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Calculo Diferencial Límites y Continuidad

Presentado por: Eduardo Bello Riaño, Código: 74389964 Juan Carlos Pimiento Lancheros, Código: 11235271 Luis Alfonso Lavado Betsy Yolima Puerto Víctor Alfonso Albarracín Fernández, Código: 1056553248 Grupo: 100410_138

Presentado a: Tutor, Carlos Eduardo Otero Murillo

Escuela de Ciencias Administrativas Contables Económicas y de Negocios ECACEN Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD Abril 07 de 2018

Contenido Introducción ........................................................................................................................... 4 Estudiante 1 Eduardo Bello.................................................................................................... 4 Principio de sustitución ...................................................................................................... 4 2. Forma indeterminada ..................................................................................................... 6 3. Límites al infinito .......................................................................................................... 11 4. Límites de funciones trigonométricas ........................................................................... 13 5. Función a trozos en Geogebra ...................................................................................... 16 Fase 3. Ensayo .................................................................................................................. 18 Estudiante 2 Juan Carlos Pimiento ...................................................................................... 20 -Principio de Sustitución .................................................................................................. 20 -Forma indeterminada ...................................................................................................... 20 -Límites al infinito ............................................................................................................. 21 -Límites de funciones trigonométricas .............................................................................. 21 -Función a trozos Geogebra Fase 2 ................................................................................ 21 Fase 3. Ensayo sobre Límites y Continuidad ................................................................... 22 Estudiante 3 Luis Alfonso Lavado ........................................................................................ 24 Fase número 1. ................................................................................................................. 24 2 ........................................................................................................................................ 24 3 ........................................................................................................................................ 25 4 ........................................................................................................................................ 25 Fase número 2. ................................................................................................................. 26 Fase número 3. ................................................................................................................. 26 Estudiante 4 Betsy Yolima .................................................................................................... 28 Fase 1 ................................................................................................................................ 28 2 Se presenta indeterminación al evaluar el limite .......................................................... 28 3 Límites al infinito ........................................................................................................... 28 4 Función de un límite ...................................................................................................... 29 Fase 3 ................................................................................................................................ 30 Estudiante 5 Víctor Alfonso Albarracín ............................................................................... 31

Principio de sustitución .................................................................................................... 31 Limite al infinito................................................................................................................ 31 Límite de funciones trigonométricas................................................................................. 31 Función a trozos geogebra ............................................................................................... 32 Bibliografía........................................................................................................................... 33

Ilustración 1 Grafica de la función 3𝑎𝑥2 + 44𝑥 − 7 𝑠𝑖 𝑥 > 2 ......................................... 17 Ilustración 2 Grafica de la función 4𝑥, 𝑠𝑖 < −2 ............................................................... 18 Ilustración 3.......................................................................................................................... 22 Ilustración 4.......................................................................................................................... 26 Ilustración 5.......................................................................................................................... 29

Introducción En el presente trabajo se encuentra el desarrollo de la actividad correspondiente a la Unidad 2 del curso de Cálculo diferencial en el que se desarrollan los ejercicios planteados relacionados con el tema de límites y Continuidad.

Estudiante 1 Eduardo Bello Principio de sustitución 3 − √4𝑥 + 1 𝑥→5 𝑥 2 − 2𝑥

𝑙𝑖𝑚 Tomamos el límite de cada término

𝑙𝑖𝑚 3 √4 𝑙𝑖𝑚 𝑥 + 𝑙𝑖𝑚 1 𝑥→5 𝑥→5 𝑥→5 (𝑙𝑖𝑚 𝑥)2 − 2 𝑙𝑖𝑚 𝑥 𝑥→5

𝑥→5

Evaluamos los límites evaluando 5 para todas las apariciones de x Evaluamos el límite de 3 que es constante conforme x se acerca a 5 3 − √4 𝑙𝑖𝑚 𝑥 + 𝑙𝑖𝑚 1 𝑥→5

𝑥→5

(𝑙𝑖𝑚 𝑥)2 − 2 𝑙𝑖𝑚 𝑥 𝑥→5

𝑥→5

Evaluamos el límite de x introduciendo 5 en el lugar de x

3 − √4 ∗ 5 + 𝑙𝑖𝑚 1 𝑥→5

(𝑙𝑖𝑚 𝑥)2 − 2 𝑙𝑖𝑚 𝑥 𝑥→5

𝑥→5

Evaluamos el límite de 1 que es constante conforme x se acerca a 5 3 − √4 ∗ 5 + 1 (𝑙𝑖𝑚 𝑥)2 − 2 𝑙𝑖𝑚 𝑥 𝑥→5

𝑥→5

Evaluamos el límite de x introduciendo5 en el lugar de x 3 − √4 ∗ 5 + 1 (5)2 − 2 𝑙𝑖𝑚 𝑥 𝑥→5

Evaluamos el límite de x introduciendo 5 en el lugar de x

3 − √4 ∗ 5 + 1 (5)2 − 2 ∗ 5 Simplificamos la respuesta Simplificamos el numerador Multiplicamos 4 por 5 para obtener 20 3 − √20 + 1 (5)2 − 2 ∗ 5 Sumamos 20 y 1 para obtener 21 3 − √21 (5)2 − 2 ∗ 5 Simplificamos el denominador y reescribimos 3 − √21 𝑙𝑖𝑚 𝑥 2 𝑥→5

