣. 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑦" =

𝑑2𝑦 𝑑𝑥 2

𝑑 3 𝑦 𝑑 2 𝑑𝑦 + + − 2𝑦 = 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 3 𝑥 2 𝑑𝑥

CLASIFICACIÓN SEGÚN EL TIPO Si una ecuación solo contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una ecuación diferencial ordinaria. dy

+ 10y = ex dx

𝑑2 𝑦 𝑑𝑥 2

𝑑𝑦

− 𝑑𝑥 + 6𝑦 = 0

Una ecuación que tiene las derivadas parciales de una o más variables dependientes, respecto de dos o más variables independientes, se llama ecuación en derivadas parciales du dy

=

−dy

d2 u

dx

dx2

d2 a

= dc2

CLASIFICACIÓN SEGÚN EL ORDEN (ORDINARIA O DERIVADAS P.) Es la derivada de mayor orden en la ecuación ejemplo: 𝑑𝑥 3



𝑑2 𝑦

  

𝑦¨¨ + 𝑦" = 1 → 3𝑒𝑟 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 𝑦 𝐼𝑣 + 𝑦" + 𝑥𝑦´ = 𝑒 𝑦 → 5 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 𝑦´ + 𝑦¨¨ = 𝑥𝑦´´ → 3𝑒𝑟 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛



4𝑥 𝑑𝑥 + 𝑦 = 𝑥 → 1𝑒𝑟 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛

 

+ 5 (𝑑𝑦 ) − 4𝑦 = 𝑒 𝑥 → 2𝑑𝑜 orden 𝑑𝑥 2

𝑑𝑦

𝑦¨¨ + (𝑦´´)4 + 𝑦´ = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 ) → 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛3 3

𝑑2 𝑦

𝑑𝑦

(𝑑𝑥 2 ) + 𝑑𝑡 = 0 → 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 2 CLASIFICACIÓN SEGÚN EL GRADO

Es la potencia a la que se eleva la derivada de mayor orden, siempre y cuando la ecuación diferencial este dada en forma poli nominal ejemplo: dy 2



4x (dx ) + y = x → grado 2 , orden 1



d2 y



dx dy dx

dy 3

+ 5 ( ) − 4 = ex → grado1, orden2 dx

= 2x → ordinaria, primer ,1 grado CLASIFICACIÓN POR LINEALIDAD

Una ecuación diferencial es lineal si la variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado y sus coeficientes solo dependa de las variables independientes. En otras palabras, una ecuación diferencial es lineal si puede escribirse en una forma que no incluya lo siguiente 1. Ninguna potencia de la variable dependiente ni de sus derivadas tales como:  𝑦¨¨ + 𝑦´´ + 𝑦´=0→ 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙  (𝑦´´)2 + 𝑦´ = 1 → 𝑛𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 

𝑑2 𝑦



𝑦¨¨ + 𝑦´ = 𝑥 3 𝑦 𝐼𝑉 → 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙

𝑑𝑥 2

𝑑𝑦

+ 𝑑𝑡 = 𝑒 𝑥 → lineal

2. Ningún producto de la variable dependiente ni de sus derivadas, tales como y o y´ y”.  y¨¨ + xy´´ + y´ = 0 → lineal 

d3 y

y dx3 + y´´ + y´ = 1 → no lineal

 (x − 1)y´´ + y´ = cos(x) → lineal 3. Ninguna otra función no lineal de la variable dependiente ,tales como 𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑒 𝑢  y´´ + y´ = sen(x) → lineal  xy¨¨ + (y´´)2 = cos(4) → no lineal  y IV + y¨¨ = ex → lineal

DEFINICIÓN DE UNA SOLUCIÓN Solución de una ecuación diferencial es una función que no contiene derivadas y que satisface a dicha ecuación es decir al sustituir la función y sus derivadas en la ecuación diferencial resulta una identidad 

𝑦 = 3𝑥 2 + 7𝑥 + 𝑐𝑒 −4𝑥 𝑦´ + 4𝑦 = 12𝑥 2 + 34𝑥 + 7 𝑦´ = 6𝑥 + 7 − 4 𝑐𝑒 −4𝑥 6𝑥 + 7 − 4 𝑐𝑒 −4𝑥 + 12𝑥 2 + 28𝑥 + 4 𝑐𝑒 4𝑥 =12𝑥 2 + 34𝑥 + 7 12𝑥 2 + 34𝑥 + 7=12𝑥 2 + 34𝑥 + 7



y´´´ − y´ − 2y = 0 y = c1 e−x + 2c2 e2x y = −c1 e−x + 4c2 e2x y´´ = c1 e−x + 8c2 e2x Reemplaza 𝑐1 𝑒 −𝑥 + 8𝑐2 𝑒 2𝑥 + 𝑐1 𝑒 − 4𝑐2 𝑒 2𝑥 2𝑐1 𝑒 −𝑥 − 4𝑐2 𝑒 2𝑥 = 0 O=0 → 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙



𝑦´´ − 2𝑦´ + 𝑦 = 0 𝑦 = 8𝑒 𝑥 + 𝑥𝑒 𝑥 𝑦´ = 8𝑒 𝑥 + 𝑒 𝑥 + 𝑥𝑒 𝑥 𝑦´ = 9𝑒 𝑥 + 𝑥𝑒 𝑥 𝑦´ = 9𝑒 𝑥 + 𝑒 𝑥 + 𝑥𝑒 𝑥 𝑦´´ = 10𝑒 𝑥 + 𝑥𝑒 𝑥

Reemplaza 10𝑒 𝑥 + 𝑥𝑒 𝑥 − 13𝑒 𝑥 − 2𝑥𝑒 𝑥 + 8𝑒 𝑥 + 𝑥𝑒 𝑥 = 0 0=0→ 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 PROBLEMAS CON VALORES INICIALES (P.V.I) Dada una solución y(x) de una ecuación diferencial f(y, x, y´)=0,una condición inicial se especifica cómo y(0)=𝑦0 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 ,la solución y(x) toma el valor 𝑦0 para x=𝑥0 y(𝑥0 )= 𝑦0 ↓ ↓ Valor (x) valor (y)

EJERCICIO



𝑦´ − 𝑦 = 𝟎

reemplaza

𝑦 = 𝑐𝑒 𝑥

3 = 𝑐𝑒 0 → 𝑦 = 3𝑒 𝑥

𝑦(0) = 3 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙

𝑦´ = 𝑐𝑒 𝑥 𝑐𝑒 𝑥 − 𝑐𝑒 𝑥 = 0

c=3

0=0→

Solución particular 

𝐲 = 𝐜𝟏 𝐞𝐱 + 𝐜𝟐 𝐞−𝐱

y(−1) = 5

y´(−1) = −5 y´ = c1 ex + c2 e−x

y=5 −5

x = −1 −5 = c1 e−1 + c2 e1

x = −1 5 = c1 e−1 + c2 e1

−5 = c1 e−1 + c2 e1 5 = c1 e−1 + c2 e1 0 = 2c1 e−1 0 = 𝑐1 𝑒 −1 2 𝒄𝟏 = 𝟎 5=

𝑐1 𝑒 −1 + 𝑐2 𝑒 1

5 = +𝑐2 𝑒 1 5 = 𝑐2 𝑒1 𝒄𝟐 =5𝒆𝟏

DEFINICIÓN DE LOGARITMO 𝑦 = 𝑒 𝑥 𝑠𝑖 ln 𝑦 = 𝑥 Propiedades de los logaritmos 

ln(𝑥, 𝑦) = 𝑙𝑛𝑥 + 𝑙𝑛𝑦 = 𝑥

propiedades de los logaritmos 

ln(𝑥, 𝑦) = 𝑙𝑛𝑥 + 𝑙𝑛𝑦

y´ =

𝑥



ln (𝑦) = 𝑙𝑛𝑥 − 𝑙𝑛𝑦



𝑙𝑛𝑥 𝑎 = 𝑎 𝑙𝑛𝑥

Ecuaciones de anulación     

𝑒 𝑙𝑛𝑥 = x 𝑙𝑛𝑒 𝑥 = 𝑥 Definiciones 𝑙𝑛𝑒 = 1 ln 1 = 0

ECUACIONES DE VARIABLES SEPARABLES Una ecuación diferencial de primer orden de la forma 𝐝𝐲 = 𝐠(𝐱)𝐡(𝐲) 𝐝𝐱

Se dice que es separable o que tiene variables separables Método de solución ∫ f(x)dx + ∫ g(y)dy = 0     



dy

= y + senx → no es variable s.

dx dy dx dy dx dy dx dy dx

= y 2 e3x+3y → si es variable separable = x 2 → si es variable separable

. (x 2 + 1) → si es variable separable . x 2 + 1. → no es variable separable

𝒚´ = (𝟏 + 𝒆𝟐𝒙 ) 𝑑𝑦 𝑑𝑥

= (1 + 𝑒 2𝑥 )

∫ 𝑑𝑦 = ∫(1 + 𝑒 2𝑥 )dx 𝑦 + 𝑐1 = ∫ 1𝑑𝑥 + ∫ 𝑒 2𝑥 dx 𝑒 2𝑥 + 𝑐2 2 𝑒 2𝑥 𝑦 =x+ 2 + 𝑐2 − 𝑐1 𝑦 + 𝑐1 = 𝑥 +

𝑒 2𝑥

𝑦 =x+



2

+ 𝑐 → 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑒𝑥𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎

(𝟏 + 𝐱)𝐝𝐲 − 𝐲𝐝𝐱 = 𝟎 1 1 (1 + 𝑥 )𝑑𝑦 = 𝑦𝑑𝑥 → ∫ v dyñ = 1+xdy dy

= dx

y ((1+x))

ln y=𝑙𝑛(1 + 𝑥 ) + 𝑐 → 𝑠. 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎

−1



𝐞𝐥𝐧𝐲 = 𝐞𝐥𝐧 (𝟏 + 𝐱) + 𝐜 y = eln (1 + x)ec y = (1 + x). c → s. general explicita



𝐞𝐱+𝐲 𝐲´ = 𝐱

𝑦(0) = ln(2)

𝑑𝑦

𝑒 𝑥+𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥

v=x

∫ 𝑑𝑣=∫ 𝑒 −𝑥 𝑑𝑦 𝑒 𝑥 𝑒 𝑦 𝑑𝑥 . 𝑥

𝑑𝑣 = 𝑑𝑥

−𝑥

v=𝑒 𝑒 𝑥 𝑒 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑥𝑑𝑥 ∫ 𝑒 𝑦 𝑑𝑦 = ∫ 𝑥𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 → 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑣 𝑒 𝑦 = − 𝑥𝑒 −𝑥 − 𝑒 −𝑥 + 𝑐

− 𝑥𝑒 −𝑥 − ∫ −𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 − 𝑥𝑒 −𝑥 + ∫ −𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 − 𝑥𝑒 −𝑥 −𝑒 −𝑥 + 𝑐

𝑒 ln(2𝑥) = 𝑒 0 − 𝑐 0 + 𝑐 2 = −1 + 𝑒 C=3 𝑒 𝑦 = − 𝑥𝑒 −𝑥 − 𝑒 −𝑥 + 3 → 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎



𝟐

𝐱𝐲𝐝𝐱 + 𝐞−𝐱 (𝐲 𝟐 − 𝟏)𝐝𝐲 = 𝟎 2

𝑒 −𝑥 (𝑦 2 − 1)𝑑𝑦 = −𝑥𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥

=

−𝑥𝑦 2 𝑒 −𝑥 (𝑦 2 −1) 2

= −𝑥𝑦𝑒 −𝑥 (𝑦 2 − 1) 2

𝑑𝑦 = −𝑦𝑒 𝑥 (𝑦 2 − 1)−1 dx

𝑦 (0) = 1

(𝑦 2.1) 𝑦

2

𝑑𝑦 = ∫ −𝑥𝑒 −𝑥 𝑑𝑥

1 2 ∫ 𝑦. 𝑑𝑦 − ∫ 𝑑𝑦 = − ∫ 𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑦 𝑦2 2

− ln(𝑦) =

−1 2

∫ 𝑒 𝑢 du

→ 𝑦 2 − ln(𝑔) =

−1 2

2

𝑒𝑥 + 𝑐

CAMBIO DE VARIABLE 𝟐

∫ 𝐱𝐞𝐱 . 𝐝𝐱 𝑢 = 𝑥2 𝑑𝑢 = 2𝑥. 𝑑𝑥 → Y=0

𝑑𝑢 = 𝑥. 𝑑𝑥 2 x=0

1 1 − ln(𝑦) = − 𝑒 0 + 𝑐 2 2 1 1 =− +𝑐 2 2 1 1 + =𝑐→𝑐=1 2 2 𝑦2 −1 𝑥 2 𝑅: − ln(𝑦) = 𝑒 +1 2 2

ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS La ecuación diferencial homogénea es de la forma: M(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙 + 𝑵(𝒙, 𝒚)𝒅𝒚 = 𝟎 𝑦

𝑣 = 𝑥 , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑦 = 𝑣𝑥 se reemplaza la variable y por dx y la ecuación diferencial se convierte en: dy = f(v) → y se aplica la formula dx dx dv + = o se simpifica y se integra x v − f(v) Finalmente, la solución se expresa en términos de las variables originales reemplazando: 𝑦

𝑣 = 𝑥 , donde y=dx

1. 2.

dy dx dx x

= f(v) dv

+ v−f(v)

