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• Jose Salas

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TABLA DE CONTENIDO UNIDAD I: NUMEROS REALES

Números reales Algunos números irracionales importantes Intervalos Racionalización Relaciones Concepto de Función

UNIDAD II: FUNCIONES, ECUACIONES LINEALES Y CUADRATICAS

Función lineal Función Exponencial y Logarítmica Sistemas de Ecuaciones Lineales Sistemas de Ecuaciones Cuadráticas

UNIDAD III: NUMEROS COMPLEJOS, SUCESIONES Y PROGRESIONES

Números Imaginarios y Complejos Operaciones entre números imaginarios Operaciones entre números complejos

GRADO NOVENO Página 2 de 149 Sucesiones Progresiones

Unidad IV: GEOMETRIA Y NOCIONES DE TRIGONOMETRIA

Geometría Áreas de Figuras Planas Volúmenes Geométricos Nociones de Trigonometría Teorema de Thales Razones Trigonométricas

GRADO NOVENO Página 3 de 149

PENSAMIENTO NUMERICO Y VARACIONAL

DESEMPEÑO  Utiliza números reales en sus diferentes representaciones y en diversos contextos y construye expresiones algebraicas equivalentes a una expresión dada. INDICADORES DE DESEMPEÑO



Utilizo

los

números

reales

en

sus

diferentes

representaciones e identifico los números irracionales. 

Interpreta el concepto de intervalo y resuelve ecuaciones con

valor

absoluto

planteando

expresiones

representativas. 

Identifica una relación y conoce las características principales de una función.

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APARICION DE LOS NUMEROS REALES Desde los tiempos remotos los humanos para contar objetos utilizaron los números. Estos son los números naturales que se representan por la letra N La cantidad de números naturales es infinita. El termino numero naturales aparece por primera vez en 1763 en the method of increments de Willian Emerson. Mucho más tarde, probablemente como consecuencia de las relaciones comerciales y los préstamos, se introdujeron el cero y los números negativos, que junto con el conjunto de los números naturales formaron los enteros que se simboliza Z, la denominación proviene de ZAHL que en alemán significa “número” El cero lo inventaron los indios (India) por el año 500, los indios denominaban a este símbolo sunya que quiere decir “vacio”. Los Árabes los árabes que tenían relaciones comerciales con la india, aprendieron la numeración india y la divulgaron en occidente. Los árabes lo denominaron cefer que en su idioma quiere decir “vacio” Esta palabra dio origen al castellano cero y cifra. La introducción de los números negativos es muy reciente. La mayoría de los matemáticos de los siglos XVI y XVII no aceptaban los números negativos. Consideraban absurdo restar 12 de 0, y cuando una ecuación daba raíces negativas se consideraba esa solución como imposible. Un argumento de peso en contra de los números negativos se deriva de la proporción (¿Cómo va ser un menor a un mayor como un mayor a un menor?). La cantidad de números es infinita y hay misma cantidad de números naturales que de números enteros. Posteriormente, y también probablemente debido a las relaciones comerciales, aparecieron los números que representan trozos de un todo que se ha dividido en partes iguales. Estos números se llaman Racionales y se representan por Q. La cantidad de números irracionales es infinita y hay la misma cantidad de números naturales que de números racionales. Los números racionales nos producen problemas porque no los “vemos” como un numero, sino como un numero dividido por otro. Los únicos números que había en los tiempos de Pitágoras eran los numero naturales. Lo que hoy conocemos como números fraccionarios era considerado como una proporción entre números. El problema que se les presento a los pitagóricos cuando intentaron medir la diagonal de un cuadrado de lado 1. Se dieron cuenta que no se podían expresar con los números que tenían. Era una longitud inconmensurable. Se dice que prohibieron rebelar este descubrimiento a sus discípulos, porque ellos defendían que todo se podía reducir a un número. El primer número no racional que se descubrió fue y el segundo . Estos números se llaman irracionales algebraicos, porque se pueden obtener del algebra, por ejemplo se deduce de x2 = 2 y junto con los números trascendentes, los que no se pueden obtener del algebra, por ejemplo

y el numero

GRADO NOVENO Página 5 de 149 e forman los números reales, se representan por R , la cantidad de números reales es infinita pero hay más números reales que naturales. El termino numero reales fue utilizado por Descartes en 1637. La resolución de ecuaciones del tipo x 2 + 2 = 0, planteo el mismo problema el mismo problemas que se les presento a los pitagóricos, no existe ningún numero, de los que hemos visto, que cumplan con esta condición, por lo que fue necesario plantear otro tipo de números que llamamos Complejos y se representa por C.

TENIENDO COMO BASE EL TEXTO ANTERIOR CONTESTAR LAS SIGUIENTES PREGUNTAS 1. Como se crearon los números enteros, cual es su símbolo y de donde proviene 2. 3. 4.

el símbolo? Los indios como denominaban el cero? ¿Qué significa? Que palabra dio origen al castellano cero y cifra? ¿Por quienes? Los matemáticos de los siglos XVI y XVII cuando consideraban una solución como imposible? Que son los números racionales y como se simbolizan? Cuáles fueron los primeros números irracionales? Que son los números trascendentes? Quien uso el termino números reales y en qué fecha? Porqué se crearon los números complejos y como se representan. Cuantas proposiciones tiene la lectura?

5. 6. 7. 8. 9. 10. CON LA AYUDA DEL DOCENTE REALIZA EL MENTEFACTO SOBRE NUMEROS REALES Y REPRESENTALOS EN UN DIAGRAMA DE VENN.

ALGUNOS NUMEROS IRRACIONALES IMPORTANTES Dos magnitudes son conmensurables si la razón entre sus medidas se pueden expresar como un numero racional. En cambio son magnitudes inconmensurables aquellas que no se pueden expresar como el cociente de dos números enteros. En la práctica, siempre podemos comparar dos magnitudes y encontrar una razón exacta o aproximada entre sus medidas. Pero siendo riesgoso no siempre es posible. Además de las raíces cuadradas de números que no son cuadrados perfectos, hay otros números irracionales de gran importancia como son: el número , que corresponde a la razón entre la medida de la circunferencia y el diámetro; también el numero áureo y el numero e , bese de los logaritmos neperianos. Numero Uno de los problemas clásicos de la antigüedad consistía en tratar cuadrado cuya área fuera igual a la de un círculo. Este problema se cuadratura de un círculo. Este problema rondo en las cabezas de durante más de 20 siglos sin encontrar respuesta alguna. Pero resolverlo contribuyeron a enriquecer la matemáticas.

de encontrar un conocía como la los matemáticos los intentos por

GRADO NOVENO Página 6 de 149 La respuesta a este problema está relacionado con el número conocido griega representa la razón entre el perímetro de la circunferencia y el diámetro

=

Es más conocida la siguiente expresión: Perímetro = 2 r donde r es el radio de la circunferencia. Para hallar el valor de

consideramos una secuencia

de polígonos regulares inscritos en una circunferencia.

TRIANGULO Y HEXÁGONO

CUADRADO Y OCTÁGONO

. Esta

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PENTÁGONO

HEPTÁGONO

NONÁGONO

DECÁGONO

Entre mayor sea el numero de lados del polígono inscrito, su perímetro es más próximo al de la circunferencia. Podría considerarse la circunferencia como un polígono con infinito numero de lados. La siguiente tabla muestra los valores aproximados de la razón entre el perímetro y el doble del radio de valor uno o diámetro. Numero de lados 3 4 5 6 8 Perímetro Perímetro sobre el doble del radio

5,19 5,595

5,65 2,825

5,87 2,935

6 3,0

6,12 3,06

El valor aproximado del número Si continuamos el proceso obtendríamos un valor de

cada vez mas preciso,

lamentablemente este procedimiento no tiene fin, de modo que no sabremos cuales el valor exacto de sin embargo consideremos con una buena aproximación el numero

GRADO NOVENO Página 8 de 149 = 3,1416 El valor de e: Aunque existen infinidades de número irracionales, el numero conocido como e es muy importante en la matemáticas. Su descubrimiento fue posterior al número . Se escogió la letra e en memoria del matemático suizo Leonard Euler (1707 - 1783) y se conoce como “numero Euler” . La demostración de su irracionalidad fue dada en 1873 por Charles Hermite. Hay una formula sencilla para calcular su valor: e= En donde el símbolo

Se conoce como factorial y representa el producto del numero

entero por su antecesor hasta el uno.

Ejemplo: 3 = 3x2x1 = 6 6

= 6x5x4x3x2x1 = 720

otra manera de representar el numero e es: e = (1 + )n cuando n es muy grande Veamos la siguiente tabla: n 1 2 e = (1 + 2 2,25

3 2,3 7

4 2,4 4

8 2,56

10 2,59

100 2,70

1000 2,716 9

10000 2,7181

)n El numero e tiene muchas aplicaciones en el campo del cálculo y el análisis. Uno de sus usos se da en los logaritmos. Los logaritmos más utilizados tiene base 10 (logaritmos vulgares) y base e (logaritmos naturales). Los logaritmos naturales o neperianos son muy utilizados y su notación es Ln que es loge es decir, logaritmo en base e.

Número áureo El número áureo o de oro (también llamado número plateado, razón extrema y media,1 razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) representado por la letra griega φ (fi) (en minúscula) o Φ (fi) (en mayúscula), en honor al escultor griego Fidias, es un número irracional:

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Se trata de un número algebraico irracional (decimal infinito no periódico) que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción entre segmentos de rectas. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza. Puede hallarse en elementos arquitecturales, en las nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, el caparazón de un caracol, etc. Asimismo, se atribuye un carácter estético especial a los objetos que siguen la razón áurea, así como una importancia mística. A lo largo de la historia, se le ha atribuido importancia en diversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido objetables para las matemáticas y la arqueología.

1. Escribe en cada casilla a cual de los conjuntos numéricos pertenecen cada número. N Z Q I C -5

0

2. a. b. c. d. e. f. 3. a. b. 4.