3 − √4𝑥 + 1 𝑥 2 − 2𝑥

Quitamos el paréntesis 3 − √21 𝑙𝑖𝑚 𝑥 2 − 2𝑥 𝑥→5

Separamos el límite usando la Regla de la suma de los límites conforme x se aproxima a 5

3 − √21 (𝑙𝑖𝑚 𝑥)2 − 𝑙𝑖𝑚 2𝑥 𝑥→5

𝑥→5

Movemos el término 2 de x2 fuera del límite usando la regla de la potencia para los límites 3 − √21 (𝑙𝑖𝑚 𝑥)2 − 2 𝑙𝑖𝑚 𝑥 𝑥→5

𝑥→5

Evaluamos el límite de x introduciendo 5 en el lugar de x. 3 − √21 (5)2 − 2 ∗ 5 Quitamos el paréntesis de 5 3 − √21 52 − 2 ∗ 5 Elevamos 5 a la potencia de 2 para obtener 25 3 − √21 25 − 2 ∗ 5 Multiplica -2 por 5 para obtener -10 3 − √21 25 − 10 Restamos 10 de 25 para obtener 15. 3 − √21 15 El resultado puede ser mostrado en ambas formas, decimal y exacta Forma exacta 3 − √21 15 Forma decimal: -0,10550504… 2. Forma indeterminada (𝑥 + 1)3 𝑥→1 𝑥 3 + 1

𝑙𝑖𝑚

Evaluamos el límite del numerador y el límite del denominador

0 0 0

Dado que 0 tiene forma indeterminada, aplicamos la regla de l´Hopital. La regla establece que el límite del cociente de una función es igual al límite del cociente de las derivadas. 𝑙𝑖𝑚

(𝑥+1)3

𝑥→1 𝑥 3 +1

𝑑

[(𝑥+1)3 ]

= 𝑙𝑖𝑚 𝑑𝑥𝑑 𝑥→1

𝑑𝑥

[𝑥 3 +1]

Encontramos la derivada del numerador y denominador 3(𝑥 + 1)2 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 3𝑥 2 Tomamos el límite de cada término Dividimos el límite usando la regla de los límites de los cocientes en el límite conforme x se acerca -1 (𝑙𝑖𝑚 3(𝑥 + 1)2 𝑥→1

(𝑙𝑖𝑚 3𝑥 2 ) 𝑥→1

Movemos el término 3 fuera del límite porque este es constante respecto a x. 3 𝑙𝑖𝑚 (𝑥 + 1)2 𝑥→1

𝑙𝑖𝑚 3𝑥 2 𝑥→1

Separamos el límite usando la Regla de la suma de los límites conforme x se aproxima a -1. 3 (𝑙𝑖𝑚 + 𝑙𝑖𝑚 1)2 𝑥→1

𝑥→1 𝑙𝑖𝑚 3𝑥 2 𝑥→1

Movemos el término 3 fuera del límite porque este es constante respecto a x. 3 (𝑙𝑖𝑚 + 𝑙𝑖𝑚 1)2 𝑥→1

𝑥→1 3(𝑙𝑖𝑚 𝑥 2 ) 𝑥→1

Evaluamos el límite de x introduciendo -1 en el lugar de x 3(−1 + 𝑙𝑖𝑚 1)2 𝑥→1

3(𝑙𝑖𝑚 𝑥)2 𝑥→1

Evaluamos el límite de 1 que es constante conforme x se acerca a -1 3(−1 + 1)2 3(𝑙𝑖𝑚 𝑥)2 𝑥→1

Evaluamos el límite de x introduciendo -1 en el lugar de x 3(−1 + 1)2 3(−1)2 Simplificamos la respuesta Reducimos la expresión anulando los factores comunes 3(−1 + 1)2 3(−1)2 Sustituimos la expresión (−1 + 1)2 (−1)2 Simplificamos el numerador Sumamos -1 y 1 para obtener 0 (0)2 (−1)2 Elevamos 0 a cualquier potencia positiva da 0 Simplificamos el denominador Reescribimos (0)2 (𝑥 + 1)3 3 𝑥→1 𝑥 + 1

𝑙𝑖𝑚

Evalúe el límite del numerador y el límite del denominador 0 0 0 Dado que

0 0

tiene forma indeterminada, aplicamos la regla de l´Hopital establece que el

límite del cociente de una función es igual al límite del cociente de las derivadas. 𝑙𝑖𝑚

(𝑥+1)3

𝑥→−1 𝑥 3 +1

𝑑 [(𝑥+1)3 ] 𝑑𝑥 𝑑 𝑥→−1 [𝑥 3 +1] 𝑑𝑥

= 𝑙𝑖𝑚

Encontramos la derivada del numerador y denominador Reescribimos

0 𝑑 [(𝑥 + 1)3 ] 𝑑𝑥 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1 𝑑 [𝑥 3 + 1] 𝑑𝑥 Diferenciamos usando la regla de la cadena, que establece que