EJERCICIO 

(𝐱 𝟐 − 𝐲 𝟐 )𝐝𝐱 + 𝟑𝐱𝐲𝐝𝐲 = 𝟎 3𝑥𝑑𝑦 = −(𝑥 2 − 𝑦 2 )𝑑𝑥 𝑑𝑦 −(𝑥 2 − 𝑦 2 ) = 𝑑𝑥 3𝑥𝑦 Paso 1 𝑑𝑦 𝑑𝑥

=

paso 2

−(𝑥 2−𝑣 2.𝑥 2)

𝑑𝑥

3𝑥.𝑣.𝑥

𝑥

+

𝑑𝑣 (1−𝑣2) 𝑣+ 3𝑣

ln(𝑥 ) +

3𝑣.𝑑𝑣

∫ 2𝑣 2 +1 𝑑𝑦 𝑑𝑥

=

−𝑥 2(1−𝑣 2 )

𝑑𝑥

3𝑥 2𝑣

𝑥

+

𝑑𝑣 (1−𝑣2) 𝑣+ 3𝑣

3

ln(𝑥 ) + 4 𝑙𝑛

(2𝑣 2 + 1) =0 𝑑𝑦 𝑑𝑥 3

=

𝑙𝑛 4

−(1−𝑣 2)

𝑑𝑥

3𝑣

𝑥

(2𝑦 2 +1) 𝑥2

+

𝑑𝑣 2𝑣2 +1 3𝑣

R: ln(𝑥 ) +

=𝑐 ∫

𝑑𝑥 3𝑣. 𝑑𝑣 +∫ 2 𝑥 2𝑣 + 1

ECUACION DIFERENCIAL EXACTA La igualdad 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 es una ecuacion diferencial exacta,el primer miembro es una diferencial total 𝝏𝑴

M= 𝝏𝒀 =

𝝏𝑵 𝝏𝒙

Método de solución 1. Dada la ecuación diferencial se ve si es exacta ejemplo: 6𝑥𝑦 − 2𝑦 2 𝑑𝑥 + 3𝑥 2 − 4𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0 6𝑥 − 4𝑦 = 6𝑥 − 4𝑦 → 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑎 2. Se aplica la definición 𝑀 (𝑥, 𝑦) 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑓𝑦 = 𝑁(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑓

M=𝑑𝑥

𝑑𝑓

𝑑𝑓

6𝑥𝑦 − 2𝑦 2 = 𝑑𝑥

𝑑𝑥

= 6𝑥𝑦 − 2𝑦 2

3. Se integra con respecto a x o con respecto a y 𝑓 = 𝑀𝑑𝑥 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝐹 = 𝑁𝑑𝑦 ∫ 𝑑𝑓 = 3𝑥 2 − 2𝑥𝑦 2 + 𝑓(𝑦) 4. Al resultado se deriva con respecto a y o bien con respecto a x 𝜕 𝜕 ∫ 𝑀𝑑𝑥 𝑓𝑥 = ∫ 𝑁𝑑𝑦 𝑓𝑦 = 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝑓𝑦 = 3𝑥 2 + 4𝑥𝑦 + 𝑓´(𝑦) 5. Se iguala el nuevo resultado a N o bien a M 3𝑥 2 − 4𝑥𝑦 = 3𝑥 2 − 4𝑥𝑦 + 𝑓´´. (𝑦) 𝑓´(𝑦) = 0 6. Se integra por última vez la ecuación ∫ 𝑓´(𝑦) = ∫ 0 𝑓 (𝑦 ) = 𝑐 7. 3𝑥𝑦 − 2𝑥𝑦 2 = 𝑐 𝑅//

EJERCICIO



(𝟐 + 𝟔𝒙𝒚)𝒅𝒙 +(3𝒙𝟐 − 𝟐𝒚)𝒅𝒚 = 𝟎 PASO #1 𝜕𝑀 𝜕𝑌

=

𝜕𝑁 𝜕𝑥

PASO#2 𝜕𝐹

M=𝜕𝑥

↓ 𝑑𝑓

3𝑥 2 -2y=𝑑𝑦 PASO #3 𝑑𝑓 𝑑𝑦

= 3𝑥 2 -2y

PASO#4 𝑓𝑥 = 6𝑥𝑦 + 𝑓´(𝑥)

𝑓𝑑𝑓 = 3𝑥 2 -2y. dy 𝑓 = 3𝑥 2 𝑦 − 𝑦 2 + 𝑓(𝑥) PASO#5 2+6xy+𝑓´(𝑥)

PASO#6 𝑓(𝑥 ) = 2𝑥 + 𝑐

𝜕𝑇

𝑁 = 𝜕𝑌

R//: 3𝑥 2 𝑦 − 𝑦 2 + 2𝑥 = 𝑐 →

∫ 𝑓´(𝑥 ) − ∫ 𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑔. 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Modelos de crecimiento y decrecimiento En muchas aplicaciones, el ritmo o velocidad de cambio de una variable y es proporcional al valor de ¨y¨ si ´´y¨ es una función del tiempo ¨t¨ La proporción se puede escribir como se muestra 𝑑𝑦 = 𝑘𝑦 → 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑎 𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑦 = 𝑘𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑦 = 𝑘. 𝑦. dt ∫

𝑑𝑦 = ∫ 𝑘. 𝑑𝑡 𝑦

ln(𝑦) = 𝑘𝑡 + 𝑐 e

e

𝑦 = 𝑒 𝑘𝑡 . 𝑒 𝑐 𝑦 = 𝑐𝑒 𝑘𝑡

EJERCICIO



Se inocula un cultivo de sreptococus a un grupo común de bacterias que produce infecciones a la garganta que contiene 100 células. cuando se analiza 60 minutos más tarde contiene 450 células, suponiendo crecimiento exponexial determinar el número de células en el cual que un instante t en minutos y en los tiempos que tarda en duplicar la población Datos 450 𝑦 = 𝑐𝑒𝑙𝑢𝑙𝑎𝑠 a)𝑦 = 𝑐𝑒 𝑘𝑡 𝑙𝑛 100=𝑙𝑛𝑒 60𝑘 𝑡 = 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑦(0) = 100 𝑦(60) = 450

100= 𝑐𝑒 𝑘(0) c= 100

450

ln(100) = 60𝑘 1.5=60k

450=100𝑒 60𝑘

𝑦(? ) = 200

1.5 60

= 𝑘 → 0,025

b) 𝑦 = 100𝑒 0,025𝑡 200 = 100𝑒 0,025𝑡 ln 200 = ln 100𝑒 0,025𝑡 ln(2) = 0,025𝑡 0,69 = 0,025𝑡 0,69 =𝑡 0,025 𝑡 = 27,72 𝑚𝑖𝑛// 

Suponer que una población experimental de moscas se incrementa conforme a la ley de crecimiento exponencial. había 100 moscas en el Segundo día del experimento y 300 moscas en el cuarto día ¿cuantas moscas aproximadamente había en la población original? 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 Y=moscas a). 100 = 𝑐𝑒 2𝑘 300 = 𝑒 4𝑘 𝑦= 𝑘𝑡 𝑐𝑒 100 T=tiempo =𝑐 300 = 100−2𝑘 .𝑒 4𝑘 𝑦= 𝑐𝑒 2𝑘 𝑐𝑒 054 Y(2)=100 𝑦 = 33,9 Y(n)=300 Y(0)=?

c=100. 𝑒 −2𝑘

LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON 𝐷𝑇 = 𝑘(𝑇𝑠 − 𝑇𝐴) 𝑑𝑡 𝐷𝑇 = 𝑘(𝑡𝑠 − 𝑡𝑎)𝑑𝑡 𝐷𝑡 ∫ = ∫ 𝑘 𝑑𝑡 (𝑡𝑠 − 𝑡𝑎) 𝑙𝑛(𝑡𝑠 − 𝑡𝑎) = 𝑘𝑡 + 𝑐 e e 𝑘𝑡 𝑐 ts-ta=𝑒 𝑒 ts=𝑐𝑒 𝑘𝑡 + 𝑡𝑎

300 = 1002𝑘 ln3 = 𝑙n. 𝑒 2𝑘 ln(3) = 2𝑘 1.09=2k→ 𝑘 = 0,54



A las 11 pm ,suponga que un instante t=0 se descubre un cadáver y que su temperatura es de 85℉ la tmperatura normal de un cuerpo es 37℃(98.6℉) y 2 hora después su temperatura es de 74℉ entonce calcule el tiempo de fallecimiento 85℉ = 𝑐𝑒 𝑘(0) +68 ℉ 85℉ − 68 = 𝑐 c=17℉//

T(0)= 85℉ T(2)= 74℉ Ta=68℉ T(?)=98.6℉ Ts = 𝑐𝑒 𝑘𝑡 + 𝑡𝑎 98,6=17𝑒 −0,520 + 68 ts=𝑐𝑒 𝑘𝑡 +68℉

74 = 17𝑒 2𝑘 + 68 ln

74−68 17

= 𝑙𝑛𝑒 2𝑘

98−68 17

=

−0,520𝑡

𝑙𝑛𝑒 ts=17𝑒 𝑘𝑡 + 68 0,58=0,520t ts=17𝑒 −0,520 + 68

-104=2k→-0,520

t=1,11//

ECUACION DIFERENCIAL LINEAL ECUACION LINEAL Una ecuación diferencial lineal de primer orden de la forma dy a(x) + a0 (x) = g(x) dx Se dice que es una ecuación lineal en la variable dependiente “y”.se dice que es una ecuación lineal es homogénea cuando g(x)=0; si no es no homogénea Forma estándar. al dividir ambos lados de la ecuación entre el primero coeficiente, a(x), se obtiene una forma más útil, la forma estándar de una ecuación lineal: 𝑑𝑦 + 𝑝(𝑥 )𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN LINEAL DE PRIMER ORDEN dy 1. Ponga la ecuación lineal de forma estándar + p(x)y = f(x) dx



𝑑𝑦

𝑥 𝑑𝑥 − 3𝑦 = 𝑥 2 1 𝑑𝑦 [ 𝑥 − 3𝑦 = 𝑥 2 ] 2 𝑑𝑥 𝑑𝑦 3 − 𝑦=𝑥 𝑑𝑥 𝑥



2. Identificación de identidad de la forma estándar p(x) y después determine el factor integrante 𝑒 ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 3 𝑝( 𝑥 ) = − 𝑥 3 −3 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 ∫ 𝑒 = 𝑒 ∫ −𝑥𝑑𝑥 = 𝑒 −3ln(𝑥) =𝑒 𝑙𝑛(𝑥) = 𝑒 −3 3. Multiplicamos la forma estándar de la ecuación con el factor integrante, el lado izquierdo de la ecuación resultante es automáticamente la derivada del factor integrante. 𝑑𝑦 3 − 𝑦. 𝑥 −3 = 𝑥. 𝑥 −3 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑦 3 1 𝑥 −3 − 4𝑦 = 2 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 𝑑 −3 1 [𝑥 𝑦 ] = 2 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 −3



4. Integramos ambos lados de esta ecuación 𝑑 1 1 ∫ [𝑥 −3 𝑦] = ∫ 2 → ∫ 𝑥 2 → 𝑥 −1 = − 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 1 𝑥 −3 𝑦 = − + 𝑐 → 𝑠. 𝑔. 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎 𝑥 Ejemplo 1.

𝑑𝑦 𝑑𝑥

+ 𝑦 = 𝑒𝑥

2. P(x)=1 𝑒 ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒 ∫ 1𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑦

3. 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑒 𝑥 𝑦 = 𝑒 2𝑥 𝑑𝑦 ∫ [𝑒 𝑥 𝑦] = ∫ 𝑒 2𝑥 → 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑥 𝑒𝑥𝑦 =

1 2𝑥 𝑒 + 𝑐 → 𝑠. 𝑔. 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎 2

ECUACIÓN DE BERNOULLI La también conocida ecuación no lineal que reduce una lineal con una apropiada sustitución es la ecuación de Bernoulli, llamada así por james Bernoulli 𝐲´ + 𝐩(𝐱)𝐲 = 𝐐(𝐱)𝐲´´ Es una ecuación de la forma:

𝑦´ + 𝑓 (𝑥 )𝑦 = 𝑟(𝑥 )𝑦 𝑛 , 𝑛 ≠ 0,1 Para que n=0,1 la ecuación es lineal Método de solución: 1. Convertida en lineal mediante la sustitución :𝑈 = 𝑦 1−𝑛 

𝟐

𝐲´ + 𝐱 𝐲 = −𝟐𝐱𝐲 𝟐 paso 1. sustituir 0= 𝑦 1−𝑛 =𝑈 = 𝑦 1−2 = 𝑢 = 𝑦 −1 Paso 2. Despejar “y” 1 𝑢 = 𝑦 −1 → 𝑢 = = 𝑢. 𝑦 = 1 = 𝑦 = 𝑢−1 𝑦 𝑝𝑎𝑠𝑜3.” derivar y” y´ = −u−2 . u´ Paso4.reemplazar en mi E.D 2 −𝑢−2 . 𝑢´ + 𝑢−1 = −2𝑥𝑢−2 𝑥

Paso.5 convertir a la ecuación forma estándar 𝑑𝑦 𝑑𝑢 + 𝑝 (𝑥 )𝑦 = 𝑓 (𝑥 ) → + 𝑝(𝑥 )𝑢 = 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 2 −𝑢2 [−𝑢2 . 𝑢1 + 𝑢−1 = −2𝑥−𝑢2 ] 𝑥 2 𝑢´ − 𝑢 = 2𝑥 𝑥 −2 𝑝( 𝑥 ) = 𝑥 −2 𝑒 ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 → 𝑒 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 =𝑥 −2 2 𝑥 −2 . 𝑢´ − 𝑢. 𝑥 −2 = 2𝑥. 𝑥 −2 𝑥 2 2 𝑥 −2 . 𝑢´ − 3 𝑢 = 𝑥 𝑥 𝑑 −2 2 ∫ [𝑥 𝑢 ] = ∫ 𝑑𝑥 𝑥 −2 𝑥 . 𝑢 = 2 ln(𝑥 ) + 𝑐 𝑥 −2 . 𝑦 −1 = 2 ln(𝑥 ) + 𝑐 EJERCICIO 3 𝑦´ + 𝑥𝑦 =

−1 𝑥𝑦 ⁄2 1

1. 𝑢 = 𝑦 1−𝑛 → 𝑢 = 𝑦 1+2 = 𝑢 = 𝑦

3⁄ 2

2. 𝑢 = 𝑦

3⁄ 2

2

3. 𝑦´ = 3 𝑢 4.

