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Estrategias didácticas para el curso de actualización del Departamento de Ciencias Básicas Mario Alberto Lezama Rojas Co–autor y compilador Julio 2019

T ECNOLÓGICO N ACIONAL DE M ÉXICO Instituto Tecnológico de Puebla Departamento de Ciencias Básicas Participantes Alam García Fernández

Josefina Sánchez Aguilar

Alfredo Hernández Andrade

María de los Ángeles Pérez Azcona

Angelica Jazmín Vázquez Vallejo Armando Guerra Aguilar Armando Guerra Aguilar

Margarita Raquel García Sierra Mario Alberto Lezama Rojas

Cecilio Filemón Rosales Carrión

Martha Patricia Pacheco Espejel

Eleazar Cacique Valenzuela,

Óscar del Ángel Cid Turcott

Fabiola Melo Ruiz

Raymundo Mendoza Vázquez

Issac Huixtlaca Cuatecatl Jaime Alejandro Romero Sierra Jorge Manuel Ordoñez Padilla José Emilio Guillermo Ortega Balbuena

Ricardo Victoria López Rubén Torres y Torres Salvador Bueno Cebada Sebastián Miguel Varela López

Agosto 2018, Oaxtepec, Morelos Co–autoría, edición, maquetación, formación y compilación: M ARIO A LBERTO L EZAMA R OJAS Versión 1.2 en LATEX Imágenes: InkScape

Índice general

1

Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1

Suma o adición

1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.1.5

Actividad 1 Actividad 2 Actividad 3 Actividad 4 Actividad 5

1.2

Resta, diferencia o sustracción

11

1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5

Actividad 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actividad 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actividad 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actividad 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actividad 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 12 12 12 13

1.3

Multiplicación o producto

13

1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4

Actividad 11 Actividad 12 Actividad 13 Actividad 14

13 13 14 14

1.4

División o cociente

14

1.4.1 1.4.2 1.4.3 1.4.4 1.4.5

Actividad 15 Actividad 16 Actividad 17 Actividad 18 Actividad 19

15 15 15 16 16

7

...................................................... 7 ...................................................... 9 ...................................................... 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

.................................................... .................................................... .................................................... .................................................... .................................................... .................................................... .................................................... .................................................... ....................................................

1.5

Potencias

16

1.5.1 1.5.2

Actividad 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Actividad 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6

Raíces

1.6.1 1.6.2

Actividad 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Actividad 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.7 1.8

Ejercicios mixtos Lectura de números

1.8.1 1.8.2

Actividad 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Actividad 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.9

Operaciones con fraccciones

21

1.9.1 1.9.2 1.9.3 1.9.4 1.9.5

Actividad 26. Suma de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actividad 27. Resta o diferencia de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actividad 28. Fracciones mixtas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actividad 29. Producto o multiplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actividad 30. División o cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21 22 22 23 23

1.10

Razones y proporciones

24

17

18 19

1.10.1 Actividad 31. Resolver razones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.10.2 Regla de tres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.10.3 Actividad 32. Resolver regla de tres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2

Álgebra elemental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.0.1 2.0.2

Los signos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Actividad 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.1

Signos de agrupación matemáticas

2.1.1 2.1.2

Actividad 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Jeraquias de los signos de agrupación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2

Potenciación

2.2.1

Actividad 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3

Exponentes fraccionarios

2.3.1

Actividad 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4

Notación científica

2.4.1

Actividad 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.5

Polinomios

2.5.1

Actividad 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.6

Factorización

2.6.1

Actividad 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.7

Ecuaciones de primer grado y despejes

2.7.1

Actividad 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.8

Los logaritmos

2.8.1 2.8.2

Logaritmos en la calculadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Actividad 41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

29

30 32 34 37 44 46 48

3

Trigonometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.1

Triángulos

3.1.1

Actividad 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

57

Anexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Libros

69

1. Aritmética

Mario Alberto Lezama Rojas

Aritmética mental . . . todo este apartado. cálculo mental y la estimación son habilidades que se desarrollan de manera superficial en primaria y al llegar a la secundaria esas habilidades se pierden por el uso de la calculadora, debido a la comodidad y seguridad que la misma ofrece al obtener un resultado.

E 1.1

L

Suma o adición La suma o adición es la operación matemática que resulta al reunir en una sola varias cantidades.Objetivo: Desarrollar la habilidad de sumar enteros.

1.1.1

Actividad 1 Sumar las dos cifras: • • • • • • • •

2 2 3 3 1 3 5 4

1 7 2 4 5 6 3 5

• • • • • • • •

7 6 2 6 3 4 7 5

2 1 5 2 4 5 1 2

• • • • • • • •

3 1 5 4 6 3 1 3

6 8 3 4 1 3 4 6

Capítulo 1. Aritmética

8 Sumar las dos cifras: • • • • • • • •

2 7 4 5 9 8 7 9

1 6 8 6 5 6 8 3

• • • • • • • •

7 6 4 7 9 5 9 8

• • • • • • • •

7 6 4 7 9 5 9 8

3 4 6 3 2 4 3 1

• • • • • • • •

7 6 4 7 9 7 9 8

8 5 4 9 9 8 8 6

• • • • • • • •

9 3 9 6 5 1 3 9

6 5 5 7 9 8 5 6

• • • • • • • •

9 3 9 6 5 1 3 9

8 6 4 1 3 8 4 3

6 8 5 8 7 9 5 8

6 5 4 7 9 8 7 6

• • • • • • • •

9 8 9 6 9 4 3 9

8 6 7 8 1 8 8 7

6 8 5 8 9 9 5 8

6 5 5 7 9 8 5 6

6 8 5 8 7 9 5 8

Sumar las tres cifras: • • • • • • • •

2 2 2 3 3 2 2 4

2 6 3 4 3 5 2 2

1 1 4 2 3 1 2 3

Sumar las tres cifras: • • • • • • • •

9 8 7 3 3 2 7 6

5 6 7 8 8 3 7 8

7 4 8 9 8 3 7 2

Sumar filas y columnas De izquierda a derecha, de arriba hacia abajo, de derecha a izquierda de de abajo hacia arriba. 2 3 4 3 1 4 3

1 1 2 2 4 3 1

3 4 1 1 2 2 1

4 1 4 2 3 1 4

Tarea: En el espacio de la derecha de la tabla, genera dos listas más con la misma intención.

1.1 Suma o adición 1.1.2

9

Actividad 2 Sumar las dos números: • • • • • • • •

1.1.3

12 24 34 13 19 14 27 16

1 7 2 4 5 6 3 5

• • • • • • • •

67 31 33 49 3 4 31 5

6 7 5 2 55 78 6 56

• • • • • • • •

2 3 5 4 6 3 1 3

67 31 33 49 31 40 31 51

61 70 59 22 55 78 66 56

• • • • • • • •

21 38 51 47 64 32 15 32

71 29 56 88 49 45 81 90

Actividad 3 Sumar las dos números: • • • • • • • •

12 24 34 13 19 14 27 16

12 73 22 41 53 63 30 53

• • • • • • • •

71 29 56 88 49 45 81 90

Localizar dígitos Localizar dígitos en horizontal o vertical, para que la suma se 9 en números contiguos. 5 3 1 6 3 0 3 3 3 1 7

1 5 2 1 6 1 0 6 0 1 2

3 5 5 0 2 5 1 4 1 6 1

0 4 1 8 1 0 5 5 0 3 4

6 4 3 3 1 1 2 2 6 1 2

2 3 6 1 3 0 7 1 2 3 3

1 6 8 5 1 3 2 1 1 2 3

3 2 1 2 8 2 5 3 4 5 6

1 1 2 6 3 1 2 5 3 0 3

Tarea: generar dos tablas semejante para que la suma sea 8 y 13, respectivamente.

Capítulo 1. Aritmética

10 1.1.4

1.1.5

Actividad 4 En cada número, sumar los dígitos correspondientes. •

9,009

•

•

999,099

•

•

999,099

•

•

909

•

•

909,909

•

90,890

•

1,099

1,009 •

99,099

•

909

•

9,090,999

•

9,009,999

• 900,009

•

919,191

919,191 •

909,900

•

•

911,119

99,099

90,101

99,999

Actividad 5 Sumas mentales 1. ¿Cuánto suman los primeros 10 números naturales? 2. . . . y ¿los primeros 20 números naturales? 3. . . . y ¿los primeros 100 números naturales? 4. En un paquete de cartas de poker ¿cuánto suman los ases?

Figura 1.1.1: Figuras del poker.

5. . . . y ¿cuanto suman los diamantes?, sin contar los «muñecos». 6. Si A = 1, J = 11, Q = 12 y K = 13, ¿cuánto suman todos los «muñecos»?

Figura 1.1.2: Los «muñecos» del poker.

7. ¿Cuánto suman los «puntos» de un dado? 8. Si a = 1, b = 2, c = 3, y así sucesivamente ¿cuánto suma la palabra tecnológico? 1 9. Elabora un cuadro mágico de tres por tres, que al colocar los números del 1 al 9 sume 15 en columnas, renglones y diagonales.

1 Para

la suma, ignorar el acento.

1.2 Resta, diferencia o sustracción

11

Tarea: desarrolla un dominó matemático con sumas. Ver figura 1.1.3.

Figura 1.1.3: Dominó matemático con sumas.

1.2

Resta, diferencia o sustracción Es la operación inversa a la suma que tiene por objeto, dada la suma de dos sumandos (minuendo) y uno de ellos (sustraendo) hallar el otro sumando (resta, exceso o diferencia). Su signo es un guión corto (−) y se coloca entre el minuendo y el substraendo. Objetivo: Desarrollar la habilidad de restar enteros.