𝑑 𝑑𝑥

[𝑓(𝑔(𝑥))] es

𝑓´(𝑔(𝑥))𝑔´(𝑥)𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑓 (𝑥) = (𝑥)3 𝑦 𝑔 (𝑥) = 𝑥 + 1. 0 𝑑 3(𝑥 + 1)2 [𝑥 + 1] 𝑑𝑥 𝑙𝑖𝑚 𝑑 3 𝑥→−1 [𝑥 + 1] 𝑑𝑥 Por la regla de la suma, la derivada x+1 respecto a x es

𝑑 𝑑𝑥

[𝑥 𝑛 ]𝑒𝑠 𝑛𝑥 𝑛−1 donde n=1

0 𝑑 3(𝑥 + 1)2 (1 + [1] 𝑑𝑥 𝑙𝑖𝑚 𝑑 3 𝑥→−1 [𝑥 + 1] 𝑑𝑥 Ya que 1 es constante respecto a x, la derivada de 1 respecto a x es 1. 0 3(𝑥 + 1)2 (1 + 0) 𝑙𝑖𝑚 𝑑 3 𝑥→−1 [𝑥 + 1] 𝑑𝑥 Sumamos 1 y 0 para obtener 1. 0 3(𝑥 + 1)2 ∗ 1 𝑙𝑖𝑚 𝑑 𝑥→−1 [𝑥 3 + 1] 𝑑𝑥 Multiplicamos 3 por 1 para 3 0 3(𝑥 + 1)2 𝑙𝑖𝑚 𝑑 𝑥→−1 [𝑥 3 + 1] 𝑑𝑥 𝑑

Por la regla de la suma, la derivada de x3+1 respecto a x es 𝑑𝑥 [𝑥 3 ] + 0 3(𝑥 + 1)2 𝑙𝑖𝑚 𝑑 𝑥→−1 [𝑥 3 + 1] 𝑑𝑥

𝑑 𝑑𝑥

[1]

Diferenciamos usando la 𝑑 [𝑥 𝑛 ]𝑒𝑠 𝑛𝑥 𝑛−1 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛 = 3

regla

de

la

potencia

que

establece

que

𝑑𝑥

0 3(𝑥 + 1)2 𝑙𝑖𝑚 2 3 𝑥→−1 3𝑥 [𝑥 + 1] Ya que 1 es constante respecto a x, la derivada de 1 respecto a x es 1. 0 3(𝑥 + 1)2 𝑙𝑖𝑚 2 3 𝑥→−1 3𝑥 [𝑥 + 1] Suma 3x2 y 0 para obtener 3x2 0 3(𝑥 + 1)2 𝑙𝑖𝑚 3𝑥 2 𝑥→−1 Reescribimos 0 𝑑 3 [𝑥 + 1] 𝑥→−1 𝑑𝑥 𝑙𝑖𝑚

𝑑

Por la regla de la suma, la derivada de x3 +1 respecto a x es 𝑑𝑥 [𝑥 𝑛 ]𝑒𝑠 𝑛𝑥 𝑛−1 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛 = 3 0 𝑙𝑖𝑚 3 𝑥 2 +

𝑥→−1

𝑑 [1] 𝑑𝑥

Ya que 1 es constante respecto a x, la derivada de 1 respecto a x es 1. 0 𝑙𝑖𝑚 3 𝑥 2 + 0

𝑥→−1

Suma 3x2 y 0 para obtener 3x2 0 𝑙𝑖𝑚 3 𝑥 2

𝑥→−1

Reescribimos 0 𝑙𝑖𝑚 𝑥 2

𝑥→−1

Movemos el exponente 2 de x2 fuera del límite usando la regla de la potencia para los límites

0 ( 𝑙𝑖𝑚 𝑥)2 𝑥→−1

Evaluamos el límite de x introduciendo -1 en el lugar de x 0 (−1)2 Elevamos -1 a la potencia de 2 para obtener 1. 0 1 Dividimos 0 entre 1 para obtener 0 0

3. Límites al infinito 𝑥 4 + 3𝑥 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ 3𝑥 3 − 4𝑥 2 Tomamos el límite de cada término Dividimos el numerador y el denominador por la potencia más alta de x en el denominador, que es x3 𝑥 4 3𝑥 3+ 3 𝑙𝑖𝑚 𝑥 3 𝑥 2 𝑥→∞ 3𝑥 4𝑥 − 3 𝑥3 𝑥 Simplificamos cada término Reducimos la expresión anulando los factores comunes. 𝑥3𝑥 3𝑥 3 ∗ 1 + 𝑥3 𝑥 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ 3𝑥 3 4𝑥 2 − 𝑥3 𝑥3 Cancele el factor común y sustituimos 𝑥 3𝑥 1+ 3 𝑙𝑖𝑚 3 𝑥 2 𝑥→∞ 3𝑥 4𝑥 − 3 𝑥3 𝑥 Dividimos x entre 1 para obtener el primero

3𝑥 2 𝑥𝑥 𝑙𝑖𝑚 3 𝑥→∞ 3𝑥 4𝑥 2 − 𝑥3 𝑥3 𝑥+

Reduce la expresión anulando los factores comunes Factorizamos x a partir de x3 𝑥∗3 2 𝑙𝑖𝑚 3 𝑥𝑥 2 𝑥→∞ 3𝑥 4𝑥 − 3 𝑥3 𝑥 𝑥+