2

5.

2

𝑢 3 3

𝑢

→𝑢

2⁄ 3

= (𝑦

2⁄ 3 3⁄ 2)

→ 𝑦 = 𝑢 2⁄3

−1⁄ 3 . 𝑢´

−1⁄ 3 . 𝑢´

+ 𝑥𝑢

2⁄ 3

−1⁄ 2 −1⁄ 3[ 𝑢 3 𝑢´ 3

= 𝑥𝑢

+ 𝑥𝑢

−1⁄ 3

2⁄ 3

= 𝑥𝑢

−1⁄ 3]

3 3 𝑢´ + 𝑥𝑢 = 𝑥 → 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 2 2 3 𝑝( 𝑥 ) = 𝑥 2 3

3

𝑒 ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒 ∫2 𝑑𝑥 = 𝑒 4 3

3

𝑒43 𝑥 2 𝑢´ + 2xu 𝑒43 𝑥 2=2 𝑥𝑒43 𝑥 2

∫

𝑑 3 2 3 [𝑒4 𝑥 𝑢] = ∫ 𝑒43 𝑥 2 𝑑𝑥 2

𝑒43 𝑥 2 . 𝑢 = ∫ 𝑒 𝑚 𝑑𝑚 𝑒43 𝑥 2 . 𝑢 = 𝑒 𝑚 + 𝑐 𝑒43 𝑥 2 . 𝑢 = 𝑒43 𝑥 2 + 𝑐 3

3

𝑒 4 𝑦 2 = 𝑒43 𝑥 2 + 𝑐

ECUACIÓN DIFERENCIAL MÉTODO DE RICATTI La ecuación de Ricatti no se puede resolverse por el método elemental, si se conoce una solución particular 𝑦𝑝 entonces la transformación 𝑦 = 𝑦𝑝 + 𝑢 lineal en 𝑢 o ciertos casos a una ecuación de Bernoulli. Ejemplo: 𝑦´ = 𝑥𝑦2 + 𝑦 + 𝑥 1 Sustituir 1

1

1

2

Con solución particular 𝑦𝑝 = − 1𝑥

1

la reduce a una ecuación

𝑦=−

+ 𝑥

𝑢

𝑦 = −𝑥−1 + 𝑢−1 2 Derivar 𝑦´ = 𝑥−2 − 𝑢−2𝑢´ 3 Reemplazar en la ecuación diferencial 𝑥−2 − 𝑢−2𝑢´ = 𝑥 (−𝑥−1 + 𝑢−1)2 + (−𝑥−1 + 𝑢−1) + 𝑥−2 𝑥−2 − 𝑢−2𝑢´ = 𝑥 (𝑥−2 − 2𝑥−1𝑢−1 + 𝑢−2) − 𝑥−1 + 𝑢−1 + 𝑥−2 𝑥−2 − 𝑢−2𝑢´ = 𝑥−1 − 2𝑢−1 + 𝑥𝑢−2 − 𝑥−1 + 𝑢−1 + 𝑥−2 −𝑢−2𝑢´ = −𝑢−1 + 𝑥𝑢−2 4 Convertir a la ecuación estándar −𝑢2[−𝑢−2𝑢´ = −𝑢−1 + 𝑥𝑢−2] 𝑢´ = 𝑢 − 𝑥 𝑢´ − 𝑢 = −𝑥 𝑃(𝑥) = −1 𝑒∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒∫ −1𝑑𝑥 = 𝑒−1 ln(𝑥) = 𝑒−𝑥 𝑒−𝑥𝑢´ − 𝑢𝑒−𝑥 = −𝑥𝑒−𝑥 𝑥𝑒−𝑥 𝑑𝑥 𝑒−𝑥𝑢 = ∫ −𝑥𝑒−𝑥 Integramos por parte 𝑒−𝑥𝑢 = 𝑥𝑒−𝑥 + 𝑒−𝑥 + 𝑐 𝑢 = 𝑥 + 1 + 𝑐𝑒𝑥

𝑦 = 𝑦𝑝 +

1 𝑢

𝑦 = −𝑥−1 + (𝑥 + 1 + 𝑐𝑒𝑥) −1 Solución general implícita.

MÉTODO LAGRANGE 𝑦´ = 𝑝 𝑑𝑦 =𝑝 𝑑𝑥

𝑑𝑦 = 𝑝𝑑𝑥

Ejemplos: 2𝑦 = 𝑥𝑦´ + 𝑦´ ln(𝑦´) 1 Sustituir 𝑦´ = 𝑝 2𝑦 = 𝑥𝑝 + 𝑝 ln(𝑝) 𝑥𝑝 p ln(𝑝) 𝑦= + 2 2 2 Derivar con respecto a cada una de las variables}. 2𝑑𝑦 = 𝑝𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑝 + ln(𝑝) 𝑑𝑝 + 𝑝

1

𝑑𝑝 𝑝

2𝑑𝑦 = 𝑝𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑝 + ln(𝑝) 𝑑𝑝 + 𝑑𝑝 2𝑝𝑑𝑥 = 𝑝𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑝 + ln(𝑝) 𝑑𝑝 + 𝑑𝑝 3 Convertir a la forma estándar 2𝑝𝑑𝑥 − 𝑝𝑑𝑥 = 𝑥𝑑𝑝 + ln(𝑝) 𝑑𝑝 + 𝑑𝑝 𝑝𝑑𝑥 = 𝑑𝑝 (𝑥 + ln(𝑝) + 1) 𝑑𝑥 𝑝 = (𝑥 + ln(𝑝) + 1) 𝑑𝑝

𝑝−1[𝑝 𝑑𝑥 = (𝑥 + ln(𝑝) + 1)] 𝑑𝑝 𝑑𝑥 −1 + ln(𝑝) 𝑝−1 + 𝑝−1 = 𝑥𝑝 𝑑𝑝 𝑑𝑥 𝑥 −1 + 𝑝−1 − = ln(𝑝) 𝑝 𝑑𝑝 𝑝 1 𝑚(𝑝) = − 𝑝 𝑒 𝑝−1 𝑑𝑥𝑑𝑝 − 𝑝𝑥2 = ln(𝑝) 𝑝−2 + 𝑝−2

𝑝−2 𝑑𝑥 𝑝−1𝑥 = ∫ ln(𝑝) 𝑝−2 + ∫ 𝑝−2 Integramos por partes 𝑝−1𝑥 = − ln(𝑝) − 1 − 1 + 𝑐 𝑝 𝑝 𝑝 𝑥 = − ln(𝑝) − 2 + 𝑐𝑝 𝑦=

(− ln(𝑝) − 2 + 𝑐𝑝)𝑝 𝑝 ln(𝑝) + 2 2

ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLES A ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Dada la ecuación diferencial lineal de segundo orden 𝒚′′ + 𝒇(𝒙)𝒚′ + 𝒈(𝒙) 𝒚 = 𝟎 es natural suponer que una forma de resolverla es integrar dos veces la ecuación. De hecho, así se realizara, solo que se utilizara el cambio 𝑧 = 𝒚′ 𝒛′ = 𝒚′′ para que las constante de integración aparezcan en su momento. 𝒚′ = 𝒛 Con la variable independiente ′′

𝒚 =𝒛

′

𝒚′ = 𝒛 No tengo la variable independiente z z=𝒚

′′

𝒚′′′ = z′ xy ′′ = 𝒚′ xz′ =z

E.c y ′ = xc, 𝑥ⅆ𝑧 = 𝑧ⅆ𝑥 separable

variable separable

, Variable

∫ ⅆ𝑦 = ∫ 𝑥𝐶, ⅆ𝑥 ln(𝑧)

=

𝑒𝑙𝑛(𝑥) + 𝐶,

y ′′ − 𝒚 y′ = y′

1

𝑧

𝑧 ⅆ𝑧 − 𝑦𝑧 = 𝑧

,

ⅆ𝑦

∫ ⅆ𝑧 = ∫ (1 + 𝑦)ⅆ𝑦 2

,

y𝟐 + 2y + 1 + C, −1 + 𝐶2

2

1 +1 𝑐 ,arctg (𝑦𝑐 , )

Definición 4.2

SOLUCIÓN La función 𝑦 = ℎ(𝑥) se llama solución de la ecuación diferencial lineal (o no lineal) si está definida y es derivable n veces en algún

=x

intervalo de tal manera que al sustituir en la ecuación (junto con sus derivadas) se obtenga una identidad. y ′′ − y = 0

y = e𝒙

y = e−𝒙 e𝒙 − e𝒙 = 0

y ′ = e𝒙

y ′ = −e−𝒙 0 = 0

y ′′ y ′′ = e−𝒙

= e𝒙

y ′′ − y = 0 e−𝒙 −

e−𝒙 = 0 Ejemplo: Las funciones 𝑦 = 𝑒𝒙 y 𝑦 = 𝑒−𝒙 son soluciones de la ecuación deferencial lineal homogéneas: 𝑦 ′′ − y = 0

Teorema 1. Principios de superación o linealidad Sean 𝑦, (𝑥) y 𝑦0(𝑥) soluciones de la ecuación deferencial lineal homogénea y ′′ + 𝑓(𝑥) y ′ + 𝑔(𝑥)𝑦 = 0 en un intervalo, entonces, 𝑦 = 𝐶1𝑦1(𝑥), 𝑦 = 𝐶2𝑦2(𝑥) y 𝐶1𝑦1(𝑥) + 𝐶2𝑦2(𝑥) son también soluciones en el y = e𝒙 − e−𝒙

intervalo. Donde 𝐶1𝐶2 ER y ′ = e𝒙 − e−𝒙

𝑦 ′′ − y = 0

y ′ = e𝒙 − e−𝒙

e−𝒙 + e−𝒙−e−𝒙 − e−𝒙 = 0 0=0 DEFINICIÓN E INDEPENDENCIA LINEAL. DEFINICIÓN DEPENDENCIA LINEAL. Dos funciones 𝑦, (𝑥), 𝑦2(𝑥) son linealmente dependientes en un intervalo abierto, donde ambas están definidas, si son proporcionales en dicho intervalo, esto es, si𝑘1𝑦2 𝑂 𝑦2 = 𝑘2𝑦1 donde 𝑘1 𝑦 𝑘2 son constante = 0.

Definición independencia lineal. Si 𝑦1(𝑥) 𝑦 𝑦2 (𝑥) no son proporcionales en el intervalo son linealmente independientes en el mismo.

𝑦1 = 𝑒

−2𝑥

Linealmente dependiente , 𝑦2 = 𝑒 2𝑥

Linealmente independiente 𝑦 = 𝐶1 ln(𝑥) + 𝐶2ln (x𝟑) : Linealmente dependiente. 𝑦, = e𝟐𝒙, 𝑦2 = e𝒙, 𝑦3 = e𝟑𝒙 Wronskiano Sean 𝑦1, 𝑦2, 𝑦3, …, 𝑦𝑛, funciones que admiten dedicadas hasta el orden (𝑛 − 1), continuas en el intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏. 𝑦1(𝑥)

𝑦2(𝑥)

……. 𝑦𝑛(𝑥) 𝑦1(𝑥) 𝑦2(𝑥)………𝑦𝑛(𝑥)

𝑤(𝑦, 𝑦2 ⋅ ⋯ 𝑦𝜂)

. . . 𝑦1 (𝒏−𝟏)(𝒙)

𝑦1 (𝒏−𝟏)(𝑥)

… .. 𝑦𝑛 (𝒏−𝟏)(𝑥) Se llama wronskiano de estas funciones. 𝑦1 = e𝟑𝒙 ,

𝑦2 = e−𝟑𝒙 L.I

TEOREMA 2 Sean 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) funciones continuas en [a, b]. Sean 𝑦1(𝑥), 𝑦2(𝑥) dos soluciones en [a, b] de 𝑦 ′′ + 𝑓(𝑥) 𝑦 ′ + 𝑔(𝑥)𝑦 = 0, entonces 𝑦1 y 𝑦2 son linealmente independientes en [a, b] W (𝑦1, 𝑦2) (x) = 0 para toda x ∈ [a, b]. Ente teorema se puede generalizar para ecuaciones diferenciales de orden n.

