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• Juan Manuel Rodríguez

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Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería Mecánica y Mecatrónica Taller 01

Sem I - 2020

Modelación Matemática

MODELOS BASADOS EN ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Nombre estudiante

Código

Grupo

Puntos importntes: Para el presente taller es importante que se sigan las siguientes indicaciones: En todos los casos de estudio, y donde corresponda, su grupo deberá presentar coherente y claramente los diferentes pasos del proceso de modelación, así como una clara argumentación de las simplificaciones o suposiciones usadas para la construcción y/o estudio de los diferentes casos y modelos. Debe siempre indicarse de forma explícita en el texto el o los principios de conservación usados Deben incluirse los códigos fuente de cualquier modelo computacional elaborado. Los informes impresos deberán tener como portada la presente hoja. (SIN ESTA HOJA DE PORTADA NO SE CALIFICARÁ EL TALLER)

La calidad de la presentación de los informes escritos será especialmente considerada en la calificación. Esto incluye la calidad, resolución y claridad de los gráficos, así como de las conclusiones que se extraigan de ellos. Los casos de estudio del presente taller, y sus respectivas ponderaciones de calificación son: Caso de estudio Sección Caso 1 Sección Caso 2 Sección Caso 3

Ponderación 35 % 30 % 35 %

Fecha límite de entrega virtual: Mayo 17 de 2020 (Envío máximo hasta las 23:59 del 17/05/2020) Fecha de entrega extendida: Mayo 22 de 2020 23:59 (Reducción 20 % en la calificación final) Entrega debe incluir: Carga en la plataforma virtual un archivo comprimido que incluya documento/informe final, scripts de implementaciones computacionales y/o cualquier otro anexo que su grupo considere pertinente. Los archivos deberán cargarse en UN SOLO ARCHIVO COMPRIMIDO TIPO ZIP. El nombre del archivo deberá seguir el siguiente formato: ___Taller01-202001.zip, donde debe ser apellido del primer miembro del grupo en orden alfabético, y así sucesivamente. ES IMPORTANTE QUE OBSERVE ESTAS CONDICIONES DE ENTREGA. EN CASO QUE NO SE CUMPLAN, SE CONSIDERARÁ QUE EL TALLER NO SE ENTREGÓ.

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Taller 01 - Modelación con EDO’s

Caso 1.

Vuelo de un hidro cohete - 35 %

Como parte de un experimento educativo, se requiere que su equipo diseñe un cohete propulsado por agua y aire. En particular, se desea que este dispositivo tenga un alcance máximo para un lanzamiento de forma inclinada. Un modelo básico para estudiar el movimiento de un proyectil se logra con dos suposiciones fundamentales: despreciando el efecto del arrastre generado por el aire sobre el cuerpo en movimiento; y asumiendo una función constante de empuje del motor cohete. Sin embargo, los resultados ofrecidos por este modelo simplificado pueden distar mucho de las observaciones experimentales. El principal problema a resolver cuando se desea mejorar la precisión de este modelo consiste en determinar de manera precisa la función el empuje, considerando el arrastre como función de la densidad variable del aire y la masa del cohete en función de la despresurización de la cámara del motor cohete (Ver [Barrio-Perotti et al., 2010, Tomita et al., 2007]). Se desea mejorar la exactitud de dicho modelo, de manera que las estimaciones de alcance horizontal del proyectil tengan una menor incertidumbre, integrando las consideraciones indicadas anteriormente. Para el presente caso de estudio asuma que: El aire dentro del cohete se comporta como gas ideal. El aire se expande de forma isotérmica durante el proceso de propulsión. (El proceso de propulsión existe mientras haya agua dentro del cohete). El volumen total del cohete (aire + agua) es de 2 lts. La presión dentro del cohete no podrá sobrepasar un valor de 4 atm. La masa del cohete vacio es de 85 gr. La fuerza de arrastre se debe considerar proporcional a la velocidad relativa entre el cohete y el aire que lo rodea. (La densidad del aire varía en función de la altura sobre el nivel del mar.) Cualquier suposición adicional que su grupo considere necesaria debe ser claramente justificada y soportada. Que se debe entregar? Dadas las consideraciones anteriores su grupo debe: Construir un modelo matemático con el objetivo de encontrar la mejor relación de volúmenes de agua y aire, que permita lograr el alcance horizontal máximo del cohete analizado. Implementar el(los) modelo(s) computacional(es) para el caso planteado. El modelo computacional debe servir como herramienta de diseño del sistema completo. Hacer el análisis completo de la operación de tal dispositivo (realizar simulaciones, variación de parámetros, etc.) Usar su implementación computacional para sugerir diseños y sacar conclusiones acerca de la respuesta dinámica del dispositivo en cuestión. Presentar curvas de operación del sistema, bien sea del tipo de perfil temporal, o del tipo retrato de fase.