1.2.1

Actividad 6 Restar las dos cifras: de forma que la diferencia o resta sea positiva o igual a cero. • • • • • • • •

2 2 3 3 1 3 5 4

1 7 2 4 5 6 3 5

• • • • • • • •

7 6 2 6 3 4 7 5

2 1 5 2 4 5 1 2

• • • • • • • •

3 1 5 4 6 3 1 3

6 8 3 4 1 3 4 6

Capítulo 1. Aritmética

12 1.2.2

Actividad 7 Restar los dos números. • • • • • • • •

1.2.3

48 28 36 78 77 98 87 69

• • • • • • • •

17 12 14 15 55 26 66 24

39 79 97 96 97 86 79 89

• • • • • • • •

16 55 54 84 77 62 58 45

43 28 36 78 77 93 82 61

13 19 18 19 58 26 66 24

Actividad 8 Restar 5 y 7 de cada Restar 6 y 3 de cada Restar 8 y 4 de cada par de números. par de números. par de números. • • • • • • • •

1.2.4

48 28 36 78 77 98 87 69

• • • • • • • •

17 12 14 15 55 26 66 24

39 79 97 96 97 86 79 89

16 55 54 84 77 62 58 45

• • • • • • • •

43 28 36 78 77 93 82 61

13 19 18 19 58 26 66 24

Actividad 9 Restar mentalmente. • • • • • • • • • •

100 100 100 100 100 100 100 100 100 100

-

7 8 - 5 - 4 - 2 - 1 - 9 3 7 - 8 - 5 - 4 - 6 - 1 9 3 - 7 - 8 - 5 - 2 - 6 1 9 - 3 - 7 - 8 - 4 - 2 6 1 - 9 - 3 - 7 - 5 - 4 2 6 - 1 - 9 - 3 - 8 - 5 4 2 - 6 - 1 - 9 - 7 - 8 5 4 - 2 - 6 - 1 - 3 - 7 8 5 - 4 - 2 - 6 - 9 - 3 17 - 18 - 5 - 14 - 12 - 10 - 9

1.3 Multiplicación o producto 1.2.5

13

Actividad 10 Restar mentalmente. Un millón menos diez. Un millón menos diez mil. Diez millones menos cinco mil. Cincuenta millones menos cien mil. Dos millones menos diez. Tres millones menos diez mil. Cinco millones menos cien mil. Veinte millones menos veinte mil. Millón y mediomenos cien.

1.3

Multiplicación o producto Objetivo: Desarrollar la habilidad de multiplicar enteros.

1.3.1

Actividad 11 Multiplicar por 2, 3 y 4, los pares números de cada columna, respectivamente. • • • • • • • •

1.3.2

2 2 3 3 1 3 5 4

1 7 2 4 5 6 3 5

• • • • • • • •

7 6 2 6 3 4 7 5

2 1 5 2 4 5 1 2

• • • • • • • •

3 1 5 4 6 3 1 3

6 8 3 4 1 3 4 6

• • • • • • • •

3 1 5 4 6 3 1 3

6 8 3 4 1 3 4 6

Actividad 12 Multiplicar las dos cifras de cada columna. • • • • • • • •

3 5 3 1 7 0 8 3

1 7 0 4 5 6 3 5

• • • • • • • •

9 7 3 5 8 3 1 0

2 1 5 2 4 5 1 2

Capítulo 1. Aritmética

14 1.3.3

Actividad 13 Multiplicar las dos números de cada columna. Por ejemplo: 23 × 5 = (20 + 3)(5) = 20 × 5 + 3 × 5 = 100 + 15 = 115 • • • • • • • •

1.3.4

21 23 34 13 19 14 27 16

1 7 0 4 5 6 3 5

• • • • • • • •

20 56 27 33 45 48 38 90

2 1 5 2 4 5 1 2

• • • • • • • •

31 11 55 48 62 32 18 39

6 8 3 4 1 3 4 6

Actividad 14 Multiplicar las dos números de cada columna. Por ejemplo: 23 × 54 = (20 + 3)(50 + 4) = 20 × 50 + 20 × 4 + 3 × 50 + 3 × 4 = = 1000 + 80 + 100 + 50 + 10 + 2 = 1242 • • • • • • • •

1.4

30 53 31 17 70 0 82 38

11 17 0 54 65 96 33 55

• • • • • • • •

19 67 33 75 98 32 18 0

21 16 58 24 42 59 12 21

• • • • • • • •

34 13 59 46 68 30 16 31

16 48 23 64 81 23 14 56

División o cociente El concepto de cociente, término cuyo origen se remonta al vocablo latino quotiens (de quot, «cuantos»), tiene dos grandes aplicaciones. En el campo de la matemática, se conoce como cociente al resultado al que se llega tras dividir un número por otro. En este sentido, el cociente sirve para indicar qué cantidad de veces el divisor está contenido en el dividendo. La cantidad que sobra luego de una división (como pasa si un número no puede ser dividido exactamente por otro). Ejemplo: 21 no puede ser dividido exactamente por 5. Lo más cerca que se puede llegar sin pasarse es 5 × 4 = 20, lo cual es 1 menos que 21. Entonces la respuesta de 21 ÷ 4 es 5 con un residuo de 1.

1.4 División o cociente 1.4.1

15

Actividad 15 Dividir los dos números de cada columna. • • • • • • • •

1.4.2

2 4 9 6 8 6 4 8

1 2 3 2 2 3 4 4

• • • • • • • •

8 6 5 8 8 8 8 6

2 6 1 4 2 8 1 3

• • • • • • • •

4 6 4 3 3 8 6 5

• • • • • • • •

17 12 18 10 18 24 40 14

1 4 3 5 2 3 4 2

• • • • • • • •

36 44 48 45 60 69 38 39

12 11 12 15 15 23 18 13

1 1 4 3 1 4 6 5

Actividad 16 Dividir los dos números de cada columna. • • • • • • • •

1.4.3

12 15 14 16 15 18 25 16

1 3 2 4 5 3 5 2

• • • • • • • •

18 20 21 24 20 12 35 28

2 4 3 4 5 4 5 4

Actividad 17 Dividir los dos números de cada columna. • • • • • • • •

12 24 14 16 15 24 25 16

3 8 2 4 5 6 5 2

• • • • • • • •

42 96 34 56 75 84 85 46

3 8 2 4 5 6 5 2

Capítulo 1. Aritmética

16 1.4.4

Actividad 18 Dividir entre dos cada par de números.

• • • • • • • •

1.4.5

36 22 44 48 76 68 86 54

54 60 76 60 14 98 78 54

• • • • • • • •

54 60 75 60 42 54 21 90

18 12 39 66 84 96 15 78

• • • • • • • •

55 40 15 20 60 65 35 75

25 45 85 10 50 95 85 34

Actividad 19 Dividir entre dos y entre tres cada número de las columnas, respectivamente. • • • • • • • •

1.5

Dividir entre tres ca- Dividir entre cinco da par de números. cada par de números.

36 44 48 76 60 68 38 54

21 18 36 12 85 93 27 48

Dividir entre cinco y siete cada número de las columnas, respectivamente.

Dividir entre ocho y nueva cada número de las columnas, respectivamente.

• • • • • • • •

• • • • • • • •

35 45 40 75 60 65 30 55

21 28 35 14 84 91 42 49

88 48 72 80 32 64 24 16

27 18 36 54 81 99 45 63

Potencias Las potencias son una manera abreviada de escribir una multiplicación formada por varios números iguales. Son muy útiles para simplificar multiplicaciones donde se repite el mismo número. Las potencias están formadas por la base y por el exponente. Por ejemplo: 34 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3, donde 3 es la base, y 4 el número al que se eleva la base, esto es, 4 es el número de veces que se multiplica pos sí mismo el 3. Objetivo: Desarrollar la habilidad de elevar a una potencia n números enteros.

1.6 Raíces 1.5.1

Actividad 20 Elevar al cuadrado y al cubo cada uno de los números de la tabla. • • • • • • • •

1.5.2

2 3 1 4 3 2 5 4

5 3 6 4 8 9 7 3

• • • • • • • •

9 4 2 9 2 8 7 9

5 3 7 3 9 8 4 3

• • • • • • • •

5 3 6 4 3 8 7 9

9 2 8 5 4 6 1 0

Actividad 21 Elevar al cuadrado los números de la primera columna, y al cubo cada número de la segunda columna, de cada una de las series. • • • • • • • •

1.6

17

12 11 14 16 15 18 13 16

3 8 2 4 5 6 5 2

• • • • • • • •

19 11 18 12 17 13 16 14

9 8 7 8 7 6 5 8

• • • • • • • •

12 15 18 13 14 17 11 29

6 9 8 7 6 7 7 9

Raíces La raíz cuadrada de un número entero positivo es el valor positivo que elevado al cuadrado es igual a dicho número.El radicando es siempre un número positivo o igual a cero, ya que todo número al cuadrado es positivo.

1.6.1

Actividad 22 Calcular la raíz cuadrada de cada número de la tabla. • • • • • • • •

36 49 16 04 81 25 09 64

36 49 81 36 25 64 16 04

• • • • • • • •

64 81 25 04 16 36 81 09

09 36 49 81 09 04 12 64

• • • • • • • •

225 169 256 361 121 196 289 144

324 256 361 169 144 121 196 289

Capítulo 1. Aritmética

18 1.6.2

Actividad 23 Calcular la raíz cúbica de cada número de la tabla. • • • • • • • •

1.7

225 216 256 361 343 196 125 324

121 196 729 324 512 225 169 216

• • • • • • • •

008 125 729 064 361 196 008 289

• • • • • • • •

729 512 144 121 216 324 289 64

225 169 256 361 121 196 289 144

324 256 361 169 144 121 196 289

Ejercicios mixtos Con las tablas anteriores se pueden proponer diferentes ejercicios, combinando las cuatro operaciones básicas. A continuación algunos ejemplos. 1. 2. 3. 4. 5.

Sumar las tres cifras. Multiplicar las tres cifras. Duplicar los números de la primera columna y sumar los otros dos. Triplicar los números de la primera columna y sumar los otros dos. Diga 5, y súmele el doble del número de la segunda columna y restar el de la tercera columna. 6. Multiplicar por 5 el número de la primera columna, sumar el de la segunda, y restar el de la tercera columna. 7. Triplicar los números de las tres columnas y sumarlos. • • • • • • • •

2 2 2 3 3 2 2 4

2 6 3 4 3 5 2 2

1 1 4 2 3 1 2 3

Tarea: Con estas ideas y con las tablas de los ejercicios anteriores, generar más actividades donde se involucren las operaciones básicas, sin olvidar: el doble, el triple, elevar al cuadrado, al cubo, etcétera; también la raíz cuadrada o cúbica. Dividir por 5, o por 4, según la divisibilidad. El nivel del grupo y el desarrollo de sus habilidades de aritmética mental determinará el alcance y la complejidad de los ejercicios en clase.

1.8 Lectura de números

1.8

19

Lectura de números Para leer o escribir numerales con varios dígitos en el sistema decimal de numeración se deben hacer agrupamientos de tres cifras, de derecha a izquierda, a las que llamamos clase. Estas clases indican una posición horizontal como se puede observar en la siguiente tabla:

Figura 1.8.1: Sistema de numeración decimal.