Resuelve cada una de las ecuaciones y di a que conjunto numérico pertenece. x+1=3 8x = 12 x+4=2 x2 = 2 3x = 12 x2 = -1 Consulta: ¿Qué característica tiene un número irracional? Escribe tres numero irracionales con una aproximación de 10 cifras decimales? Completa la siguiente tabla que relaciona radio y perímetro. (P=2

Radio (cm) Perímetro

3,6

5,8

9,3

9,4

r) 12,5

17,8

24,9

35,1

89

GRADO NOVENO Página 10 de 149 5. Halla el valor de e para n = 4, para n =6 y n = 7 6. Hallar los siguientes números factoriales a. 5 b. 4 c. 10 d. 8

e. 0

7. Consulta cual es el número aureo y de donde proviene.

INTERVALOS Definición: se llama intervalo en la Recta Real, a todo subconjunto de la misma comprendido entre dos puntos fijos llamados extremos. Ejemplo de Intervalo: I   a , b  , donde a es el extremo inferior del intervalo y b es el

extremo superior del mismo, además a  b . OBSERVACIONES que conviene recordar: a  b se lee “a menor que b”, es una desigualdad estricta. b  a se lee “b mayor que a”, es una desigualdad estricta. Como puedes observar, lo mismo se puede leer de dos formas distintas, ya que si a es menor que b entonces es que b es mayor que a, lo cual nos recuerda que toda desigualdad, a < b, al igual que toda igualdad, en matemáticas se puede leer en dos sentidos, de izquierda a derecha, “a < b, a menor que b” o de derecha a izquierda, “b > a, b mayor que a”. En cualquier caso el vértice del ángulo siempre apunta al menor de los números. a  b se lee “a menor o igual que b” y si cambiamos el sentido de la lectura leeríamos b  a , “b mayor o igual que a”, son desigualdades no estrictas. Como puedes observar, el vértice del ángulo sigue apuntando al menor de los números. Si a  b y b  a , entonces no queda más remedio que concluir que a = b.

Cuando a y b no son iguales ponemos a  b . Propiedad transitiva, si a  b y b  c , entonces a  c , dicho lo mismo de otro modo, si a  b y b  c  a  c, y además a  b  c Si a  b y c  d, entonces  a  c  b  d . Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por un mismo número, positivo, la desigualdad no varía si a  b y c  0  a  c  b  c Si se multiplican o dividen los dos miembros de una desigualdad por un mismo número negativo, cambia el sentido de la desigualdad, así, si a  b y c  0  a c  bc . Si dos números, cualesquiera, cumplen una determinada desigualdad, sus 1 1 ab  a b. inversos cumplen la desigualdad contraria, así, si

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Clases de intervalos:  Abierto: es aquel en el que los extremos no forman parte del mismo, es decir, todos los puntos de la recta comprendidos entre los extremos forman parte del intervalo, salvo los propios extremos. En otras palabras I   a , b    x   / a  x  b , observa que se trata de desigualdades estrictas.

También se expresa en ocasiones como I   a , b . a

b

Gráficamente:

 Cerrado: es aquel en el que los extremos si forman parte del mismo, es decir, todos los puntos de la recta comprendidos entre los extremos, incluidos éstos, forman parte del intervalo. En otras palabras I   a , b   x   / a  x  b , observa que ahora no se trata de desigualdades estrictas. a b

Gráficamente:

 Semiabierto: es aquel en el que solo uno de los extremos forma parte del mismo, es decir, todos los puntos de la recta comprendidos entre los extremos, incluido uno de éstos, forman parte del intervalo. Semiabierto por la derecha, o semicerrado por la izquierda, el extremo superior no forma parte del intervalo, pero el inferior si, en otras palabras I   a , b    x   / a  x  b , observa que el extremo que queda fuera del intervalo va asociado a una desigualdad estricta. También se expresa en ocasiones como I   a , b . Semiabierto por la izquierda, o semicerrado por la derecha, el extremo inferior no forma parte del intervalo, pero el superior si, en otras palabras I   a , b   x   / a  x  b , observa que el extremo que queda fuera del intervalo va asociado a una desigualdad estricta.

También se expresa en ocasiones como I   a , b  . ab

ab

Semiabierto por la izquierda

Semiabierto por la derecha

Gráficamente: Valor absoluto de un número:

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Definición: una definición poco acertada sería la de que es el número sin el signo, pero si queremos ser precisos deberíamos decir que es el propio número, si éste es positivo, o el opuesto del número, si éste es negativo.

Así, tendríamos que:

 x si x  0  x  0, x  .   x si x  0

x 

Otra definición alternativa sería

1)

, tomando solo el signo positivo de la raíz.

Resolver las siguientes ecuaciones en valor absoluto: a)

x 3  7

b)

x 5 8 d) 2

h) 2)

x  x2

2x  5  9

c)

2 x  19 2  5 3 e)

x 2  5x  6

i)

3x  4  11

3x  5 6 f) x  3

x 2  5x  6

l)

12 x  5  22

Escribir las siguientes desigualdades mediante intervalos abiertos, cerrados o semiabiertos, indicando el diámetro o la anchura del mismo en cada caso:

3 2

7 x6 3 b)

3 3 x 4 8

2 5 x 2 e) 5

f)

g) 7  x  

h)  5  x  15

1 9 x 7 i) 7

4 8 x 9 j) 5

k)

2 x 

1 4 x 5 m) 4

1 2 x 5 n) 3

a) d)

  x  

c)  11  x  11

1 3

4 x 

2 5 x 6 l) 3

2 7

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3)

Escribir como una desigualdad en valor absoluto los siguientes intervalos: a)  3  x  7

b) I   2,12 

c) 0  x  6

d) I    4,2

e)  3  x  5

f) 5  x  5

g) 3  x  12

h)  12  x  1

i) I    4,12

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RACIONALIZACIÓN DE RADICALES Cuando tenemos fracciones con radicales en el denominador conviene obtener fracciones equivalentes pero que no tengan radicales en el denominador. A este proceso es a lo que se llama racionalización de radicales de los denominadores. Según el tipo de radical o la forma de la expresión que aparece en el denominador, el proceso es diferente. Se pueden dar varios casos: 1 Si el denominador contiene un solo término formado por una sola raíz cuadrada. En este caso basta multiplicar numerador y denominador por la misma raíz cuadrada. 5 Por ejemplo, si queremos racionalizar el denominador de la fracción multiplicaremos numerador y denominador por 2

2,

5 5 2 5 2 5 2    2 2 2. 2 22 2 3 Otro ejemplo. Racionalizar 18 Si antes de racionalizar extraemos los factores que se puedan en el radical del denominador, tenemos:

2 3 2 3 2 3   18 2.32 3 2 Ahora basta multiplicar numerador y denominador por denominador:

2 para eliminar la raíz del

2 3 2 3. 2 2 6 6    3.2 3 3 2 3 2 2 También se puede directamente multiplicar numerador y denominador por 2 3 2 3. 18 2 54 54    18 9 18 18. 18 Y ahora extraemos factores de la raíz del numerador y simplificamos.

18

GRADO NOVENO Página 15 de 149 54 2.33 3 2.3 6    9 9 9 3 , como vemos da el mismo resultado.

2 Si el denominador de la fracción contiene dos términos en uno de los cuales o en los dos hay una raíz cuadrada, se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador. O sea si es una suma se multiplica por la resta, y viceversa. 7 Por ejemplo 5  3 , multiplicamos numerador y denominador por 5  3

7  5 3

7





5 3

5 3





5 3



En el denominador siempre va a aparecer un producto de una suma por una diferencia,  a  b   a  b   a2  b2 o sea una expresión del tipo 7  5 3

7





5 3

5 3





5

 3  5   3 

7



5 3

2

2



7



5 3 53

  7

5 3 2



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Introducción y relaciones y funciones entre conjuntos Siempre hemos utilizado en nuestro lenguaje diario relaciones entre objetos, personas, números, tales como: ser del mismo color que, ser padres de, ser menor que, etc. Hablando en términos generales, en todo estudio y especialmente en la matemática se establece relaciones entre distintos entes, lo cual da la oportunidad de descubrir y analizar lo que tienen en común o diferente. Como en la matemática una de las funciones fundamentales es la relación, entonces nos dedicaremos en esa unidad a los estudios de las relaciones entre conjuntos y las funciones en particular. Pareja ordenada o par ordenado 1. un par es un conjunto que tiene dos elementos; por ejemplo; ( a , b ) es un par, como se sabe los elementos del conjunto 2. un par de elementos a, b de los cuales a se designa como el primer elemento y b como el segundo se llama un par ordenado y se denota (a,b) . 3.

dos pares ordenados ( a , b ) y ( c , d ) son iguales si solamente si tienen iguales sus primeros elementos, es decir: si solamente si a = c y b = d; por ejemplo: ( 3 , 4 ) = ( 3 , 4 ); ( 2 , 7 ) ≠ ( 7 , 2 ) y ( 5 , 9 )= ( 5, 9); mientras que ( 1, x ) = ( y , 2 ) si solamente si 1 = y ,e , x= 2.

4. En una coordenada o pareja no se cumple la ley conmutativa por ejemplo (a,b) ≠ (b,a) , ya representan un punto diferente en el plano. 5. otra forma de representar partes ordenadas en un plano cartesiano, así: -

se escogen dos rectas perpendiculares. Sobre la horizontal se sitúa el primer elemento y sobre la vertical sitúa el segundo elemento. Se trazan rectas paralelas a las rectas dadas por los puntos indicados, la intersección de estas rectas representa el par. Así, la representación del par ( a , b ) en el primer cuadrante es:

GRADO NOVENO Página 17 de 149 b

(a,b)

a

PRODUCTO CARTESIANO 6. se llama producto cartesiano del conjunto A por el conjunto B, el conjunto cuyos elementos son los pares ordenados de primera / componente en A y segundo componente en B 7. el producto cartesiano de dos conjuntos (en ese orden ) se indica por A X B y simbólicamente se escribe : A X B = { a , b } / a  A ^ b  B} 8. ejemplo1 = Realisa el producto A x B si; A = { 1 , 2, 3 } y B ={1, 4 } AXB={(1,1),(1 ,4),(2,1),(2,4),(3,1),(3,4)}

RELACIONES y PRODUCTO CARTESIANO 9. Una relación R de A en B es un subconjunto del producto cartesiano AXB.

