l2 Oscilaciones Rotatorias Libres y Forzadas
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- Liz Orozco Zambrano
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UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTADER FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE FISICA LABORATORIO DE FISICA III
TITULO: L2 OSCILACIONES ROTATORIAS LIBRES Y FORZADAS
OBJETIVOS
Comprobar empíricamente que el factor de amortiguamiento en un movimiento armónico amortiguado libre afecta su amplitud, mas no su período de oscilación. Encontrar el valor de la constante de amortiguamiento a partir de medidas experimentales, y con ésta el factor de decremento logarítmico. Analizar la variación del factor de amortiguamiento con relación a la corriente parasita aplicada. Analizar el impacto de las corrientes parasitas en las curvas de resonancia, es decir, amplitud contra frecuencia.
TABLAS DE DATOS Y CALCULOS PARTE A. Amortiguamiento de la oscilación Tabla 1. Amplitud de oscilación medida como función del tiempo.
# oscilaciones: 4
# oscilaciones: 4 A[u]
7.28 6.86 8.84
6.86 6.97 8.81
7.12 6.82 8.97
18 16 15
A[u] 7.09 7.07 7.12 7.11 8.95 8.90
7.03 7.17 8.87
Tabla 2. Periodo de oscilación para diferentes corriente parasitas.
Corriente parásita [A]
Periodo de oscilación ̅ [s]- A=18 1.772
Periodo de oscilación ̅ [s]- A=16 1.720
1.765
1.783
=0.72
Tiempo Promedio ̅ [s] ̅
18 16 15
√
∑
(
̅)
√
(
)
)
(
)
Error del promedio
√
(
√
Periodo Promedio ̅ [s] (Experimental) ̅
̅ n = Número de oscilaciones
Determinación de la constante de amortiguamiento para
El movimiento de un sistema oscilante (rotatorio) libremente amortiguado puede describirse por la ecuación ( ) ; y utilizando la razón ( ) constante entre dos amplitudes sucesivas tenemos que: ) ( ) (
(
)
)
(
(
)
(
(
(
(
)
(
)
)
)
)
)
(
)
Para determinar la constante de amortiguamiento [ utilizamos la razón ( )) entre un tiempo (t) y otro tiempo (t+ T) para distintos valores de A ( para luego promediar y obtener una constante de amortiguamiento promedio para una corriente de Tabla 3. Constante de amortiguamiento para diferentes valores de A.
A+
A0.122 0.093 0.117 0.162 0.175 0.180
Para una corriente anteriormente para obtener
0.096 0.115 0.132 0.099 0.160 0.180
se realizó el mismo procedimiento descrito
Tabla 4. Constante de amortiguamiento para diferentes valores de A.
A+
A0.344 0.404 0.496 0.785
0.350 0.443 0.430 1.141
0.549[rad/s]
Determinación de la frecuencia angular del movimiento para
Sabiendo que la ecuación que describe un movimiento armónico amortiguado libre M.A.A.L es ( ) Y reemplazando en esta los valores obtenidos durante la práctica y el valor de la constante de amortiguamiento es posible obtener la frecuencia angular del movimiento [ ].
El movimiento descrito tiene una amplitud máxima , en un tiempo T igual al periodo de oscilación la posición respectiva es 14.5, y la constantes de amortiguamiento para una corriente de 0.36 [A] es =0.136[rad/s]
(
(
)(
)(
)
)
( (
( ( ( (
[
))
)) ))
]
Para determinar la frecuencia angular del movimiento para se realizó el procedimiento anteriormente mencionado lo que dio como resultado
La ecuación que describe el movimiento amortiguado por una corriente es: ( )
La ecuación que describe el movimiento amortiguado por una corriente es: ( ) Grafica 1. A en función del tiempo A+ AA+ A-
18 16 18 13
14.5 13.5 9.8 7.0
12.3 11.0 4.8 3.2
10.0 8.7 2.0 1.5
7.5 7.3 0.5 0.3
5.5 5.5
La gráfica de Amplitud vs. Tiempo (Periodo) que representa el movimiento armónico amortiguado por una corriente de se describe por la ecuación ( ) , podemos observar que esta ecuación representa una función exponencial que decrece con el tiempo debido a que la fuerza amortiguadora genera una disminución periódica de la amplitud del movimiento descrito por un decremento logarítmico . Si comparamos las
4.0 4.0
dos gráficas se observa que para una corriente parásita mayor (fuerza amortiguadora), la constante de amortiguamiento también es mayor lo que produce en la segunda gráfica, que representa el movimiento amortiguado por una corriente de y descrita por la ecuación ( ) , valores de amplitud menores a los presentados con una corriente , por otro lado podemos ver que esta fuerza amortiguadora no afecta el periodo de oscilación de los movimientos por lo que la frecuencia angular de ambos son muy cercanas entre sí. La segunda gráfica también es representación de una función exponencial decreciente donde los valores de amplitud disminuyen más rápidamente debido a que la corriente o fuerza amortiguadora es mayor por lo que la constante de amortiguamiento también lo es. Grafica 2. A en función del tiempo (Linealización) Para linealizar la grafica de la amplitud en función del tiempo se realizo el siguiente procedimiento con el cual se obtuvieron las ecuaciones lineales del decremento logarítmico. ( ) ( )
( ) ( )
Para
Para
Al comparar las gráficas se puede observar que el decremento en la amplitud es mayor y más rápido para la corriente más grande ( ) debido a que el factor de amortiguamiento también lo es en comparación al producido por una corriente . Esto es evidente al observar las pendientes de las rectas, si bien las dos son negativas, la pendiente de la segunda corriente es mayor por lo que llega a cero en menor tiempo. Tabla 6. Periodo de Oscilaci n, Constante de amortiguamiento ( ) y Decremento Logarítmico.