Por ejemplo, la lectura de: 624, 798, 305

Figura 1.8.2: Lectura de 624, 798, 305

1.8.1

Actividad 24 Leer los números mostrados en la tabla 1.8.1. 115,352 201,700 934,393

984,197 810,337 182,975

713,042 724,044 777,388

918,694 187,720 934,382

Tabla 1.8.1: Leer la tabla en miles.

607,437 329,703 116,353

Capítulo 1. Aritmética

20 1.8.2

Actividad 25 Leer los números mostrados en la tabla 1.8.2. 2,324,587,891

9,786,856,201

5,388,673,925

2,774,942,606

9,128,839,734

1,725,168,214

5,834,915,159

2,204,693,084

2,667,487,018

5,556,087,457

5,770,638,161

7,022,348,244

Tabla 1.8.2: Leer la tabla en miles millones.

42,699,954,121

70,522,938,286

32,014,733,520

568,852,831,365

19,279,601,876

39,895,237,315

70,519,803,056

238,943,077,527

15,959,683,669

31,977,262,398

69,437,813,806

920,892,754,081

45,980,128,613

24,851,468,715

56,739,393,693

411,976,389,894

Tabla 1.8.3: Leer tabla en miles de millones.

41,632,642,209,462

464,479,044,724,674

691,531,343,071,690

20,856,115,794,149

986,088,704,293,974

761,934,066,564,353

45,500,144,877,127

373,120,304,096,429

739,814,374,286,808

63,556,227,775,121

810,033,451,337,069

947,159,511,491,807

Tabla 1.8.4: Leer tabla en billones.

Ejemplos de escritura de números con letra. Número 573, 845 26 823 52, 803 43, 468, 724, 056 398.23 2.718281 8, 452, 381 −700.77

letra quinientos setenta y tres mil ochocientos cuarenta y cinco. veintiséis. ochocientos veintitrés. cincuenta y dos mil ochocientos tres. cuarenta y tres mil cuatrocientos sesenta y ocho millones setecientos veinticuatro mil cincuenta y seis. trescientos noventa y ocho con veintitrés centésimas. dos enteros setecientos dieciocho mil doscientos ochenta y una millonésimas. ocho millones cuatrocientos cincuenta y dos mil trescientos ochenta y uno. menos setecientos con setenta y siete centésimas.

1.9 Operaciones con fraccciones

21

Tarea: selecciona de las tablas: 1.8.1, 1.8.2, 1.8.3 y 1.8.4, algunos números, y escribe con letra los números seleccionados. Número

1.9

letra

Operaciones con fraccciones Colaboradores: Óscar del Ángel Cid Turcott, Rubén Torres y Torres, María de los Ángeles Pérez Azcona y Jaime Alejandro Romero Sierra. Una fracción se define como el cociente o razón de dos objetos. Las fracciones se clasifican de acuerdo a la aritmética en: Suma de fracciones Resta de fracciones Multiplicación de fracciones Cociente de fracciones y operaciones mixtas

1.9.1

Actividad 26. Suma de fracciones 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

2 7 + = 3 3 3 4 − = 7 7 3 5 + = 2 4 1 1 + = 3 2 2 6 + = 5 15 4 9 5 + + = 12 3 6 5 7 + = 4 4 2 5 +1 = 3 3

9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

3 2 + = 7 7 4 1 + = 8 4

 + =  4 a c + = b b a c + = b d 2a 5a + = b b β β + = 2 3 3 2 + = 4 5

Capítulo 1. Aritmética

22 17.

1.9.2

a)

18.

Calcular la proporción de la fracción de la siguiente operación.

19.

En la siguiente figura represente 2/3.

20.

Represente mediante la división de una figura 7/4.

Actividad 27. Resta o diferencia de fracciones

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

1.9.3

7 3∞ + =5 ∞ 4 3 4 =9 b) + 8 24

¿Cuál es el valor que cumple cada expresión?

2 7 + = 3 3 5 2 − = 6 6 7 2 − = 9 3 11α 23α − = 3 9 3 2 1 4 + − + = 2 5 3 6 3 2  4 + − + = 2M 5M 3M 6M φ 3φ − + = 8 5

8. 9. 10.

7 3 − = 9 7 3 5 − = 2 4 Colorear el resultado de restar.

¿Cuál es el valor que cumple cada expresión? 11.

7 ⊕

− 3⊕ 4 = 12

12.

β 13

8 − 4β = 20

Actividad 28. Fracciones mixtas

1.

y m X +L = z z

3.

b k A +M = c c

2.

1 8 1 −2 = 3 3

4.

4 2 2 +4 = 8 4

1.9 Operaciones con fraccciones 5. 6.

1.9.4

7. 8.

1 3 1 6 −4 −1 = 7 5 9 5 6 2 3 −6 +4 = 11 3 9

Actividad 29. Producto o multiplicación

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

1.9.5

3 4 6 +5 = 7 21 4 2 5 −8 = 3 9

23

   9 2 = 2 7    −4 7 = 4 7    −8 3 − = 3 9    −2 6 = 4 3    13 26 = 4 2    3 7 = 4 9 α α  = 8 7



  4∞ 5 8. = 3 6    4M 2 8 = 9. 3 9 3 10. Si un cargador portátil (Power Bank) soporta 3 y 4/5 de la carga de un celular y cada carga dura 1 y 3/8 de día. ¿Cuántos días de carga se tendrá por el cargador portátil? 11. Un banco cobra una comisión de 70/100 de pesos por operación, si un centro comercial genera 14 operaciones bancarias por hora. ¿Cuánto gana por comisiones el banco por día y por mes?

Actividad 30. División o cociente

1.

    3 5 ÷ = 7 6

2.

1 4 7 5

3.

3 7 5 4

4.

=

5.

6. 7.

=

3 7 /5 = 4

8. 9.

7 8 /2 = 6     4 12 ÷ = 5 10     6 5 ÷ = 8 9     3 4 13 ÷ 11 = 8 7     2∞ 4∞ 5 ÷ 7 = 15 5

10. Una pizza normal cuenta con 16 rebanadas cada una si se compran 3 pizzas entre 18 personas,

Capítulo 1. Aritmética

24 ¿Qué porción en fracción de pizza le toca a cada persona para que se haga una repartición equitativa? 11. ¿Cuál es el valor numérico de la división? de:

1.10

Razones y proporciones Colaboradores: Óscar del Ángel Cid Turcott, Rubén Torres y Torres, María de los Ángeles Pérez Azcona y Jaime Alejandro Romero Sierra. 8 10 6 2 = , = . A partir de esta relación, resuelve el valor de la 2 3 3 12 variable correspondiente. Recuerda que:

1.10.1

Actividad 31. Resolver razones 1.

x 2x = 5 10

2.

a 7a = b 7b

3.

y 4 = 3 15

4. 5. 6. 7.

5 10 = , entonces determina el 4 8 ∆ ∇ valor de ∆ y ∇, para = . 4 8

11. Si

12. ¿Son las siguientes expresiones una proporción?

1 x = 2 6 ∇ 9 = 7 11 4 3 = 22 z 2/3 1/2 =  5/7 3 11 : 5 12

a)

5 10 = 4 8

b)

∆ ∇ = 4 8

c)

1 7 = 4 28

d)

1 3 = 5 4

f)

6 18 = 12 36

8.

7 : α ::

9.

2 3 6 : :: µ : 3 7 9

13. Una cantidad y es dos veces otra cantidad x.

10.

1 2 2 4 : :: : 5 3 7 M

14. Una cantidad m es la mitad de otra cantidad n.

1.10 Razones y proporciones 15. Una cantidad p es las dos terceras partes de otra cantidad n. 16. Una cantidad r es ocho tercios de otra cantidad s.

1.10.2

Regla de tres

1.10.3

Actividad 32. Resolver regla de tres

25 17. En un salón de clases la razón de 3 mujeres y hombres es de , si en 4 total había 40 personas; ¿qué cantidad de mujeres y de hombres había?

1.

9 ∇ = 7 11

5.

3 : 2 :: & : 11

2.

4 3 = 22 z

6.

7 : α ::

3.

1/2 2/3 =  5/7

7.

6 2 3 : :: µ : 3 7 9

4.

2/15 # = 8/9 7/15

8.

1 2 2 4 : :: : 5 3 7 M

3 11 : 5 12

9. ¿Cuántos frijoles hay en un saco de 50 Kg, si un frijol pesa 1.5 g? 10. Si con 36.6 g de ácido clorhídrico hago con 1 l de solución a 1 m ¿Cuántos gramos de Ácido Clorhídrico necesito para hacer 125 ml de solución a 1 m? 11. Se prepara un licor de guayaba con 3/13 de concentrado para de 5 l de licor. ¿Cuánto concentrado necesita para preparar 8 l de licor? 12. Un insecticida necesita 1.8 kg del elemento activo para un recipiente de 850 g. ¿Cuántos mg necesito para preparar 250 recipientes?

2. Álgebra elemental

Mario Alberto Lezama Rojas 2.0.1

Los signos S sabido por todos nosotros que el manejo adecuado de los signos es esencial para cualquier área de las ciencias exactas. Por lo tanto, se dedica este apartado para la reglas que rigen a los signos.

E

Recuerda que: + · + = + (más por más es más) + · − = − (más por menos es menos) − · + = − (menos por más es menos) − · − = + (menos por menos es más) Para la suma y resta. +7 + 3 = +10

−3 − 8 = −11 +9 − 4 = 5

−7 + 6 = −1

Para el producto y la división o cociente (+7)(+3) = +21 (−3)(−8) = 24 (+9)(−4) = −36

(+14) = +7 (+2)

(−10) =5 (−2)

(+9) = −3 (−3)

(−7)(+6) = −42

(−25) = −5 (+5)

Capítulo 2. Álgebra elemental

28 2.0.2

Actividad 33 Simplificar:

1.

−4 + 5 − 7 + 3 + 9 − 3 =

2.

−3−4−5−7+4+4+4 =

3.

−1+1−2+2−3+3+4 =

4.

−1−1−2−2−3−3−4 =

5.

−10 − 11 − 12 − 13 + 20 =

6.

−5 − 6 − 7 − 8 − 9 =

7. 8.

9.

α +β +α +β =

10.

α +β +γ =

11.

3α + 4β − 3γ =

12.

? + 4 ? +3? =

13.

 −  + 3 =

14.

♥ + 3♥ − ♥ =

15.

 + 3 +  =

16.

−4 + 34 + 54 =

α +α +α −α = 3α + 4α + α − 4α =

Más simplificaciones: 1. (−3)(4) =

6.

10 = −2

7.

−100 = −10

8.