Cancelamos el término común 𝑥∗3 2 𝑙𝑖𝑚 3 𝑥𝑥 2 𝑥→∞ 3𝑥 4𝑥 − 3 3 𝑥 𝑥 𝑥+

Sustituimos la expresión 3 2 𝑙𝑖𝑚 3 𝑥 2 𝑥→∞ 3𝑥 4𝑥 − 3 𝑥3 𝑥 𝑥+

Simplificamos cada término Reducimos la expresión anulando los factores comunes. Cancelamos el factor común 3 2 𝑙𝑖𝑚 3 𝑥 2 𝑥→∞ 3𝑥 4𝑥 − 3 𝑥3 𝑥 𝑥+

Dividimos 3 entre 1 para obtener el primero 3 2 𝑥 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ 4𝑥 2 3+ 3 𝑥 𝑥+

Reducimos la expresión anulando los factores comunes Factorizamos x2a partir de x3 3 𝑥2 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ 4𝑥 2 3+ 2 𝑥 𝑥 𝑥+

Cancelamos

el

factor

común

3 𝑥+ 2 𝑥 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ 4𝑥 2 3+ 2 𝑥 𝑥

Sustituimos la expresión 3 2 𝑥 𝑙𝑖𝑚 −4 𝑥→∞ 3+ 𝑥 𝑥+

3

Como cambiamos el infinito por la fracción 𝑥 2 por 0 𝑥−0 𝑥→∞ 3 + 0 𝑙𝑖𝑚

Desde esto el numerador es cambiado de signo puesto que la numero es constante la fracción se aproxima a infinito. 𝑥+0 3−0

4. Límites de funciones trigonométricas 𝑠𝑖𝑛(4𝑥) 𝑥→0 3𝑥

𝑙𝑖𝑚 1

Movemos el término 3 fuera del límite porque este es constante respecto a x. 1 𝑠𝑖𝑛(4𝑥) 𝑙𝑖𝑚 3 𝑥→0 𝑥 Evaluamos el límite del numerador y el límite del denominador Aplicamos el límite del numerador y el límite del denominador 1 𝑙𝑖𝑚 𝑠𝑖𝑛(4𝑥) 3 𝑙𝑖𝑚 𝑥 𝑥→0

Evaluamos el límite del numerador Tomamos el límite de cada término Movemos el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo

𝑥) 1 𝑠𝑖𝑛(4 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 3 𝑙𝑖𝑚 𝑥 𝑥→0

Evaluamos el límite de x introduciendo 0 en el lugar de x 1 𝑠𝑖𝑛(4 ∗ 0) 3 𝑙𝑖𝑚 𝑥 𝑥→0

Simplificamos la respuesta Multiplicamos 4 por 0 para obtener 0 1 𝑠𝑖𝑛(0) 3 𝑙𝑖𝑚 𝑥 𝑥→0

Evaluamos el límite de x introduciendo 0 en el lugar de x 10 30 La expresión contiene una división entre 0. La expresión está indefinida 0

Dado que 0tiene forma indeterminada, aplicamos la regla de l´Hopital. La regla de l´Hopital establece que el límite del coceinte de una función es igual al límite del cociente de las derivadas. 𝑑 [𝑠𝑖𝑛(4𝑥)] 𝑠𝑖𝑛(4𝑥) 𝑑𝑥 𝑙𝑖𝑚 = 𝑙𝑖𝑚 𝑑 𝑥→0 𝑥→0 𝑥 [𝑥] 𝑑𝑥 La derivada de Sin(u) respecto a u es Cos (u) 𝑑 𝑐𝑜𝑠(𝑢) [4𝑥] 1 𝑑𝑥 𝑙𝑖𝑚 𝑑 3 𝑥→0 [𝑥] 𝑑𝑥 Reemplazamos todas las apariciones de u con 4x 𝑑 𝑐𝑜𝑠(4𝑥) [4𝑥] 1 𝑑𝑥 𝑙𝑖𝑚 𝑑 3 𝑥→0 [𝑥] 𝑑𝑥 Dado que 4 es constante respecto a 4x, la derivada de x respecto a 4x es x 𝑑 𝑐𝑜𝑠(4𝑥) (4 [𝑥]) 1 𝑑𝑥 𝑙𝑖𝑚 𝑑 3 𝑥→0 [𝑥] 𝑑𝑥

Movemos 4 a la izquierda de la expresión Cos (4x)*4 𝑑 4𝑐𝑜𝑠(4𝑥) [𝑥] 1 𝑑𝑥 𝑙𝑖𝑚 𝑑 3 𝑥→0 [𝑥] 𝑑𝑥 Diferenciamos 𝑑 𝑑𝑥

usando

la

[𝑥 𝑛 ]𝑒𝑠 𝑛𝑥 𝑛−1 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛 =

1

regla 𝑙𝑖𝑚

3 𝑥→0

de

la

potencia

que

establece

que

𝑑 4 𝑐𝑜𝑠(4𝑥) [𝑥] 𝑑𝑥 𝑑 [𝑥] 𝑑𝑥

Multiplicamos 4 por 1 para obtener 4 𝑑 4 𝑐𝑜𝑠(4𝑥) [𝑥] 1 𝑑𝑥 𝑙𝑖𝑚 𝑑 3 𝑥→0 [𝑥] 𝑑𝑥 𝑑

Diferenciamos usando la regla de la potencia que establece que 𝑑𝑥 [𝑥 𝑛 ] en 𝑛𝑥 𝑛−1 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛=