T[s] 1.772 1.765
0.136 0.549
0.241 0.969
En un movimiento armónico amortiguado libre la amplitud disminuye por el factor
, lo que significa que en un tiempo
la amplitud disminuye este
valor de su amplitud inicial. La razón de amortiguamiento relaciona dos amplitudes sucesivas ( ) ( ), como el periodo de oscilación del movimiento es constante este valor también lo es.
(
)
PARTE B. a. Amplitud como función de la frecuencia
Tabla 7. 10-Tiempos el periodo de oscilación, frecuencia, amplitud para
Posición
10T[s]
20 25 30 35 40 50 60
33.898 23.148 18.116 15.267 13.193 10.707 9.017
Frecuencia [
,
,
A[unidades]
]
0.34 0.50 0.59 0.68 0.78 0.92 1.13
0.75 2.55 20 0.7 0.35 0.15 0.05
0.75 1.4 4.85 0.8 0.45 0.2 0.1
4.5 8 15 8.5 6 4 4
Para valores de frecuencia pequeños o grandes como se mueve el indicador del excitador y el oscilador? Para valores de frecuencia muy grandes y muy pequeños en relación con la frecuencia de resonancia, es decir, para valores de y muy distintos entre si habrá un gran desfase entre el excitador y el oscilador que se manifiesta en un incremento muy reducido de la amplitud, esto es evidente en las observaciones experimentales y en la ecuación para la amplitud de un movimiento armónico forzado ⁄ √(
)
Frecuencia natural del oscilador Frecuencia del excitador
Para amplitudes grandes, es decir para las frecuencias cerca de la frecuencia de resonancia, ¿Cómo es el desfase entre el indicador del excitador y el oscilador?
Cuando la frecuencia del excitador es muy similar a la del oscilador, los movimientos de estos se encuentran en una misma posición angular para un tiempo determinado, así el desfase entre estos dos es casi nulo y nos acercamos al fenómeno de resonancia en el cual los valores de la amplitud se mantienen siempre crecientes lo cual se observa durante el desarrollo del laboratorio. b. Determinación de la frecuencia natural del oscilador # de oscilaciones: 10 [s] 17.63
[s] 17.63
[s] 17.62
[s] 1.764[s]
⁄ Curvas de Resonancia
Al graficar la amplitud en función de la frecuencia del excitador para distintas corrientes, observamos:
, el amortiguamiento también es 0 lo que produce en teoría una amplitud que tiende a infinito, o que es en nuestro caso extremadamente alto si se compara con las amplitudes producidas por las otras corrientes. La grafica tiende a ser simétrica con respecto a la frecuencia natural de oscilación. Para valores de corrientes e se presenta un ensanchamiento de la función debido al aumento del amortiguamiento producido por la corriente, de la misma forma, al aumentar esta corriente, la amplitud máxima a la que llega el movimiento (fenómeno de resonancia) disminuye debido también al amortiguamiento. Cuando la corriente es
En los tres casos el sistema llega a la resonancia en el mismo valor de frecuencia, 0.552 [ ] que es aproximadamente igual a la frecuencia natural del oscilador, 0.567 [ ], por lo que se concluye que ni la corriente, ni la fuerza externa influyen en la frecuencia natural del oscilador.
CONCLUSIONES
En este experimento pudimos observar que al aumentar la corriente parasita en el montaje crecía en la misma proporción el factor de amortiguamiento,
responsable del decremento logarítmico de la amplitud, es decir, entre mayor corriente la amplitud disminuía más rápidamente.
Comprobamos experimentalmente que el periodo de oscilación no se ve afectado por el amortiguamiento causado por la corriente, por fuerte que esta sea; de esta forma el valor es el mismo para distintas corrientes.
Analizamos los por menores de un movimiento forzado demostrando que para valores iguales o muy próximos de la frecuencia natural del oscilador y la frecuencia del excitador, el sistema en un fenómeno conocido como resonancia que consiste en un aumento progresivo de la amplitud con respecto al tiempo.
Además con base en los eventos experimentales dedujimos que para valores muy distintos de la frecuencia del oscilador y la frecuencia del excitador los valores de la amplitud del movimiento se hacen más pequeños a medida que las frecuencias difieren en mayor proporción su valor.
OBSERVACIONES El procedimiento para determinar el valor de la corriente a la cual el sistema pasaba a ser críticamente amortiguado y sobre amortiguado no se realizó por lo cual no realizamos su respectivo análisis. Los errores se presentaron principalmente por la inexactitud en la toma de los tiempos y en los datos correspondientes a las amplitudes de los diferentes movimientos, y a la sensibilidad de los instrumentos utilizados durante el desarrollo de la práctica.