Oscilaciones Forzadas

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OSCILACIONES FORZADAS EN SISTEMA MASA-RESORTE Mateo Munard Daniela Forero David Castellanos Daniel Bernal Escuela Colombiana de Ingeniería Julio Garavito

I. RESÚMEN En el siguiente documento el lector podrá encontrar distintas mediciones que es determinaron a partir de estudio el fenómeno de la resonancia en un sistema masa-resorte que realiza oscilaciones verticales al mover su punto de suspensión armónicamente. A partir de las mediciones de la frecuencia de excitación, la amplitud de las oscilaciones y del modelo desarrollado en la guía se encuentra el valor de b. Abstract: In the following document the reader will find different measurements that are determined from the study of the resonance phenomenon in a mass-spring system that performs vertical oscillations by moving its suspension point harmoniously. From the measurements of the excitation frequency, the amplitude of the oscillations and the model developed in the guide, the value of b is found.

El oscilador forzado, o su equivalente el circuito LRC conectado a una fuente de corriente alterna es un ejemplo que nos permite estudiar con detalle las soluciones de una ecuación diferencial de segundo orden. Nos permite diferenciar entre estado transitorio y estacionario. Comprender el importante fenómeno de la resonancia. A continuación, en la Ilustración 1, se muestra una masa m conectada a un resorte ligero de constante elástica k y longitud natural x0; el extremo superior del resorte pende del punto p que se mueve verticalmente y realiza oscilaciones armónicas con frecuencia γ y amplitud η0 con respecto al punto fijo o, es decir η(t) = η0 cos γt.

II. INTRODUCCIÓN La teoría de los movimientos armónicos forzados es fundamental en muchos ámbitos de la física y la ingeniería. Un oscilador amortiguado por sí solo dejará de oscilar en algún momento debido al roce, pero podemos mantener una amplitud constante aplicando una fuerza que varíe con el tiempo de una forma periódica a una frecuencia definida y esto es lo que realmente se conoce como oscilación forzada. Si se suprime la excitación externa, el sistema oscilará con su frecuencia natural. A continuación, se estudiará tal caso, pero en un sistema masa resorte. III. MARCO TEÓRICO

Ilustración 1 Sistema masa-resorte. Al aplicar la segunda ley de Newton a la masa m en sentido vertical, una vez que el punto p se encuentra en movimiento resulta:

A. Sistemas tanto mecánicos como eléctricos manifiestan un fenómeno interesante cuando estos son perturbados por fuerzas o señales periódicas respectivamente. La frecuencia para la cual la respuesta es máxima se denomina frecuencia de resonancia. Entre menos rozamiento tengan estos sistemas, la frecuencia de resonancia tiende a coincidir con la frecuencia natural. Sistemas mecánicos simples tales el sistema masa-resorte poseen una frecuencia de resonancia que depende de la masa, constante elástica del resorte y la resistencia que ofrezca el medio al movimiento de la masa. Sistemas complejos pueden tener varias frecuencias de resonancia La amplitud de una oscilación amortiguada decrece con el tiempo. Al cabo de un cierto tiempo teóricamente infinito, el oscilador se detiene en el origen. Para mantener la oscilación es necesario aplicar una fuerza oscilante.

Ecuación 1 Segunda ley de Newton. 𝑚𝑔

𝑘

al definir 𝑦 = 𝑥 − 𝑥0 – , 𝑤 2 = , 2λ = b/m y teniendo 𝑘 𝑚 en cuenta que η(t) = η0 cos γt, se tiene que:

Ecuación 2 Segunda ley de Newton modificada. Por otra parte, la solución de la ecuación (3) en el régimen estacionario es dada por:

2 (7) Para tiempos pequeños, el movimiento descrito con poco amortiguamiento se asemeja a un coseno simple, como si no existiera amortiguación. Esto quiere decir que el sistema vibra con gran libertad.

IV. MONTAJE EXPERIMENTAL Y DIAGRAMA DE FLUJO Realizar el montaje como se muestra en la figura:

Ecuación 3 Solución en el régimen estacionario. La frecuencia en Hertz para la cual la amplitud es máxima, la cual se denomina frecuencia de resonancia del sistema.

Ilustración 2 Montaje experimental sistema masa-resorte.

Movimiento forzado

(4) La amplitud en función de la frecuencia externa alcanza un máximo con una frecuencia impulsora cercana a la frecuencia natural del sistema. (1) considera que las fuerzas de amortiguamiento que actúan sobre un cuerpo son proporcionales a alguna potencia de la velocidad instantánea.



