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• Liliana Mairena Fox

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PLANTEO DE ECUACIONES

1) Encontrar un número tal que dividiéndolo por 10 y a este cociente dividiéndolo por 3; la suma de estos cocientes es 600 x=número

x −cociente 10

( 10x ) − x ( nuevo cociente ) 3

30

suma de los dos cocienteses600 : x x + −600 10 30

damos comúb denominador en el 1 ° miembro : 3 x+x −600 30 4 x =600∗30=4500

x=4500 2) Juan dice a Pedro: Dame S/. 18000 y así tendré doble dinero que tú y Pedro le contesta más justo es que tú me des S/. 15000 y así tendremos los dos igual cantidad ¿Cuánto tenía Pedro? Sea : x=dinero que tenía Juan y=dinero que tenía Juan Cuando Juan dice a Pedro dame S /. 18000 y así tendré eldoble de dinero que tú : x+ 18000=2( y −18000) x=2 y−54000 …(I )

Cuando Pedro≤contesta : 1

Más justo es que túme des S /. 15000 y así tendremos los dos igual cantidad y +15000=x−15000 x= y +30000 …(II ) Igualamos ( I ) y ( II ) 2 y−54000= y +30000 y=84000 Pedro tenía 84000 soles

3) Se ha comprado por S/. 6000, cierto número de cuadernos, si se hubiera comprado 30 más, con la misma cantidad de dinero, cada uno hubiera costado 180 soles más barato. Calcular el número de cuadernos. x=número de cuadernos

Costo total 600 = número de cuadernos x 6000 precio por 30 cuadernos más= x+30 precio de c /cuaderno=

Planteamos la siguiente ecuación: 6000 6000 − =180 x x +30 x ( x +30 )=1000 x ( x +30 )=20(50)

por comparación se tiene : x=20 cuadernos 4) Varios amigos alquilaron un ómnibus por $400 para una excursión, a pagar por partes iguales, pero fallaron dos de ellos y cada uno de los que asistieron tuvieron que pagar $10 más. ¿Cuántos fueron a la excursión? ¿ amigos costo c /u

x x−2 p p+10

( x−2 ) ( p+ 10 )=400 xp+10 x−2 p−20=400 400 5 x− −10 x=0 x 2 5 x −400−10 x=0 2 x −2 x −80=0

( )

P: pagar xp :400= p=

400 x

la x pasa a multiplicar al 5 x y al−10 quinta a todo

2

x

−10

x=10

x+ 8

remplazar x−2 10−2=8

Respuesta: Los amigos excursionistas fueron 8 5) Hallar un número cuyo cuadrado, disminuido en 119 es igual a 10 veces el exceso de número con respeto a 8. Sea x el número: 2 x −119=10 ( x −8 ) 2 x −119=10 x −80 x 2−10 x−39=0

( x−13 ) ( x+3 )=0 x−13=0 x=13

x+ 3=0 x=−3

6) Los ahorros de un niño consta de ( p+1) , (3 p−5) y ( p+3 ) monedas de 5, 10 y 20 soles respectivamente ¿A cuánto asciende sus ahorros, si al cambiarlo en monedas de 25 soles el número de monedas obtenidas es el doble del número de monedas de 5 soles? Ahorro en monedas de 5 soles=5 ( p+1 ) Ahorro en monedas de 10 soles=10 ( 3 p−5 ) Ahorro en monedas de 20 soles=20 ( p+3 ) Para cambiar dichasmonedas a monedas de 25 soles : Nobastará dividir cada ahorro en monedas entre 25 Monedas de S /.5 Monedasde S /.10 Monedas de S /.5

5 ( p+1 ) 25 10 ( 3 p−5 ) convertidas a S /.25= 25 20 ( p+3 ) convertidas a S / .25= 25 convertidas a S / .25=

Del enunciado : Si al cambiarlo en monedas de 25 soles , 3

el número de monedas obtenidas es el doble del número de monedas de 5 soles

5 ( p+1 ) 10 ( 3 p−5 ) 20 ( p+ 3 ) + + =2[ ( p+ 1 ) ] 25 25 25 5 p+5+30 p−50+20 p+ 60 =2 ( p+1 ) 25 55 p+ 15=50 p+50 5 p=35 ∴ p=7 Entonces sus ahorros ascienden a: 5 ( p+ 1 )+ 10 ( 3 p−5 ) +20 ( p+ 3 ) ¿ 5 ( 8 ) +10 ( 16 ) +20 ( 10 ) ¿ 400 ∴ Sus ahorros asciendena 400 soles

3 se le suma un número y al denominador se le resta 5 el mismo número se obtiene otra fracción equivalente a la recíproca de la fracción dada. Calcular el número.