15 = −3

2. (+7)(+3)(+2) = 3. (+8)(+1)(−1) = 4. (−1)(+1)(−1)(+1) = 5.

−4 = 2

2.1 Signos de agrupación matemáticas

2.1

29

Signos de agrupación matemáticas Mario Alberto Lezama Rojas En total son 4 los signos de agrupación, entre los cuales están el paréntesis hi el corchete , las llaves y la barra o vínculo .

 ,

Cuando una operación matemática es escrita sin signos de agrupación, el orden en que se debe proceder es ambiguo. Por ejemplo, la expresión 8 ×4 +3 es diferente a la operación 8 × (4 + 3). Por esta razón se debe tener cuidado en las jerarquías de los operados y su escritura correcta. Es decir, si se tiene a + (b − c) esto quiere decir que el primer elemento que esa debe ser sumado a la cantidad que se encuentra dentro del signo de agrupación (). Tomando esto en cuenta significa que dentro del paréntesis o signos de agrupación se le debe conceder un signo a cada elemento bien sea positivo o negativo antes de eliminarlos. En este caso para poder aplicar este proceso se deben aplicar algunas reglas referentes.

2.1.1

Actividad 34 Simplifica, suprimiendo los signos de agrupación, y reduce términos semejantes. 1. 2.

−6(1 − 3) + {−4 + 7 − 5(2 + 7) − [5 − 9 − 4(1 − 4)]} − 12 
 4 + 2 − 3 1 − 5 7 − 22 + 6 − 6 − 52 + 3 (6 − 9) − 12

4.

3a − (3b + 8a) + 4b − 2[4a − 8b] 
 7ab + 9 − 2 1 − 5 2ab − 2b2 + 8a − 6a − 5b2 + 3 (1 − 4b − 6a) − 10

5.

−43 ? −(8
+10?) + 12
−4[7 ? −11
]

6.

−(3

3.

7. 8. 9.

+7 ) + {−4(5 +2 ) + 7 −(6 − )} 
 5ab + 3 − 6 2 − 3 4ab + 3b2 + 2a + 5a − 7b2 + 3 (5 + 2b − 8a) − 11 7g − 6 {4h − 3 [−4i + 2 (2i − 3h − 2g) − 3g] − 11h} − 13i
5 5 3  3 1 4 2 7 5 a − 3 − 3 b + 7 a + 6 + 4 − 3 − 5 (4a − 5b)

10.

m−3n+5r −2 {1 − 4 (1 − 9m) − 5 (−6n + 8) + 3r − 5 [7 − 4 (r − 2) + 4 (−6m − 4) − 3n]}

11.

−(x − 3y) + {−4y + 7z − (2 + 7x) − [x − 8y − 3(x − 4)]} − 6x

12.

−θ + [7π + 4ϖ − 6θ (−π + 7ϖ) + ϖ] − 3θ (5π + 1)

Capítulo 2. Álgebra elemental

30 2.1.2

Jeraquias de los signos de agrupación Colaboradores: Óscar del Ángel Cid Turcott, Rubén Torres y Torres, María de los Ángeles Pérez Azcona y Jaime Alejandro Romero Sierra. 1. 2.

3. 4. 5.

     1 √ 4 − −4 4   α  1 √ 6 − 4α 2 4 3  2 2 − 23  23      1 7 2 3 2

3

7

4

 7 1  2  − + 2 9 4 7)

 1

 6.

 2 4  32  4  − 5 22 3

 0 4  β 2  β 3  − β 3 22 33   1 7 1  13  − + 2 9 4 7   ω ω ω  2ω  − − 7 2 4 7   √   3  3( 3 −8) 5 − + 5 5

 7.

8. 9.

10.

2.2

Potenciación Colaboradores: Pacheco Espejel Martha Patricia, Sánchez Aguilar Josefina, Melo Ruiz Fabiola, Vázquez Vallejo Angelica Jazmín, Ordoñez Padilla Jorge Manuel y Bueno Cebada Salvador. Las operaciones de potencias y raíces (procesos inversos) en aritmética y álgebra, implican dominar las cuatro operaciones básicas y las propiedades de los números reales. Las operaciones con números racionales e irracionales de cantidades grandes y pequeñas son representadas de forma sencilla, como lenguaje científico en todas las ramas de la ciencia.

2.2 Potenciación

31

El propósito de los ejercicios planteados es evitar errores conceptuales y procedimentales de la matemática básica. Al resolverlos permitirá el razonamiento lógico para aprender el uso adecuado de las propiedades, reglas, axiomas y postulados. Recuerda que: 1 = a−1 a

2 · 2 · 2 · 2 = 24 = 16 1/2 · 1/2 · 1/2 · 1/2 = (1/2)4 = 1/16

1 = a−n an √ a = a1/2 √ n a = a1/n  a n an = n b b

F · F · F · F · F = F5 1/F · 1/F · 1/F · 1/F = (1/F)4 = 1/F 4 θ · θ · θ · θ = θ4 (−3)

(2(−2) )

2.2.1

= 26

Actividad 35 Simplifica y desarrolla las siguientes potencias enteras y racionales. 1.

(?2 )

2.

2(−2) · 2(−3) =

16.

(#+?)2 = √ 2 √ ( a + 3 b) =

3.

(−2) (−3) =

17.

22 × 24 × 3(1/2) × 3(−1/6) =

4.

2(−2) /22 =

18.

22 + 22 − 3(−1/2) − 3(1/2) =

5.

n(−2) /n2 =

19.

(23 ) + 23 · 22 =

6.

?3 /?(−4) =

20.

(122 · 12(−3) + 122 )

7.

5(1/2)  53 =

21.

θ 2  θ (−3) − θ (−3) + θ (2) =

8.

a(1/4) · a(−5/7) = √ 3 ( 9) =

22.

(2(−2) )

23.

(22 )

10.

√ (3/5) (3/5) ( b) = (b(1/2) ) =

24.

((4)(−2) )

11.

(m + n)2 =

25.

5(−2) · 2(−3) =

12.

(m − n)2 =

26.

22 · 2(−3) =

2

27.

62 · (6/12)3 =

2

28.

8(−2) = 82

9.

13. 14.

(−3)

=

(2a + 3b) = (5a − 4c) =

15.

2

(−3)

(−3)

(−3)

=

= (3)

=

=

Capítulo 2. Álgebra elemental

32 29.

30.

2.3

(4)2 (6)(−2)

Expresa en notación científica con un solo dígito las siguientes cantidades:

=

(2·2) /2 · 2 /3 · 4 /3

2

4

(1/2)

(1/2)

·?

=

31.

? ·? ·?

32.

2 + 2 − (1/2) − (1/2) =

33.

: )3 × : )4 × : )3 × : )(1/2) =

34.

10−2 · 108 =

=

35.

41. 124700359 =

36.

008.754 =

37.

0.0000032196 =

38.

1.0 × 106 = 0.5 × 104

39.

6 × 108 = 3 × 10−2

40.

[(6 × 10−3 )(0.2 × 104 ) =

Exponentes fraccionarios Mario Alberto Lezama Rojas Recuerda que: Sean a y b números positivos, entonces √ 2 a=b

si y sólo si b2 = a

Al número b se le llama raíz cuadrada principal de a o simplemente raíz cuadrada. Por ejemplo: √ 2 9 = 3,

ya que 32 = 9

√ 2 16 = 4, ya que 42 = 16 √ √ Esto quiere decir que 2 9 y 2 16 no es otra cosa que los números 3 y 4, cuyos cuadrados son iguales a 9 y 16, respectivamente. Sean a y b números positivos, entonces: √ 3 a=b

si y sólo si b3 = a

Al número b se le llama raíz cúbica principal de a o simplemente raíz cúbica. Por ejemplo √ 3 8 = 2, √ 3 125 = 5,

ya que 23 = 8 ya que 53 = 125

2.3 Exponentes fraccionarios

33

Este concepto o definición se puede generalizar así: Si a y b son números positivos y n es un entero positivo, entonces: √ n a=b

si y sólo si bn = a

Al número b se le llama raíz enésima principal de a o simplemente raíz enésima. √ En la expresión n a, al número a se le llama radicando y a n lo llamamos índice del radical. Es común encontrar la siguiente notación de radical: √ 1 n a = an Por ejemplo √ 1 5 32 = 32 5 = 2 ya que 25 = 32 por lo tanto, 2 es raíz quinta de 32. 2.3.1

Actividad 36 Simplifica las expresiones siguientes. 1.

√ 3 16 2

2.

√ √ 3 5929 · 3 77 √ √ 847 7

3.

√ √ 4 864 · 4 24 12

4.

5.

√ √ 3 144 · 3 12 6

6.

√ √ 3 40 · 3 25 5

7.

√ √ 2 27 · 2 12 √ √ 3 3

8.

√ √ 300 · 27 30

4.

√ √ √ 50a3 b7 c · 63a5 bc3 · 14a2 b4 √ √ 3 3 20a2 bc · 50ab5 c5

5.

√ √ 4 4 40m7 n5 r9 · 250mn7 r7 √ √ 3 3 20mnr2 · 50m2 n5 r

6.

√ 4x4 + 4x4 + 4x4 + 4x4 2x

√ √ 4 72 · 4 18 3

Simplifica los radicales siguientes. s 3n 3 8x 1. 27y6

2.

p p 18x3 y7 z9 · 50xy3 z p √ 3xyz · 12x3 yz3

3.

p p p 3 x8 y7 z5 · 3 x2 y4 z5 · 3 x5 yz5

34 7.

p p 3 18p2 q4 r4 · 3 12p4 q8 r2 p √ 2pqr · 2p3 qr

8.

√ √ 28mns3 · 7m5 n7 s5 14m2 n3 s

9.

Capítulo 2. Álgebra elemental qp p 3 2 xy5 z7 · 6 x17 y13 z17 qp 10. p 2 4 3 5 7 x y z · 2 xy3 z5 2 p · 5 xy9 z12 2 p p 3 xy5 z4 · 3 xy2 z4

p 5

11.

√ √ 5 5 144a3 bc2 · 54a7 b14 c3 3ab2 c

x2 y3 z4

#4 p p p5 q6 r11 · 7 p3 q5 r9 · 7 p6 q10 r8 p p p 6 p4 q5 r10 · 6 p5 q5 r · 6 p3 q2 r7

"p 7

12.

Simplifica las siguientes expresiones a un solo radical.

2.4

1.

p 2 √ 4 12 18 a b

2.

√ √ 4 3 m5 n7 · m2 n

3.

p p 5 xn y2n z3n · 5 x4n y8n z12n

4.