GRADO NOVENO Página 18 de 149 10. el conjunto A se llama conjunto de partida de la relación o fuente y el conjunto B se llama conjunto de llegada de la relación o meta. 11. el dominio de R es el conjunto conformado por los primeros elementos de los pares ordenados que están en R y el recorrido de R es el conjunto forma do por los segundos elemento de los pares que están en R. 12. EJEMPLO1: Sean A = ( 2 , 3 ) y B = ( 1 , 2 ) A X B = { (2, 1), ( 2,2), (3,1),(3,2)} Hallar todas las relaciones que se pueden formar de A en B . Solución: lo que se pide es hallar todos los subconjuntos de A X B.como A X B tiene 4 elementos, entonces debe tener 24 = 16 subconjuntos. En la siguiente tabla se representa a estos subconjuntos.

Subconjunto s con 0 elementos

{

}

Subconjunto s con 1 elemento

{(2,1)} {(2,2)} {(3,1)} {(3,2)}

Subconjunto s con 2 elementos

{(2,1),(2,2)} {(2,1),(3,1)} {(2,1)(3,2)} {(2,2),(3,2)} {(3,1),(3,2)}

Subconjuntos con 3 elementos {(2,1),(2,2), (3,1)} {(2,1),(2,2), (3,2)} {(2,1),(3,1), (3,2)} {(2,2),(3,1), (3,2)}

Subconjunto con 4 elemento

{(2,1),(2,2),(3,1), (3,2)}

Cada uno de estos subconjuntos es una relación de A en B. el dominio de cada una de estas relaciones es A ( los números que aparecen en negrilla en cada pareja ordenada) y el recorrido es B.

GRADO NOVENO Página 19 de 149 Sean: A= { 1,2,3,4,5,6} ; B={ 2,4,6,8} ; C={ 1,3,5,7 } ; D={0,2,5 } F= { 2,3,5}; G={ 4,5,6,7,8} ; H={ 3,5,7 } 1. Hallar las relaciones A X B , A X C , A X D , A X A y en ella identificar con color los elementos del dominio. 2. También determine los siguientes productos cartesianos: 1. A X F= 2. A X G= 3. C X D= 4. B X D= 5. D X D= 6. C X G= 7. A X H= 8. G X H= 9. D X B= 10. F X H=

En la relación que cumple las siguientes condiciones: 1. todo elemento de A TIENE UNA imagen de B 2. cada elemento de A tiene UNA Y SOLO una imagen de B

GRADO NOVENO Página 20 de 149 una función f de x se simboliza así: f. x

Y

Y = F (x)

para determinar una función de deben determinar: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

copiar la función dada darla valor a la variable x los que usted quiera operar los diferentes números junto a las operaciones indicadas copiarlo en una tabla llamada fabulación formar los puntos colocarlos en el plano cartesiano finalmente unir tales puntos y así formar la grafica

ACONTINUACION REPITA LOS PASOS ANTERIORMENTE INDICADOS EN LAS SIGUIENTES FUNCIONES: 1. Y = 5X +6 X Y

-2

-1

0

1

2

-1

0

1

2

-1

0

1

2

-1

0

1

2

-1

0

1

2

2. Y = 4X – 9 X Y

-2 3. Y = 5X + 3

X Y

-2 4. Y=-5x -5

X Y

-2 5. Y = -4x +6

X Y

-2

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Graficar todas las funcione en el siguiente plano cartesiano, con la ayuda de una regla divida el plano cartesiano en centímetros.

6 – Que nombre recibe este tipo de funciones?

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DESEMPEÑO Identificar las características de una función en el conjunto de los números reales y resolver sistemas lineales y cuadráticos.

INDICADORES DE DESEMPEÑO  Identificar una función lineal, exponencial y logarítmica graficarla en el plano cartesiano.

 Identifico diferentes métodos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales.

 Identifica la ecuación cuadrática inmersa en situaciones dadas y las resuelve.

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Las funciones que se representan mediante rectas son las lineales. Su expresión general es:

y  mx  b

Donde m es la pendiente de la recta, es decir, un valor que indica la variación de la y por cada unidad que aumenta la x. La representación gráfica de la función f, es una recta cuya pendiente es el coeficiente de x e intercepta al eje y en el punto b También se representan mediante rectas las funciones constantes, y = k. Son funciones lineales con pendiente cero. Un conjunto de ecuaciones lineales se llama “Sistema de Ecuaciones Lineales”; donde están los sistemas de 2x2 los cuales son de dos ecuaciones y dos incógnitas o los sistemas de ecuaciones de 3x3 que son los de tres ecuaciones y tres incógnitas. Pendiente de una recta (m). La pendiente de una recta que pasa por el origen P  (0,0) y cualquier otro punto del plano, se puede calcular aplicando la definición de pendiente para dichos puntos.

P   0,0 , la pendiente será EJEMPLO 1. si la recta pasa por P1   3,4 y por el origen 0 m

y2  y1 4  0 4   x2  x1 3  0 3

Significa que por cada tres unidades de avance vertical, la recta avanza horizontalmente cuatro unidades. La pendiente de una recta también se puede expresar en porcentajes. Así, una 3 pendiente de 4 equivale al 75% de pendiente.

GRADO NOVENO Página 24 de 149 EJEMPLO 2. Si la recta pasa por el origen pendiente será: m

P0   0,0 y por el punto P1    2,8 , la

y2  y1 08   4 x2  x1 0  (2)

observa que el valor de la pendiente no depende del cuál punto se tome como coordenadas P2   x2 , y2  y cuál como coordenadas P1   x1 , y1  CONCLUSIONES Si x representa cualquier variable independiente y y representa la variable dependiente y si la relación entre y y x es tal que su representación gráfica es una recta, la ecuación que expresa a y en función de x es: y  mx  b . y  f (x) se lee, y en función de x: f ( x)  mx  b ; y  mx  b . Donde m es la pendiente de la recta y b es el punto de intersección de la recta con el eje y.

1. Representa cada parejas de rectas en un plano de coordenadas cartesianas: a. Y=3x ; Y=3x+2 b. Y=2x+1; Y=2x-2 c. Y=1/3x+3 ; Y=1/3x 2. ¿Cada pareja de rectas tienen la misma pendiente? 3. Dibuja las rectas que pasan por los puntos p1 = (1,2) y p2 = (7,11). a. Dibuja el triangulo rectángulo cuya hipotenusa tiene por extremos los puntos p 1 y p2 b. Traza los catetos determinados por el avance vertical y el avance horizontal de la recta. c. Calcula el valor del avance vertical y del avance horizontal. d. Divide el avance vertical entre el avance horizontal. e. Encuentra el valor de la pendiente.

GRADO NOVENO Página 25 de 149 4. Calcula el valor de las pendientes de las rectas que pasan por el origen y por el punto dado a continuación:

P0   0,0

5. Se compra cierta mercancía a crédito. Se abona el 25% de cuota inicial y el saldo se paga en cuotas del 5% mensual. a. Haz una grafica del porcentaje pagado de la mercancía contra tiempo b. ¿En que punto corta la recta al eje vertical? c. ¿Cual es la pendiente de la recta?

6. De las siguientes gráficas, encuentra la pendiente de cada recta:

GRADO NOVENO Página 26 de 149

Ecuación exponencial Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la incógnita aparece en el exponente. Para resolver una ecuación exponencial vamos a tener en cuenta: 1

2

3

La s pr opie da de s de la s p ote nc ia s . 

a0 = 1 ·



a1 = a







am · a

n

= am+n



am : a

n

= am



(a m ) n = a m

· n

- n

GRADO NOVENO Página 27 de 149 

an · b

n



an

b

= (a · b) n

= (a

n

b)

n

P a ra so lu ci on a ru na e cua ci ó n e xp on e n cia l va mo s a te ne r e n cu e n ta lo s tre s pu n to s an te ri o re s y l as p ro p ie d a de s. E je m plos 1 So lu ci o na r la s si g ui e n te s e cua ci o ne s e xp o ne n ci al e s a.

b.

c.

S oluc i ón a. 22x – 1 = 22 2x – 1 =2 2x = 2 + 1 2x = 3 x=

Aplicando (2) tenemos que Despejando x tenemos

b.

Aplicando la propiedad tenemos

=

aplicando (2) tenemos Eliminando denominadores tenemos

2 (x - 3) = 3 (2x - 1)

realizando el producto indicado

GRADO NOVENO Página 28 de 149 2x – 6 = 6x – 3 2x – 6x = -3 + 6 -4x = 3 x=

agrupando términos semejantes reduciendo términos despejando x

c. Factorizando tenemos

Despejando 2x tenemos 2x = 28 . 2x = 8 2x = 23 x=3

8 = 23 reemplazamos aplicando (2)

1. Solucionar las siguientes ecuaciones exponenciales a.

b.

c.

d.

GRADO NOVENO Página 29 de 149

e. f.

FUNCION EXPONENCIAL. En términos generales, una función es exponencial si se expresa de la forma

f ( x)  a x Siendo a y x reales. La expresión función exponencial se reserva para la inversa de la función logaritmo natural o, dicho en otros términos, para el caso en que a = e. Con esa definición, su dominio es R, pero se puede ampliar al cuerpo de los complejos. Esta función se nota exp: R → R+* Donde e es la base de los logaritmos naturales. y = exp x x = ln y (con y >0) La importancia de las funciones exponenciales en matemática y ciencias radica principalmente de las propiedades de su derivada. Es decir, ex es su propia derivada. Es la única función con esa propiedad (sin tomar en cuenta la multiplicación de la función exponencial por una constante). Otras formas de expresar lo anterior: La pendiente del gráfico en cualquier punto es la altura de la función en ese punto. La razón de aumento de la función en x es igual al valor de la función en x. La función es solución de la ecuación diferencial y' = y.

Definición formal La función exponencial ex puede ser definida de diversas maneras equivalentes entre sí, como una serie infinita. En particular puede ser definida como una serie de potencias

GRADO NOVENO Página 30 de 149

Ejemplo: Tabular y graficar las siguiente función a. F(x) = 2x

GRADO NOVENO Página 31 de 149

FUNCION LOGARITMICA Se llama función logarítmica a la función real de variable real; La función logarítmica es una aplicación biyectiva definida de R*+ en R : La función logarítmica solo está definida sobre los números positivos. Los números negativos y el cero no tienen logaritmo, la función logarítmica de base a es la recíproca de la función exponencial de base a. Las funciones logarítmicas más usuales son la de base 10 y la de base e = 2’718281... x y Se hallan por medio de la fórmula: a  a  x  y

La func ió n loga r ítm ic a en base a es la func ión in ve r s a de la ex po ne nc ia l en base a.