7) Si al numerador de la fracción

Sea elnúmero=x 3 5 Fraccióninicial= ; recíproca de la fracción= 5 3 Del enunciado , del problema obtenemos : 3 ( 3+ x )=5 ( 5−x ) 8 x=16 ∴ x=2 8) Dos recipientes contienen 80 y 150 litros de agua y se les añade la misma cantidad de agua a cada una. ¿Cuál debe ser esta cantidad para que el contenido del primer 2 recipiente sea los del segundo? 3 Sea : 4

x=¿ de litros de agua que se añade a cada recipiente Donde: El primer recipiente tendrá : ( 80+ x ) lts El segundo recipiente tendrá : ( 150+ x ) lts Del enunciado , obtenemos : 2 ( 80+ x )= ( 150+ x ) 3 240+3 x=300+2 x 3 x−2 x =300−240 x=60 Luego , a cada recipiente se≤añade :60 litros

9) El doble de mi edad, aumentado en su mitad, en sus

2 5

, en sus

3 10

y en 40; suma

200 años ¿Cuántos años tengo?

Mi edad : x x 2 3 2 x + + x + x+ 40=200 2 5 10 20 x +5 x+ 4 x +3 x+ 400 =200 10 32 x + 400=2000 32 x=1600 x=50

10) Dividir el número 1000 en dos partes tales que si de los 1 4

5 6

de la primera se resta

de la segunda, se obtiene 10. Calcular la segunda parte.

Sea : x= primera parte y=segunda parte 5

x+ y=1000

(I)

Del enunciado obtenemos :

5 1 x− y=10 (II) 6 4

( 56 ) a cada término de la ecuación ( I ) :

Multiplicamos x

5 5 5 x− y = ( 1000 ) ( III ) 6 6 6 Restamos miembro a miembro ( III ) y ( II ) :

( 56 x + 56 y )−( 56 x− 14 y )= 56 ( 1000) −10 5 1 5 y + y= (1000 )−10, damos comúndenominador a todala ecuación 6 4 6 2 ( 5 y ) +3( y ) 2∗5 ( 1000 )−12(10) = 12 12 13 y 9880 = =760 12 13 ∴ y =760(segunda parte)

11) Pedro y Pablo tienen cada uno cierto número de soles, si Pablo da 12 soles a Pedro; 3 tendrán ambos igual cantidad, si por el contrario, Pedro da de su dinero a Pablo, el 5 3 número de soles de este queda aumentado en los ¿Cuántos soles tiene cada uno? 8 Sean : x=¿ de soles de Pedro y=¿ de soles de Pablo ¿ ¿ Si Pablo da 12 soles a Pedro, ambos tendránla mismacantidad 6

→ Pablo tendrá : y−12 → Pedro tendrá: x +12

De donde : y−12=x+12 ∴ y =x+ 24(I ) ¿∗¿ Si por lo contrario , 3 3 Pedro da de su dinero a Pablo , el¿ de soles de este queda aumentado en sus 5 8 3 Pedro=x → Pedrotendrá : x− x 5 3 Pablo= y → Pablo tendrá: y+ x 5 De donde : 3 3 y + x= y + y 5 8 3 3 x= y →8 x=5 y ( II ) 5 8 Remplazamos ( I ) y ( II ) : 8 x=5 ( x+ 24 ) 8 x=5 x+120 3 x=120 ∴ x=40 ( dinero de Pedro en soles ) Sacamos novena a cada término 33 u=22 d , Sacamos onceava a cada términos ∴3 u=2 d ( II )

Remplazamos ( I ) y ( II ) : 3 u=2 ( 15−u ) 3 u=30−2u 5 u=30 ∴u=6 Ahora reemplazamos el valor de u en (I): d=15−6 ∴ d=9 7

´ Luego , el número de dos cifras : du=96 3 ; aumentado en 5 y multiplicado por el doble del mismo, 4 disminuido en 10, da por producto 66?