1 4 𝑐𝑜𝑠(4𝑥) ∗ 1 𝑙𝑖𝑚 3 𝑥→0 1

Tome el límite de cada término. Divida el límite usando la Regla de los límites de los cocientes en el límite conforme x se acerca a 0. 1 4 𝑐𝑜𝑠(4 ∗ 0) 3 𝑙𝑖𝑚 1 𝑥→0

Evaluamos el límite de 1 que es constante conforme x se acerca a 0 1 4 𝑐𝑜𝑠(4 ∗ 0) 3 1 Simplificamos la respuesta

Dividimos 4 cos (4*0) entre 1 para obtener el primero 1 (4 𝑐𝑜𝑠(4 ∗ 0)) 3 Multiplicamos 4 ´por 0 para obtener 0 1 (4 𝑐𝑜𝑠(0)) 3 El valor exacto de cos (0) es 1

1 (4 ∗ 1) 3 Multiplica 4 por 1 para obtener 4 1 (4) 3 Simplifica 4 3 El resultado puede ser mostrado en ambas formas, decimal y exacta. Forma exacta 4 3 Forma decimal 1,3 Forma numérica mixta 1

1 3

5. Función a trozos en Geogebra 3𝑎𝑥 2 + 4 𝑠𝑖 𝑥 > 2 4𝑥 − 7 Despejando la ecuación 3𝑎(2)2 + 4 4(2) − 7 Transponiendo términos 𝑎4 + 4 = −3 8−7 Desarrollamos el ejercicio 𝑎8 = −3 1 𝑎=−

3 8

Ilustración 1 Grafica de la función

3𝑎𝑥 2 +4 4𝑥−7

𝑠𝑖 𝑥 > 2

Segunda ecuación 4𝑥,

𝑠𝑖 < −2

Despejando la ecuación e igualando 4(−2) = 𝑥 −8 = 𝑥

Ilustración 2 Grafica de la función 4𝑥, 𝑠𝑖 < −2 Fase 3. Ensayo Las operaciones matemáticas fundamentales del Cálculo son la diferenciación y la integración y estas operaciones se basan en la determinación de la derivada y la integral, que a su vez se basan en el concepto de límite (Pérez & Mercado). Dado que la derivada de una función se define como un límite, es importante comprender lo que es un límite y aprender a evaluar límites. También vemos aquí la relación que hay entre los conceptos de límite y continuidad siendo ésta la propiedad de una función de no presentar roturas en su gráfica. Este trabajo se hiso con la intención de que el estudiante comprenda el concepto de límite y adquiera habilidad para el cálculo de límites de funciones de diferentes tipos. Que el estudiante alcance un conocimiento claro del concepto de continuidad y de sus aplicaciones. Concepto de límite En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto

se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros (Leithold, 1992). El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden ser las redes topológicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemática, como puede ser la teoría de categorías. Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim(an) = a o se representa mediante la flecha (→) como en an → a. En matemáticas, se usa el concepto del límite para describir la tendencia de una sucesión o una función. La idea es que el una sucesión o una función tiene un límite si se puede acercar a un cierto número, que se llama el límite, tanto como queramos. Se usa el límite en cálculo (por lo que también se usa en el análisis real y matemático) para definir convergencia, continuidad, derivación ,integración, y muchas otras cosas.

Estudiante 2 Juan Carlos Pimiento Desarrollo de la actividad Fase 1 -Principio de Sustitución √9 + 𝑥 2 𝑙𝑖𝑚 ( ) 𝑥→2 𝑥−3 Se sustituye la variable =(

√9 + 22 ) 2−3

=(

√9 + 4 ) −1

= −√13

-Forma indeterminada 3 √𝑥 − 3 𝑙𝑖𝑚 ( ) 𝑥→27 𝑥 − 27 Evaluando la función: 3

3

0 √𝑥 − 3 √27 − 3 3 − 3 𝑙𝑖𝑚 ( )= = = 𝑥→27 𝑥 − 27 27 − 27 0 0 Se trabaja con el complemento para generar una diferencia de cubos, la fórmula utilizada es: (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) = 𝑎3 − 𝑏 2 3