𝒘 = ( 𝐞𝟑𝒙, 𝐞−𝟑𝒙)𝟐𝒙𝟐

= 3(1) -3(1) = - 6 L.I

𝑦1 = 𝑒 −5𝑥 , 𝑦2 = 𝑒 𝑥 , 𝑦3 = 𝑒 2𝑥 e−𝟓𝒙

e𝒙

e𝟐𝒙 e−𝟓𝒙

e𝒙 𝑤 = ( e−𝟓𝒙, e𝒙 , e𝟐𝒙) = −5 e−𝟓𝒙

e𝒙

25 e−𝟓𝒙

e𝒙

e𝟐𝒙

−5e−𝟓𝒙 e𝟐𝒙 25e−𝟓𝒙

4 e−𝟐𝒙 + 50 e−𝟐𝒙 − 5 e−𝟐𝒙 − 25 e−𝟐𝒙 − 2 e−𝟓𝒙 + 20 e−𝟐𝒙 = 42 e−2𝑥 𝑦1 = cos(𝑥) ;

𝑦2 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥) ;

cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 1 W= −𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos 𝑥 0 − cos 𝑥 cos 𝑥 0

e𝒙 = e𝒙 L.I

𝑦3 = 1

cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 −𝑠𝑒𝑛 𝑥+ cos 𝑥 = 0+0 +sen𝟐 x𝒙 + 𝑐𝑜s𝟐 x𝟐 − 0 − 0 cos 𝑥 −𝑠𝑒𝑛 𝑥

se n𝟐𝑥 + 𝑐𝑜s𝟐𝑥 = 1 L.I 𝑦1 = e𝒙 , 𝑦2 = e𝟐𝒙 , 𝑦5 = e𝟑𝒙 W=

e𝒙 e𝒙 2e𝟐𝒙 3e e𝒙

𝟑𝒙 𝟑𝒙 𝟑𝒙

12 e𝟔𝒙 − 9

W= 2 e𝟔𝒙

e𝟐𝒙 e e𝒙 e𝟐𝒙 2 e𝟐𝒙 = 18 e6𝒙 + 3 e𝟔𝒙4 e𝟔𝒙 − 2 e𝟔𝒙 − e𝟔𝒙 e𝒙 4e𝟐𝒙 9e e𝒙 4 e𝟐𝒙

L .I

REDUCCIÓN DE ORDEN La función u(x) se determina al sustituir 𝑦2(𝑥) = 𝑢(𝑥)𝑦1(𝑥) en la ecuación diferencial dada. Este método se llama reducción de orden porque debemos resolver una ecuación diferencial de primer orden para encontrar u. 𝑦 ′′ − 𝑦 = 0 𝑢 ′= 𝑧 𝑦2 = 𝑢. 𝑦1

/

𝑦1 = e𝑥 , 𝑦2 =? 𝑦 = 𝑢. 𝑦1

𝑢′′ = 𝑧

𝑦 = 𝑢; e𝑥 𝑦′ = 𝑢 ′ e𝑥 + 𝑢 e𝑥 𝑦′′ = 𝑢′′ e𝑥 + 𝑢′ e𝑥 + 𝑢′ e𝑥 + 𝑢 e𝑥 = 𝑢′′ e𝑥 + 2 𝑢′ e𝑥 + 𝑢 e𝑥 𝑢′′ e𝑥 + 2 𝑢 ′ e𝑥 + 𝑢 e𝑥 − 𝑢 e𝑥 = 0

𝑢′′ = 𝑧′

𝑢′′ e𝑥 + 2 𝑢′ e𝑥 = 0

𝑢 ′= 𝑧

𝑧′ e𝑥 + 2𝑧𝑒 𝑧𝑥 = 0 Variable separable

1

ⅇ 𝒙

𝑧′ 𝑒𝑥 + 2𝑧𝑒𝑥 = 0

; 𝑧′ + 2𝑧 = 0 𝑧′

=

−2𝑧

dz=-2zdx

;

𝑒ln 𝑧 = 2𝑥 + 𝐶1 Z =𝐶1𝑒−2𝑥 𝑧′ = 𝐶1𝑒−2𝑥

∫ ⅆ𝑢 = ∫ 𝐶1𝑒−2𝑥ⅆ𝑥 = 𝑢 = 𝐶

1−𝑒−22𝑥

+ 𝐶2

𝑒 −2 𝑥 1

𝑦2 =

2

2

𝐶

+𝐶

𝑒𝑥

Reducción de orden Caso general Suponga que se divide entre 𝑎2(𝑥) para escribir la ecuación en la formas estándar.

𝑦′′ + 𝑃(𝑥) 𝑦′ + 𝑄(𝑥)𝑦 = 0 La ecuación es:

𝒙𝟐 𝒚′ − 𝟑𝒙 𝒚′ + 𝟒𝒚 = 𝟎

𝒚, = 𝒙𝟐

=

dx;

𝑦′′ + 𝑦 = 0

𝑦1 = cos (4𝑥)

Ecuaciones de segundo orden con coeficientes constantes Una ecuación deferencial lineal homogénea de segundo orden, con coeficientes constantes a y b, tienen la forma 𝑦′′ + 𝑎 𝑦′ + 𝑏𝑦 = 0. Ecuación auxiliar: 𝜆2 + 𝑎𝜆 + 𝑏 = 0 𝜆=

Sabemos que:

−𝑎√𝑎 2 −4𝑏 2

Estudiamos tres casos: Caso 1.

Reales y diferentes

𝑦 = 𝐶1𝑒𝜆1𝑥 + 𝐶2𝑒𝜆2𝑥 Caso

2:

Factorización

Reales

e

iguales

𝑦 = 𝐶1𝑒 𝜆𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒 𝜆𝑥 Caso

3:

complejas

y

conjugadas

𝑦 = 𝑒∝𝑥(𝐴𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 + 𝐵𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑥) 𝒚′′ − 𝟐 𝒚′ − 𝟑𝒚 = 𝟎 𝑎 = −2; 𝑏 = −3 𝜆 𝟐 − 2𝜆. −3=0 (𝜆 − 3) 𝜆=3

𝒚′′ + 𝒚′ + 𝒚 = 𝟎 𝑎 = 1; 𝑏 = 1 22 + 2 + 1 = 0

(𝜆 + 1) 𝜆 = −1

𝑎=

−1 2

8=

√3 2

𝑦 = 𝐶1𝑒−1𝑥 − 𝐶2𝑒3𝑥

𝒚′′ + 𝟏𝟒 + 𝟒𝟗𝒚 = 𝟎 𝒚′(𝟎) = 𝟏𝟎

𝒚(𝟎) = 𝟐

𝑎 = 14 ; 𝑏 = 49

𝑦 = 𝐶1𝑒−7𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒−7𝑥

𝜆 𝟐 + 14 𝜆 + 49

𝑦′ = −7𝐶1𝑒−7𝑥 − 7𝐶2𝑥𝑒−7𝑥

(𝜆 + 7)

( 𝜆 + 7)

𝜆 = −7 + 𝑒−1(0)

𝜆 = −7

𝑦 = 𝐶1𝑒−7𝑥

2 = 1𝐶1 10 = 2(−7)𝑒−70 − 70𝐶2(10(7)𝑒+(0)

+ 𝐶2𝑥𝑒−7𝑥

10 = +14 − 𝐶2 𝐶2 = 24

𝒚 = 𝒄𝟏 𝒆

𝟐𝒙⁄ 𝟓

+ 𝒄𝟐 𝒙𝒆

𝟐𝒙⁄ 𝟓

ECUACIONES DE CAUCHY – EULER Es de la forma 𝑥2 𝑦′′ + 𝑎𝑥 𝑦′ + 𝑏𝑦 = 0, donde 𝑎, 𝑏, ∈ 𝑅 Ecuación auxiliar: 𝑚2 + (𝑎 − 1) 𝑚 + 𝑏 = 0 Caso 1: Reales e iguales. 𝑚1 = 𝑚 2

𝑦 = 𝐶1 𝑥𝑚 + 𝐶2(𝑙𝑛𝑥) 𝑥𝑚

Caso 1: Reales y diferentes.

𝑦 = 𝐶1 𝑥𝑚1 + 𝐶2(𝑙𝑛𝑥) 𝑥𝑚2 Caso3: Complejas.

𝑚 =∝ ±𝑖𝛽 → 𝑦 = 𝑥∝

𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑙𝑛𝑥𝛽) +𝐵𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛 𝑥𝛽)

𝑥2 𝑦′′ + 3𝑥 𝑦′ + 𝑦 = 0 𝑎 = 3; 𝑏 = 1 𝑚2 + (3 − 1)𝑚 + 1 = 0 𝑚2 + 2𝑚 + 1 = 0 (𝑚 + 1) (𝑚 + 1) 𝑚 = −1

𝑚 = −1

𝑦= 𝐶2(𝑙𝑛𝑥) 𝑥−1

ECUACIÓN DE ORDEN ARBITRARIA COEFICIENTES CONSTANTES. Ecuación diferencial con coeficientes constantes tiene la forma general. 𝑎𝑛 𝑦(𝑛) + 𝑎𝑛−1 𝑦(𝑛−1)+. . . +𝑎2 𝑦′′ + 𝑎1 𝑦′ + 𝑎0𝑦 = 0 Donde

𝑎𝑖

,

𝑖 , = 0, 1 … , 𝑛 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠.

Su ecuación auxiliar o característica es: 𝑎𝑛 𝑚𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑚𝑛−1+. . . +𝑎𝑛1 𝑚2 + 𝑎0 = 0 Que tendrá n raíces. Caso 1: Si las raíces son reales y diferentes.

Caso 2: Si las raíces son reales e iguales. Caso 3: Si las raíces son complejas.

Si hay otro par igual y así sucesivamente. Ejemplo:

es solución,

COMPLEJAS COMPLEJAS

1

6

-2

11

-8

1

6

-2

-6

4

3

1

4

10

12

5

-3 7

-7 5

-5 -1

1

-1 3 -1

1

-2 2

-1

-5 5

𝑦 = 𝑒−𝑥(𝐶1 + 𝐶1𝑥) + 𝑒−1𝑥(𝐶3𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝐶4𝑠𝑒𝑛2𝑥) 𝒚𝑽 + 𝟒𝒚𝑰𝑽 + 𝟓 𝒚′′′ − 𝟔 𝒚′ − 𝟒𝒚 = 𝟎 1

4

5

0

-6

-4 −2.2

1

1

5

10

10

5

10

10

-4

4 1

−4{−4.1 4. −1

-1

-4

-6

4

6

4

-2

-4

-4

2

2

-4

𝑚3 = 1;

-1

𝑚2=

−1

1

1

𝜆 𝟐+ 2 𝜆 + 2

𝑚1 = −2 -2

𝑎=2 ; 𝑏=2

𝑦 = 𝐶1 𝑒−2𝑥 + 𝐶2 𝑒𝑥 + 𝐶3 𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥(𝐶4 cos 𝑥 + 𝐶5𝑠𝑒𝑛𝑥)

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGÉNEAS DE SEGUNDO ORDEN. 𝑦′′ + 𝑓(𝑥) 𝑦′ + 𝑔(𝑥)𝑦 = 0

𝑦′′ + 𝑓(𝑥)𝑦′′ + 𝑔(𝑥)𝑦 = (𝑥)

Teorema 4: Si 𝒚𝒏 es la solución general de 𝑦′′ + 𝑓(𝑥)𝑦′ + 𝑔(𝑥)𝑦 = 0 y Yp es cualquier solución particular de (1), entonces, y=𝑦𝑛 +yp es la solución general. 𝑦′′ + 2𝑦′ + 4𝑦 = 5𝑥4 + 3𝑥2 − 𝑥

𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝

𝑦ℎ = 𝑦′′ + 2𝑦′ + 4𝑦 = 0 1𝜆2 + 2 𝜆 + 4 = 0

𝑎 = 2; 𝑏 = 4 =

𝑦𝑃 = 𝐴𝑥4 + 𝐵𝑥3 + 𝐶𝑥2 + 𝐷𝑥 + 𝐸

=

Todo Positivo



𝒚′′ + 𝒚′ − 𝟔𝒚 = 𝟓ⅇ𝟐𝒙 𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝

𝑦ℎ = 𝑦′′ − 𝑦′ − 6𝑦

𝑎=1

∝= 2

; 𝑏 = −6

𝑧 = #. ⅆ𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒

𝑟𝑒𝑝𝑖𝑡𝑒

4𝐴 + 𝐴 = 5 𝐴=1 4𝐴 + 2𝐴 − 6𝐴 = 0 0=0 𝑦𝑝 = 𝑥𝑒2𝑥 𝑦 = 𝐶1𝑒−3𝑥 + 𝐶2𝑒2𝑥 + 𝑒2𝑥



𝒚′′ − 𝟐 𝒚′ + 𝒚 = 𝟖𝐜𝐨𝐬( 𝒙)

𝑦′′ − 2 𝑦′ + 𝑦 = 0 𝑎 = −2 ; 𝑏 = 1

𝑦 = 𝑦𝑝 + 𝑦𝑝 𝛽=1

𝜆2 − 2𝜆 + 1 son imaginarias (𝜆 − 1)

Las dos no

(𝜆 − 1)

𝜆=1

𝜆=1

𝑦𝑛 = 𝐶1𝑒𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒𝑥 𝑦𝑝 = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐵𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑦′ = −𝐴𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐵𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑦′′ = −𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝐵𝑠𝑒𝑛 𝑥 −𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝐵𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 2𝐴𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 2𝐵𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐵𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 8𝑠𝑒𝑛 𝑥 −1𝐴 − 2𝐵 + 𝐴

