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• Luis Eduardo Rodriguez Jaime

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Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería Mecánica y Mecatrónica Taller 02

Sem I - 2020

Modelación Matemática

TALLER 02 MODELACIÓN MATEMÁTICA Modelación con EDP’s y Optimización Nombre estudiante

Código

Grupo

Puntos importantes: Para el presente Taller es SUMAMENTE IMPORTANTE que su grupo cumpla con los siguientes puntos En todos los casos de estudio, y donde corresponda, su grupo deberá presentar coherente y claramente los diferentes pasos del proceso de modelación, así como una clara argumentación de las simplificaciones o suposiciones usadas para la construcción y/o estudio de los diferentes casos y modelos. Debe siempre indicarse de forma explícita en el texto el o los principios de conservación usados Deben incluirse los códigos fuente de cualquier modelo computacional elaborado (independiente del lenguaje) SIN LA PRESENTE HOJA COMO PORTADA, NO SE CALIFICARÁ EL TALLER)

La calidad de la presentación de los informes será especialmente considerada en la calificación: calidad, resolución y claridad de los gráficos, así como nivel de análisis de las conclusiones. Los casos de estudio del presente taller, y sus respectivas ponderaciones de calificación son: Caso de estudio Sección Caso 1 Sección Caso 2 Sección Caso 3

Ponderación 35 35 30

Fecha de entrega: Julio 17 de 2020 Condiciones de entrega: 1. Entrega de archivos y códigos de forma digital: Carge de UN SOLO archivo ZIP, con toda la información relevante, en el sitio virtual del curso. Carga de este ÚNICO archivo ZIP deberá hacerse antes de las 23:59 del 17 de Julio de 2020. Todos los archivos deberán enviarse en UN SOLO ARCHIVO COMPRIMIDO. El archivo deberá nombrarse con el siguiente formato: ___Taller02-202001.zip, donde hace referencia al apellido del primer miembro del grupo, en orden alfabético. SI ESTAS CONDICIONES DE ENTREGA NO SE CUMPLEN, SE CONSIDERARÁ QUE EL TALLER NO SE ENTREGÓ. Cualquier aclaración o modificación de las condiciones de entrega será informada via correo electrónico y debe ser estrictamente cumplida.

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Taller 02 - Modelación con EDP’s y Optimización

Caso 1.

Ecuación de Burgers unidimensional (35 %)

La ecuación viscosa de Burgers (versión con viscosidad diferente de cero) es una de las aproximaciones al sistema de ecuaciones de Navier-Stokes. Con esta ecuación se puede modelar un flujo viscoso e incompresible, pero en donde el término de gradiente de presión ha sido despreciado. Esta es la PDE más simple que combina tanto propagación no-lineal como efectos de difusión. La ecuación de Burgers generalmente se presenta como una simplificación de modelos de flujo más sofisticados y complejos, por lo que esta PDE es generalmente considerada como un “caso modelo” mediante el cuál se pueden explorar algunos elementos básicos de un problema más general. Considere la ecuación no lineal de Burgers unidimensional: ∂u ∂u ∂2u (1) +u =ν 2 ∂t ∂x ∂x definida en el dominio 0 ≤ x ≤ L, y donde ν es un coeficiente positivo asociado al proceso de transporte difusivo (siendo la viscosidad cinemática del fluido de estudio en la mayoría de las situaciones). Igualmente, considere que para el presente caso se tienen condiciones de frontera dinámicas tipo Dirichlet en ambas fronteras ( u(0, t) = g1 (t), u(L, t) = g2 (t) ). Para este caso de estudio, considere que la condición inicial está dada por u(x, 0) = M δβ (x)

(2)

donde M es un valor escalar real positivo, y δβ (x) es una representación paramétrica de la función Delta de Dirac, centrada en el origen, y ajustada con un parámetro β, como se indica a continuación:

δβ (x) = √

  1 x2 exp − 4β 4πβ

(3)

Una característica adicional de la ecuación de Burgers es que existen metodologías que permiten la obtención de soluciones analíticas en dominios y casos simples. Por ejemplo, para el caso transitorio 1D propuesto, una solución analítica es:  x2 exp − 4ν 4νt   √  πt x 2 π + 1 − erf √ exp(M/2ν) − 1 2 4νt 

r u(x, t) =

(4)

con la función Error erf(x)1 dada por: Z erf(x) =

x


exp −z 2 dz

(5)