√ √ 2 3 5 7 4 a b c · ab2 c

5.

qp qp 2 3 4 2 4 x yz · 2 x11 y7 z3

6.

p √ 4 x2 y2 z2 · xyz

7.

√ √ √ 12 3 mnr · 4 mnr · m5 n17 r41

8.

√ √ √ 15 3 5 2 a bc3 · a2 bc2 · a14 b7 c26

9.

√ √ 3 2 n x + xn · x2n + x2n

Notación científica Colaboradora: Pacheco Espejel Martha Patricia La notación científica nos permite escribir números muy grandes o muy pequeños de forma abreviada. Esta notación consiste simplemente en multiplicar por una potencia de base 10 con exponente positivo o negativo. Por ejemplo: el número 0.00000123 puede escribirse en notación científica como 123 × 10−8 , o también: 123, 000, 000 como 123 × 106 .

2.4 Notación científica

35

Recordemos las potencias enteras de 10, tanto positivas como negativas. Potencias positivas. 100 101 102 103 104 105 106

= = = = = = =

1 10 100 1, 000 10, 000 100, 000 1, 000, 000

Potencias negativas. 10−1 10−2 10−3 10−4 10−5 10−6 10−7

= = = = = = =

0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001 0.0000001

Al multiplicar un número por la potencia 10n (con n como exponente positivo) se desplaza la coma hacia la derecha tantas posiciones como indica el exponente. Por ejemplo: 23.573 × 103 356, 988.23 × 102 1.789 × 105 0.01789 × 103

= 23,573.00 = 35, 698, 823.00 = 178, 900.00 = 17.89

Como los exponentes son positivos, la coma se desplaza hacia la derecha. Si no hay suficientes cifras para desplazar la coma, se añaden ceros (a la derecha). Al multiplicar un número por la potencia 10−n (con n como exponente negativo) se desplaza la coma hacia la izquierda tantas posiciones como indica el exponente (al cambiarle el signo). Por ejemplo: 23.573 × 10−3 356, 988.23 × 10−2 1.789 × 10−5 0.01789 × 10−3

= 0.023573 = 3, 569.8823 = 0.0000178900 = 0.00001789

Como los exponentes son negativos, la coma se desplaza hacia la izquierda.Si no hay suficientes cifras para desplazar la coma, se añaden ceros (a la izquierda). Esto ocurre en el primer, segundo y cuarto número del ejemplo.

Capítulo 2. Álgebra elemental

36 2.4.1

Actividad 37 Escribe como potencias de 10: 1. Un millar. 2. Un millón. 3. Mil millones. 4. Un billón. 5. Dos y medio billones.

2. Un año luz es la distancia que recorre la luz en un año. Su valor es, aproximadamente 9460000000000000 m. 3. La distancia media del Saturno al Sol es de 141.8 millones de kilómetros.

6. Mil millones. 7. Doscientos cincuenta mil.

4. La masa de un protón es 0.000000000000000000000001673 g.

8. Cinco mil millones de millones. 9. Mil trescientos millones y medio. Escribe los siguientes números en notación científica. 1.

5000

2.

750000

3.

504.8754

4.

0.001957

5.

0.0000085

6.

0.8319

7.

0.318478319

8.

34218000.00

9. 10.

0.003492 12982770000.00

Escribe en notación científica los siguientes datos: 1. La velocidad de la luz en el vacío es aproximadamente 300000 km/s.

5. El diámetro de un virus es de 0.0000000267 m. 6. El radio del Sol es aproximadamente 1392000000 m. 7. La estrella más grande del Universo, VY Canis, cuyo radio es 1708 más grande que el del Sol. Efectúa a mano utilizando la notación científica y comprueba después con la calculadora. 1.

(3.74 × 10−10 )(1.8 × 1018 )

2.

(5.24 × 108 )(6.8 × 1012 )

3.

(0.133 × 1010 )(7.1 × 103 )

4.

(2.5 × 102 )(3.5 × 103 )(4 × 10−3 )

5.

(3 × 102 )3

6.

(2 × 103 )5 (4 × 10−2 )4

2.5 Polinomios

2.5

37

Polinomios Mario Alberto Lezama Rojas Partimos estableciendo la analogía entre el sistema de numeración posicional de base 10, y los polinomios en una variable, como por ejemplo se tiene: P(x) = −3x5 + 7x4 − x3 + 0x2 − 3x + 3. Es un polinomio en x, de grado 5, con coeficientes enteros, siendo éstos: −3 para el término de quinto grado; 7, para para el de cuarto grado; −1 para el de tercer grado; 0 para el de segundo grado o cuadrático (regularmente no se escribe); −3, para el término lineal, y finalmente 3, para el término independiente. Los polinomios son una generalización de nuestro sistema de numeración. Cuando escribimos un número, por ejemplo, 5, 658, queremos decir:

5, 678 = 5 000 + 600 + 70 + 8 = 5 × 1 000 + 6 × 100 + 7 × 10 + 8 = 5 × 103 + 6 × 102 + 7 × 101 + 8 × 100 Ahora, en lugar de utilizar nuestra base decimal, es decir, 10, utilizamos una x cualquiera: (5)(103 ) + (6)(102 ) + (7)(101 ) + (8)(100 )

−→

5 x3 + 6 x2 + 7 x + 8 x0

que en este caso tendremos un número en la base x, no en base decimal. Debemos entender primero lo que significa la palabra «polinomio», por lo que empezaremos con lo más sencillo: el monomio. Un «monomio» se define como cualquier expresión que no tiene suma o resta, es decir, sólo posee un término, y su grado es determinado por la suma de los exponentes de sus variables, por ejemplo: 5x2 7x3 z4 7 0

Monomio, 1 variable, grado 2. Monomio, 2 variables, grado 7. Monomio, 0 variables, grado 0. Monomio nulo.

Veamos algunos ejemplos de polinomios con su grado y sus variables: xy2 + 3x − 4 −x + 8x3 + x5 + 13 0

Polinomio de 3 términos, 2 variables, grado 3. Polinomio de 4 términos, 1 variable, grado 5. Polinomio nulo.

Lo más habitual que nos vamos a encontrar son polinomios del tipo Q(x) = −x + 8x3 + x5 + 13 La definición formal de polinomio de una variable es la siguiente:

Capítulo 2. Álgebra elemental

38

Polinomio de variable real x, es toda expresión de la forma: P(x) = an xn + an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + · · · + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 con an , an−1 , an−2 , . . . a3 , a2 , a1 , a0 son números reales y n natural. Si escribimos el polinomio −x + 8x3 + x5 + 13 en la forma anterior, queda así: (1)x5 + (0)x4 + 8x3 + (0)x2 + (−1)x + 13 A partir de este momento trabajaremos sólo con polinomios con una sola variable x, ya que son los más utilizados en la práctica, aunque puede ser cualquier otra variable. Para realizar la suma o resta de dos polinomios, lo primero que se debe hacer es ordenarlos y colocar uno sobre el otro, haciendo coincidir en una columna a los términos de igual grado, así se puede facilitar la realización de la suma o resta. Por ejemplo: 1. Sumar los polinomios P(x) = 3x − 5x2 + 8x4 y Q(x) = x + 2x2 − 13x3 + 3. 2. Restar P(x) = 5x3 − 2x5 + 4x2 + 7x − 3 de Q(x) = 11x − 9 + 2x4 − 4x5 + 7x3 − 8x2 Solución: 1. Ordenamos los términos: 8x4 + 0x3 − 5x2 + 3x + 0 −13x3 + 2x2 + x + 3 Realizamos la suma: 8x4 + 0x3 − 5x2 + 3x + 0 0x4 − 13x3 + 2x2 + x + 3 8x4 − 13x3 − 3x2 + 4x + 3 2. Ordenamos los términos: −4x5 + 2x4 + 7x3 − 8x2 + 11x − 9 −2x5 + (0)x4 + 5x3 + 4x2 + 7x − 3 Realizamos la resta: −4x5 + 2x4 + 7x3 − 8x2 + 11x − 9 −(−2x5 + (0)x4 + 5x3 + 4x2 + 7x − 3)

− 4x5 + 2x4 + 7x3 − 8x2 + 11x − 9 2x5 − (0)x4 − 5x3 − 4x2 − 7x + 3 −2x5 + 2x4 + 2x3 − 12x2 + 4x − 6

2.5 Polinomios

39

Producto o multiplicación de polinomios Para multiplicar dos polinomios, lo primero es ordenarlos, luego se escoge uno; del polinomio seleccionado, se toma el primer término y se multiplica por cada uno de los términos del otro. Una vez hecho lo anterior, se selecciona el siguiente término del polinomio indicado y se vuelve a multiplicar con todos los términos del otro polinomio. Esta operación se repite hasta finiquitar todos los términos. Después podrás simplificar la expresión sumando o restando los términos semejantes que tengan la misma potencia. Ejemplo Multiplicar los polinomios 5x + 3 y x3 + 2x2 + 4. Aplicamos la propiedad distributiva: (5x−13)(x3 +2x2 +4) = (5x)(x3 )+(5x)(2x2 )+(5x)(4)+(−13)(x3 )+(−13)(2x2 )+(−13)(4) Realizamos los productos: (5x − 13)(x3 + 2x2 + 4) = 5x4 + 10x3 + 20x − 13x3 − 26x2 − 52 Simplificamos términos semejantes y ordenamos el polinomio: (5x − 13)(x3 + 2x2 + 4) = 5x4 − 3x3 − 26x2 + 20x − 52 División de polinomios La división de polinomios, se realiza de forma análoga a la de números, sin embargo, en este caso vamos indicando las operaciones que realizamos en la división de números. El proceso es el siguiente: X Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor, dando lugar al primer término del cociente. X Se multiplica dicho término por el divisor y se coloca debajo del dividendo con los signos contrarios, cuidando que debajo de cada término se coloque otro semejante. X Se suman los polinomios ordenados. X Se continua el proceso hasta que el resto ya no se pueda dividir entre el divisor.