=8 𝐵 = −4

−𝐵 + 2𝐴 +

+𝐵 = 0

A=0 𝑦𝑝 = −4𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑦 = 𝑦𝑛 + 𝑦𝑝 𝑦 = 𝐶1𝑒𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒𝑥 − 4𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝒚𝑰𝑽 − 𝟓𝒚′′′ + 𝟗𝒚′′ − 𝟕𝒚′ + 𝟐𝒚 = 𝟐ⅇ𝒙 + 𝒙



1

1

1

-5

9

-7

2

1

-4

+5

-2 1

-4

5

-2

0

+1

-3

2

-1

-3

2

0

m=1 m=1 m=1

𝜆2 − 3𝜆 + 2 (𝜆 − 2) (𝜆 − 1) 𝜆=2

𝜆=1

𝑦𝑛 = 𝑒𝑥( 𝐶1 + 𝐶2𝑥 + 𝐶3𝑥2) + 𝐶4𝑒2𝑥

m=2

𝑦𝑝 = 𝑥3𝐴𝑒𝑥 + 𝐵𝑥 + 𝐶 ; 𝐴𝑥3𝑒𝑥 + 𝐵𝑥 + 𝐶 𝑦′ = 3𝐴𝑥2. 𝑒𝑥 + 𝐴𝑥3𝑒𝑥 + 𝐵 𝑦′′ = 6𝐴𝑒𝑥 + 3𝐴𝑥2𝑒𝑥 + 3𝑥2𝑒𝑥 + 𝐴𝑥3𝑒𝑥 = 6𝐴𝑥𝑒𝑥 + 6𝐴𝑥2𝑒𝑥 + 𝐴𝑥3𝑒𝑥 𝑦′′′ = 6𝐴𝑒𝑥 + 6𝐴𝑥𝑒𝑥 + 12𝐴𝑥𝑒𝑥 + 6𝐴𝑥2𝑒𝑥 + 3𝐴𝑥2𝑒𝑥 + 𝐴𝑥3𝑒𝑥 = 6𝐴𝑒𝑥 + 18𝐴𝑥𝑒𝑥 + 9𝐴𝑥2𝑒𝑥 + 𝐴𝑥3𝑒𝑥 𝑦𝐼𝑉 = 6𝐴𝑒𝑥 + 18𝐴𝑒𝑥 + 18𝐴𝑥𝑒𝑥 + 18𝐴𝑥𝑒𝑥 + 9𝐴𝑥2𝑒𝑥 + 3𝐴𝑥2𝑒𝑥 + 𝐴𝑥3𝑒𝑥 = 24𝐴𝑒𝑥 + 36𝐴𝑥𝑒𝑥 + 12𝐴𝑥2𝑒𝑥 + 𝐴𝑥3𝑒𝑥 24𝐴𝑒𝑥 + 36𝐴𝑥𝑒𝑥 + 12𝐴𝑥2𝑒𝑥 + 𝐴𝑥3𝑒𝑥 − 30𝐴𝑒𝑥 − 90𝐴𝑥𝑒𝑥 − 45𝐴𝑥2𝑒𝑥 − 2𝐴𝑥3𝑒𝑥 +54𝐴𝑥𝑒𝑥 + 54𝐴𝑥2𝑒𝑥 + 9𝐴𝑥3𝑒𝑥 − 21𝐴𝑥2𝑒𝑥 − 7𝐴𝑥3𝑒𝑥 − 7𝐵 + 2𝐴𝑥3𝑒𝑥 + 2𝐵𝑥 + 2𝐶 = 2𝑒𝑥 + 𝑥

Ecuación diferencial por variación de parámetros



𝒚′′ − 𝟑𝒚′ + 𝟐𝒚 = ⅇ𝒙𝒔ⅇ𝒏𝒙 𝒓(𝒙)

𝑦′′ − 3𝑦′ + 2𝑦 = 0 𝑎 = −3 ;

𝑏=2

𝜆2 − 3𝜆 + 2 = 0 ( 𝜆2 − 3𝜆 + 2 𝜆=2

𝜆=1

𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑒 2𝑥

𝑦, = 𝑒 𝑥 𝑦2 = 𝑒 𝑥

𝑦𝑝 = −𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑒2𝑥 ∫ 𝑒−𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥)ⅆ𝑥

𝑥 𝑤 (𝑒𝑥 𝑒

𝑒 2 𝑥 ) = 2𝑒 3 𝑥 − 𝑒 3 𝑥 2𝑒 2 𝑥 = 𝑒 3𝑥

𝑦 = 𝑦𝑛 + 𝑦𝑝

SEGUNDO CICLO TRANSFORMADA DE LAPLACE Introducción: En el cálculo elemental se estudió la derivación e integración los cuales gozan de la operación de linealidad, es decir: 𝑑 𝑑 𝑑 [𝛼𝑓(𝑥 ) + 𝛽𝑔(𝑥)] = 𝛼 𝑓(𝑥 ) + 𝛽 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 ∫[𝛼𝑓(𝑥) + 𝛽𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = 𝛼 ∫ 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 + 𝛽 ∫ 𝑔 (𝑥 )𝑑𝑥 donde 𝛼 y 𝛽 son constantes reales arbitrarias. La integral definida de una suma también goza de la operación de linealidad, es decir: 𝑏

𝑏

𝑏

∫ [𝛼𝑓(𝑥 ) + 𝛽𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = 𝛼 ∫ 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 + 𝛽 ∫ 𝑔(𝑥 )𝑑𝑥 𝑎

𝑎

𝑎

La operación de linealidad de la derivación e integración transforman esencialmente una función en otra expresión por ejemplo: ∞

𝑳[𝒇(𝒕)] = ∫ 𝒇(𝒕) . 𝒆−𝒔𝒕 . 𝒅𝒕 𝟎

Ejemplos: 

∞

𝐿[1] = ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 . 𝑑𝑡 = [−

𝑒 −𝑠𝑡 ∞ ]0 𝑠

𝑒 −𝑠𝑡 𝑒 −𝑠(0) 𝟏 = − lim + = 𝑡→∞ 𝑠 𝑠 𝒔 

𝟓

𝐿 [ 5] = 𝒔



𝟑

𝐿[−3] = − 𝑺

𝑳[𝟏] = 

∞

𝟏 𝑺

∞

∞

𝐿[𝑒 𝑎𝑡 ] = ∫0 𝑒 𝑎𝑡 . 𝑒 −𝑠𝑡 . 𝑑𝑡 = ∫0 𝑒 𝑎𝑡−𝑠𝑡 . 𝑑𝑡 = ∫0 𝑒 𝑡(𝑎−𝑠) . 𝑑𝑡 = [

𝑒 𝑡(𝑎−𝑠) ∞ ]0 𝑎−𝑠

𝑒 𝑡(𝑎−𝑠) 𝑒 0(𝑎−𝑠) 1 𝟏 − =− = 𝑡→∞ 𝑎 − 𝑠 𝑎−𝑠 𝑎−𝑠 𝒔−𝒂

= lim 𝟏



𝐿[𝑒 7𝑡 ] =



𝐿[𝑒 −2𝑡 ] = 𝒔+𝟐

𝒔−𝟕 𝟏

𝑳[𝒆𝒂𝒕 ] =

𝟏 𝒔−𝒂

Teorema 1 La transformada de Laplace es un operador lineal: para cada función f(t) y g(t) cuya transformada de Laplace exista y para cuales quiera constantes a y b, tenemos. 𝐿{𝑎𝑓(𝑡) + 𝑏𝑔(𝑡)} = 𝑎𝐿{𝑓(𝑡)} + 𝑏𝐿{𝑔(𝑡)} Demostración ∞

𝐿{𝑎𝑓(𝑡) + 𝑏𝑔(𝑡)} = ∫ 𝑒 −𝑠 [𝑎𝑓(𝑡) + 𝑏𝑔(𝑡)]𝑑𝑡 0

Por definición de la transformada ∞

∞

= 𝑎 ∫ 𝑒 −𝑠 . 𝑓 (𝑡). 𝑑𝑡 + 𝑏 ∫ 𝑒 −𝑠 . 𝑔(𝑡). 𝑑𝑡 0

0

Ejemplos: 1. 𝑳[𝟑 + 𝒆−𝒕 + 𝟓𝒆𝟕𝒕 ] 𝐿[3] + 𝐿[𝑒 −𝑡 ] + 𝐿[5𝑒 7𝑡 ] = 3 1 5 + + 𝑠 𝑠+1 𝑠−7 2. 𝑳[𝟐 + 𝟕𝒆−𝟑𝒕 − 𝟐𝒆−𝟒𝒕 ] 𝐿[2] + 𝐿[7𝑒 −3𝑡 ] − 𝐿[2𝑒 −4𝑡 ] =



2 7 2 + − 𝑠 𝑠+3 𝑠+4 L[senh at] 𝐿[

𝑒 𝑎𝑡 −𝑒 −𝑎𝑡 2

Identidad senh (x) 1

] = {𝐿[𝑒 𝑎𝑡 ] − 𝐿[𝑒 −𝑎𝑡 ]} 2

𝒆𝒙 − 𝒆−𝒙 𝟐

1 1 1 } = { − 2 𝑠−𝑎 𝑠+𝑎 1 1(𝑠 + 𝑎) − 1(𝑠 − 𝑎) 1 𝑠+𝑎−𝑠+𝑎 = ( ) = ( ) 2 𝑠2 − 𝑎2 2 𝑠2 − 𝑎2 1 2𝑎 = ( 2 ) 2 𝑠 − 𝑎2 𝒂 = 𝟐 𝒔 − 𝒂𝟐



𝐿[cosh 𝑎𝑡]

Identidad cosh (x) eat + e−at 1 = = {L[eat ] + L[e−at ]} 2 2 1 1 1 1 s+a+s−a = ( + )= ( ) 2 s−a s+a 2 s2 − a2 1 2a = ( 2 ) 2 s − a2 𝒔 = 𝟐 𝒔 − 𝒂𝟐

Ejemplos:

1. 𝑳[𝒔𝒆𝒏𝒉 𝟐𝒕 + 𝟑𝒆−𝟑𝒕 + 𝟓] = 𝐿[𝑠𝑒𝑛ℎ 2𝑡] + 𝐿[3𝑒 −3𝑡 ] + 𝐿[5] = 

𝑠2

2 3 5 + + −4 𝑠+3 𝑠

∞

𝐿[𝑡] = ∫0 𝑡. 𝑒 −𝑠𝑡 . 𝑑𝑡 𝑢=𝑡

∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑒 −𝑠𝑡

𝑑𝑢 = 𝑑𝑡

𝑣=−

𝑒 −𝑠𝑡 𝑠

𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣. 𝑑𝑢 −

𝑡𝑒 −𝑠𝑡 𝑠

+∫

𝑒 −𝑠𝑡 𝑠

𝑑𝑡

𝑡𝑒 −𝑠𝑡 1 ∞ −𝑠𝑡 𝑡𝑒 −𝑠𝑡 1 −𝑠𝑡 𝑡𝑒 −𝑠𝑡 1 −𝑠𝑡 ∞ − + ∫ 𝑒 𝑑𝑡 = − − 2 [𝑒 ] = [− − 2𝑒 ] 𝑠 𝑠 0 𝑠 𝑠 𝑠 𝑠 0 = lim (− 𝑡→∞

𝑡𝑒 −𝑠𝑡 1 −𝑠𝑡 0𝑒 −𝑠(0) 1 −𝑠(0) − 2 𝑒 ) − (− − 2𝑒 ) 𝑠 𝑠 𝑠 𝑠

𝒆𝒙 + 𝒆−𝒙 𝟐

=



𝟏 𝒔𝟐

∞

𝐿[𝑡 2 ] = ∫0 𝑡 2 . 𝑒 −𝑠𝑡 . 𝑑𝑡 D

I

+

𝑡2

𝑒 −𝑠𝑡

-

2𝑡

+

2

-

0

−

𝑒 −𝑠𝑡 𝑠 𝑒 −𝑠𝑡 𝑠2

−

𝑒 −𝑠𝑡 𝑠3

𝑡 2 . 𝑒 −𝑠𝑡 2𝑡. 𝑒 −𝑠𝑡 2𝑒 −𝑠𝑡 ∞ = (− − − 3 ) 𝑠 𝑠3 𝑠 0 = lim (− 𝑡→∞

𝑡 2 . 𝑒 −𝑠𝑡 2𝑡. 𝑒 −𝑠𝑡 2𝑒 −𝑠𝑡 0. 𝑒 −𝑠(0) 2(0). 𝑒 −𝑠(0) 2𝑒 −𝑠(0) − − ) — ( − − ) 𝑠 𝑠3 𝑠3 𝑠 𝑠3 𝑠3 =

𝟐 𝒔𝟑

𝟔



𝐿 [𝑡 3 ] = 𝒔𝟒



𝐿[𝑡 𝑛 ] = 𝒔𝒏+𝟏

𝒏!