12) ¿Cuál es el número, cuyo

(3x/4 + 5)(2x-10)=66

(x+8)(3x-29)=0

(3x + 20)(2x-10)=66*4

x1

6x2-10x-464=0

x=-8

(3x+ 20)/4*(2x-10)=66 6x2-30x+40x-200=264 Mitad a todos:

x+8=0

3x2-5x-232=0

x2

3x

3x=29

1x

+8 =+24x -29 =-29x ____

-5x

3x-29=0 x=29/3

el c.s.={-8,29/3}

13) La suma de los cuadrados de dos números enteros positivos y consecutivos es 113. Hallar el cuádruplo del número menor; disminuido en 4. x+8 = 0 ∨ x-7 = 0 x = - 8 ∨ x = 7 tomando el positivo el menor = 7 nos piden: 4(7) - 4 = 28 - 4 = 24

el mayor = 8

respuesta 24

8

14) Si al triple de la edad que tengo, se quita mi edad aumentado en 8 años, tendría 36 años. ¿Qué edad tengo? La edad que tienes es = T El triple de la edad que tienes es = 3T

Planteamos una ecuación y calculamos tu edad: --------------------------------------------------------------3T - T + 8 = 36 2T + 8 = 36 2T = 36 - 8 2T = 28 T = 28/2 T = 14 RESPUESTA: Tu edad es 14 años --------------------------------------------COMPROBAMOS LA SOLUCIÓN 3T - T+ 8 = 36 3 (14) - 14 + 8 = 36 42 - 14 + 8 = 36 42 + 8 - 14 = 36 50 - 14 = 36 36 = 36

15) La tercera parte de la edad de Mario es 13 años más que la edad de Julio y el quíntuplo de la edad de Julio es 25 años menos que la edad de Mario. Hallar la edad de Julio.

16) La edad de “Sara” es mayor en 7, que el cuadrado de un número “P” y menor en 4; que el cuadrado del número siguiente a “P” ¿Cuántos años tiene Sara? la verdad es que sume los números 7 y 4 que son la diferencia que existe para la edad de Sara y el resultado obtenido fu la diferencia que existía entre el cuadrado de 5(p) y 6(número siguiente de p) 9

17) Julia tiene 3 años más que María. Si el duplo de la edad de Julia menos los

5 6

de la

edad de María da 20 años ¿Qué edad tiene María? Edad de maria = x edad de julia = x + 3

2 ( x + 3 ) - 5x/6 = 20 2x + 6 - 5x / 6 = 20-------------------> 7x/6 = 14 ------------------------> 7x = 84 -----------------------> x = 12 La edad de María es 12 :D

18) Miguel tiene 5 años menos que Doris. Hace cuatro años la suma de sus edades era 21 años ¿Qué edad tiene Doris? M=X-5 D=X X-5-4+X-4=21 2X=34 X=17

19) Denisse es 3 veces mayor de edad que Coronado. Hace 5 años la suma de sus edades era 40 años. ¿Qué edad tiene Coronado? - Se sabe que Denise es 3 veces mayor de edad de clara, esto es: D = 3C (I)

- También se sabe que hace 5 años la suma de sus edades era 40 años: (D - 5) + (C - 5) = 40 (II) Sustituimos I en II:

(3C - 5) + (C - 5) = 40 (Restamos 5 años, ya que lo comparamos la edad actual) 3C + C - 10 = 40 4C = 50

C = 50/4 C = 12.5

10

20) Juan tiene 2 años más que su hermano Roberto y la edad del padre es el cuádruplo de la edad de su hijo Roberto. Si hace 5 años la suma de las edades de los tres era 47 años. ¿Cuántos años tiene actualmente Juan? (x+2)-5+(X-5)+(4X-5)=47 x=10 son los años de Roberto, 10+2=12 son los años de Juan

4 de la edad de su padre, si dentro de 5 años, la 9 mitad de la edad del padre sería igual a la edad del hijo ¿Cuál es la edad del padre?

21) La edad actual de un hijo es los

Padre=x dentro de 5 años= x + 5 Hijo=4/9*x dentro de 5 años= 4/9*x + 5

La mitad de la edad del padre es igual a la del hijo entonces X + 5/2 = 4x/9 + 5 X + 5 /2 = 4x + 45/9 9x +45 = 8x +90 X= 45 esta es la edad del padre

22) Un padre le dice a su hijo; Hace 8 años mi edad era el cuádruplo de la edad que tú tenías; pero dentro de 8 años únicamente será doble. ¿Cuál es la edad del hijo?

23) ¿Cuántos años tiene una persona, sabiendo que la raíz cuadrada de la edad que tenía hace 5 años más la raíz cuadrada de la edad que tendrá dentro de 6 años suman 11? Edad de la persona : x √ x−5+√ x+6=11 11

2 √ x +1=11 2 √ x=11−1 2 √ x=10 10 √ x= 2 √ x=5 x=2.5 24) Cuantos años tiene una persona sabiendo que la raiz cuadrada de la edad que tenia hace 3 años mas la raiz cuadrada de la edad que tendra dentro de 6 años suman 9 años ? Edad de la persona: ``x´´ ===>

===>

La persona tiene ahora 19 años.