0

Es importante notar que, al examinar la ecuación (4), las condiciones de frontera tipo Dirichlet serán dinámicas/transitorias (como se requiere). La forma específica de cada función g1 (t) y g2 (t) de las condiciones de frontera en x = 0 y x = L puede ser obtenida a partir de la ecuación (4), simplemente considerando la función u(0, t) y u(L, t), respecivamente. ¿Qué se debe realizar? Dadas las consideraciones indicadas anteriormente, se solicita realizar una implementación numérica/computacional para solucionar la ecuación (1) mediante Diferencias Finitas y siguiendo los siguientes lineamientos: 1. Formular el problema en forma discreta usando: a) Un esquema de discretización con diferencias finitas de 2◦ orden espacial. b) Un esquema temporal semi-implícito (Crank-Nicolson) 2. Implementar un código computacional para resolver el modelo discreto planteado. 3. Presentar superficie de evolución de u(x, y)), usando ν = 0.02, ν = 0.04, y ν = 0.1. En todos los casos considere que M = 1.0, y que la simulación debe cubrir el periodo 0.1 ≤ t ≤ 1.0. 4. Presentar un corto estudio del impacto de hacer refinamiento de malla (mediante cálculo del error absoluto) 5. Validar los resultados obtenidos con los resultados analíticos de la ecuación 4. 6. Obtener curvas de error que le permitan analizar los resultados obtenidos con distintos pasos de tiempo ∆t 1 Más

información sobre esta función Erf puede ser examinada en : https://mathworld.wolfram.com/Erf.html.

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Importante... La ecuación presentada es NO-lineal. La implementación de un esquema semi-implicito requerirá la incorporación de una estrategia iterativa centrada en la linealización del término convectivo. Importante... La solución analítica NO está adecuadamente definida en $t=0$, por lo que es indispensable que sus simulaciones y análisis SIEMPRE inicien en un valor diferente de cero. Acá se recomienda empezar las simulaciones desde $t=0.1$. Como referencia, a continuación se muestra el resultado esperado para u(x, t) para valores de  y M dados. Este caso aparece ampliamente documentado en Salsa [2016].

Figura 1: Solución del modelo unidimensional de Burgers con  = 0.04, y M = 1.0.

Caso 2.

Ecuación de difusión-convección transitoria 1D. (35 %)

Considerando la siguiente ecuacion de difusion-adveccion transitoria (Ver en J.H. Ferziger [2001], Cap. 3): ∂ρφ ∂ρuφ ∂ + = ∂t ∂x ∂x

  ∂φ Γ ∂x

(6)

Con condiciones de frontera Dirichlet dadas por:

φ(x = 0, t) = φ0

φ(x = L, t) = φL

donde L = 1.0, ρ = 1.0, u = 1.0, Γ = 0.025 y φL = 1.0. Considere la siguiente condición inicial:  π  π + φL sin x φ(x, 0) = φ0 cos x x 2

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¿Qué se debe realizar? Dadas las consideraciones anteriores, su grupo debe: 1. Usar esquemas para discretizar espacialmente la ecuación 6 usando: DF-CDS, DF-UDS y DF-Malla no uniforme. 2. Usando el esquema de avance temporal Euler hacia adelante, obtener numéricamente el perfil de φ. 3. Realizar experimentos numéricos y mostrar las soluciones de los esquemas empleados. 4. Discutir: Efecto del tamaño de malla Bondades o dificultades de cada esquema general de solución Presencia o ausencia de difusividad artificial (numérica) Presencia o ausencia de oscilaciones artificiales (numéricas) Implementación y beneficio de la utilización de un esquema Euler hacia atras.

Caso 3.