Ejemplo: 1. 𝐿[𝑡 2 + 𝑠𝑒𝑛ℎ 3𝑡 + 𝑒 −2𝑡 + 2] = 𝐿[𝑡 2 ] + 𝐿[𝑠𝑒𝑛ℎ 3𝑡] + 𝐿[𝑒 −2𝑡 ] + 2𝐿[1] = 

2 3 1 2 + + + 𝑠3 𝑠2 − 9 𝑠 + 2 𝑠

∞

𝐿[𝑠𝑒𝑛 𝑎𝑡] = ∫0 𝑠𝑒𝑛 𝑎𝑡. 𝑒 −𝑠𝑡 . 𝑑𝑡

Por partes 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡)

∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑒 −𝑠𝑡

𝑑𝑢 = 𝑎 cos(𝑎𝑡) . 𝑑𝑡

𝑣=−

𝑒 −𝑠𝑡 𝑠

𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣. 𝑑𝑢 =−

𝑠𝑒𝑛 (𝑎𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 𝑒 −𝑠𝑡 +∫ . 𝑎 cos(𝑎𝑡). 𝑑𝑡 𝑠 𝑠

𝑠𝑒𝑛 (𝑎𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 𝑎 =− + ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 . cos(𝑎𝑡) . 𝑑𝑡 𝑠 𝑠

∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑒 −𝑠𝑡

𝑢 = 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑡) 𝑑𝑢 = −𝑎 sen(𝑎𝑡) . 𝑑𝑡

𝑣=−

𝑒 −𝑠𝑡 𝑠

𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣. 𝑑𝑢 =− =− =− ∞ 0 ∞

= ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡). 𝑒 −𝑠𝑡 + 0

𝑠

𝑠

. 𝑎 sen(𝑎𝑡). 𝑑𝑡

𝑎

− ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 . sen(𝑎𝑡) . 𝑑𝑡 𝑠

𝑎2 ∞ −𝑠𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡). 𝑒 −𝑠𝑡 𝑎 cos(𝑎𝑡) . 𝑒 −𝑠𝑡 ( ) ∫ 𝑒 𝑠𝑒𝑛 𝑎𝑡 . 𝑑𝑡 = − − 𝑠2 0 𝑠 𝑠2

𝑠2 + 𝑎2 ∞ 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡). 𝑒 −𝑠𝑡 𝑎 cos(𝑎𝑡) . 𝑒 −𝑠𝑡 −𝑠𝑡 ( ) ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑎𝑡 . 𝑒 = − − 𝑠2 𝑠 𝑠2 0 ∞ 0

= (−

𝑠2 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡). 𝑒 −𝑠𝑡 𝑎 cos(𝑎𝑡) . 𝑒 −𝑠𝑡 (− − ) 𝑠2 + 𝑎2 𝑠 𝑠2

𝑠 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡). 𝑒 −𝑠𝑡 𝑎 cos(𝑎𝑡) . 𝑒 −𝑠𝑡 ∞ − ) 𝑠2 + 𝑎2 𝑠 2 + 𝑎2 0

𝑠 𝑎 𝑠 𝑠𝑒𝑛(𝑎. 0). 𝑒 −𝑠(0) −𝑠𝑡 −𝑠𝑡 ) ( ) ( ) lim 𝑠𝑒𝑛 𝑎𝑡 . 𝑒 − lim cos 𝑎𝑡 . 𝑒 — ( 𝑠 2 + 𝑎2 𝑡→∞ 𝑠 2 + 𝑎 𝑡→∞ 𝑠2 + 𝑎2 𝑎 cos(𝑎. 0) . 𝑒 −𝑠(0) − ) 𝑠2 + 𝑎2 =



𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑡)𝑒 −𝑠𝑡

𝑒 −𝑠𝑡

𝑠𝑒𝑛 (𝑎𝑡). 𝑒 −𝑠𝑡 𝑎 cos(𝑎𝑡) . 𝑒 −𝑠𝑡 𝑎 2 ∞ −𝑠𝑡 − − 2 ∫ 𝑒 . 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡). 𝑑𝑡 𝑠 𝑠2 𝑠 0

= ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡). 𝑒 −𝑠𝑡 =

= (−

𝑠

−∫

𝑠𝑒𝑛 (𝑎𝑡). 𝑒 −𝑠𝑡 𝑎 cos(𝑎𝑡). 𝑒 −𝑠𝑡 𝑎 ∞ −𝑠𝑡 + (− − ∫ 𝑒 . 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡)𝑑𝑡) 𝑠 𝑠 𝑠 𝑠 0

= ∫ 𝑠𝑒𝑛 (𝑎𝑡). 𝑒 −𝑠𝑡 . 𝑑𝑡 = −

=

𝑐𝑜𝑠 (𝑎𝑡)𝑒 −𝑠𝑡

𝒔

𝐿[cos 𝑎𝑡] = 𝒔𝟐+𝒂𝟐

𝒔𝟐

𝒂 + 𝒂𝟐

Ejemplos: 1. 𝑳[𝟐 + 𝟑𝒆−𝟐𝒕 + 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒕 − 𝒔𝒆𝒏𝒉 𝟑𝒕 − 𝒕𝟑 ] = 2𝐿[1] + 3𝐿[𝑒 −2𝑡 ] + 𝐿[𝑠𝑒𝑛 2𝑡] − 𝐿[𝑠𝑒𝑛ℎ 3𝑡] − 𝐿[𝑡 3 ] =

2 3 2 3 6 + + 2 − 2 − 4 𝑠 𝑠+2 𝑠 +4 𝑠 −9 𝑠

2. 𝑳[−𝒕 + 𝟕𝒆−𝟑𝒕 + 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝟐𝒕] = 𝐿[−𝑡] + 7𝐿[𝑒 −3𝑡 ] + 𝐿[cosh 2𝑡] =−

1 7 𝑠 + + 2 2 𝑠 𝑠+3 𝑠 −4

3. 𝑳[−𝟑 + 𝒆𝟔𝒕−𝟐 + 𝒔𝒆𝒏𝒉 𝟐𝒕] = −3𝐿[1] + 𝑒 −2 𝐿[𝑒 6𝑡 ] + 𝐿[𝑠𝑒𝑛ℎ 2𝑡] 3 𝑒 −2 2 =− + + 2 𝑠 𝑠−6 𝑠 −4 

𝐿[𝑠𝑒𝑛2 𝑎𝑡] 1 1 = 𝐿 [ − cos(2𝑎𝑡)] 2 2 1 = 𝐿[1 − cos(2𝑎𝑡)] 2 1 = 𝐿[1] − 𝐿[cos(2𝑎𝑡)] 2 1 1 𝑠 1 𝑠 2 + 4𝑎2 − 𝑠 2 1 4𝑎2 = ( − 2 ) = ( ) = ( ) 2 𝑠 𝑠 + 4𝑎2 2 𝑠 (𝑠 2 + 4𝑎 2 ) 2 𝑠(𝑠 2 + 4𝑎2 ) =



𝟐𝒂𝟐 𝒔(𝒔𝟐 + 𝟒𝒂𝟐 )

𝐿[𝑐𝑜𝑠 2 (𝑎𝑡)] 1 = 𝐿[1 + cos(2𝑎𝑡)] 2 1 = 𝐿[1] + 𝐿[cos 2𝑎𝑡] 2 1 1 𝑠 1 𝑠 2 + 4𝑎 2 + 𝑠 2 1 2𝑠 2 + 4𝑎2 1 2(𝑠 2 + 2𝑎2 ) = ( + 2 )= ( )= ( 2 )= ( 2 ) 2 𝑠 𝑠 + 4𝑎2 2 𝑠(𝑠 2 + 4𝑎2 ) 2 𝑠(𝑠 + 4𝑎2 ) 2 𝑠 (𝑠 + 4𝑎2 )

=

𝒔𝟐 + 𝟐𝒂𝟐 𝒔(𝒔𝟐 + 𝟒𝒂𝟐 )

TRASLACIÓN SOBRE EL EJE S Teorema 2 Traslación sobre el eje s (primer teorema de traslación). Si 𝐿[𝑓(𝑡)] = 𝐹(𝑠) 𝐿[𝑒 𝑎𝑡 𝑓(𝑡)] = 𝐹 (𝑠 − 𝑎 ), 𝑎 𝜖 𝑅 Ejemplo: 2

2



𝐿[𝑡 2 𝑒 6𝑡 ] = 𝐿[𝑡 2 ] =



𝐿[𝑒 −2𝑡 𝑠𝑒𝑛 3𝑡] = 𝐿[𝑠𝑒𝑛 3𝑡] = 𝑠2 +9 = (𝑠+2)2+9



𝐿[𝑒 𝑡 cosh 2𝑡] = 𝐿[cosh 2𝑡] = 𝑠2 −4 = (𝑠−1)2 −4



𝐿[𝑒 4𝑡 cosh 5𝑡] = 𝐿[cosh 5𝑡] =

  

𝑠3

= (𝑠−6)3 3

3

𝑠

𝑠−1

𝑠

𝑠−4

𝑠 2 −25 4

= (𝑠−4)2

−25 4 𝐿[𝑒 −2𝑡 𝑠𝑒𝑛 4𝑡] = 𝐿[𝑠𝑒𝑛 4𝑡] = 2 = (𝑠+2)2 𝑠 +16 +16 1 1 𝑡( 𝑡 𝑡 𝐿[𝑒 𝑡 + 3)] = 𝐿[𝑒 𝑡 + 3𝑒 ] = 𝐿[𝑡] = 𝑠2 = (𝑠−1)2 3 3 𝐿[𝑒 𝑡 𝑠𝑒𝑛ℎ 3𝑡] = 𝐿[𝑠𝑒𝑛ℎ 3𝑡] = 𝑠2 −9 = (𝑠−1)−9

3

+ 𝑠−1

𝑠 2 +18



𝐿[𝑐𝑜𝑠 2 3𝑡] = 𝑠(𝑠2+36)



𝐿[cos 2𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 3𝑡] = 𝐿[cos 2𝑡] + 𝐿[𝑠𝑒𝑛 3𝑡] = 𝑠2 −4 + 𝑠2 −9



𝐿[𝑡𝑒 −2𝑡 ] = 𝐿[𝑡] =



𝐿[(𝑡 + 2)2 𝑒 𝑡 ] = 𝐿[(𝑡 2 + 4𝑡 + 4)𝑒 𝑡 ] = 𝐿[𝑒 𝑡 𝑡 2 + 𝑒 𝑡 4𝑡 + 4𝑒 𝑡 ] = 𝐿[4𝑒 𝑡 ] = 𝑠−1 1, 0 < 𝑡 < 3 ∞ 𝑓 (𝑡) = { = ∫0 𝑓 (𝑡). 𝑒 −𝑠𝑡 . 𝑑𝑡 𝑡, 𝑡≥3 3 ∞ 𝑒 −𝑠𝑡 3 𝑡𝑒 −𝑠𝑡 𝑒 −𝑠𝑡 ∞ = ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 + ∫ 𝑡. 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 = (− ) + (− − 2 ) 𝑠 0 𝑠 𝑠 3 0 0



𝑠

1 𝑠2

3

1

= (𝑠+2)2 4

∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑒 −𝑠𝑡

𝑢=𝑡 𝑑𝑢 = 𝑑𝑡

𝑣=−

𝑒 −𝑠𝑡 𝑠

𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣. 𝑑𝑢 𝑡𝑒 −𝑠𝑡 1 + ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 𝑠 𝑠 𝑡𝑒 −𝑠𝑡 1 𝑒 −𝑠𝑡 𝑡𝑒 −𝑠𝑡 𝑒 −𝑠𝑡 − + (− )=− − 2 𝑠 𝑠 𝑠 𝑠 𝑠 −3𝑠 −𝑠(0) −3𝑠 𝑒 𝑒 𝑒 1 − + =− + 𝑠 𝑠 𝑠 𝑠 −

TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Transformada inversa de Laplace. Si L[f(t)] = F(s), entonces L−1 [F(s)] = f(t) se llama transformada inversa de F(s). Notación: L−1 [F(s)] indica que vamos a obtener la función f(t) cuya transformada es precisamente F(s). También la transformada inversa es lineal.