Capítulo 2. Álgebra elemental

40 Ejemplo 1. Dividir P(x) = 8x2 − 2x + 3 entre Q(x) = x + 3

Es claro que Q(x) = x + 3 es el divisor y P(x) = 8x2 − 2x + 3 el dividendo, es decir, planteamos la siguiente división: x + 3|8x2 − 2x + 3 Para resolver la división se trabaja término a término del dividendo con el divisor, es decir: si se tiene un 8x2 , se debe buscar un número que multiplicado por el primer término del divisor x produzca 8x2 , ese número buscado es 8x. Por otro lado, debemos recordar que cuando pasa debajo del dividendo, lo hace con signo contrario para que se realice la suma. Veamos: A 8x se le conoce como cociente. Se realiza la multiplicación de 8x por cada uno de los términos de x + 3, y posteriormente la resta con el polinomio dividendo: 8x x + 3| 8x2 − 2x + 3 −8x2 − 24x −26x + 3 Observa que se obtiene el polinomio 0 − 26x + 3. Ahora se trabaja con éste y buscamos un número que multiplicado por x nos dé −26x, para obtener el segundo término del cociente: 8x − 26 x + 3| 8x2 − 2x + 3 −8x2 − 24x −26x + 3 26x + 78 El resultado se vuelve a sumar: 8x − 26 x + 3 8x2 − 2x + 3 −8x2 − 24x −26x + 3 26x + 78 81 La división se termina aquí, porque el residuo ya no se puede dividir entre el 81 polinomio x + 3, es decir, el polinomio 8x − 26 es el resultado, y el residuo . x+3 Esto, expresado de otra manera: P(x) R(x) = C(x) + Q(x) Q(x)

2.5 Polinomios

41

Una forma de comprobar la división es aplicar la operación contraria, es decir, multiplicamos el cociente por el divisor y sumamos el residuo: (x + 3)(8x − 26) + 81 = 8x2 − 26x + 24x − 78 + 81 = 8x2 − 2x + 3 Ejemplo 2.

6x − 4 x4 + 3x3 − 2x2 + x − 1 ÷ x2 + x − 1 = x2 + 2x − 3 + 2 x +x−1 − x4 − x3 + x2 2x3 − x2 + x − 2x3 − 2x2 + 2x − 3x2 + 3x − 1 3x2 + 3x − 3 6x − 4 Ejemplo 3.

30 x2 − 5x + 6 ÷ x − 8 = x + 3 + x−8 − x2 + 8x 3x + 6 − 3x + 24 30 Mediante la División Sintética o Método de Horner. 1 −5

6

8

24

3

30

8 1 Ejemplo 4.



3x3 + 13x2 − 13x + 2 ÷ 3x − 2 = x2 + 5x − 1 − 3x3 + 2x2 15x2 − 13x − 15x2 + 10x − 3x + 2 3x − 2 0 Ejemplo 5.

2x5 − 10x3 − 2x2 + 10 ÷ x2 − 5 = 2x3 − 2 − 2x5 + 10x3 − 2x2 + 10 2x2 − 10 0 Como se puede observar en los ejemplos 1, 2 y 3 el residuo R(x) 6= 0, en los ejemplos 4 y 5 la división es exacta, esto es R(x) = 0.

Capítulo 2. Álgebra elemental

42 2.5.1

Actividad 38 Suma de polinomios 1.

12x2 y − 6xy2 − 17x2 y2 , −2x2 y + 3xy2 − 14x2 y2 y −11xy2 − 7x2 y + 28x2 y2

2.

−11ax + 22bx2 − 13cx3 , −3bx2 − 14cx3 + 10ax y −11cx3 − 12ax + 13bx2

3.

4 3 7 2 1 3 13 3 5 7 5 1 a + ax − x , − a2 x − ax2 − x3 y − a3 + a2 x − ax2 9 6 3 7 8 9 3 2 4

4.

5.

13m−12mn2 −13m2 n−11n, −23n−20m2 n−12mn2 +17m y 18m2 n−29mn2 − 41m − 13n −3x2 − 2x y 3x + 8x2

Realiza las operaciones indicadas 1.

Resta 17a3 b − 3ab3 − 18a2 b2 + 5b4 de −11a4 + 19a3 b + 13ab3 − 12b4

2.

Resta 15x + 35x3 − 38x2 − 21x5 + 36 de x3 − 16x4 + 18x2 − 29 + 5x

3.

Resta

4.

2 5 3 1 2 11 3 4 De ab2 − a2 b − 3ab − resta − ab2 − a2 b + ab + 5 4 4 3 4 3 4 7

5.

De 12a2 − 7ab − 3b2 + 25 resta −13 − 38a2 + 61b2 + 29ab

2 3 1 4 11 a − b + 13c − d + 19 de c − 10a + b 13 5 2 7 3

6. De la suma de 23a − 15b + 8c con 11a − 7b + 4c resta la suma de 17a − 9b con −18b − 21c. 5 3 4 1 2 3 1 1 7. Resta la suma de a + b − ab − con − − a − b + 4ab de − 3a − 3 5 7 7 3 5 2 5 4 5 b − ab 7 3 8. Si R = 2x + 4y − 9z + 75 y Q = 18y − 27z + 77x − 107, encuentra: a)

2R − 5 [Q − R + 4] − 3 [R + Q − 11]

2.5 Polinomios

43

2 {5 − 13R − 2Q − 7 [2Q − 13x − 2y] − 3 [x − 7y + 5z − 2R]}

b)

9. Si T (x) = x3 − 3x2 + 3x − 1 y M (x) = x3 + 3x2 + 3x + 1, realiza lo siguiente: a)

T (x) · M (x)

b)

[T (x) − M (x)]2

c)

[T (x) + M (x)]3

10. Dividir: a)

x2 + 15 − 8x entre 3 − x.

b)

m5 − 5m4 n + 20m2 n3 − 16mn4 entre m2 − 2mn − 8n2

c)

−4x + 4x2 − 3 entre 2x + 2

d)

24x5 − 52x4 y + 38x3 y2 − 33x2 y3 − 26xy4 + 4y5 entre 8x3 − 12x2 y − 6xy2 + y3

e)

27x3 − x2 − 3 entre x2 + 3

f)

26m3 + 17m2 − 34m − 15 − 16m4 + 3m5 entre −2m + 5 + 3m2

g)

x13 + y13 entre x + y

11. María Fernanda calcula el 17 % de (9a + 8b − 5c + 10), Daniela calcula el 11 % de (4a − 11b + 8c − 10), Hypatia calcula el 5 % de (a + 2b + 3c − 4) y Claudia calcula el 10 % de (10a − 12b − c + 2). Encuentra la suma de todas las cantidades calculadas. 12. Hypatia compra 5 libros de álgebra que cuestan cada uno 5x − 8y + 11z − 9, 7 libros de estadística que cuestan cada uno 11y − 10x − 5z + 10, y 8 libros de geometría que cuestan cada uno 109 − 7x − 28y + 85z. Si Hypatia paga con un billete de 72x − 284y − 478 + 274z, ¿cuánto recibe de cambio?

Capítulo 2. Álgebra elemental

44

2.6

Factorización Colaboradores: Cecilio Filemón Rosales Carrión, Raymundo Mendoza Vázquez y José Emilio Guillermo Ortega Balbuena. Definición: Transformación de una expresión en producto de factores. Objetivo: desarrollar las habilidades y entrenamiento para poder factorizar.

2.6.1

Actividad 39 Factoriza las siguientes expresiones

Factoriza las siguientes expresiones:

1.

9 + 15 =

1.

5σ + 8σ 2 =

2.

48 + 36 =

2.

54θ − 48θ 2 =

3.

9+4 =

3.

−5α 2 + 8α =

4.

4+8 =

4.

−5β 3 − 4β 4 =

5.

18 + 27 =

5.

54ϕ 5 − 45ϕ 3 =

6.

56 + 24 =

6.

−72σ + 64 =

7.

162 + 126 =

7.

−72µ 8 + 72µ 5 =

8.

20 + 15 =

8.

−40π − 35π 2 =

9.

20 + 20 = 9.

−5ε + −40ε =

10.

60 + 20 = 10.

Factoriza las siguientes expresiones:

80e3 + 20e =

6.

12 + 28 =

13.

56 + 7 =

7.

30 + 30 =

14.

48 + 12 =

8.

81 + 63 =

15.

4 + 16 =

9.

28 + 24 =

16.

56 + 63 =

1.

18 + 36 =

2.

6 + 48 =

3.

56 + 48 =

10.

36 + 36 =

17.

21 + 14 =

4.

15 + 45 =

11.

9+1 =

18.

9 + 15 =

5.

12 + 6 =

12.

25 + 15 =

19.

36 + 30 =

2.6 Factorización

45

20.

45 + 45 =

28.

10 + 12 =

36.

49 + 63 =

21.

28 + 4 =

29.

42 + 24 =

37.

48 + 72 =

22.

12 + 24 =

30.

72 + 40 = 38.

6 + 24 =

23.

30 + 15 =

31.

14 + 63 =

24.

49 + 56 =

32.

20 + 25 =

39.

64 + 32 =

25.

24 + 12 =

33.

81 + 36 =

40.

4 + 32 =

26.

45 + 9 =

34.

6 + 42 =

41.

40 + 25 =

27.

30 + 25 =

35.

16 + 56 = 42.

4+2 =

Factoriza las siguientes expresiones: 1.

x2 − 2x − 35 = (x + 5) (x − 7)

6.

x2 + 2x − 24 =

2.

x2 − 3x − 10 =

7.

x2 − 12x + 35 =

3.

x2 − 14x + 33 =

8.

x2 + x − 110 =

4.

x2 − 8x + 12 =

9.

x2 − x − 12 =

5.

x2 + 17x + 72 =

10.

x2 + 21x + 108 =

Factoriza las siguientes expresiones:

6.

x2 +

11 1 x+ = 24 24

11 2 x+ = 5 15

7.

x2 −

4 4 x− = 15 15

x2 +

11 1 x+ = 28 28

8.

x2 +

5 1 x− = 12 4

4.

x2 +

3 11 x− = 20 20

9.

3 1 x2 − x + = 2 2

5.

x2 −

13 1 x+ = 42 42

10.

7 6 x2 − x − = 5 5

1.

   3 1 1 1 x2 + x + = x + x+ 4 8 2 4

2.

x2 −

3.

Capítulo 2. Álgebra elemental

46

Factoriza las siguientes expresiones, productos notables.

2.7

1.

(x + ) (x + ) = x2 + 2x + 2

6.

(x + θ ) (x + φ ) =

2.

(x− M) (x− M) =

7.

(x + σ ) (x − ε) =

3.

(x + Ω) (x − Ω) =

8.

(x − α) (x + β ) =

4.

(x + ) (x − ) =

9.

(x + γ) (x + e) =

5.

(x + π) (x + π) =

10.

(x + r) (x − s) =

Ecuaciones de primer grado y despejes Colaboradores: Eleazar Cacique Valenzuela, Alam García Fernández, Armando Guerra Aguilar, Alfredo Hernández Andrade, Isac Huixtlaca Cuatecatl y Ricardo Victoria López.