GRADO NOVENO Página 32 de 149

Propiedades de las funciones logarítmicas Do mi ni o : Re co rrid o : E s co n tin u a . Lo s pu n to s (1 , 0) y (a , 1) pe rte n e ce n a la g rá fi ca . E s i n ye cti va (ninguna imagen tiene más de un original). Cre ci en te si a >1 . De cre cie n te si a0 la curva es creciente. En la naturaleza la función cuadrática esta presente en el movimiento de un cuerpo que se lanza horizontalmente desde cierta altura o desde la superficie formando un ángulo sobre la horizontal.

El vértice de la parábola, que es el punto Cuando a b. las ecuaciones multiplicativas en los enteros no todas tienen solución en este conjunto, fue necesario ampliar a los números racionales para encontrar la solución a las ecuaciones de la forma ax = b. En forma similar al tratar de resolver ecuaciones en los números racionales encontramos que ecuaciones de la forma x 2 = 2, no tiene solución en los racionales porque x = no es un numero racional. Nuestro nuevo conjunto fue el de los números reales. Con la ecuación x2 + 1 = 0 en el conjunto de los números reales sucede algo similar. Las ecuaciones de la forma x2 + a = 0 no tienen solución, cuando a > 0 pues x 2 = -a de donde x = . Como no existe un numero real que al elevarlo al cuadrado no de cómo resultado un numero negativo, es necesario extender el conjunto de los números reales de tal manera que esta ecuación tenga solución. Definimos como i la solución de x2 + 1 = 0 es por lo tanto que x = i De igual manera la solución de la ecuación x 2 + 4 = 0 tiene por solución x = como

=

; entonces

=

2i es un numero imaginario.

OPERACIONES ENTRE NUMEROS IMAGINARIOS Las operaciones entre números imaginarios son las mismas operaciones entre números reales. Adición y sustracción de números imaginarios Los números imaginarios se suman con el procedimiento de reducción de términos semejantes: Ejemplo: Hallar la suma de: a. 10i con 2i b. -19i con 14i

GRADO NOVENO Página 72 de 149 c. 25i con – 48i Solución: a. 10i + 2i = 12i b. -19i + 14i = -5i c. 25i + (-48i) = 25i – 48i = -23i Producto de números imaginarios En la multiplicación de números imaginarios debemos tener en cuenta el producto de potencias de igual base y encontrar los valores de la potencia de i. Las potencias de i son: 1, -1, i, -i i= i2 = i3 = i2 x i = -1 xi =-i i4 = i2xi2 = -1x-1=1 = -1 Primera potencia Segunda potencia Tercera potencia Cuarta potencia Las potencias de i mayores que cuatro toman uno de los valores ya conocidos de las potencias menores o igual que 4. i5 = i4 x i = 1 x i = i Ejemplo Hallar los siguientes productos a. 6i2 x 2i3 b. 12i3 x 4i Solución a. (6x2)(i2 x i3) = 12((-1)(-i)) reemplazamos según la tabla ya vista = 12(-i) = -12i b. (12x4)(i3 x i) = 48i4 = 48(i2 x i2) = 48((-1)(-1)) = 48(1) = 48 La idea es reemplazar la con la ayuda de la tabla, que son los valores ya conocidos. Cociente entre números imaginarios Se aplica el cociente de potencias de igual base y se escribe la potencia de i que resulta según los cuatro valores conocidos. Ejemplo Hallar los siguientes cocientes a. b.

Solución:

a. (8

4)(i4-2) = 2i2 = 2(-1) = -2

c.

GRADO NOVENO Página 73 de 149 b. (12

=

4)(i3-6) = 3i-3

debemos convertir el exponente en positivo.

reemplazando según la tabla i3 = - i

=c. i5-6 = i-1 =

=

Observaciones La suma o diferencia de dos números imaginarios es otro numero imaginario. Siempre y cuando no sean opuestos aditivos. El producto o cociente de números imaginarios puede ser un numero real o un numero imaginario.

1. Hallar la solución de las siguientes ecuaciones expresando las cantidades imaginarias. a. x2 + 1 = 0 b. x2 + 9 = 0 c. 2x2 + 1 = 0 d. 3x2 + 18 = 0 e. x2 + 4 = 0 f. 5x2 + 125 = 0 2. Realizar las siguientes sumas de números imaginarios a. 9i + 12i + 5i b. -15i + 32i – 26i c. 27i + 192i – 3i d. 18i – 43i + 56i e. 17i + 56i+ 19i f. -28i – 54i – 5i – 11i g. -29i + 45i – 18i + 37i h. 79i – 89i – 65i – 120i i. 450i – 325i + 987i – 1050i

GRADO NOVENO Página 74 de 149 3. a. b. c. d. e. f. g. h. i. 4. a. b. c. d. e. 5. a.

Realiza las siguientes multiplicaciones de números imaginarios 7i x 12i2 -5i3 x 4i 100i x 30i 23i x 7i 5i x (4i – 2i) 12i x 13i x (-5i) i x i xi2 3i x (-105i) 325i2 x 12i2 Realizar las siguientes operaciones (-3i + 7i) x (32i + 7i) (-4i – 8i) x (-19i + 16i) (-5i + 12i) x (7i + 9i) (34i + 12i) x (-17i - 21) (34i + 12i) x (-2i -5i) Encuentra el valor el valor de las potencias negativas de i: i-1 b. i-2 c. i-3 d. i-4 e. i-5 f. i-6 NUMEROS COMPLEJOS Un número complejo es una expresión que consta de un número real sumado a un número imaginario. Ejemplos: a. 8 + 12i b. -6 + 7i c. 4 – 9i En general los números complejos son de la forma a + bi donde a y b son números reales e i es el imaginario y el conjunto que los contiene es C. a + bi es un numero complejo y 0 + bi también es un numero complejo. El sumado real del número complejo se llama parte real, y el termino que contiene a la i se llama parte imaginaria.

En el numero 6 + 9i la parte real es 6 y la parte imaginaria es 9i. IGUALDAD DE NUMEROS COMPLEJOS Dos números complejos son iguales si sus respectivas partes reales y partes imaginarias son iguales entre si: a + bi = c + di si y solo si a = c y bi = di Ejemplo Si los números complejos 2m + (5n - 1)i y 4 – 2i son iguales, encontrar el valor de m y n Solución

GRADO NOVENO Página 75 de 149 Por definición las partes reales deben ser iguales entonces 2m = 4 m= =2

Igual con las partes imaginaria 5n – 1 = -2 5n = -2 + 1 5n = -1 n=

CONJUGADO DE UN NUMERO COMPLEJO El conjugado de un número complejo es otro número complejo que tiene igual la parte real pero la parte imaginaria es el opuesto aditivo. El conjugado de a + bi es a – bi y se denota con una raya arriba del numero complejo = a – bi

Ejemplo Hallar el conjugado de los siguientes números complejos a. 12 + 4i b. -6 + 8i c. 13 – 9i d. -8 – 10i Solución: a. = 12 – 4i b.

= -6 – 8i

c.

= 13 + 9i

d.

= -8 + 10i

ORDEN DE LOS NUMEROS COMPLEJOS Para poder establecer un orden en cualquier conjunto debemos estar en capacidad de decidir cuando un número es mayor que otro. Entre dos números complejos, no

GRADO NOVENO Página 76 de 149 podemos decidir cuando un número es mayor, por ello se dice que el conjunto de números complejo no está ordenado.

GRADO NOVENO Página 77 de 149 OPERACIONES CON NUMEROS COMPLEJOS Adición y sustracción con números complejos La adición y la sustracción con números complejos se realiza de idéntica forma a la de reducción de términos semejantes, basta sumar respectivamente sus partes reales e imaginarias. Se conmutan los términos y se reducen términos semejantes, asi. (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Ejemplos: a. (2 + 3i) + (6 – 8i) b. (-5 -12i ) + (5 + 13i) Solución: a. (2 + 6) + (3 - 8)I = 8 + (-2i) = 8 – 2i b. (-5+5) + (-12 +13)i = 0 + i = i c. Producto de números complejos Para realizar el producto entre números complejos se aplica la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición y sustracción. Ejemplo: Multiplicar (7 – 6i) x (3 – 9i) Solución Se multiplica cada uno de los términos del primer factor por los términos del segundo factor, así: (7 – 6i) x (3 – 9i) = 7 x (3 – 9i) – 6i(3 – 9i) = 21 – 63i – 18i + 54i2 se realizo el producto respectivo y debemos tener en cuenta que i 2 = -1 luego tenemos, = 21 – 63i – 18i + 54(-1) = 21 – 63i -18- -54 Reducimos temimos semejantes = -33 – 81i (7 – 6i) x (3 – 9i) = -33 -81i En general si a + bi y c + di son números complejos el producto (a + bi) x (c + di) = (ac - bd) + (ad - bc)i División de números complejos Para realizar la división entre números complejos se escribe la división como un cociente indicado luego se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador. Ejemplo Efectuar (4 + 5i) (3 – 2i)

Solución: Se escribe la división en forma de fracción

(4 + 5i)

(3 – 2i) =

GRADO NOVENO Página 78 de 149 Se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador Se efectúa el producto

Se observa que en el denominador la parte imaginaria desapareció ya que al multiplicar un complejo por su conjugado este da un número real.

1. Al sumar un número real con un numero imaginario a que conjunto pertenece este nuevo número. 2. Explica la razón matemática del surgimiento de los números enteros, racionales, reales y complejo. 3. Determina la parte real y la parte imaginaria de los siguientes números complejos. a. 12 +5i b. -3 + 8i c. 2i + 5 d. 26i -18 e. 78 – 2i f. - 8i

g.