Ejemplos: 5

5



𝐹(𝑠) = 𝑠 = 𝐿−1 [ 𝑠 ] = 5



𝐹 (𝑠 ) =



𝐹(𝑠) = 𝑠+1 = 𝐿−1 [𝑠+1] = 𝑒 −𝑡



𝐹(𝑠) = 𝑠 3 = 𝐿−1 [𝑠 3] = 𝑡 2



𝐹 (𝑠 ) =



𝐹(𝑠) = 𝑠 4 = 𝐿−1 [𝑠 4] =



𝑠+5

1 𝑠−4

= 𝐿−1 [

1

] = 𝑒 4𝑡

𝑠−4

1

1

2

2

3 𝑠2

= 𝐿−1 [ 2] = 3𝑡

1

1

3

𝑠

𝑡3 6

𝑠+1+4

𝑠+1+4

𝑠+1

= 𝐿−1 [ = 𝐿−1 [

𝑠+1 𝑠 ]= 2 = 𝑒 −𝑡 𝑐𝑜𝑠2𝑡 2 (𝑠 + 1 ) + 4 𝑠 +4

4 2 ] = 2 = 𝑒 −𝑡 2𝑠𝑒𝑛2𝑡 (𝑠 + 1) 2 + 4 𝑠2 + 4 𝑅 = 𝑒 −𝑡 (cos 2𝑡 + 2 𝑠𝑒𝑛 2𝑡)



𝒔+𝟑

𝑭(𝒔) = (𝒔−𝟑)𝟐

+𝟒

=

𝒔+𝟑 𝒔𝟐+𝟒

𝑠+3+3 𝑠+6 = 2 2 𝑠 +4 𝑠 +4 𝑠 6 −1 ] 𝐿 =[ 2 + 2 𝑠 +4 𝑠 +4 𝑅 = 𝑒 3𝑡 (cos 2𝑡 + 3 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 ) =



4

𝐹(𝑠) = 𝑠 2+2𝑠+5 = 𝑠 2+2𝑠+1+4 = (𝑠+1)2 +4 = (𝑠+1)2 +4 + (𝑠+1)2 +4

𝑭(𝒔) =

𝒔+𝟏 𝒔−𝟏𝟐

𝑠 →𝑠−1

𝑠+1→ 𝑠

𝑠+1 𝑠+1+1 ] 𝐿−1 [ 2 ] = 𝐿−1 [ 𝑠 𝑠2 𝐿−1 = [

𝑠+2 𝑠 2 ] = 𝐿−1 [ 2 ] + 𝐿−1 [ 2 ] 2 𝑠 𝑠 𝑠 𝑅 = 𝑒 𝑡 (1 + 2𝑡)



𝟐𝒔

𝑭(𝒔) = 𝒔𝟐+𝟒𝒔+𝟏𝟑 =

𝑠2

2𝑠 2𝑠 = + 4𝑠 + 4 − 4 + 13 (𝑠 + 2)2 + 9 𝑠 →𝑠+2

𝑠−2→𝑠

2𝑠 ] 𝐿−1 [ 2 𝑠 +9 𝐿−1 [

2(𝑠 − 2) 2𝑠 − 4 2𝑠 4 4 ] = 𝐿−1 [ 2 ] = 𝐿−1 [ 2 ] − 𝐿−1 [ 2 ] = 2 cos 3𝑡 − 𝑠𝑒𝑛 3𝑡 𝑠2 + 9 𝑠 +9 𝑠 +9 𝑠 +9 3 4 𝑅 = 𝑒 −2𝑡 (2 cos 3𝑡 − 𝑠𝑒𝑛 3𝑡) 3



𝑭(𝒔) =

𝑠→𝑠+

𝟐𝒔−𝟑 𝟗𝒔𝟐−𝟏𝟐𝒔+𝟐𝟎

2

=

2𝑠−3

1

9𝑠 2 −12𝑠+20

= ( 9

2𝑠−3

1

2𝑠−3

)= (

12𝑠 20 + 9 9

𝑠2 −

9

1

2𝑠−3

)= (

12𝑠 4 20 4 + + − 9 9 9 9

𝑠2 −

9

2

𝑠− →𝑠

3

3

2 4 5 1 2 (𝑠 + 3) − 3 1 2𝑠 + 3 − 3 1 2𝑠 − 3 = ( )= ( )= ( ) 16 9 9 𝑠 2 + 16 9 𝑠 2 + 16 𝑠2 + 9 9 9 1 2𝑠 5 1 = [𝐿−1 ( ) − 𝐿−1 ( )] 16 16 9 3 𝑠2 + 𝑠2 + 9 9 1 4 15 4 = [2 cos 𝑡 − 𝑠𝑒𝑛 𝑡] 9 3 12 3 1 2 4 15 4 𝑅 = 𝑒 3𝑡 (2 cos 𝑡 − 𝑠𝑒𝑛 𝑡) 9 3 12 3

TRANFORMADA INVESA POR FRACCIONES PARCIALES 𝟏

1. 𝑭(𝑺) = 𝑺𝟐 +𝑺−𝟐 1

𝐴

𝐵

1

3 𝐹 (𝑆) = (𝑆+2)(𝑆−1) = 𝑆+2 + 𝑆−1 = − 𝑆+2 +

1 3

𝑒

−𝑡

1

+3𝑒

1 (𝑆+2)(𝑆−1)

𝑡 𝐴

𝐵

= 𝑆+2 + 𝑆−1 𝐴

𝐵

1 = (𝑆 + 2)(𝑆 − 1) (𝑆+2 + 𝑆−1) 1 = 𝐴 (𝑆 − 1) + 𝐵 (𝑆 + 2)

1 3

𝑆−1

1

)

2 2 16 3 9

(𝑠− ) +

1

3 ] + 𝐿−1 [ 3 ] = − − = 𝐿−1 [− 𝑆+2 𝑆−1

Si S = 1

Si S = 2

1 = 𝐴(0) + 𝐵(3)

1 = 𝐴(−3)

1

1

1 = 3𝐵 → 𝐵 = 3

𝐴 = −3

𝑺−𝟒

𝑆−4

𝑆−4

𝐴

𝐵

𝐶

𝐷

2. 𝑭(𝑺) = 𝑺𝟒 −𝟗𝑺𝟐 = 𝑆 2 (𝑆 2 −9) = 𝑆 2 (𝑆−3)(𝑆+3) = 𝑆 + 𝑆 2 + 𝑆−3 + 𝑆+3 𝐴

𝐵

𝐶

𝐷

𝑆 − 4 = 𝑆 2 (𝑆 − 3)(𝑆 + 3) ( 𝑆 + 𝑆 2 + 𝑆−3 + 𝑆+3) 𝑆 − 4 = 𝑆(𝑆 − 3)𝐴 + (𝑆 − 3)(𝑆 + 3)𝐵 + 𝑆 2 (𝑆 + 3)𝐶 + 𝑆 2 (𝑆 − 3)𝐷 Si S = 0 −4 = −9𝐵 4 𝐵=9

Si S = -3 −7 = 9(−6)𝐷 −7 = −54𝐷 7 𝐷 = 54

Si S = 3 −1 = 9(6)𝐶 1 𝐶 = − 54

Si S = 1 32 1 14 −3 = −8𝐴 − 9 − 54 − 54 −3 + 8 9

32 9

4

= −8𝐴 1

𝐴 = −9 1

4 9 𝑆2

𝐿−1 [− 𝑆9 + 1

4

−

1 54

𝑆−3

+

7 54

𝑆+3

1

7

𝑅 = − 9 + 9 𝑡 − 54 𝑒 3𝑡 + 54 𝑒 −3𝑡

TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LA DERIVADA 

𝐿[𝐹´(𝑡)] = 𝑆𝐿[𝐹(𝑡)] − 𝐹(0+ ), 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐹(0+ ) = lim 𝐹(𝑡) 𝑡→0



𝐿[𝐹´´(𝑡)] = 𝑆 𝐿[𝐹 (𝑡)] − 𝑆𝐹 (0



𝐿[𝐹´´´(𝑡)] = 𝑆 3 𝐿[𝐹 (𝑡)] − 𝑆 2 𝐹(0+ ) − 𝑆𝐹´(0) − 𝐹´´(0)

2

1. 𝒚´´ − 𝟐𝒚´ + 𝟐𝒚 = 𝟎

+)

− 𝐹´(0)

𝒚( 𝟎) = 𝟎 ;

𝒚´(𝟎) = 𝟏

𝐿[𝑦´´] − 2[𝑦´] + 2[𝑦] = 0 𝑠 2 𝐿[𝑦] − 𝑠𝑓 (0) − 𝑓´(0) − 2(𝑠𝐿[𝑦] − 𝑓 (0)) + 2𝐿[𝑦] = 0 𝑠 2 𝐿[𝑦] − 𝑠𝑓 (0) − 𝑓´(0) − 2𝑠𝐿[𝑦] + 2𝑓 (0) + 2𝐿[𝑦] = 0 𝑠 2 𝐿[𝑦] − 1 − 2𝑠𝐿[𝑦] + 2𝐿[𝑦] = 0 𝐿[𝑦](𝑠 2 − 2𝑠 + 2) − 1 = 0 𝐿[𝑦](𝑠 2 − 2𝑠 + 2) = 1 1

𝐿[𝑦] = 𝑠 2−2𝑠+2

14

+ 54 + 54 = −8𝐴

1

𝐿−1 [𝑦] = 𝑠 2−2𝑠+1+2−1 1

𝐿−1 [𝑦] = (𝑠−1)2+1 = 𝑒 𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑦 = 𝑒 𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝒚 ( 𝟎) = 𝟑

2. 𝒚´ + 𝟐𝒚 = 𝟒𝒕 𝐿[𝑦´] + 2𝐿[𝑦] = 4𝐿[𝑡] 4

𝑠𝐿[𝑦] − 𝑓(0) + 2𝐿[𝑦] = 𝑠 2 4

𝐿[𝑦](𝑠 + 2) − 3 = 𝑠 2 4

𝐿[𝑦](𝑠 + 2) = 𝑠 2 + 3 4

3

𝐿[𝑦] = 𝑠 2(𝑠+2) + 𝑠+2 4

3

𝐴

𝐵

𝐿−1 [𝑦] = 𝑠 2(𝑠+2) + 𝑠+2 = 𝑠 2(𝑠+2) + 𝑠+2 𝐴

𝐵

𝐶

4 = 𝑠 2 (𝑠 + 2) ( 𝑠 + 𝑠 2 + 𝑠+2) 4 = 𝑠 (𝑠 + 2) 𝐴 + (𝑠 + 2)𝐵 + 𝑠 2 𝐶 1

2

1

3

𝐿−1 [𝑦] = − 𝑠 + 𝑠 2 + 𝑠+2 + 𝑠+2 𝐿−1 [𝑦] = −1 + 2𝑡 + 𝑒 −2𝑡 + 4𝑒 −2𝑡 𝑦 = −1 + 2𝑡 + 4𝑒

−2𝑡

Si S = 0 4 = 2B B=2

Si S = 1 4 = 3A + 6 + 1 -3 = 3A A = -1

Si S = -2 4 = 4C C=1

3. 𝒚´ + 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏𝒕 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒕 𝐿[𝑦´] + 𝐿[𝑦] = 𝐿[𝑠𝑒𝑛𝑡] + 𝐿[𝑐𝑜𝑠2𝑡] 1

𝑠

𝑠𝐿[𝑦] − 𝑓(0) + 𝐿[𝑦] = 𝑠 2 +1 + 𝑠 2 +4 1

𝑠

𝐿⌈𝑦⌉(𝑠 + 1) − 𝐶1 = 𝑠 2+1 + 𝑠 2+4 𝐿⌈𝑦⌉(𝑠 + 1) =

1 𝑠 2 +1

+

𝑠 𝑠 2+4

+ 𝐶1

Si S = -1 1 = 2A A = 1/2

Si S = 0 1=½+C C=½

1

𝑠

𝐶1

Si S = 1 1 = 1 + 2(B + ½) 1 = 1 + 2B + 1 1 = 2B B=-½

𝐿[𝑦] = (𝑠 2+1)(𝑠+1) + (𝑠 2+4)(𝑠+1) + 𝑠+1 Primer miembro de fracciones parciales 1

𝐴

(𝑠+1)(𝑠 2+1)

𝐵𝑠+𝐶

= 𝑠+1 + 𝑠 2+1

𝐴

𝐵𝑠+𝐶

1 = (𝑠 + 1)(𝑠 2 + 1) ( 𝑠+1 + 𝑠 2+1 ) 1 = (𝑠 2 + 1)𝐴 + (𝑠 + 1)(𝐵𝑠 + 𝐶) 1

1

1

𝑠

1

1

𝐿−1 [𝑦] = 2 𝐿 [𝑠+1] − 2 𝐿 [𝑠 2+1] + 2 [𝑠 2+1] Segundo miembro fracciones parciales 𝑠

𝐴

(𝑠+1)(𝑠 2+1)

Si S = -1 1 = 5A A = - 1/5

𝐵𝑠+𝐶

= 𝑠+1 + 𝑠 2+4

𝐴

Si S = 1 1 = 1 + 2(B + 4/5) 1 = 1 + 2B + 8/5 2 – 8/5 = 2B B = 1/5

𝐵𝑠+𝐶

𝑠 = (𝑠 + 1)(𝑠 2 + 1) ( 𝑠+1 + 𝑠 2+4 ) 𝑠 = (𝑠 2 + 4)𝐴 + (𝑠 + 1)(𝐵𝑠 + 𝐶) 1

1

1

𝑠

1

1

𝐿−1 [𝑦] = 2 𝐿 [𝑠+1] − 2 𝐿 [𝑠 2+1] + 2 [𝑠 2 +1] − 1 5

1

1

𝑠

Si S = 0 1 = 4/5 + C C = - 4/5

𝐶1

𝐿 [𝑠+4] + 5 𝐿 [𝑠 2+4] + 𝐿 [𝑠+1] 1

1

1

1

1

2

𝐿−1 [𝑦] = 2 𝑒 −𝑡 − 2 𝑐𝑜𝑠𝑡 + 2 𝑠𝑒𝑛𝑡 − 5 𝑒 −𝑡 + 5 𝑐𝑜𝑠2𝑡 + 5 𝑠𝑒𝑛2𝑡 + 𝐶1𝑒 𝑡 1

1

1

2

𝑦 = 𝐶1𝑒 −𝑡 − 2 𝑐𝑜𝑠𝑡 + 2 𝑠𝑒𝑛𝑡 + 5 𝑐𝑜𝑠2𝑡 + 5 𝑠𝑒𝑛2𝑡 4. 𝒚´ − 𝟑𝒚 = 𝒆𝟐𝒕

𝒚( 𝟎 ) = 𝟏

𝐿[𝑦´] − 3𝐿[𝑦] = 𝐿[𝑒 2𝑡 ] 1

𝑠𝐿[𝑦] − 𝑓(0) − 3𝐿[𝑦] = 𝑠−2 1

𝐿[𝑦](𝑠 − 3) − 1 = 𝑠−2 1

𝐿[𝑦](𝑠 − 3) = 𝑠−2 + 1 1

𝐿[𝑦] = (𝑠−2)(𝑠−3) + 1 (𝑠−2)(𝑠−3)

