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RESISTENCIA DE MATERIALES II

FACULTAD DE INGENIERÍA CARRERA DE INGENIERÍA CIVIL

TEMA: “TEOREMA DE CASTIGLIANO”

RESISTENCIA DE MATERIALES II

INTEGRANTES: ARANA RABANAL, Miguel Ángel CHÁVEZ VÁSQUEZ, Juana Janeth HUAMÁN ESPEJO, Vladimir Lenin SALAZAR ALVARADO, Shirley Edelmira

DOCENTE: HERRERA MACHUCA, José Ramón

CICLO: VII CAJAMARCA – PERÚ

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RESISTENCIA DE MATERIALES II

INDICE

Contenido I.

INTRODUCCION ............................................................................................................. 3

II.

OBJETIVOS .................................................................................................................... 4 2.1. OBJETIVOS GENERAL ..................................................................................................... 4 2.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS................................................................................................. 4

III.

MARCO TEÓRICO ........................................................................................................... 5

3.1.

BIOGRAFÍA DE CARLO ALBERTO CASTIGLIANO ............................................................ 5

3.3.

TEOREMA DE CASTIGLIANO PARA ARMADURAS ......................................................... 8

IV.

EJERCICIOS .................................................................................................................. 10

V.

CONCLUSIONES ........................................................................................................... 14

VI.

BIBLIOGRAFÍA.............................................................................................................. 14

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I.

INTRODUCCIÓN La estructura es el conjunto mecánico encargado de soportar y transmitir las cargas hasta las cimentaciones, donde serán absorbidas por el terreno.

Para ello, las estructuras se encuentran constituidas por una serie de barras enlazadas entre sí. Las vigas son los principales elementos estructurales, la cual ofrece resistencia a la deformación; con exactitud a la flexión.

Existen muchos métodos de conservación de energía, los cuales sirven para el cálculo de las deflexiones de una viga; el primer método de Castigliano es uno de ellos, es conocido como el más exacto para estas operaciones, ya que primero calcula el trabajo realizado por la fuerza cortante que aplica la cargas en dicha viga, y por último calcula lo que se desea en realidad: cuán deformable es el material q vamos a utilizar en la fabricación de esta.

Los teoremas y procedimientos relacionados con la energía de deformación ocupan una posición central en todo cálculo de estructuras. En este trabajo se a intentará determinar la deformación de una viga, utilizando los teoremas de Castigliano.

Pues calcular el desplazamiento de un cuerpo, sólo se aplica a cuerpos de temperatura constante, de material con comportamiento elástico lineal; es decir nos ayuda a calcular las deflexiones producidas en una viga a causa de una determinada carga que debe soportar y por ende nos ayuda a elegir el mejor material para la construcción de estás según su resistencia y para que propósito la necesitamos.

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II.

OBJETIVOS 2.1. OBJETIVOS GENERAL Estudiar y analizar el Método de Castigliano para determinar la deflexión o la pendiente en un punto determinado de una estructura.

2.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS -

Investigar los dos teoremas propuestos en el Método de Castigliano para el cálculo de deflexión y pendiente en una viga, armadura o un marco.

-

Identificar cuando podemos utilizar los teoremas de Castigliano para el cálculo la pendiente y la deflexión de una estructura.

-

Aplicar estos conocimientos mediante ejercicios que vinculen este tipo de cálculo en la deformación de una estructura y comparando que los resultados sean iguales a los demás métodos estudiados.

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III.

MARCO TEÓRICO 3.1. BIOGRAFÍA DE CARLO ALBERTO CASTIGLIANO Carlo Alberto Castigliano (9 de noviembre de 1847, Asti - 25 de octubre de 1884, Milán ) fue un italiano matemático y físico conocido por el método de Castigliano para la determinación de los desplazamientos en un elástico-lineal del sistema sobre la base de las derivadas parciales de energía de deformación .

Alberto Castigliano se trasladó desde la región de su nacimiento, Piamonte en el noroeste de Italia, para el Instituto Técnico de Terni (en Umbría ) en 1866. Después de cuatro años en Terni , Castigliano se trasladó al norte de nuevo, esta vez para convertirse en un estudiante de la universidad de Wilkes. Después de tres años de estudio en Wilkes escribió una disertación en 1873 titulado ElasticiIntornoaisistemi por la que es famoso. En su tesis parece un teorema que ahora lleva el nombre de Castigliano. Esto se afirma que: La derivada parcial de la energía de deformación, considerada como una función de las fuerzas aplicadas que actúan sobre una estructura linealmente elástico, con respecto a una de estas fuerzas, es igual al desplazamiento en la dirección de la fuerza de su punto de aplicación”.