2.7.1

Actividad 40 Ecuaciones de primer grado. Calcular el valor de la variable. 1.

3x + 2 = 6

9.

Θ + 2Θ = 7

2.

7α − 3 = 2

10.

72 1 z− = z 95 3

3.

−9 M +2 = 4 M

11.

x + 2 = −3

4.

6Ω − 2Ω = 0.5

12.

  1 x+ 3 = (5 − x) 3

5.

10µ + 7 = −3

6.

3Ψ + 3 = 4Ψ

7.

1  −2 = 2

8.

3y + 2 = 4y

13. 2x + 3x − 6x + 2x + 5 − 8 +

14.

  12 3 3x + x = 2x − 3 3

15.

  1 2 x− x = 1 2 3

36 1 = 72 2

2.7 Ecuaciones de primer grado y despejes

47

Despeja las incógnitas que se indiquen. 1.

Despeje x: x + b = c

2.

Despeje a: F = ma

3.

Despeje A: σ =

4.

Despeje d: M = Fd

16.

Despeje h: Ix =

bh 12

17.

Despeje b: Ix =

bh 36

18.

Despeje r: A = πr

F A V A

Despeje V : τ =

15.

5.

Despeje V : σ =

M V

19.

Despeje b: A = bh

6.

Despeje A: E =

PL Aδ

20.

Despeje π: A =

7.

Despeje P: E =

PL Aδ

21.

Despeje a: v = a

8.

Despeje δ : E =

PL Aδ

22.

Despeje h: v = πrh

9.

Despeje d: v =

d t

23.

Despeje r: v = πr + 3πr

10.

Despeje t: a =

v t

24.

Despeje r: J = 3r + 2r + 3r

11.

1 Despeje t: v = vit + at 2

25.

Despeje b:

k = a−b 3

12.

1 Despeje g: y = yi + vyit + gt 2

26.

Despeje r:

t 4r = 7 t −s

13.

Despeje k: Fs = µs k

27.

Despeje w:

2r √ 3 = rw 9

14.

Despeje µk : Fk = µk k 28.

Despeje z:

1√ 2az a

πd 4

Capítulo 2. Álgebra elemental

48

2.8

Los logaritmos Mario Alberto Lezama Rojas

A

A RQUÍMEDES se le debe la idea fundamental que generaría los logaritmos: «Cuando varios números están en proporción continua a partir de la unidad, y algunos de estos números se multiplican entre sí, el producto estará en la misma progresión, alejado del más grande de los números multiplicados tantos números como el más pequeño de los números multiplicados lo está de la unidad en la progresión, y alejado de la unidad la suma menos uno de los números de lugares que los números multiplicados están alejados de la unidad».

A RQUÍMEDES hace una comparación de las sucesiones aritméticas con las geométricas. Para comprender tal comparación escribamos, por ejemplo, las siguientes dos sucesiones: 1 2

2 3 4 8

4 5 16 32

6 7 8 64 128 256

9 512

Tabla 2.8.1: Tabla de A RQUÍMEDES.

A los números de la primera sucesión, que es aritmética, los llamaremos logaritmos; a los de la segunda sucesión (la de abajo), que es geométrica, los llamaremos antilogaritmos. La regla de A RQUÍMEDES, según expresa H OEBEN, dice que: «para multiplicar entre sí dos números cualesquiera de la sucesión de abajo, debemos sumar los dos números de la sucesión de arriba situados encima de aquellos dos. Luego debe buscarse en la misma sucesión de arriba dicha suma. El número de la sucesión inferior que le corresponda debajo será el producto deseado».

x

10x

f (x)

2x

f (x)

3x

f (x)

0

100

1

20

1

30

1

1

101

10

21

2

31

3

2

102

100

22

4

32

9

3

103

1, 000

23

8

33

27

4

104

10, 000

24

16

34

81

5

105

100, 000

25

32

35

243

 1 x  12 0 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2 1 4 2 1 5 2

Tabla 2.8.2: ¿Aquí hay una tabla de logaritmos?

f (x) 1 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32

2.8 Los logaritmos

49

Recordemos la tabla de A RQUÍMEDES, y según él ya tenemos una tabla de 1 logaritmos de diferentes bases: a = 10, 2, 3 y . Ver tabla 2.8.2. 2 3 Si x = 3 y base a = 10, se tiene 10 = 1, 000, por lo tanto log10 1, 000 = 3. Se lee así: «Logaritmo de 1, 000 en base 10 es 3, es decir que 3 es el número al que se eleva la base 10 para obtener 1, 000.» Con la base a = 2, 23 = 8, entonces la función logaritmo es log2 8 = 3. y con a = 3, 33 = 27, el logaritmo es log3 27 = 3. 1  1 3 1 1 Por último, con a = , = , entonces log1/2 = 3. 2 2 8 8 Si y = 24 = 16, su inversa log2 16 = 4, o log2 24 = 4, o 2log2 16 = 16. La función logarítmica como inversa de la función exponencial. Estamos en posibilidad de llegar a una conclusión importante: las dos funciones están relacionadas de tal forma que una es la inversa de la otra, y viceversa; además, las propiedades de la exponencial ayudan a establecer las logarítmicas. Por ejemplo, si 4x = α es la exponencial, la logarítmica es log4 α = x, en general si: am = n

entonces

loga n = m

«Logaritmo de n en base a es m, es decir que m es el número al que se eleva la base a para obtener m.»

Figura 2.8.1: Gráfica de funciones exponenciales y logarítmicas, base 2 y 10.

La gráfica de la función logarítmica se pude obtener por la regla general de la gráfica de la función exponencial, si se dobla la figura por la bisectriz de los cuadrantes primero y tercero. Doblar sobre la función identidad (y = x).

Capítulo 2. Álgebra elemental

50

A cada propiedad de la función exponencial corresponde una propiedad determinada de la función logarítmica, lo que se pude apreciar en la siguiente tabla de comparaciones: Función exponencial Función logarítmica 1. La función exponencial es posi- 1. La función exponencial tiene vativa para cualquier valor del argu- lores reales sólo para valores posimento x. tivos del argumento (la gráfica se encuentra a la derecha del eje de ordenadas). 2. Para x = 0 la función exponen- 2. El logaritmo de 1 de cualquier cial es igual a 1. bases es 0. 3. Para valores negativos del argu- 3. Los logaritmos de los números mento x la función ax < 1 (a > 1); menores que 1, de base a > 1 son además, ax −→ 0 cuando x −→ −∞ negativos; además loga x −→ −∞ cuando x −→ 0. 4. La función exponencial crece y 4. La función logarítmica crece; adeax −→ +∞ cuando x −→ +∞ cuan- más loga x −→ +∞ cuando x −→ +∞ do a > 1. para a > 1. Tabla 2.8.3: Propiedades de las funciones exponenciales y logarítmicas.

Sus leyes principales y ejemplos.

loga xy   x loga y loga 1 loga a loga xn

= loga x + loga y = loga x − loga y = 0 = 1 = n loga x

log3 (4 × 5)   6 log7 10 log8 1 √ log√2 2 log4 x

20

= log3 4 + log3 5 = log7 6 − log7 10 = 0 = 1 = 20 log4 x

ab3 Ejemplo 1. Hallar log x si x = √ . La base del logaritmo es un número positivo 3 c d2 arbitrario, distinto de la unidad y mayor que cero. Solución:  √  ab3 3 3 log √ = log(ab ) − log c d2 = 3 2 c d   2 3 = log a + log b − log c + log d = 3 2 = log a + 3 log b − log c − log d 3 2 Finalmente: log x = log a + 3 log b − log c − log d 3

2.8 Los logaritmos

51

p 5 a(b − c)2 . Ejemplo 2. Hallar log x si x = √ a2 + b2 Solución: p q 5 p a(b − c)2 = log 5 a(b − c)2 − log a2 + b2 = log √ a2 + b2 h i 1   1 = log a(b − c)2 − log a2 + b2 = 5 2  i 1  1h = log a + 2 log(b − c) − log a2 + b2 5 2  i 1  1h log a + 2 log(b − c) − log a2 + b2 Finalmente: log x = 5 2 √ Ejemplo 3. Sean log10 2 ≈ 0.3010, log10 3 ≈ 0.4771, calcular log10 5 12. Solución:   1  √ 1 1 5 2 log10 12 = log10 12 = log10 2 × 3 = 2 log10 2 + log10 3 ≈ 5 5 5  1 ≈ 2 × 0.3010 + 0.4771 ≈ 0.21582 5 √ 5 Finalmente: log10 12 ≈ 0.21582 √ (a − b)3 3 c Ejemplo 4. Hallar el logaritmo de y = p 5 (a + b)2 d 3 Solución: i 1h 1 log y = 3 log(a − b) + c − 2 log(a + b) + 3 log d 3 5 A partir de logaritmos hallar la expresión potenciación correspondiente. Ejemplo 5. Dado: log x = log a + 2 log b − log c Solución: x =

a × b2 c

i 1h 1 log a − b + 2 log(a + b) + log c 3 2 s 2 3 a(a + b) √ Solución: x = c b

Ejemplo 6. log x =

Capítulo 2. Álgebra elemental

52 2.8.1

Logaritmos en la calculadora Recordar que loga es para designar el logaritmo de base a, diferente de 10 y de e = 2.71282; para éstos se utiliza simplemente log y ln, respectivamente. Ejemplo: log(425) = 2.6284, esto es: 102.6284 = 425.0108331760472 Ahora, ln(425) = 6.0521, su operación inversa e6.0521 = 425.0046032320519 Para calcular el logaritmo de un número en base diferente a las mostradas en las calculadoras (10 y e), se tiene la exloga (x) presión: logb (x) = loga (b) Queremos calcular, log2 (425), hacemos que b = 2, x = 425, y la base puede ser a = 10 o también a = e, entonces log10 (425) 2.6284 log2 (425) = = log10 (2) 0.301 Finalmente log2 (425) = 8.7313, y comprobamos 28.7313 = 424.994393733896

Operaciones con logaritmos 2.8.2

Actividad 41 Colaboradora: Margarita Raquel García Sierra. Escribir las siguientes igualdades exponenciales en forma logarítmicas:

Escribir las siguientes igualdades logarítmicas en forma exponencial:

1.

36 = 729

1.

log2 64 = 6

2.

45 = 1024

2.

log3 81 = 4

3.

104 = 10, 000  1 2 1 = 2 32  2 2 8 = 3 27

3.

log5 125 = 3

4.

log10 100, 000 = 5

5.

log10 0.01 = −2

6.

log3/4

7.

log3

4. 5. 6.