4. Analiza las siguientes afirmaciones y determina si son falsas o verdadera y justifícalas con un ejemplo. a. Todo número real es complejo b. Todo número imaginario es complejo c. Algunos números reales son imaginarios d. Algunos números complejos son reales e. El cero no es complejo f. El producto de un numero real y un imaginario es un numero complejo g. Es lo mismo 2 + 6i que 6i + 2 por la propiedad conmutativa 5. Hallar el valor de x e y de manera que cumpla la igualdad. a. 11x + 9yi = 22 – 18i

GRADO NOVENO Página 79 de 149 b. 3x + 9yi = -12 -

c. 6x + 7yi = -45 – (3 + 5y)i d. 4x + yi = -21 -

e. 6. a. e.

(x - 1) = +8yi = -10 – 46i Hallar el conjugado de: 9 – 8i b. -12 + 9i -100 – 2i f. 65

7. a. b. c. d. e. f. 8. 9. a. c. e.

Responde y justifica con un ejemplo: ¿Cuál es el conjugado del conjugado de m + ni? ¿Dos complejos distintos pueden tener el mismo conjugado?, Explica ¿El conjugado de un número complejo puede ser el mismo número? ¿Todo número complejo tiene conjugado? ¿Al intercambiar la parte real con la imaginaria se obtiene el conjugado? ¿Puedes encontrar un subconjunto de C que este ordenado? Realiza el mentefacto del conjunto de los números C. Realiza las siguientes sumas de números complejos. (6 + 9i) + (6 + 8i) b. (-13 + 5i) + (12 + 2i) (-2 – 2i) + (- 7 + 2i ) d. (100 + 15i) + (-8 – 47i) (27 + 33i) + (2 + 16i) f. (9 + 5i) + (-4 )

g. (

)+(

c. 13 – 4i g. -5i

)

d. -12 – 16i h. -

g. (

)

10. Realiza los siguientes productos. a. (2 – 5i) x (10 + 2i) b. (5 + 4i) x (6 – 6i)

c. (7 – 4i) x (8 – 5i)

) + (-

GRADO NOVENO Página 80 de 149 d. (9 + 5i) x (

)

e. (

)x

)

f.

) x (- 12

)

g. (0,25

)

x (-0,5 – 0,25i) h. (5 - i) x(- 2- i) 11. ¿Cuál es el resultado de multiplicar un numero complejo por su conjugado?. Da un ejemplo de dos números complejos cuyo producto sean un número real, un número imaginario y cero. 12. Realizar los siguientes cocientes a. b. c. d.

e.

f.

g.

e.

GRADO NOVENO Página 81 de 149

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EXPLORANDO EN EL MUNDO DE LAS MATEMATICAS Las siguientes historias están relacionadas con el manejo de cantidades que inicialmente son pequeñas, pero que debido a la forma como crecen llegan a tomar valores extremadamente grandes, las cuales ilustran el manejo de las sucesiones y progresiones.

GRADO NOVENO Página 84 de 149

Si cierto día ahorra $2000; al día siguiente, el doble; al tercer día el doble de lo ahorrado el segundo día, y así sucesivamente,¿ Cuanto ahorraras el décimo día?.

Un millonario que tenia fama de un gran comerciante encontró un día a un hombre de aspecto muy común que al saber de su riqueza se acerco para proponerle un negocio. El millonario lo escucha, sin poder ocultar la desconfianza que le producía. Sin embargo hicieron el siguiente trato. Cada día durante un mes, le traigo cien mil pesos. Claro que no voy a hacerlo gratis. El primer día usted debe entregarme un peso. ¿Un peso? Pregunto asombrado el millonario. Un peso - contestó el hombre. Por los segundos cien mil pesos, usted pagara dos pesos, por los terceros cuatro pesos, por los cuatro ocho, por los quintos dieciséis y así sucesivamente durante todo un mes; Cada día usted me pagara el doble de lo anterior. A los siete días de haber empezado el negocio nuestro millonario había cobrado ya setecientos mil pesos y pagado la ínfima suma de: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = $ 127 Con los días la alegría del millonario no duro mucho, pues pronto empezó a comprender que este hombre no era ningún tonto y que el negocio que había concertado no era tan ventajoso como él pensaba en un comienzo; Sin embargo, no podía romper las reglas pues el mismo había elaborado el contrato. Al final del mes, el millonario estaba arruinado.

1. Calcula el dinero que recibió el desconocido en el día 10 – 12 y 15.

2. Calcula el dinero que recibió el millonario en los días 10 – 12 y 15.

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3. Compara los pagos realizados por el millonario y la cantidad recibida por el hombre desconocido a partir del día 20. ¿Qué sucede a partir del día 20 hasta el día 30?

4. Elabore una caricatura que ilustre esta historia y redacta un final para ella.

Un arreglo de un conjunto de n elementos, en un orden definido, produce un conjunto ordenado llamado sucesión. Son sucesiones reales: 1 1 1 1 1, , , ,..., ,... 2 3 4 n a) la ley característica se enunciaría así: es una sucesión formada por

los números inversos de los números naturales. b) 1, 2 , 3 , 4 ,..., n ,... aquí la ley sería: raíces cuadradas de los números naturales

GRADO NOVENO Página 86 de 149 1 2 3 4 n , , , ,... ,... c) 2 3 2 3 n  1

La ley sería: Una sucesión formada por fracciones cuyo numerador es la serie de los números naturales y el denominador es igual al numerador más una unidad.

Conocida la ley de formación, se puede determinar cualquier término de la sucesión en función del lugar que ocupe. Una sucesión, cuando tiene un número determinado de términos, como por ejemplo la 2 1 2 1, ,6, 8, , 5 3 formada por estos seis números, no necesariamente tiene que sucesión: 3

tener una ley de formación ya que todos sus términos están perfectamente definidos al conocerlos todos. TIPOS DE SUCESIONES

S u ce si on e s co n ve rge n te s La s s uc e s ione s c on ve r ge nte s so n la s su ce si o n e s q u e tie n e n lím ite finit o .

L ím i te = 0

L ím i te = 1

S u ce si on e s di ve rg e n te s

GRADO NOVENO Página 87 de 149 La s s uce s io ne s di ve r ge nte s so n la s su ce si on e s q u e no tie n e n lím ite finito .

L ím i te = ∞

S u ce si on e s osci la n te s La s s uc e s ione s os c ila nte s no so n c on ve r ge nte s ni di ve r ge nte s . S u s té rm in o s al te rn an de m a yo r a m en o r o vi ce ve rsa . 1 , 0 , 3 , 0 ,5 , 0 , 7 , ...

S u ce si on e s al te rn ad a s La s s uce s io ne s a lter na da s so n a q ue l l a s qu e a lte r na n lo s s ig nos de su s té rm in o s. Pue d e n se r:

Co n ve rg e n te s 1 , −1 , 0 .5 , −0 .5 , 0 .25 , −0 .2 5 , 0 .1 2 5 , −0 .1 2 5 ,.. Tan to s lo s té rmi n o s p a re s co mo lo s i mp a re s tie n e n de l ím i te 0 .

GRADO NOVENO Página 88 de 149

Di ve rge n te s 1 , 1 , 2 , 4 , 3 , 9 , 4 , 16 , 5 , 2 5 , . .. Tan to s lo s té rmi n o s p a re s co mo lo s i mp a re s tie n d en de l ím i te +∞ .

Oscil a n te s −1 , 2 , −3 , 4 ,−5 , .. ., (−1 ) n n

Su ce si o n e s mo nó to n a s

Su ce si on e s estri cta me n te cre ci en te s S e di ce q u e un a s uce s ió n e s e s tr ic ta m e nte c re c ie nte si ca da tér m ino e s m a yor o ig ua l que e l a nter ior . an+1 > an 2 , 5 , 8 , 11, 1 4 , 1 7 ,.. . 5 > 2 ; 8 > 5 ; 11 > 8 ; .. .

Su ce si on e s cre ci en te s

GRADO NOVENO Página 89 de 149 S e di ce q u e un a s uce s ió n e s c re c ie nte si ca da té r m ino e s ma yor o igua l q ue e l a nte r ior . an+1 ≥ an 2 , 2 , 4 , 4 , 8 , 8 ,.. . 2 ≥ 2 ; 4 ≥ 2 ; 4 ≥ 4 ; ...

Su ce si o n e s e stri ctam en te de cre ci en te s S e di ce q u e un a s uce s ió n e s e s tr ic ta m e nte de c re c ie nte s i ca da tér m ino de la s uc es i ón es me nor que e l a nter io r.

an+1 < an 1 , 1 /2 , 1 /3 , 1 /4 , 1 /5 , 1 /6 ,. .. 1 /2 < 1 ; 1 /3 < 1 /2 ; 1 /4 < 1 /3 ; .. .

Su ce si on e s de cre ci e n te s S e d i ce q u e u n a s uce s ió n es e s tr ic ta m e nte dec r e c ie nte si c a da tér m ino de la s uc es i ón es me nor o ig ua l que e l a nter i or. an+1 ≤ an

Su ce si o n e s co n stan te s

GRADO NOVENO Página 90 de 149 S e d i ce q u e u n a s uc e s ión es c ons ta nte si todos s u té rm i nos s on igua le s , a n = k . an = an+1 5 , 5 , 5 , 5 , . ..

TÉRMINO GENERAL O TERMINO N-ÉSIMO 1 n , n, n  1 representan de forma En las sucesiones estudiadas antes, los términos n

simbólica a la ley de formación de cada sucesión, se representan por a n y se llaman término general de la sucesión. A partir del término general puede calcularse cualquier término dando valores a n. El valor de n corresponde con el lugar que ocupa el término en la sucesión. Por ejemplo: Determinar los tres primeros términos y el que ocupa el lugar 10, en una n2 sucesión cuyo término general es: an = n  1 12 1 a1   11 2 Para n = 1,

Para n = 2, Para n = 3 Para n = 10

a2 

22 4  2 1 3

a3 

32 9  3 1 4

a 10 

10 2 100  10  1 11

1. Realice un Mentefacto conceptual sobre sucesiones.

GRADO NOVENO Página 91 de 149 2. Calcule él termino indicado en cada una de las siguientes sucesiones: 2 3 a a. an  n  n calcula 8

c.

an   n  1

n

n 2n calcula a5

n 1 a e. an  1 calcula 15

g.

an 

n 1 n  2 calcula a13

b.

an 

2n  1 n calcula a3

n 1 d. an  2 calcula a12

f.

h.

an 

n 2n  1 calcula a21

an 

1 n  1 calcula a19 2

3. Halla los 4 primeros términos de cada sucesión:

a.

an 

n2 n 1

b.

an 

2n  1 2n  2

GRADO NOVENO Página 92 de 149 3 c. a n  n  n

d.

n e. an  3

f.

an 

n2 3n  1

an 

n 4n  2

4. Establece cuales de las siguientes sucesiones son finitas: a.

an  1  (1)n; n  4

b.

an  3 n ; 3  n  5

n c. an  2  3n; n  1 5 an  ; n 3  n  12 d. n2 e. an  5 ; 1  n  2

5. Encuentra él termino general para cada una de las siguientes sucesiones: a. 1, 3, 5, 7, 9,....

b. 2, 4, 6, 8, 10,...