𝑙𝑖𝑚 (

𝑥→27

3 3 ( √ 𝑥)² + √𝑥 (3) + (3)² √𝑥 − 3 )= 3 3 𝑥 − 27 ( √ 𝑥)² + √𝑥 (3) + (3)²

3

( √ 𝑥)³ − (3)³ 2

(𝑥 − 27)( 3√ 𝑥) + 3 3√𝑥 + 9

=

𝑥 − 27 2

(𝑥 − 27)( 3√ 𝑥) + 3 3√𝑥 + 9 3

2

3

Se eliminan términos semejantes = ( √ 𝑥) + 3 √𝑥 + 9 luego se sustituye X 3

2

3

( √ 27) + 3√27 + 9

= 9 + 9 + 9 = 𝟐𝟕 -Límites al infinito 4𝑥 5 − 6𝑥 4 + 3𝑥 2 𝑙𝑖𝑚 ( 3 ) 𝑥→∞ 3𝑥 + 5𝑥 2 + 6𝑥 Se divide entre el de mayor exponente 4𝑥 4⁄ − 6𝑥 4⁄ + 3𝑥 2⁄ 3 𝑥5 𝑥5 𝑥 5 = 4 − 6𝑥 + 3𝑥 3𝑥 3⁄ + 5𝑥 2⁄ + 6𝑥⁄ 3𝑥 2 + 5𝑥 3 + 6𝑥 4 𝑥5 𝑥5 𝑥5 Se reemplaza la variable 4 − 6∞ + 3∞3 4−0+0 = =𝟒 3∞2 + 5∞3 + 6∞4 0+0+0 -Límites de funciones trigonométricas 𝑠𝑒𝑛 𝜃⁄2 𝑙𝑖𝑚 𝜃→∞ 𝜃 =

1 𝑠𝑒𝑛(𝜃) ∙ 𝑙𝑖𝑚 ( ) 2 𝜃→0 𝜃

Se aplica regla L’hopital =

1 (𝑐𝑜𝑠𝜃) ∙ 𝑙𝑖𝑚 ( ) 2 𝜃→0 1

Se simplifica =

1 ∙ 𝑙𝑖𝑚(𝑐𝑜𝑠(𝜃)) 2 𝜃→0

Se sustituye la variable =

1 𝑐𝑜𝑠(0) 2

Se simplifica =

1 2

-Función a trozos Geogebra Fase 2 𝑎𝑥 2 − 4, 𝑠𝑖 𝑥 > 3 𝑓(𝑥) = { 𝑥 − 2 −𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 3 Calculo teórico

𝑎𝑥 2 − 4 = 𝑙𝑖𝑚 − 𝑥 𝑥→3 𝑥 − 2 𝑥→3

𝑙𝑖𝑚

𝑎(3)2 − 4 = −3 3−2 9𝑎 − 4 = −3 1 9𝑎 − 4 = −3 9𝑎 = −3 + 4 9𝑎 = 1 𝑎=

1 9

Ilustración 3

Fase 3. Ensayo sobre Límites y Continuidad Con respecto a la función de los límites en cuanto a Calculo diferencial hace referencia a la relación de cercanía entre un valor y un punto determinado, en nuestra vida cotidiana o en algunas profesiónes, sirven para la elaboración de planos, gráficos, tener mediciones sobre

un tema determinado relacionado con la producción o manejo de datos estadísticos, presupuestos, datos contables y otros que permitan tener una información confiable y de esta manera acorde con la información se procede a la toma de decisiones en una organización con el fin de velar por los intereses de la misma, los límites hacen relación a una condición en la que algo no se puede exceder ya sea en su punto máximo o mínimo dependiendo del tipo de medición, considero que es muy útil específicamente en mediciones muy precisas en campos especiales como la química en donde se manejan unos datos muy exactos y en unas cantidades mínimas o máximas que deben ser medidas o aplicadas con el fin de lograr la creación de algunos medicamentos o sustancias que están conformadas por diferentes componentes cada uno de ellos con una medida con el fin de no exceder o reducir los efectos del mismo. En nuestra vida diaria también aplica lo relacionado a límites en relación a la medición de gastos en nuestra manutención a diario, semanal, mes a mes con el fin de llevar un control y no exceder en algunos gastos y se impacte significativamente el presupuesto que se tenga destinado para tal fin. http://www.hiru.eus/es/matematicas/limite-de-una-funcion

Estudiante 3 Luis Alfonso Lavado Fase número 1. 1 𝑙𝑖𝑚  𝑥→1

𝑥 2 + 3𝑥 − 5 𝑥−1

Se aplica la definición de límite para mirar el grado de indeterminación 𝑙𝑖𝑚  𝑥→1

𝑥 2 + 3𝑥 − 5 1 + 3 − 5 1 = =− 𝑥−1 1−1 0

Como el polinomio cuadrático no se puede reducir, se utiliza la definición de límite como producto. Quedando que: 𝑙𝑖𝑚 (𝑥 2 + 3𝑥 − 5) ∗ (𝑙𝑖𝑚  𝑥→1

𝑥→1

1 ) 𝑥−1

Aplicando la definición de límite en el primer intervalo nos queda que: 𝑙𝑖𝑚 (𝑥 2 + 3𝑥 − 5) = −1 𝑥→1

Para el otro limite se tiene que 𝑙𝑖𝑚− 

𝑥→1

1 = −∞ 𝑥−1

Finalmente se tiene que: 𝑙𝑖𝑚 (𝑥 2 + 3𝑥 − 5)/(x-1) = −1 ∗ (−∞) = ∞ 𝑥→1

2 𝑙𝑖𝑚 

𝑥→2 𝑥 2

𝑥−2 +𝑥−6

Al aplicar el concepto de limite se encuentra una indeterminación 𝑙𝑖𝑚 

𝑥→2 22

2−2 0 = +2−6 0

Se resuelve la indeterminación factorizando el denaminador 𝑙𝑖𝑚  𝑥→2

𝑥−2 (𝑥 − 2)(𝑥 + 3)