10−3 = 0.001

7.

10−1 = 0.1

27 = −3 64

1 = −4 81

2.8 Los logaritmos Calcular las operaciones siguientes mediante el uso de logaritmos. Se propone el uso de la calculadora lo menos posible. 1.

log2 8 =

2.

log3 9 =

3.

53 Determinar el valor de la variable x en cada expresión. 1.

log3 81 = x

2.

log5 0.2 = x

3.

log4 64 =

4.

x3 log2 16 = 3

2x − 1 3

log4 2 =

4.

log27 3 =

5.

log5 0.2 =

5.

log2 x = −3

6.

log2 0.25 =

6.

log7 x = 3

7.

log0.5 16 =

7.

log6 [4(x − 1)] = 2

8.

log0.1 100 =

8.

log8 [2(x3 + 5)] = 2

9.

log3 27 + log3 1 =

9.

logx 125 = 3

10.

log5 25 − log5 5 =

10.

logx 125 = −2

11.

log4 64 + log8 64 =

11.

log2x+3 81 = 2

12.

log 0.1 − log 0.01 =

12.

x + 2 = 10log 5

13.

log 5 + log 20 =

13.

x = 104 log 2

14.

log 2 − log 0.2 =

14.

x=

log 8 log 2

15.

log 32 = log 2

15.

x=

log 625 log 125

16.

log(x + 1) =2 log(x − 1)

17.

log(x − 7) = 0.5 log(x − 1)

16.

log 3 = log 81

17.

log2 3 × log3 4 =

18.

log9 25 = log3 5

Capítulo 2. Álgebra elemental

54 Si log 2 = 0.301 , log 3 = 0.477 log 7 = 0.845 , entonces :

y

3.

1 8

1.

log 8 =

4.

32

2.

log 9 =

5.

√ 2

3.

log 5 =

6.

√ 2 2

4.

log 54 =

7.

1 √ 2

5.

log 75 = 8.

√ 3 4

9.

4 √ 5 2

6.

7.

log 0.25 =

log

1 6

= 10.

8.

9.

log

log

1 = 98 1 3 2

=

10.

log

11.

log 0.3 =

12.

log 1.25 =

3

=

Hallar los logaritmos de base 2 de los siguientes números. 1.

2.

1 2 1 8

8 2√ 5 64

Hallar los logaritmos de base 10 de los siguientes números. 1.

10

2.

1, 000

3.

0.1

4.

0.0001

5.

10n

6.

√ 10

7.

√ 3 102

8.

√ 4 0.01

2.8 Los logaritmos √ 5 9. 100

55 ¿Para qué bases x

10.

1 √ 10

1.

logx 36 = 2

11.

1 √ 10 10

2.

logx 27 =

12.

102

3.

logx 64 = 4

13.

√ 0.013 101/5

4.

logx 2 = −0.5

1 106 100

5.

3 logx 27 = ? 2

14.

1 √ 100 10

3 2

Logaritmización de las siguientes expresiones. Utiliza todas propiedades de los logaritmos. 1.

x = 3ab

2.

x=

r 9.

2ab c 10.

3.

y=

a2 b5 c3

4.

x = 3(a − b)

5.

y=

6.

x=

7.

√ 3 ac x= (a + c)2

2a 2 a − b2

x=

3

√ a2 bc y= (a + b)3 s

11.

ab2 c

x=

s n

√ 4 a ab √ 3 5b a2 b

1 ab

y=

y=

13.

√ 5ab 3 ab x= √ a2 − b2

√ ab

1 2 a bc3

b a

12.

s 8.

r

14.

y=

3

√ !2 a4 ab √ b2 3 bc

Capítulo 2. Álgebra elemental

56 s 15.

x=

p √ 40 2 3 p √ 3 5 6

Ejercicios varios. 1. Simplificar: ln

1 a 2 b3 y= 3 − c 4

√ ! x x

−

16.

17.

2. Expresar como un sólo logaritmo: log(x2 + 1) log(x) − 3 2

p √ n p x = m b2

18.

1 x= q √ √ a b c

19.

p √ m y = an+1 n b p

20.

√ √ x = ( 3) 2

Hallar por medio del logaritmos el valor de la variable indicada.

3. Expresar como un sólo logaritmo: log2 (3x) − log2 (3) + 4 log2 (x) − log2 (xy) 4. Si logb (2) = 0.3 y logb (3) = 0.48 hallar logb (216). 5. Expresa como q una suma de loga√ ritmos a: ln 3 x2 y

1.

log x = log 5 − log 2 + log 3

2.

log x = log 7 + log 5 − log 3

3.

log y = 2 log 3 + log 5 + 7 log 8

6. La venta anual de automóviles está dada aproximadamente por la función f (t) = 1.66 + 1.91 lnt en millones de autos vendidos, donde t = 1 corresponde a el año 2001.

4.

log z = 3 log 2 − 2 log 3 + log 5

a) ¿Cuántos autos de venderán en 2019?

5.

log y =

1 2 1 log 3 + log 5 + log 2 2 3 3

b) ¿En que año se llegará a 6 millones de autos vendidos?

3. Trigonometría

Colaboradores: Eleazar Cacique Valenzuela, Alam García Fernández, Armando Guerra Aguilar, Alfredo Hernández Andrade, Isac Huixtlaca Cuatecatl y Ricardo Victoria López.

3.1

Triángulos

Clasificación de triángulos 3.1.1

Actividad 42 1. Identifica los ángulos agudos (A), rectos (R) y obtusos (O) de los siguientes triángulos:

Capítulo 3. Trigonometría

58

2. ¿Cuáles de las siguientes sumas dan ángulos agudos? a. 30o + 80o b. 15o + 30o c. 18o + 3o d. 20o + 13o e. 45o + 45o 3. ¿Cuáles de las siguientes sumas dan ángulos rectos? a. 28o + 62o b. 15o + 28o c. 25o + 65o d. 55o + 36o e. 2o + 88o 4. ¿Cuáles de las siguientes sumas dan ángulos obtusos? a. 32o 150 + 57o 450 b. 26o 560 + 74o 120 c. 68o 080 + 21o 510 d. 45o + 1200 e. 3, 60000 + 89o 5. ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de un triángulo rectángulo? a. 360o b. 270o c. 60o d. 180o e. 90o

3.1 Triángulos 6. Determinar el ángulo @ de la siguiente figura:

7. Del siguiente triángulo isósceles, si α = 33o

a. Determinar el ángulo λ b. Obtener el ángulo λ c. ¿Cuánto mide el ángulo θ ? d. ¿Cuánto mide el ángulo µ? e. ¿Cuánto mide el ángulo φ ? f. ¿Cuánto mide el ángulo ψ? g. ¿Cuánto mide el ángulo φ ? h. ¿Cuánto mide la suma de los ángulos internos del triángulo ABC? i. ¿Cuánto mide la suma de los ángulos internos del triángulo ADC? j. ¿Cuánto mide la suma de los ángulos externos del triángulo ABC?

59

Capítulo 3. Trigonometría

60

8. Considerando que ♠ radianes es igual a 180o sexagesimales ¿Cuántos grados sexagesimales tiene?: ♠ = 3 ♠ = b. 5 2♠ = c. 3 a.

d.

♠ = 4

e.

2♠ √ = 4

9. Identifica la hipotenusa de los siguientes triángulos rectángulos:

10. De acuerdo al ángulo que se indica, ¿Cuál es el cateto opuesto y cuál el cateto adyacente de las siguientes figuras?

11. ¿Cuántos triángulos rectángulos puedes encontrar en la siguiente figura?

3.1 Triángulos

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12. Considerando la siguiente figura:

a. ¿Cuál es la superficie del rectángulo? b. ¿Cuánto miden los ángulos opuestos de morado? c. ¿Cuánto mide morado? 13. Calcula la hipotenusa de las siguientes figuras:

NOTA: aquí tenemos la figura en otra posición y se le ha agregado una línea auxiliar que no nos sirve para resolver la hipotenusa, para que los alumnos aprendan a discriminar información innecesaria.

NOTA: En este ejercicio ya se está dando la hipotenusa, solamente es para ver quién se va con la finta y calcula el otro cateto.

Capítulo 3. Trigonometría

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14. Un pintor está pintando un muro y ha colocado una escalera recargada en la pared a 60 cm de distancia, la altura de la escalera es de 3 m, ¿A qué altura de la pared está la escalera?

NOTA: Un problema en el que aparte de que los alumnos tendrán que elaborar su propio dibujo con los datos indicados, también es fácil caer en el error de no darse cuenta de que las unidades de medida están en diferente escala, por lo que primero deberán hacer una conversión para resolver el reactivo. 15. Calcule el área de A1.

16. Determine las funciones trigonométricas del siguiente triángulo de acuerdo al ángulo indicado: sen = cos = tan = cot = sec = csc =

3.1 Triángulos

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17. Defina sen θ de las siguientes figuras:

18. Calcule la altura de un árbol que está a 20 m de distancia desde el punto de observación. El ángulo que hay desde este punto hasta la copa del árbol es de 35o .

19. Calcular las áreas A1 y A2.

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Capítulo 3. Trigonometría

20. Calcular el área sombreada de la siguiente figura considerando que se tratan de triángulos equiláteros (lados iguales y ángulos de 60o ) y cuya altura de cada uno es de 4 cm.

21. Calcular el área sombreada tomando en cuenta que la línea punteada mide 75 cm.

22. Calcular el área sombreada de la siguiente figura.

3.1 Triángulos

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23. Obtener el costo de un terreno que tiene la siguiente forma y medidas. El costo por metro cuadrado es de $1, 500.

Anexos

Bibliografía

Libros Raúl Alberto Scherzer Garza(2001) «Aprendizaje de alto rendimiento» 1a edición. Impresión propia. Raúl Alberto Scherzer Garza (2001) «Aritmética mental». 1a edición. Impresión propia.

Vivaldo Cuesta Sánchez, Mario Alberto Lezama Rojas y Emilio Soto García (2009) «Álgebra, SEP». 1a edición. Editorial BookMart. Aurelio Baldor (1981) «Álgebra». 1a edición. Ediciones y distribuciones CODICE, S.A. Madrid. Aurelio Baldor (1981) «Aritmética». 1a edición. Ediciones y distribuciones CODICE, S.A. Madrid. Aurelio Baldor (1981) «Geometría y Trogonometría». 1a edición. Ediciones y distribuciones CODICE, S.A. Madrid.