GRADO NOVENO Página 93 de 149 c. 1, 8, 27, 64, 125,...

3 4 5 6 , , , ,... d. 2, 2 3 4 5

1 2 3 4 , , , ,... e. 2 3 4 5

4 5 7 8 , , 2, , , 3,... f. 1, 3 3 3 3

1 3 5 ,1, ,2, g. 2 2 2

h. 2,3,4,5,6,…

Un a p ro g re si ón a ri tmé ti ca e s un a su ce si ó n d e nú me ro s ta l e s q ue cad a un o d e e ll o s (sa l vo el pri me ro ) e s i gu a l al an te ri o r má s u n n úm ero fi j o ll am ad o di fe re n ci a q u e se rep re se n ta p o r d . 8, 3, -2, -7, -12, ... 3 - 8 = -5 -2 - 3 = -5 -7 - (-2) = -5 -12 - (-7) = -5 d= -5. Término general de una progresión aritmética

GRADO NOVENO Página 94 de 149

Si con o cem o s el 1 e r té rm in o .

1.

a n = a 1 + (n - 1 ) · d Ejemplo 8, 3, -2, -7, -12, .. an= 8 + (n-1) (-5) = 8 -5n +5 = = -5 n + 13 2.

Si conocemos el valor que ocupa cualquier o tro té rm in o de la progresión. a n = a k + (n - k) · d Ejemplo a4= -7 y d= -5 an = -7+ (n - 4) · (-5)= -7 -5n +20 = -5n + 1 3 Interpolación de términos en una progresión aritmética In te rpo l a r m ed io s di fe re n ci a le s o a ri tmé ti co s e n tre d o s n úm e ro s, e s con stru i r u n a p ro g re sió n a ri tm é ti ca q ue te ng a p o r e xtrem o s l o s nú me ro s da d o s. Sean los e xtrem o s a y b , y el número de m ed io s a interpolar m .

Ejemplo Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12.

8,

3 , -2 , -7 ,

-12.

Suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética

a1 = Primer termino

GRADO NOVENO Página 95 de 149 an= ultimo termino n = cantidad de términos a sumar Ejemplo Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión : 8, 3, -2, -7, -12, ...

1. Realizar el mentefacto y el diagrama de Euler Venn para progresiones.

GRADO NOVENO Página 96 de 149 2. Establece cuales de las siguientes sucesiones son progresiones aritméticas: a. 1,2,3,4,5,… b. 0.5, 0.0005, 0.005, 5… c. 1,4/2, 5/6, 2, 7/3,… d. 1 ,5 , 9, 13, 17,… e. –4, 0, 4, 8, 12,…

3. Hallar el valor d para cada una de las siguientes progresiones aritméticas: a. 11,20,29,38,47

b. 8,5,2,-1,-4

c. –5,8,21,34

d. –9,-15,-21,-27,-33

e. 25,16,7,-2 f.

3,

22 29 36 43 , , , 5 5 5 5

4. Encuentre la suma indicada de cada progresión aritmética.

GRADO NOVENO Página 97 de 149 a.  2n  1; hallar la suma de los 8 primeros términos.

b. 3,2,1,0,-1,-2,-3,…,

S13

c. Hallar la suma de los primeros 50 números naturales pares.

d. 5,7,9,11,…, S12

e. –8,-1,6,13,…,

S10

5. Solucionar las siguientes situaciones a . cua rto té rm in o d e u na p ro g re si ó n a ri tm é ti ca e s 1 0 , y el se xto e s 16 . Escrib i r l a p rog re si ón . b . Escri b i r tre s med i o s a ri tm é ti co s en tre 3 y 23 . c. In te rpo l a r tre s med i o s a ri tm é ti co s en tre 8 y -12 .

GRADO NOVENO Página 98 de 149 d . El p ri me r té rmi n o d e un a p ro g re si ó n a ri tm é ti ca es -1 , y e l de cim o qu i n to e s 2 7 . l a sum a d e lo s qu i n ce pri me ro s té rm i no s. e . Ha l la r la su ma d e l o s qu i n ce p ri me ro s m úl tip l o s d e 5 . f. Ha l la r la su ma d e l o s qu i n ce p ri me ro s n úm e ro s aca b ad o s e n 5 . g . Ha l la r la su ma d e l o s qu i n ce p ri me ro s n úm e ro s pa re s m a yo re s qu e 5. 6. Escribe en tu cuaderno el término que ocupa el lugar 50 en las siguientes sucesiones: a. 20, 17, 14, 11, 8, .... b. -9, -2, 5, 12, 19, .... c. -11, -22, -33, -44, .... 7. Si a1 = 0 y

d = 3 en una progresión aritmética, ¿cuánto vale a18?.

GRADO NOVENO Página 99 de 149

Un a p ro g re si ó n ge o mé tri ca e s u na su ce si ó n en la q ue ca d a té rmi n o se ob ti e n e mu l ti p l i ca n d o al an te ri o r un a ca n ti d ad fij a r, l la ma d a ra zó n .

E je m plo:

Si te ne mo s la su ce si ó n : 3 , 6 , 1 2 , 24 , 48 , ...

6 / 3 = 2 12 / 6 = 2 24 / 1 2 = 2 48 / 2 4 = 2 r= 2 .

Té rmi n o ge n e ral de u n a p rog re sió n ge om é tri ca

GRADO NOVENO Página 100 de 149 1.

Si con o cem o s el 1 e r té rm in o .

an = a1 · rn-1 Ejemplo 3 , 6 , 12 , 24 , 48 , .. a n = 3 · 2 n - 1 = 3 · 2 n · 2 - 1 = (3 /2 )· 2 n 2.

Si co n o ce mo s el va l o r q ue o cu pa cu al q ui e r o tro té rm in o d e l a p ro g re sió n .

an = ak · rn-k E je m plo a 4 = 24 , k=4 y r=2 . an = a4 · rn-4 a n = 2 4 · 2 n - 4 = (2 4 /1 6 )· 2 n = (3 /2 ) · 2 n

In te rp o la ci ó n de té rm in o s e n u na p ro g re si ó n g e om é tri ca

GRADO NOVENO Página 101 de 149 In te rpo l a r me di o s ge om é tri co s o p ro p o rci o n al e s en tre d o s nú me ro s, e s co n stru i r u n a pro g re si ó n ge om é tri ca q ue te n g a p o r e xtre mo s l o s nú me ro s d ad o s. S ea n l o s e x tr e m os a y b , y el nú me ro de me di os a i n te rp o l a r m .

E je m plo: In te rpo l a r tre s med i o s ge o mé tri co s e n tre 3 y 4 8 .

3 , 6 , 12 , 24 , 4 8 .

S u ma d e n té rmi no s con se cu ti vo s de un a p ro g re si ón ge o mé tri ca

E je m plo Ca l cul a r l a sum a d e lo s pri me ro s 5 té rmi no s de la p ro g re si ón : 3 , 6 , 12 , 24 , 4 8 , .. .

S um a de lo s té rmi n o s de un a p ro g re si ó n ge o mé tri ca d e cre ci en te

E je m plo Ca l cul a r la sum a de lo s té rmi no s d e la p ro g re sió n ge o mé tri ca de cre cie n te il im i ta d a :

GRADO NOVENO Página 102 de 149 Ejemplo Encontrar el séptimo termino de la progresión geométrica –4,-2,-1,… Solución: r

como

an a 1 1 r 3   an  1 , se tiene: a2  2 2

1 r ; 2 n7 luego, a1  4;  1 a7  (4)  n 1  2 Reemplazando en an  a1 * r , se tiene:

1.

2.

7 1

 1  ( 4)   2

6



1 16

Determinar la diferencia o razón de las siguientes progresiones aritméticas. a. 1, 3, 5, 7...

 11 9 ,  5,  .. 2 b. –6, 2

3 11 8 , , ,... c. 5 10 5

d. – 6 , – 4, – 2, ...

En las progresiones, determinar el término general, si se puede.

GRADO NOVENO Página 103 de 149 a. –3,-6,-12,-24

b. 2,4,8,16

c. 3,-3,3,-3

1 1 1 ,4, ,2,11,2, 2 d. 4 2

3. Calcula el termino indicado en cada una de las siguientes progresiones geométricas:

9 r a 2 b. 19 con a2  3 ,

4. Encuentra los tres primeros términos de las siguientes progresiones geométricas si se sabe que:

1 a a. 13 en: -2,-1, 2

b.

a10 en: 20,30,45

GRADO NOVENO Página 104 de 149 c. a2  10 , r  3

d.

a3 

2 5, r 5

5. Copia en tu cuaderno las siguientes progresiones aritméticas y calcula su término general: Términos

a1

d

an

3, 7, 11, 15, ... -12, -9, -6, -3, ... 12, 9, 6, 3, ... 6, 6, 6, 6, ... 10, 3, -4, -11, ... 120, 152, 184, ... 6. Calcula los términos generales de cada una de las siguientes sucesiones : a) 1, -1, -3, -5, -7,... b) 2, 5, 8, 11, 14,... c) -7, -5, -3, -1, 1,.. 7. Interpolar cinco medios aritméticos entre los números 20 y 44.

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Elabora un texto explicativo sobre el siguiente mentefacto.