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Versión 01 - Actualización: Abril/2020

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Caso 2.

Sistema de tanques interconectados - 30 %

Arreglos de tanques interconectados son constantemente encontrados en aplicaciones de ingeniería, particularmente en plantas piloto químicas, así como en aplicaciones industriales de mezclado. Diferentes tipos de industrias recurren a arreglos de tanques para el control de flujos o de concentraciones de mezclado, así como para procesos de dosificación. Uno de tales arreglos es mostrado en la Figura 1. Este sistema de tanques se está evaluando como sistema de mezclado variable de un solvente (por ejemplo, agua), con un reactivo x. En este sistema de tanques el denominado Tanque T0 suministra un flujo variable de solvente al tanque T1 , cuyo contenido está totalmente limpio (es decir con concentración nula), mientras que en los tanques T1 , T2 y T4 se adiciona el reactivo x, con concentraciones c3 , c5 , y c6 , respectivamente. Un flujo QD de solvente puro es es ingresado al sistema y distribuido entre los tanques T2 , T3 y T4 , como se indica en la figura. La mezcla de reactivo es finalmente entregada por el sistema a través de Q7

Figura 1: Esquema de un sistema de dosificación y mezclado Que se debe entregar? Dadas las consideraciones anteriores su grupo debe: Construir los modelos matemáticos para simular los flujos volumétricos (Caudales) y la evolución de la concentración de x en cada uno de los tanques y a la descarga del sistema (c7 ). El modelo del tanque T0 debe incluir consideraciones de movimiento de la superficie libre. Parametrizar el modelo de manera que permita diseñar el Tanque T0 , esto es: Debe permitir evaluar condiciones de desempeño del tanque (rebosamiento, vaciado total ,etc), de acuerdo con dimensiones de la sección transversal del tanque y el agujero de descarga. Hacer la implementación computacional de los modelos anteriores, y realizar validación El modelo computacional debe servir como herramienta de diseño del sistema completo. Usar su implementación computacional para sugerir diseños y sacar conclusiones acerca de la respuesta dinámica del dispositivo en cuestión. Hacer el análisis completo de la operación de tal dispositivo (realizar simulaciones, variación de parámetros, etc), usando las consideraciones de operación dadas, y los coeficientes indicados. En caso de requerirlo, su grupo puede adoptar decisiones respecto al valor de alguna variable, siempre y cuando sean justificadas Presentar curvas de operación del sistema, bien sea del tipo de perfil temporal, o del tipo retrato de fase. Cualquier suposición adicional que su grupo considere necesaria debe ser claramente justificada y soportada en el documento final. Se sugiere usar como material de apoyo la información presentada en Libii and Faseyitan [1997], Libii [2003], o cualquier otra bibliografía especializada.

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Caso 3.