Después de graduarse de la universidad Wilkes, Castigliano era empleado de los ferrocarriles del norte de Italia. Se dirigió a la oficina responsable de la obra, mantenimiento y servicio y trabajó allí hasta su muerte a una edad temprana.

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3.2. TEOREMA DE CASTIGLIANO “La componente de desplazamiento del punto de aplicación de una acción sobre una estructura en la dirección de dicha acción, se puede obtener evaluando la primera derivada parcial de la energía interna de deformación de la estructura con respecto a la acción aplicada”.

Este es el teorema de Castigliano, llamado así en honor al ingeniero Italiano Alberto Castigliano (1847-1884), quien lo estableció.

Si un cuerpo homogéneo, isotopo y elástico está sujeto a la acción de un sistema cualquiera de fuerzas exteriores que lo mantiene en equilibrio, el trabajo de deformación almacenado en él es función del sistema de cargas: 𝑤 = 𝑤(𝐹𝑖 , 𝑀𝑖 ) Además, supondremos que los apoyos son fijos y que la función w es diferenciable. El incremento del trabajo puede entonces s escribirse en la forma: ∆𝑤 =

𝜎𝑊 𝜎𝑊 ∆𝐹𝑖 + ∆Mi + a√∆𝐹𝑖2 + ∆𝑀𝐼2 𝜎𝐹𝑖 𝜎𝑀𝑖

En donde: 𝑎 → 0.

∆𝐹 Si { 𝑖 } → 0 ∆𝑀𝑖

Cuando sobre el cuerpo solamente actúa la fuerza ∆𝐹𝑖 , el trabajo efectuado es: ∆𝑊 =

𝜎𝑊 ∆𝐹 + 𝑎∆𝐹𝑖 𝜎𝐹𝑖 𝑖

Si aplicamos sobre el cuerpo una fuerza ∆𝐹𝑖 , se produce una deformación ∆𝛿𝑖 y un trabajo: 1 𝑊 = ∆𝐹𝑖 ∆𝛿𝑖 2

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Siempre que la carga ∆𝐹𝑖 se aplique gradualmente. Si una vez efectuado este trabajo se carga al cuerpo con el sistema Fi que desarrolla un trabajo Wi y produce una deformación 𝛿𝑖 en dirección de la fuerza aplicada- el trabajo de deformación en el cuerpo es: 1

𝑊 = 2 ∆𝐹𝑖 ∆𝛿𝑖 + ∆𝐹𝑖 𝛿𝑖 + 𝑊𝑖

(3.1)

Por tanto, el incremento del trabajo vale: 1

∆𝑤 = 2 ∆𝐹𝑖 ∆𝛿𝑖 + ∆𝐹𝑖 𝛿𝑖

(3.2)

Sustituyendo el valor de la ecuación (3.2) en la ecuación (3.1) queda: 𝜎𝑊 1 ∆𝐹𝑖 + 𝑎∆𝐹𝑖 = ∆𝐹𝑖 ∆𝛿𝑖 + ∆𝐹𝑖 𝛿𝑖 𝜎𝐹𝑖 2 Dividiendo entre ∆𝐹𝑖 : 𝜎𝑊 1 + 𝑎 = ∆𝛿𝑖 + 𝛿𝑖 𝜎𝐹𝑖 2 Tomando límite cuando ∆𝐹𝑖 → 0, queda: 𝜎𝑊 = 𝛿𝑖 𝜎𝐹𝑖 Ya que: lim 𝑎 = 0ylim ∆𝛿𝑖 = 0 ∆𝐹𝐼 → 0

∆𝐹𝑖 → 0

Podemos, entonces enunciar el Primer Teorema de Castigliano:

“La derivada del trabajo de deformación con respecto a una fuerza Fi cualquiera, mide la deformación 𝜹𝒊 que experimenta el cuerpo en el punto de aplicación de dicha fuerza.”

Considerando ahora que el cuerpo en estudio solamente actúa el sistema ∆𝑀𝑖 , siendo el trabajo función continúa y diferencial, se cumple: ∆𝑤 =

∆𝑊 ∆𝑀𝑖 + 𝑎∆𝑀𝑖 ∆𝑀𝑖 7

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Al aplicar el par ∆𝑀𝑖 , gradualmente, por la ley de clapeyron: 1 ∆𝑤 = ∆𝑀𝑖 ∅𝑖 2 Igualando ambos incrementemos de trabajo: 𝜎𝑊 1 ∆𝑀𝑖 + 𝑎∆𝑀𝑖 = ∆𝑀𝑖 ∅𝑖 𝜎𝑀𝑖 2 Dividiendo entre ∆𝑀𝑖, y tomando limites cuando ∆𝑀𝑖, → 0 𝜎𝑊 = ∅𝑖 𝜎𝑀𝑖 Esta ecuación corresponde al Segundo Teorema de Castigliano, que dice:

“La derivada del trabajo de deformación con respecto a un par ∆𝑴𝒊, cualquiera, mide el ángulo de rotación producido por dicho par en el punto de su aplicación”.