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DESEMPEÑO  Reconoce y aplica los teoremas de thales y pitagoras; las identidades trigonometricas y su aplicación a la solucion de triangulos. INDICADORES DE DESEMPEÑO.  Hace conjeturas y verifica propiedades de congruencias y semejanzas entre figuras bidimensionales y entre objetos tridimensionales en la solución de problemas. 

Aplica el teorema de Thales para hallar la longitud de los segmentos determinados por una recta secante.



Halla un lado desconocido de un triángulo rectángulo por medio del teorema de Pitágoras.



Halla los catetos y las razones trigonométricas de cualquier ángulo agudo.

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Una formación matemática elevada y amplia es, cada vez más, un componente esencial de la formación universal del hombre. Del contenido y de la formación matemática depende, en gran medida, cómo llegarán a vencerse las tareas planteadas a la ciencia y la técnica. La geometría juega un papel importante y por esa razón, ocupa ya un lugar definitivo en la enseñanza de la matemática en la educación general politécnica y laboral. La geometría se origina en las antiguas civilizaciones egipcias y babilónicas como genuina ciencia experimental sobre la base de requerimientos de la Arquitectura, la Astronomía y, particularmente, de las mediciones de las tierras que frecuentemente se hacían necesarias después de las crecidas periódicas de los grandes ríos. Los resultados se daban a conocer sin fundamentación, como "recetas". En el siglo VII a.n.e los conocimientos geométricos se extendieron hasta Grecia. Allí la geometría alcanzó un florecimiento con los notables geómetras griegos Thales de Mileto (alrededor de 600 a.n.e), Pitágoras (alrededor de 550 a.n.e), Platón (alrededor de 400 a.n.e), Eudoxio (alrededor de 400 a.n.e), Euclides (alrededor de 300 a.n.e), Arquímedes (alrededor de 250 a.n.e), Herón de Alejandría (alrededor de 100 a.n.e). El mundo de la geometría nos ofrece diversos elementos para analizar y construir espacios. El pensamiento geométrico nos brinda los elementos, las características, y los instrumentos para disponer y manejar figuras ya sean planas o volumétricas en el mundo que nos rodea. Hoy con el desarrollo del mundo moderno, el dibujo es pieza clave en los proyectos de construcción de todos los elementos que el hombre utiliza en la industria, comunicaciones, el comercio, la ciencia y la investigación. Así como el lenguaje escrito tiene sus símbolos y su gramática, el dibujo también cuenta con elementos, reglas para su elaboración y convenios universales que lo hacen internacionalizar.

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El área es la magnitud geométrica que expresa la extensión de un cuerpo en dos dimensiones: largo y ancho. Para superficies planas el concepto es intuitivo y no requiere introducir técnicas de geometría diferencial avanzadas. Sin embargo, para poder definir el área de una superficie en general, que es un concepto métrico, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión, cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclídea. TRIÁNGULO El triángulo es un polígono formado por tres lados y tres ángulos. La suma de sus tres ángulos siempre es 180 grados. Para calcular el área se emplea la siguiente formula:

A = (b · h) / 2 (Es decir, la base (b) multiplicado por la altura (h) y dividido entre dos) CUADRADO El cuadrado es un polígono que tiene los cuatro lados y los cuatro ángulos iguales. Los cuatro ángulos son rectos. La suma de los cuatro ángulos es 360 grados. Para hallar el área se utiliza la siguiente formula:

A= l· l (Es decir, el área es igual al valor de un lado ( l ) multiplicado por si mismo. ) RECTÁNGULO El rectángulo es un polígono de 4 lados, que son iguales dos a dos. Los ángulos de un rectángulo son todos iguales y rectos. Suman en total 360 grados.

GRADO NOVENO Página 111 de 149 Para hallar el área de un rectángulo se utiliza la siguiente formula:

A= a·b (Es decir, el área es igual a multiplicar el valor de la base (a) por el valor de la altura (b).) ROMBO El rombo es un polígono que tiene los cuatro lados iguales y los ángulos son iguales dos a dos. ( Dos ángulos son agudos y los otros dos obtusos) Para hallar el área se utiliza la formula siguiente:

A = (D · d) / 2 (Es decir, el área es igual al producto de la diagonal mayor (D) por la diagonal menor (d) y el resultado se divide entre dos)

TRAPECIO El trapecio es un polígono que tiene 4 lados, de ellos, dos son paralelos. Los cuatro ángulos son distintos de 90º. La suma de los 4 ángulos es 360 grados. El área se halla con la siguiente formula:

A = (B + b) · h / 2 (Es decir, el área es igual a la suma de las dos bases (B y b), multiplicado por la altura (h) y dividido entre dos.) PARALELOGRAMO El paralelogramo es un polígono que tiene 4 lados, que son iguales y paralelos, de dos en dos. Los ángulos son distintos de 90º. La suma de los 4 ángulos es de 360 grados. El área se halla con la formula siguiente.

GRADO NOVENO Página 112 de 149 A= b·h (Es decir, el área es igual al producto de la base (b) por la altura (h)) POLÍGONO REGULAR En este apartado están los polígonos regulares que tienen más de 4 lados iguales. Los ángulos también son iguales. El de 5 lados se llama pentágono. El de 6 lados hexágono, etc. Para calcular el área de estos polígonos se utiliza la siguiente formula:

A = (P · a) / 2 (Es decir, el área es igual al perímetro (P) multiplicado por la apotema (a) y dividido entre dos.) CÍRCULO El círculo es la región delimitada por una circunferencia. La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos que equidistan del centro. Para hallar el área del círculo se utiliza la siguiente formula:

A= π·r2

1. Realizar un mentefacto conceptual sobre áreas de figuras planas.

2. Encuentra el área de un rectángulo que tiene de base10 cm y de altura 8 cm.

GRADO NOVENO Página 113 de 149 2

3. El área de un triángulo mide 600 cm y la base es el triple de la altura; ¿cuáles son las medidas de la base y la altura? 2

4. El área de un cuadrado es de 289 cm . ¿Cuánto mide de lado?. 5. Las diagonales de un rombo están en la relación de 3 a 4 .Si el área del rombo es de 96 metros cuadrados, ¿cuáles son las dimensiones de las diagonales. 6. Halla el área de un circulo si se sabe que el perímetro mide 7.4 cm.

7 . Ha l la r la d i ag o n al , el pe ríme tro y e l á rea de l cu a d ra d o :

8 . Ha l la r la d i ag o n al , el pe ríme tro y e l á re a d e l re ctán g u lo :

9 . Ha l la r el p e rím e tro y el á re a de l tra p e ci o re ctá n g ul o :

10 .

Ha l la r el p e rím e tro y el áre a d el tra pe ci o i só sce l e s:

GRADO NOVENO Página 114 de 149

11.

Ha l la r el p e rím e tro y el áre a d el tri án g ul o eq u il á te ro :

12 .

Ha l la r el p e rím e tro y el áre a d el pe n tá g on o re g ul a r :

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Ejemp lo.

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Solución:

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Ej emplo. Hallar el área total de una pirámide hexagonal regular si el lado de la base mide 8 cm y su altura 20 cm.

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Solución:

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Ejemplo. Las dimensiones de un paralelepípedo rectangular son de 3 cm, 4 cm y 5 cm. Calcular su diagonal y su volumen. Solución:

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2 Ejemplo. El área lateral de un cilindro mide 3,5 m si la altura mide 0.35 m, calcular la medida del radio de la base.

Solución:

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Ejemplo. Calcular el volumen de un cono, de radio 3 cm y de altura 5 cm.

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S olución:

2 Ejemplo. El área de una esfera es de 8050 cm Calcular su radio.

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Solución:

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EXPLORANDO EN EL MUNDO DE LA TRIGONOMETRIA La trigonometría (< Griego trigōnon "triángulo" + metron "medida"1, de ahí su significado etimológico viene a ser la medición de los triángulos). La trigonometría es una rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto la trigonometría se vale del estudio de las funciones o razones trigonométricas las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas, de la geometría del espacio. Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.

Unidades angulares En la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal, en matemáticas es el Radian la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el Grado centesimal se desarrolló como la unidad más próximo al sistema decimal, pero su uso prácticamente es inexistente. Radian: unidad angular natural en trigonometría, será la que aquí utilicemos, en una circunferencia completa hay 2π radianes. Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360º. Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales.

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1. Realizar un mentefacto aplicando conceptos de trigonometría. 2. De acuerdo al análisis realizado en la lectura anterior, menciona cuatro ejemplos donde se aplique la trigonometría con la vida cotidiana. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Dos polígonos son semejantes cuando tienen sus ángulos respectivamente iguales y sus lados correspondientes proporcionales. En la vida cotidiana, el estudiante aprende a conocer los objetos mas por su forma por su tamaño. Es por este motivo que debes recordar que la RAZON de un numero a otro, es simplemente el resultado de comparar los números por medio de una DIVISION. EJEMPLO 1: Una barra de hierro de 18 centímetros, se ha cortado en tres partes que miden 3, 6 y 9 cm respectivamente.

3cm 1  18cm 6

6cm 1  18cm 3

9cm 1  18cm 2 1 1 1 La razón de 3 a 18 es 6 , la razón de 6 a 18 es 3 y la razón de 9 a 18 es 2 .

1. Encontrar la razón de AB a CD, si AB mide 15 cm y CD mide 0,30 cm.

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2. El segmento AB tiene 5 cm de longitud y P es un punto situado a 2 cm de B, encuentra: AP PB   a. PB b. AP

AB  c. AP

BP  d. AB

3. ¿Son siempre semejantes dos triángulos isósceles cualesquiera? ¿Dos triángulos equiláteros cualesquiera? Justifica la respuesta.

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Da d o s l os tr iá ng ulos ABC y A' B' C ' , lo s la dos a y a' , b y b' , c y c ' se ll am an la dos hom ólo gos . Lo s á ngul os hom ó log os so n :

Do s

tr iá ng ulos

so n

se m e ja nte s

cu a n do

ti e ne n

su s

á ngul os

hom ól ogos igua le s y su s la d os hom ó log os pr op or c iona le s .

La ra zón de la pr op orc i ón en tre lo s la d os d e l o s tr iá ng ulos se ll am a r a zón de s em e ja nza . La ra zón de los pe r ím e tr os d e lo s tr iá n gul os s em e ja nte s es ig u al a su ra zón de se m e ja nza .