Distribución de productos desde puntos de Fábrica (30 %)

Una empresa de pantalones tiene tres fábricas en el país. Estas están ubicadas en Bogotá, Medellín y Cali. Tienen la capacidad de producir 3000, 1600 y 1120 pantalones al mes respectivamente. Por su parte, la empresa tiene puntos de distribución en varias capitales de departamentos: Tunja, Pereira, Armenia, Pasto, Arauca, Cartagena, Riohacha, Leticia, Florencia, Cúcuta y Quibdó, como se presenta en la figura 2

Figura 2: Mapa con las ciudades donde se tienen lás fábricas y los puntos de distribución. La empresa organiza su producción y su venta de manera que todo lo producido en enviado a los distintos lugares. Cada uno de los destinos debe recibir mensualmente lo mostrado en la tabla 1. Tunja 900

Per. 1000

Arm. 700

Pasto 800

Arauca 500

Cart. 1000

Rioh. 200

Let. 100

Flor. 50

Cuc. 400

Quibdo 70

Tabla 1: Cantidad de productos que deben ser enviados a cada punto de distribución. La empresa de envios realiza el cobro del transporte de productos desde los puntos de producción a las distintas ciudades a partir de los valores presentados en la tabla 2. Conociendo lo anterior, la empresa ha contactado a su grupo para conocer como debería ser la distribución de envios de manera que se cumpla con lo solicitado en la tabla 1, pero con el mínimo costo. Modelación Matemática

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Bogotá Medellín Cali

Tunja 50 120 140

Per. 100 40 80

Arm. 100 50 90

Pasto 150 100 80

Arauca 180 200 220

Cart. 170 140 180

Rioh. 200 220 240

Let. 150 170 180

Flor. 160 100 80

Cuc. 120 180 200

Quibdo 100 50 80

Tabla 2: Costos de envio por unidad entre los puntos de producción y distribución. Adicionalmente, de manera temporal, debido a problemas de logística en la empresa de envíos, se ha informado que el costo de envió va a estar determinado por una cantidad límite de productos que la distribuidora podrá llevar de un lugar a otro, cumpliendo la siguiente relación: C(i, j) =

C0 (i, j) 1−

(7)

N (i,j) L(i,j)

Donde C(i, j) es el costo que tendrá el envio de un punto de producción i a un destido de distribución j, C0 (i, j) es el costo base obtenido a partir de la tabla 2, N (i, j) será la cantidad de productos enviados entre un origen i y un destino j, y L(i, j) es el límite de productos que se podrán enviar entre i y j, obtenido a partir de la tabla 3.

Bogotá Medellín Cali

Tunja 500 300 300

Per. 800 500 300

Arm. 200 500 100

Pasto 200 100 600

Arauca 300 200 220

Cart. 700 300 300

Rioh. 100 100 100

Let. 50 100 100

Flor. 30 30 30

Cuc. 200 200 200

Quibdo 30 40 30

Tabla 3: Cantidad máxima de productos que pueden ser enviados (de manera temporal) entre un punto de producción y uno de distribución. ¿Qué se debe realizar? Dadas las consideraciones anteriores, su grupo debe: 1. Muestre claramente el desarrollo del problema de optimización y los pasos que realizó para su solución. 2. Se les ha solicitado encontrar la combinación optima de envios entre destinos y origenes para la situación general y para la coyuntura temporal de la empresa de envios. 3. Luego de la situación presentada por la empresa de envios, se observó un aumento de las ventas. Se incrementó entonces posteriormente 15 % la producción y la distribución en cada ciudad. ¿Cómo afectaría esto sus resultados iniciales? 4. Debido a que los productos en cada fabrica varian en calidad, diseño y estilo, muchos clientes se podrían sentir agradados por recibir nuevos estilos de ropa. Se desea entonces asegurar que al menos un 10 % de lo enviado provenga de cada una de las fábrícas (Todas las conexiones serán mayores que cero). ¿A partir del caso anteriormente mencionado. ¿Como afectaría esto su resultado? 5. Adicionalmente, el equipo financiero está inconforme con la forma de cobro que plantea la empresa de envios. Plantean que el costo unitario de envio debería disminuir conforme aumenta la cantidad de productos enviados. Plantee una posibilidad de cobro (De forma análoga a la presentado en 7), y muestre como se verían afectados sus resultados.

Referencias Sandro Salsa. Partial differential equations in action: from modelling to theory, volume 99. Springer, 2016. M.Peric J.H. Ferziger. Computational Methods for Fluid Dynamics. Springer Berlin Heidelberg, 2001. Modelación Matemática

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