25) Dentro de 8 años la edad de Pedro será la que Juan tiene. Dentro de 15 años Pedro 4 tendrá de la que entonces tendrá Juan ¿Cuál era la suma de las edades de Juan y 5 Pedro, cuando Juan tenía el doble de la edad de Pedro? Pedro=(Y )→ y +8 Y +15 Juan=( X )→ x+8 X+ 15 12

Dentro de 8 años la edad de Pedro es igual a la de Juan: y +8=x −x + y=−8 ( I ) La siguiente : 4 y +15= ( x +15 ) 5 −4 x +5 y=−15 ( II ) Y ahí en un sistema de ecuaciones y=17∧x=25 Por último :Cuando Juan tení el doble de la edad de Pedro 25−x =2 ( 17−x ) x=9 años → por lo que restamos : 17−9=8 25−9=16

8+16=24

La edad es :24 años

26) Dos números son entre sí como 7 es a 13, si al menor se le suma 140, para que el valor del otro número debe quintuplicarse. Hallar el mayor de los dos números. x 7 = y 13 x=7 k → ¿ menor y=13 k → ¿ mayor

7 k +140 7 = 5 ( 13 k ) 13 13 ( 7 k +140 )=7∗5 ( 13 k ) 91 k +1820=455 k 1820=( 455−91 ) k 1820=364 k 1820 k= 364 k =5

x=7 k =7∗5=35

x=35 13

y=13 k =13∗5=65

y=65

27) En una proporción geométrica discreta la diferencia entre los medios es de 14. Hallar uno de los términos medios si se sabe que el producto de los cuatro términos de la proporción es 2601. a c = b d medios : a∗d=c . b diferencia de medios : b−c=14 17−3=14 a∗d∗c∗b=2601 ( c∗b )2=2601 c∗b=51 c .b=( 17 )( 3 ) →3 es uno de los términos medios

28) Dos números son entre sí como 5 a 8, si la suma de sus cuadrados es 712 su diferencia es: A→5 =K B→ 8 A=5 K B=8 K A 2 + B2=712 ( 5 K )2+ ( 8 K )2=712 25 ( K 2 ) +64 ( K 2) =712 89 ( K 2 )=712 ( K 2 )=8

Entonces : A=5 K =5 √8 B=8 K =8 √ 8

K= √ 8 29) La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma relación que los números 11, 3 y 560. Hallar uno de los números.

14

a+b=11 k + ¿ a−b=3 k 2 a=14 k a=7 k

Entonces: 7 k +b=11k b=4 k a . b=560 2 28 k =560 2 k =20 k =√ 20 k =2 √ 5 Entonces: a=7 k=7 ( 2 √ 5 ) =14 √5 b=4 k=7 ( 2 √ 5 )=8 √5 Te piden el mayor que es a : a=14 √ 5

30) En una reunión de camaradería por cada 5 hombres adultos que entran, ingresan 6 niños, y por cada 3 mujeres adultas que entran, ingresan 8 niñas. Si el total ingresaron 572 niños y el número de hombres es al número de mujeres como 7 a 4 ¿Cuántos hombres asistieron a dicha reunión? Por cada 5 hombres adultos que entran , ingresan 6 niños: H 5 = (I ) N 6 Por cada 3 mujeres adultas que ingresan entran8 niñas : M 3 = (II) A 8 Si en total ingresan 572 niños N + A=572(III )

Número de hombres es al número de mujeres como7 a 4 : H 7 = (IV ) M 4 Dividimos ( I ) entre ( IV ) :

15

H 5 N 6 = H 7 M 4 M 20 10 = = (V ) N 42 21 Dividimos(V )entre (II ) : M 10 N 21 = M 3 A 8

A 80 = N 63 A=

80 N 63

Reemplazamos en(III ) : 80 N + N=572 63 143 N=572 63 N=252 Reemplazamos enlas ecuaciones anteriores : 80 A= 252=320 63 10 10 N= 252=120 21 21 7 7 H= = 120=210 4M 4 M=

¿Cuántos hombres asistieron a dicha reunión ?=210

31) En una reunión el número de hombres es al número de mujeres como 5 es a 4 y en un determinado instante: El número de hombres que bailan es al número de los que no bailan como 5 es a 3, luego el número de mujeres que no bailan es al número de los hombres que no bailan como : 16

(I ) h 5 = m 4 4 m= h 5

( II) h 5 = h−hb 3 3 h−hb= h 5

(III )

3 −hb= h−h 5 3 hb=h− h 5 2 hb= h 5

Luego ; Asumiendo que cada hombre baila con cada mujer o sea que hb=mb 4 4 2 2 h−hb h− h h m−mb 5 5 5 5 2 = = = = h . hb 3 3 3 3 h h h 5 5 5

17