GRADO NOVENO Página 132 de 149 La ra zón de las ár e as de l o s tr iá ng ulos se m e ja nte s e s i gu a l a l c ua dra d o de s u r a zón de s em e ja nza .

Ej e mp lo s p rá cti co s 1 . D e te rm in a r l a a l tu ra de un e d i fi ci o q u e p ro ye cta un a som b ra de 6 .5 m a la mi sm a ho ra qu e un p o ste de 4 .5 m d e al tu ra da u na som bra d e 0 .9 0 m .

2 . Lo s ca te to s de u n triá n g ul o re ctán g u lo q ue mi de n 2 4 m y 1 0 m . ¿C uá n to me di rá n lo s ca te to s de un tri á ng u l o se me ja n te a l p rim e ro cu ya hi p o ten u sa mi de 52 m?

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C ri te ri o s d e se me ja n za 1 . D os tr iá ngul os so n s em e ja nte s si tie n e n dos á ngulos ig ua le s .

Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales .

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2 . D os

tr iá ngul os

so n

s em e ja nte s

si

tie n e n

dos

pr opor c io na le s y e l á ng ulo c om pr e ndid o en tre el lo s igua l .

Ej e mp lo s De te rmi n a r si son se m e ja nte s l o s sig u ie n te s tr iá n gul os :

la dos

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Son se m e ja nte s p o rq u e ti e ne n lo s la d os pr op or c iona le s .

18 0 º − 10 0 º − 6 0 º = 20 º S on se m e ja nte s p o rq u e ti e ne n dos á ngulos ig ua le s .

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S on s em e ja nte s p o rq u e tie n e n dos la dos pr o por c iona le s y un á ngul o igua l .

Se me ja n za d e tri án g u lo s re ctá n g ul o s 1 . D os tr iá ngul os r e c tá ng ulos so n se m e ja nte s si ti e ne n u n á ngul o a gudo ig ua l .

2 . D os tr iá ngul os r e c tá ng ulos so n se m e ja nte s si ti e ne n l o s dos ca te tos pr o por c iona le s .

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3 . D os

tr iá ngul os

r e c tá ng ulos

so n

se m e ja nte s

pr opor c io na le s l a hip ote nus a y un ca te to .

si

ti e ne n

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Este teorema se aplica si varias rectas paralelas intersecan o cortan a dos secantes o transversales, entonces las dividen en segmentos proporcionales. AB A' B '  BC B' C '

Ejemplo: Dibujar un triángulo cualquiera y tracemos una paralela a uno de los lados y que corte a los otros dos lados. Solución.: Aplicando el teorema de Thales nos quedaría:

CD CE  AD BE Si a esta proporción se le suma el denominador nos da:

CD  AD CE  AD  AD BE AC BC  Pero: CD + AD = AC Y CE + BE = AD BE Da d o u n tr iá n gul o AB C , si se tra za u n s e gm e nto par a le lo , B 'C ' , a u n o de lo s la d os d el tria n g ul o , se ob ti e n e o tro tr iá ng ulo AB ' C ' , cu yo s la d os son pr opor c io na le s a l o s de l tr iá ng ulo AB C .

Eje m plo

GRADO NOVENO Página 139 de 149 Ha l la r la s m ed id a s d e l o s se gm en to s a y b .

Entonces podemos decir; Si una recta es paralela a un lado del triángulo corta a los otros dos lados del triángulo, entonces la recta divide a estos lados proporcionalmente.

1. Encuentre la medida del segmento EC conociendo que: BC||DE, |AB|=9cm, |DA|=6cm, |AC|=15cm

2. Encuentre la medida del segmento AC conociendo que: DE||BC, medida del ángulo EDA=90º, |AD|=2cm, |DE|=3cm y |BC|=18cm

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3. Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x.

4 . La s re cta s a , b so n pa ra le l a s. ¿Po de mo s a fi rm a r qu e c e s pa ra le l a a l a s re cta s a y b?

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En la geometría, tuvo su origen en la medición que los antiguos egipcios necesitaban hacer de la tierra. En unos casos para construir las grandes pirámides o para construir los linderos de los terrenos que se borraban con la creciente del río Nilo. Algunas medidas resultan más sencillas que otras, por ejemplo se puede utilizar un metro o algún otro implemento que nos facilite la lectura de esa medida. Pero se nos complica cuando queremos medir distancias muy grandes como la altura de un árbol; un ejemplo el árbol mas alto de la tierra que mide 112 metros. ¿ Cómo medir esa altura? Un método sencillo consiste en utilizar un triángulo rectángulo, y dibujar frente a ‘el el objeto a quien le quiere hallar la altura; recordando que ese triángulo rectángulo tiene un cateto vertical y otro horizontal, y que la hipotenusa toca el punto mas alto del árbol. En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la medida de la hipotenusa, es igual a la medida de las sumas de los cuadrados de los catetos. EJEMPLO: Según el triángulo rectángulo hallar él termino desconocido y el área. Solución: Inicialmente se trabaja con el teorema de pitagoras para hallar la hipotenusa. 2 c 2  a 2  b 2  c   3m    4m  2

2

 c 2  9m 2  16m 2 

c 2  25m 2  c  5m

Se aplica la formula de Area de un triangulo.

b * h 4m * 3m 12m 2 A    6m 2 2 2 2 El te o re ma de Pi tá g o ra s esta b l e ce qu e e n u n tri á ng u lo re ctán g u lo , el cua d ra do de l a h ip o te n u sa e s ig u al a la su ma de l o s cu ad ra d o s de lo s

GRADO NOVENO Página 142 de 149 ca te to s.

Empleo del teorema de PitágorasConociendo los lados de un

triángulo, averiguar si es rectánguloPara que un tri á n gu l o sea re ctán g u lo el cuadrado de lado mayor ha de ser igual a la suma de los cuadrados de los dos menores. Determinar si el triángulo es rectángulo.

Conociendo los dos catetos calcular la hipotenusa

Los ca te tos de un tr iá ng ulo r ec tá ngu lo miden en 3 m y 4 m respectivamente. ¿Cuánto mide la hip ote nus a ?

Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular el otro cateto

La hi pote n us a de un tr iá ng ulo r ec tá ngu lo mide 5 m y uno de sus ca te tos 3 m. ¿Cuánto mide otro c a te to ?

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1. Elaborar un diagrama de Venn Euler aplicando los teoremas vistos.

5. Dibuja los triángulos rectángulos ABC, y halle el termino desconocido donde c es la longitud de la hipotenusa, a, b las longitudes de los catetos . a. b. si a = 30 y b = 40, entonces c=----------- d. Si c= 10 y a= 7, entonces b=--------------c. Si a = 68 y c = 70, entonces c =----------- e. Si a= 100 y b= 450, entonces c=----------c. Si b = 9 y c = 16, entonces c = -------- f. Si a=

65 y b= 12.4, entonces c=----------

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Cuando hablamos de relaciones trigonométricas estamos estudiando la TRIGONOMETRIA PLANA quien es la que se ocupa de la resolución de triángulos planos y fundamentalmente de los triángulos rectángulos. Para ello, se definen las razones trigonométricas de los ángulos y se estudian las relaciones entre ellas. Normalmente se emplean las relaciones trigonométricas SENO, COSENO, TANGENTE; a las cuales debemos asociarle un ángulo especifico o trabajar con letras griegas. Estas relaciones son en cierto sentido funciones circulares aplicadas a ángulos; pero se deben tener en cuenta ciertas restricciones. Tradicionalmente el estudio de la trigonometría empezó con el estudio de las funciones trigonométricas para ángulos agudos, luego fueron tomadas para resolver triángulos , es decir determinar un ángulo desconocido. Es cuando se asocia con el teorema de Pitagoras donde se tiene las siguientes reglas: 1.Que debe ser siempre un triángulo rectángulo. 2.Que se puede conocer un lado y un ángulo agudo. 3.Que se pueden conocer dos lados. Es importante resaltar que las longitudes de los lados y el valor de las funciones trigonométricas para los ángulos de un triángulo satisfacen ciertas relaciones que son útiles en la solución de problemas geométricos, como el TEOREMA DEL SENO y el TEOREMA DEL COSENO. NOTACION DE LAS RELACIONES TRIGONOMETRICAS El uso de las letras minúsculas a , b, c para los lados de un triángulo y las correspondientes letras mayúsculas para A, B, C, para los vértices de los ángulos respectivamente opuestos a ellos.

SENO

== sen 

=

Cateto  opuesto a Hipotenusa = c

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COSENO=

Cateto  adyacente b Hipotenusa cos  = = c

Cateto  opuesto a Cateto  adyacente TANGENTE= tan  = = b

1. Realizar un mentefacto conceptual sobre la lectura. 2. Investigar sobre el teorema del Seno y teorema del coseno.(Cuaderno)

Ejemplo 1. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 6 cm y 14 cm. ¿Cuál es el valor de las seis razones trigonométricas del ángulo agudo mayor?

Solución: Aplicar el teorema de Pitagoras, para hallar la hipotenusa. c 2  a 2  b2

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c  232cm 2 c  15.2cm

Hallar las relaciones trigonométricas:

Sen 

14  0.91 15.2

Cos 

6  0.39 15.2

Tan  

14  2.33 6

Ejemplo 2. Hallar las relaciones trigonométricas para el siguiente triángulo rectángulo: Solución:

Sen 

15 5  39 13

Cos 

36 12  39 13

Tan  

15 5  36 12

Ejemplo 3. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 5 y 7 cm. Calcular la medida de la hipotenusa, el perímetro y el área.

GRADO NOVENO Página 147 de 149 Solución: Aplicar teorema de Pitagoras para hallar la hipotenusa.

h 2  (5cm) 2  (7cm) 2 h 2  25cm 2  49cm 2 h  74cm 2 h  8.6cm

Perímetro p  7cm  5cm  8.6cm p  20.6cm

Area 7cm * 5cm 2 A  17.5cm 2 A

1. Realizar un cuadro comparativo entre el teorema de Pitágoras, perímetro y área.

GRADO NOVENO Página 148 de 149 2.

Calcular las relaciones trigonométricas, perímetro y área de los siguientes triángulos rectángulos:

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