Medir el valor de la masa m del sistema masa resorte mediante la balanza suministrada.



Determinar el valor de la constante elástica k del resorte, al medir su elongación al suspenderle la masa m.



Medir el valor de η0.



Medir la amplitud A de las oscilaciones de la masa como función de la frecuencia de las oscilaciones de la masa.



Graficar A en función de γ = 2πf. Describa el comportamiento de la gráfica. Determine el valor de la frecuencia γr para el cual la amplitud de las oscilaciones es máxima.



Obtenga el valor de la constante de amortiguamiento b a partir de la Ecuación 4, usando los valores de m, k y γr obtenidos en los incisos 1, 2 y 5 respectivamente.



Graficar A en función de γ = 2πf, Ecuación 3 usando los valores de m, k , η0 y b obtenidos en los incisos 1, 2, 3 y 6 respectivamente. Superponga esta grafica con la obtenida en el inciso 5. ¿La grafica obtenida se ajusta o se superpone perfectamente a la obtenida en el inciso 5? Explique las discrepancias.

3 Video2

V. DATOS OBTENIDOS Y ANÁLISIS DE RESULTADOS Masa m del sistema m= 0,02 Kg Tabla Peso Vs Distancia de elongación para determinar K

Peso(N) distancia(m) 0,122125 0,056 0,1529982 0,073 0,2161124 0,096 0,2761979 0,114 0,3690129 0,143

Video3

Peso(N) 0.4 y = 2.8869x - 0.051

0.3 0.2 0.1 0 0

0.05

0.1

0.15

0.2

Video4

K= 2,89N/m Diámetro circulo blanco de la polea

η0 = 18mm 𝜔=√

K m

𝜔 =12,02 s-1 Gráficas obtenidas con el programa de Tracker Video1

Video5

4 Video10 Video6

Video7 Construcción A(ω) -> A(γ)

A

ω 14,3451719 16,1937766 14,8890647 37,1786113 37,3999125 33,7805662 41,3367454 9,09288756 37,1786113 31,1048778

0,042 0,0149 0,02656 0,00368025 0,0037149 0,0031024 0,00642 0,0156035 0,0032709 0,0034255

Video8

A(ω) Gráfica de dispersión proporcionada por excel,

construcción práctica por medio del programa de tracker

A(ω)

Video 9 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 0

10

20

30

40

50

La frecuencia de resonancia se denota cerca al punto máximo proporcionado, el cual es 14,35 s-1, por la forma de la gráfica, estando entre 10 y 14,35 s-1, sin embargo, por 10 apenas es creciente, el punto de resonancia estaría llegando 12 s-1 𝜔𝑟 = 11,5 𝑠 − 1

5 ● A(ω) / diferentes constantes de amortiguamiento

● ●

Para frecuencias mayores a 10 en la práctica experimental los valores de la amplitud se alejan al modelo teórico. Puede ser por errores en la medición o porque la frecuencia natural del sistema se aleja de este valor, lo cual implica que no se presenta resonancia. A mayor frecuencia mayor amplitud. La amplitud es proporcional a la frecuencia. La experimental y la teórica tienen el mismo comportamiento, quiere decir que las dos son crecientes.

La función con frecuencia de resonancia es 𝑏 = 0.2√𝑘𝑚* A(ω) Gráfica teórica con un valor de 𝑏 = 0.2√𝑘𝑚* usando la ecuación 3.

De ecuación 4 𝑏 = 𝑚√(𝜔0 2 − 𝜔𝑟 2 )/2 𝑏 practico = 0,049 Kg/s 𝑏 teorico = 0,098 Kg/s

Error porcentual = 24% VI. CONCLUSIONES ●



Se comprobó el fenómeno de resonancia en un sistema forzados masa-resorte. Esto al determinar los valores de la constante de amortiguamiento mediante el arreglo experimental. Se aplicó una herramienta adicional a la hora de realizar esta clase de experimentos como lo es el Tracker. Para un buen funcionamiento del programa es necesario que el cuerpo al cual se va a leer su movimiento posea una buena visibilidad, ya que en un primer caso el programa va a presentar errores en la lectura.

VII. REFERENCIAS 1.

Laboratorio Oscilaciones forzadas en sistema masaresorte. Escuela Colombiana de Ingeniería Julio Garavito. Facultad de Ciencias Naturales Física de Calor, Ondas y Estructura Atómica. Luis Alejandro Ladino.

2.

Serway, R., FISICA para ciencias e ingeniería, McGraw-Hill, Tomo 2, México, 2000.