Se eliminan los términos semejantes 𝑙𝑖𝑚  𝑥→2

1 𝑥+3

Aplicamos la definición de limite 𝑙𝑖𝑚  𝑥→2

1 1 1 = = 𝑥+3 3+2 5

3 𝑙𝑖𝑚  

𝑥→∞

2𝑥 + 3 3𝑥 + 1

Hay indeterminación 𝑙𝑖𝑚  

𝑥→∞

2𝑥 + 3 = ∞/∞ 3𝑥 + 1

Ahora dividimos el polinomio en x 2𝑥 3 3 +𝑥 2+ 2𝑥 + 3 𝑥 ∞ 𝑙𝑖𝑚   = 𝑙𝑖𝑚   = = 2/3 1 1 𝑥→∞ 3𝑥 + 1 𝑥→∞ 3𝑥 + 3 + 𝑥 𝑥 ∞

4 𝑙𝑖𝑚 𝑠𝑒𝑛(5𝑥) 𝑥→0

Se puede utilizar la definición de limite directamente 𝑙𝑖𝑚  𝑠𝑒𝑛(5𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(5 ∗ 0) = 𝑠𝑒𝑛(0) = 0 𝑥→0

Fase número 2.

Ilustración 4

4𝑎𝑥 − 3, 𝑠𝑖 𝑥 > −3 −3𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < −3 Lo primero que se hace es igualar la función a trozos. 4𝑎𝑥 − 3 = −3𝑥 Ahora se reemplaza x por menos tres 4𝑎(−3) − 3 = −3(−3) −12𝑎 − 3 = 9 −12𝑎 = 9 + 3 −12𝑎 = 12 𝑎 = −1 Fase número 3. Podemos evidenciar que de acuerdo al desarrollo de la actividad de análisis de límites y continuidad en el campo de acción de acuerdo a la ingeniería es importante ya que este representa conceptos de razonamiento matemático que conllevan a aproximaciones hacia un punto fijo, lo que nos permite crear parámetros de acuerdo a la función o sucesión demostrando valores que se derivan del punto fijo asegurando si el límite existe o si presenta continuidad.

Ahora que tenemos todas las herramientas conceptuales en nuestras manos, podemos empezar a divertirnos encontrando límites de diversas funciones. En los límites, una indeterminación indica que un límite tal como está presentado no es válido. Esto no significa que no exista dicho límite, sino que es necesario realizar operaciones adicionales para poder determinarlo. En esta secuencia se pretende introducir las propiedades de límites de una función, cuando la variable independiente tiende a infinito o a algún valor numérico, al implementar un problema que caracterice tal situación por otra parte Los límites trigonométricos se requiere tener la habilidad en su manipulación algebraica y tener conocimiento de las identidades trigonométricas. Cada una de estas temáticas cumplen una función fundamental a la hora de desarrollar cada tema que se indique. Para finalizar, también es importante cada uno de los puntos como las operaciones adicionales debemos tener en cuenta es importante tener en cuentas los conceptos de razonamientos para obtener buenos resultados en nuestra ingeniería de acuerdo con lo que vamos a estudiar. De acuerdo con lo que hemos visto en los límites una indeterminación indica que un límite tal como está presentado no es valió cada cosa que hay, también debemos tener en cuenta y saber manipular la algebraica y la trigonometría y saber cada ejercicio cada cosa tiene una función debemos tener eso presente, pero pues también debemos manipular cada uno de las funciones de las derivadas de cada función

Estudiante 4 Betsy Yolima Fase 1 3 𝑙𝑖𝑚  ( + 1) 𝑥→3 𝑥 Como no hay indeterminación se emplea directamente la definición de límite 3 𝑙𝑖𝑚  ( + 1) = (1 + 1) = 2 𝑥→3 𝑥

2 Se presenta indeterminación al evaluar el limite

𝑙𝑖𝑚  𝑥→2

(𝑥 − 2)2 𝑥2 − 4

Se presenta indeterminación al evaluar el limite 𝑙𝑖𝑚  𝑥→2

(𝑥 − 2)2 (2 − 2)2 = = 0/0 𝑥2 − 4 4−4

Factorizando 𝑙𝑖𝑚  𝑥→2

(𝑥 − 2)(𝑥 − 2) (𝑥 − 2)(𝑥 + 2)

Eliminando términos semejantes 𝑙𝑖𝑚  𝑥→2

𝑙𝑖𝑚  𝑥→2

𝑥−2 𝑥+2

𝑥−2 2−2 = =0 𝑥+2 2+2

3 Límites al infinito 𝑙𝑖𝑚  

𝑥→∞

5𝑥 2 + 3𝑥 + 1 2𝑥 2 − 4𝑥 − 5

Al reemplazar o evaluar directamente el limite se presenta indeterminación de tipo. ∞ ∞ Buscamos eliminar esta indeterminación. Dividimos cada uno de los términos en 𝑥 2

5𝑥 2⁄ + 3𝑥⁄ + 1⁄ 5𝑥 2⁄ + 3𝑥⁄ + 1⁄ 2 2 2 𝑥 𝑥 𝑥 = 𝑥2 𝑥2 𝑥2 = 5 + 0 + 0 = 5 𝑙𝑖𝑚   2 2 5 𝑥→∞ 2𝑥 2−0−0 2 2𝑥 ⁄ − 4𝑥⁄ − 5 ⁄𝑥 2 − 4𝑥⁄𝑥 2 − 2 𝑥2 𝑥2 𝑥2 𝑥

4 Función de un límite 𝑙𝑖𝑚 6𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 1) 𝑥→1

Aplicamos directamente el límite ya que no se presenta ninguna inconsistencia matemática.