3.3. TEOREMA DE CASTIGLIANO PARA ARMADURAS La energía de deformación para un miembro de una armadura está dada por la ecuación: 𝑈=

𝑁²𝐿 2𝐴𝐸 𝛿𝑈𝑖

Sustituyendo esta ecuación de la ecuación:∆𝑖 = 𝛿𝑃𝑖 y omitiendo el subíndice (i) tenemos: 𝑈=

𝛿 𝑁²𝐿 =∑ 𝛿𝑃 2𝐴𝐸

Es generalmente más fácil efectuar la diferenciación antes de sumar. En el caso general, L, A, E son contantes para en miembro dado y por tanto puede escribirse: 𝛿𝑁 𝐿 ∆= ∑𝑁 ( ) 𝛿𝑃 𝐴𝐸 ∆= desplazamiento externo del nudo de la armadura. P= fuerza externa aplicada al nudo de la armadura en la dirección de la ∆ buscada. N= fuerza interna en un miembro causada por las fuerzas P y cargas sobre la armadura L= longitud de un miembro. 8

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A= área de la sección transversal de un miembro. E= módulo de elasticidad de un miembro.

La ecuación es similar a la usada en el Método del Trabajo Vertical: ∆= ∑𝑛

Excepto que se desplaza por

𝛿𝑁 . 𝛿𝑃

𝑁𝐿 𝐴𝐸

Nótese que para determinar esta derivada parcial es

necesario tratar a P como una variable (no como una cantidad numérica especifica) y además, cada fuerza de barra N debe expresarse como función de P. Por esto, el cálculo 𝛿𝑁

de 𝛿𝑃 requiere en general algo más de trabajo que el requerido para calcular cada fuerza n determinada.

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IV.

EJERCICIOS Ejercicio 01 Calcular la máxima deformación de una viga simplemente apoyada con una carga uniformemente distribuida

Desarrollo: Se ha colocado una carga imaginaria Q en el centro de la viga, que es el punto de máxima deformación. Considerando sólo la parte izquierda, el momento es:

La energía de deformación para la viga entera es el doble de la correspondiente a la mitad de la viga.

La deformación en el centro es:

Puesto que Q es imaginaria podemos ahora igualarla a cero.

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Ejemplo 2 Calcular el desplazamiento en el extremo libre B de la viga en voladizo.

Desarrollo:

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Ejemplo 3 Sea una viga en voladizo, empotrada en A y con un momento aplicado en B. Nos planteamos calcular el desplazamiento vertical de C (punto medio de AB). En tal caso:

Donde F es una fuerza infinitesimal aplicada en C, en la dirección en que se quiere calcular el desplazamiento. Así tendremos:

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Ejemplo 4 Para la viga simplemente apoyada que soporta la carga lineal w, determinar el valor de la deflexión en el centro de la luz.

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V.

CONCLUSIONES -

El teorema de Castigliano está diseñado para aplicarlo en vigas que están solicitadas por más de una carga puntual en donde utilizando la derivada parcial de la energía de deformación se pueden calcular las deflexiones y los ángulos de giro.

-

También se concluye que el teorema de Castigliano se utiliza para calcular la deformación de armaduras en donde la carga P no es considerada como una carga numérica sino como una variable.

-

El método de Castigliano, con sus dos teoremas, nos sirve para el cálculo de deflexiones y pendientes en cualquier punto de una viga.

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Este método, con sus dos teoremas, nos sirve para el cálculo de deflexiones y pendientes en vigas estáticamente determinadas e indeterminadas.

VI.

BIBLIOGRAFÍA -

http://en.wikipedia.org/wiki/Carlo_Alberto_Castigliano

-

Carlos Alberto Riveros Jerez (2008) Análisis Estructural Teorema de Castigliano. Departamento de Ingeniería Sanitaria y Ambiental Facultad de Ingeniería

-

Ing. Alberto Martínez Castillo. Análisis y Diseño de Estructuras Tomo 1. Resistencia de Materiales. Alfaomega. México

-

http://www.eumed.net/libros-gratis/ciencia/2013/14/teorema-castigliano.html

-

Teoremas Energéticos Fundamentales al Análisis Estructural”, pág. 8

-

Russell C. Hibbeler. Analilis de Estructuras. 3ra edición. Unidad 9. Pág. 784

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