𝐴

1 𝑠−3 𝐵

= 𝑠−2 + 𝑠−3 𝐴

𝐵

1 = (𝑠 − 2)(𝑠 − 3) (𝑠−2 + 𝑠−3) 1 = (𝑠 − 3)𝐴 + (𝑠 − 2)𝐵 1

1

1

𝐿−1 [𝑦] = −𝐿 [𝑠−2] + 𝐿 [𝑠−3] + 𝐿 [𝑠−3] 𝑦 = −𝑒 2𝑡 + 𝑒 3𝑡 + 𝑒 3𝑡

Si S = 3

Si S = 3

1=B

1=-A

B=1

A = -1

𝑦 = −𝑒 2𝑡 + 2𝑒 3𝑡 𝒚( 𝟎) = 𝟎

5. 𝒚´´ + 𝟒𝒚 = 𝟗𝒕

𝒚´(𝟎) = 𝟕

;

𝐿[𝑦´´] + 4𝐿[𝑦] = 9𝐿[𝑡] 9

𝑠 2 𝐿[𝑦] − 𝑠𝑓 (0) − 𝑓´(0) + 4𝐿[𝑦] = 𝑠 2 9

𝐿[𝑦](𝑠 2 + 4) − 7 = 𝑠 2 9

𝐿[𝑦](𝑠 2 + 4) = 𝑠 2 + 7 9

7

𝐿−1 [𝑦] = 𝑠 2(𝑠 2+4) − 𝑠 2+4 9

𝐴

𝑠 2(𝑠 2+4)

𝐵

𝐶𝑠+𝐷

= 𝑠 + 𝑠 2 + 𝑠 2+4 𝐴

𝐵

9 = 𝑠 2 (𝑠 2 + 4)( 𝑠 + 𝑠 2 +

𝐶𝑠+𝐷 𝑠 2+4

)

9 = 𝑠(𝑠 2 + 4)𝐴 + (𝑠 2 + 4)𝐵 + 𝑠 2 (𝐶𝑠 + 𝐷) Si S = 0

Si S = 1

Si S = - 1

9 = 4B  B = 9/4

9 = 5A + 45/4 + C + D

9 = -5A + 45/4 – C + D

Si S = 2

-9/4 = 5A + C + D

-18/4 = -10A - 2C + 2D

9 = 16A + 72/4 + 8C + 4D

-9/4 = -5A – C + D

- 9/4 = 4A + 2C + D

9 – 72/4 = 16A + 8C + 4D

-9/2 = 2D

- 27/4 = - 6A + 3D

-9 = 16A + 8C + 4D

D = - 9/4

- 27/4 = - 6A + 3(-9/4)

- 9/4 = 4A + 2C + D

- 27/4 + 27/4 = 6A - 9/4 = - 9/4 + C  C = 0

9

𝐿−1 [ 𝑠42 − 9

𝑦 = 4𝑡 +

19 8

9 4 𝑠 2+4

7

9

9

A=0

7

+ 𝑠 2+4] = 4 𝑡 − 8 𝑠𝑒𝑛2𝑡 + 2 𝑠𝑒𝑛2𝑡

𝑠𝑒𝑛2𝑡

SERIES INFINITAS: SUCESIONES Definición: Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos (o naturales).

Al listar los elementos de una sucesión, estos se describen en un orden definido: A1, A2, A3,….. An. El número A1 es el primer término, A2 es el segundo término y en general, An es el enésimo término. Límite de una sucesión. El objetivo es determinar cuáles son las sucesiones cuyos términos tienden a valores límites. Tales como sucesiones se llaman convergentes. Por ejemplo la sucesión (1/2n) o bien (1/2, ¼, 1/8, 1/16, 1/32) converge a 0. Entonces una sucesión converge a L. Sí el límite de una sucesión no existe, entonces la sucesión diverge. lim 𝑎𝑛 = 𝐿 → ∞ 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒, 𝑠𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒

𝑛→∞ 𝟏

1. 𝒂𝒏 = 𝒏 lim

1

1

= ∞ = 0 → 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒

𝑛→∞ 𝑛

𝒏𝟐

2. 𝒂𝒏 = 𝟐𝒏 −𝟐 lim

𝑛→∞

𝒏𝟐

∞2

𝟐𝒏 −𝟐

∞

= 2∞ −2 = ∞ = 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜.

L´hopital lim

2𝑛

lim

2

𝑛→∞ ln(2)2𝑛

∞

=

∞

= 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜.

2

𝑛→∞ 2𝑛 𝑙𝑛 2 (2)

= ∞ = 0 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒.

3. 𝒂𝒏 =

𝒏𝟐 +𝟐𝒏+𝟏 𝟐𝒏𝟐 +𝟒𝒏

L´hopital lim

2𝑛+2

lim

2

𝑛→∞ 4𝑛+4

𝑛→∞

∞

= ∞ = 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜.

1

= 2 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒. 4

𝒏𝟒 −𝟑𝒏𝟐

4. 𝒂𝒏 = 𝟒𝒏𝟒 +𝟐𝒏 lim

∞

𝑛→∞ ∞

𝑎𝑛 =

= 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜

𝑛4 3𝑛2 − 𝑛4 𝑛4 4 4𝑛 2𝑛 + 𝑛4 𝑛4

3

=

1+ 2 𝑛 2

4+ 2 𝑛

3

lim

1+ 2 𝑛 2

𝑛→∞ 4+ 2 𝑛

3

=

1+ 2 ∞ 2

4+ 2 ∞

1

1

= 4 → 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑎 4

Propiedades y herramientas para determinar límite de una sucesión. Si A = lim 𝑎𝑛 y B = lim 𝑏𝑛 existen y ambos son infinitos, entonces: 𝑛→∞

1) 2) 3) 4)

𝑛→∞

Lim (an + bn) = A + B Lim (Kan) = Ka ( K = cualquier numero) Lim (an * bn) = A*B 𝑎 𝐴 log 𝑏𝑛 = 𝐵, siempre que B ≠ 0 y bn nunca sea 0, sobrentendiéndose que todos 𝑛

los límites se toman cuando n  ∞ SUCESIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES Existen varias maneras de probar que una sucesión es monótona. Sea cual sea la elegida, hay que verificar que 𝑎𝑛 ≤ 𝑎𝑛+1 para todo n (creciente) o bien que 𝑎𝑛+1 ≤ 𝑎𝑛 para todo n (decreciente). Un método muy usual, ilustrado en el próximo ejemplo, es estudiar el cociente de dos términos sucesivos 𝑎𝑛 𝑦 𝑎𝑛+1 1. 𝑛

𝒏 𝒏+𝟏 𝑛+1

𝑛+1

⊡ 𝑛+2

𝑛(𝑛 + 2) ⊡ (𝑛 + 1)(𝑛 + 1) (𝑛2 + 2𝑛) ⊡ 𝑛2 + 2𝑛 + 1 0 < 1 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝒏!

2. 𝒂𝒏 = 𝒆𝒏 𝑛! 𝑒𝑛

⊡

(𝑛+1)! 𝑒 𝑛+1

𝑛! 𝑒 𝑛+1 ⊡ (𝑛 + 1)! 𝑒 𝑛 𝑛! 𝑒 𝑛 𝑒 ⊡ (𝑛 + 1)! 𝑒 𝑛 𝑛! 𝑒 ⊡ 𝑛! (𝑛 + 1) 𝑒 < (𝑛 + 1) → 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒. SERIES INFINITAS Al sumar los términos de una sucesión infinita ∑∞ 𝑛=1 𝑎𝑛 , obtenemos una expresión de la forma: 1) A1 + a2 + a4 + ……….an+.. Que se llama serie infinita, o tan sólo serie, y se representa con un símbolo ∑∞ 𝑛=1 𝑎𝑛 o bien ∑ 𝑎𝑛

∞

∑ 𝑛=0

1 1 1 = (0 + 1 + + + ⋯ ) 𝑛 2 3

S1 = 0 S2 = 0 + 1 S3 = 0 + 1 + ½ S4 = 0 + 1+ ½ + 1/3 Sn = (0 + 1+ ½ + 1/3 + …………1/n) Serie Geométrica. ∞

∑ 𝒂𝒓𝒏 = 𝒂 + 𝒂𝒓 + 𝒂𝒓𝟐 + 𝒂𝒓𝟑 + ⋯ 𝒂𝒓𝒏 𝒏=𝟎

𝑆𝑛 = 2 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟 2 + 𝑎𝑟 3 … … . 𝑎𝑟 𝑛 𝑟𝑆𝑛 = 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟 2 + 𝑎𝑟 3 + 𝑎𝑟 4 … … . 𝑎𝑟 𝑛+1 𝑆𝑛 − 𝑟𝑆𝑛 = 𝑎 − 𝑎𝑟 𝑛+1 𝑆𝑛(1 − 𝑟) = 𝑎(1 − 𝑟 𝑛+1 ) 𝑎(1 − 𝑟 𝑛+1 ) 𝑆𝑛 = 1−𝑟 Converge R 0 satisface las condiciones 1. 𝑏𝑛+1 ≤ 𝑏𝑛 para toda n 2. lim 𝑏𝑛 = 0

es convergente

𝑛→∞

Ejemplo: 𝑛

Es convergente

1. lim 𝑏𝑛 = 0 𝑛→∞

lim ( ) = 𝑛→∞ 2

2

2

∞

𝑛

=

∞

=

=0

2. 𝑏𝑛+1 ≤ 𝑏𝑛 𝑛 𝑛

𝐿𝑎𝑛 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒

𝑠𝑖 𝑎

{ 𝑠𝑖 𝐿 𝑛𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒

𝑠𝑖 𝐿 = 1 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑦𝑒𝑛𝑡𝑒 Ejemplo: ∑∞ 𝒏=𝟏

𝟐𝒏 𝒏𝟐

¿Converge o diverge?

2𝑛 + 1 2𝑛 + 1(𝑛)² 2𝑛² (𝑛 + 1)² | = lim lim | = lim 2 2 𝑛=0 𝑛→ ∞ |( ) | 𝑛+1 𝑛 𝑛 + 1 2𝑛 → ∞ 𝑛²

SERIE DE POTENCIA 𝑛 2 3 ∑∞ 𝑛=0 𝐶𝑛 𝑥 =𝐶0 + 𝐶1 𝑥 + 𝐶2 𝑥 +𝐶3 𝑥

-tiene convergencia para distintos valores”x”y tiene divergencia -se utiliza el criterio del cociente ′ 𝑛 ∑∞ 𝑛=0 𝑛! 𝑥 =¿ 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 "𝑥" 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 ?



(𝑛 + 1)!. 𝑥 𝑛+1 (𝑛 + 1). 𝑥 𝑛 . 𝑥 𝑎𝑛 + 1 | | | lim | |=| = 𝑛→∞ 𝑎𝑛 𝑛! 𝑥 𝑛 𝑛! lim |(𝑛 + 1)𝑥|

𝑛→∞

lim 𝑛 + 1|𝑥 | = ∞ → 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒

x.0=0"𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒"

𝑛→∞

𝑛 𝑛3

𝑛

¿Converge o diverge?

3

(−1)𝑛+1(𝑛+1)33𝑛

| = lim |

(−1)(𝑛+1)3

| = lim |

𝑛→∞(−1)𝑛 𝑛𝑛

𝑛→∞

|

3𝑛+1(−1)𝑛 𝑛3 𝑛→∞

3𝑛3

3

𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑛→∞

3𝑛3

∞ 1

3

lim (

) =(

𝑛

+𝑛 𝑛

1 𝑛

3

) =(

𝑛

3

) = = 0,33

1

𝑛+1

1+

Converge 3 𝑛→∞



𝑛

𝑛 ∑∞ 1 (−1)

𝑛

1

3

𝑛3 3𝑛

(𝑛 + 1)3 (−1)𝑛+1 3𝑛+1 | 𝑛 | (−1) 𝑛3 lim 𝑛→∞ | 3𝑛 |

lim |

𝑛→∞

(−1)𝑛+1 . (𝑛 + 1)3 . 3𝑛 (−1)1 . (𝑛 + 1)3 | | | = 3𝑛+1 . (−1)𝑛 . 𝑛3 3𝑛

(𝑛 + 1)3 ∞ = = 𝑖𝑛𝑑 𝑛→∞ 3𝑛 ∞ lim

1

1 (𝑛 + 1)3 lim = 3 3𝑛 𝑛→∞

𝑛 𝑛 3 1 + 1 + 1 𝑛+1 𝑛) = 1 = 0,33 → 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 lim ( ) = (𝑛 𝑛 𝑛 ) = ( 3 𝑛 1 3 𝑛→∞ 𝑛 3



lim

(𝑥−3)𝑛

𝑛→1

𝑛

¿ 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 x 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒?

(𝑥 − 3)𝑛+1 (𝑛 + 1) | (𝑥 − 3)𝑛 | lim 𝑛→∞ 𝑛 | |

(𝑥 − 3)𝑛 . (𝑥 − 3)1 . 𝑛 (𝑥 − 3)1 𝑛 | | = 𝑛→∞ (𝑛 + 1). (𝑥 − 3)𝑛 (𝑛 + 1) lim

𝑛 |𝑥 − 3 | 𝑛→∞ 𝑛 + 1 ∞ |𝑥 − 3 | lim 𝑛→∞ ∞ 𝑛 lim 𝑛 |𝑥 − 3| = 1|𝑥 − 3| 𝑛→∞ 𝑛 1 𝑛𝑛 lim

|𝑥 − 3 | < 1 -1