Análisis de un actuador de micro-chorro - 35 %

El diseño genérico de actuadores de micro-chorro es uno de los campos de estudio que está siendo ampliamente explorado actualmente, particularmente para aplicaciones de control de flujo, así como para aplicaciones de refrigeración (por ejemplo, para producir enfriamiento en regiones predeterminadas). Un esquema genérico de tal actuador es presentado en la figura 2. El modo de operación de tal dispositivo es bastante simple: Algún mecanismo de actuación vertical se conecta a un diafragma (o pared móvil) ubicado en la parte inferior de una cámara plenum. El diafragma se desplaza verticalmente, lo cuál genera cambios en el volumen de la cámara plenum (o simplemente plenum, cámara interna conteniendo el gas a inyectar o extraer). Cuando el diafragma se desplaza hacia arriba, el volumen de la cámara se reduce, elevando la presión p dentro de la cámara plenum, lo que a su vez produce un chorro que sale eyectado de la cámara hacia la atmósfera circundante a través de la ranura de salida (la apertura denominada micro slot en la Figura 2). Si el mecanismo de actuación aplicado al sistema es oscilatorio, el diafragma oscilará verticalmente produciendo un flujo alternante de entrada y salida. Este modo se operación se denomina actuador de chorro sintético. Otro tipo de actuación consiste en un movimiento unidireccional rápido del diafragma seguido de un retroceso lento del mismo. De esta forma el diafragma únicamente se deflecta hacia arriba para producir un incremento fuerte de la presión y así generar una especie de chorro pulsado. Este último modo de operación se suele denominar como actuación tipo ”salto de presión”. En cualquiera de los modos de operación dos procesos diferentes están ocurriendo al interior de la cámara, y los cuales sin embargo están intrinsecamente acoplados. Por un lado, la rata de flujo másico a través de la ranura afecta la presión en la cámara, mientras que la presión al interior de la cámara afecta las ratas de flujo másico fluyendo a través de la ranura. Ambos procesos dependen mutuamente el uno del otro. Es importante considerar que las velocidades de flujo dentro de la cámara son lo suficientemente lentas como para ser ignoradas (comparadas con las ratas de flujo en la ranura).

Figura 2: Esquema genérico de un actuador de micro chorro

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Para el presente caso de estudio asuma que: El plenum es una caja de sección transversal cuadrada de lado d1 La ranura tiene ancho W (como se indica en la figura 2) y una profundidad que abarca toda la camara plenum (es decir d1 ) Que el sistema de actuación es efectuado mediante la fuerza f (t), que acciona un sistema de amortiguador-resorte. Con fines de parametrización, asuma que el resorte es no lineal con coeficientes k1 y k2 , para los terminos lineal y cuadrático, respectivamente. Esto se puede expresar como: Fspring = −k1 x − k2 x2 Con fines de parametrización, asuma que el amortiguador es no lineal con coeficientes c1 y c2 , para los terminos lineal y cuadrático, respectivamente Fdamper = −c1 x˙ − c2 x˙ 2 Que el gas utilizado es un gas ideal. Cualquier supocisión adicional que su grupo considere necesaria debe ser claramente justificada y soportada. Que se debe entregar? Construir el modelo matemático, para los dos modos de operación (como chorro sintético y como actuador de salto de presión) para un actuador de micro-chorro. Esto implicará construir los modelos matemáticos en forma paramétrica. Implementar el(los) modelo(s) computacional(es) para los dos modos de operación y realizar la validación apropiada de los componentes del modelo. El modelo computacional debe servir como herramienta de diseño del sistema completo y puede ser tipo script o una aplicación. ejecutable. Hacer el análisis completo de la operación de tal dispositivo (realizar simulaciones, variación de parámetros, etc). Deben considerarse dos tipos de fuerza (oscilatoria y pulsante), y al menos dos gases diferentes, para observar cambios en el funcionamiento del sistema. Usar su implementación computacional para sugerir diseńos y sacar conclusiones acerca de la respuesta dinámica del dispositivo en cuestión. Presentar curvas de operación del sistema, bien sea del tipo de perfil temporal (p.ej., p vs. t), o del tipo retrato de fase (p.ej., p vs. m). ˙ Bibliografía

Referencias R. Barrio-Perotti, E. Blanco-Marigorta, J. Fernández-Francos, and M. Galdo-Vega. Theoretical and experimental analysis of the physics of water rockets. European journal of physics, 31(5):1131, 2010. J. N. Libii. Mechanics of the slow draining of a large tank under gravity. American Journal of Physics, 71(11):1204–1207, 2003. J. N. Libii and S. O. Faseyitan. ‘data acquisition systems in the fluid mechanics laboratory: Draining of a tank. In Proceedings of the National Conference and Exposition of the American Society for Engineering Education (ASEE), 1997. N. Tomita, R. Watanabe, and A. V. Nebylov. Hands-on education system using water rocket. Acta Astronautica, 61(11-12):1116–1120, 2007. Modelación Matemática

Versión 01 - Actualización: Abril/2020

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