𝑙𝑖𝑚 6 𝑐𝑜𝑠(1 − 1) = 6 ∗ 1 = 6 𝑥→1

Fase 2

Ilustración 5

𝑓(𝑥) = {

𝑎𝑥 2 − 2, 𝑥 > −2 2𝑥, 𝑥 < −2

Se igualan las dos ecuaciones 2𝑥 = 𝑎𝑥 2 − 2 Asignamos a x el valor de menos dos 2(−2) = 4𝑎 − 2

−4 + 2 = 4𝑎 −2 = 4𝑎 −

2 =𝑎 4

Fase 3 En el ámbito los limites, son herramientas o métodos matemáticos que nos ayudan a estandarizar procesos lógicas de comportamientos y de optimizar los mismos , es decir, nos ayudan a describir con exactitud cómo va aumentando o disminuyendo un fenómeno cotidiano, para mi caso, me sirve de utilidad en la programación de algoritmos que midan la cantidad de personas que ingresan a una empresa, cuál debería ser su proyectado al final de mes y con base en las diferencias en los registros de entrada buscar alternativas o soluciones a la cantidad de personas que no ingresen en ese mes o que entraron de más. A lo largo de este proceso de aprendiza considero q el tema de los limites me aporta un conocimiento útil para mi preparación. Los limites son un concepto que se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros. Si bien, el concepto de límite parece intuitivamente relacionado con el concepto de distancia, en un espacio euclídeo, es la clase de conjuntos abiertos inducidos por dicha métrica, lo que permite definir rigurosamente la noción de límite. Entonces como ya sabemos los limites son muy importantes porque nos ayuda a definir los conceptos fundamentales, esta también nos ayuda a estandarizar Los limites como en el campo de la ingeniería ayuda a conocer las reacciones de concentración como son los reactivos limites pero va más allá que solo eso, principalmente se usa los limites en el campo laboral aplicándolos para aumentar los ingresos tener una estabilidad económica y tener también un reporte diario de todo lo que se emplea. En cuanto a la continuidad se dice que es aplicada para graficar tiempo, temperaturas, contenidos y medidas.

Estudiante 5 Víctor Alfonso Albarracín Principio de sustitución 𝑙𝑖𝑚(3𝑥 − 7) = 3(3) − 7 = 9 − 7 = 2 𝑥→3



Forma indeterminada 𝑙𝑖𝑚 √𝑣 + 1 − 2 𝑣→3 𝑣−3 Hallando este límite por medio de una tabla V Y

2,999 0,25

2,991 0,25

2,9992 0,25

3,0001 0,2499

3,0005 0,2499

Vemos que el valor de V cuando se aproxima a 3 por izquierda y por derecha es ≈ 0,25 = ¼ por lo tanto el límite: 1 𝑙𝑖𝑚 √𝑣 + 1 − 2 = 𝑉→3 4 𝑣−3

Limite al infinito 𝑙𝑖𝑚 √3𝑥 + 2 − 𝑥

𝑥→∞

Como se tiene una diferencia y al empezar un valor x ≥ 0 el minuendo es menor que el sustraendo, es decir su diferencia es negativa. Por lo tanto cuando x= ∞ entonces su límite es -∞ 𝑙𝑖𝑚 √3𝑥 + 2 − 𝑥 = −∞

𝑥→∞

Límite de funciones trigonométricas 𝑙𝑖𝑚 𝑠𝑒𝑛(5𝑥)𝑐𝑜𝑠 (2𝑥) 𝑥→0

𝑠𝑒𝑛(5 ∗ 0) 𝑐𝑜𝑠(2 ∗ 0) 𝑠𝑒𝑛(0)𝑐0𝑠(0)

0∗1 0

Función a trozos geogebra 𝑓(𝑥) = {𝑎𝑥 2 + 2 𝑠𝑖 𝑥 > −1 3𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < −1 ¿a? ,

a€Ɽ

Se construyen muchas familias de funciones cuadráticas Limite por la izquierda 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = −3

𝑥→−1

Pero por la derecha puede variar por lo tanto no existe el límite de f(x) cuando x=-1 (Rojas, 2018)

Bibliografía goyeneche, J. (10 de Febrero de 2018). Ingeniero civil. (V. albarracin, Entrevistador) Leithold, L. (1992). El Cálculo con Geometría Analítica. México: Editorial Harla. Pérez, J. L., & Mercado, N. (s.f.). Notas para un curso de Cálculo Diferencial. Mexico: Mcgraw Hill. Rojas, J. L. (3 de abril de 2018). Licenciado en matematicas . (V. Albarracin, Entrevistador)