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• Ferrer Bettín Francisco Javier

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MOVIMIENTO DE UN OSCILADOR ARMÓNICO AMORTIGUADO

Francisco Ferrer- Carlos yances- Samir Agamez Mediante el siguiente proyecto se estudia el movimiento de un oscilador armónico amortiguado, en particular, en interacción con una fuerza generada por la viscosidad del medio, que en esta experiencia fue el agua. El trabajo consta de una introducción, una descripción del sistema utilizado, un desarrollo y una conclusión. La introducción prepara al lector en la teoría del movimiento armónico simple y amortiguado. La descripción del sistema muestra los elementos utilizados en el laboratorio y el sistema estudiado. El desarrollo presenta el marco teórico empleado, obtiene resultados a partir del mismo y compara con las mediciones del laboratorio, tratando de explicar las diferencias encontradas

Introducción El movimiento de un resorte es algo muy común dentro del estudio de física general. Como hemos visto en el estudio del movimiento armónico simple, existe un resorte “ideal”, el cual carece de roce alguno y al darle una amplitud inicial debería seguir oscilando hasta que una nueva fuerza externa interfiera, haciendo que este pierda energía, y llevándolo nuevamente a un punto de reposo. Ahora bien, como sabemos, la ecuación que describe la posición en función del tiempo de este oscilador “ideal”, está dada por: 1.

Ahora bien, para ser un poco más realistas, imaginaremos que tenemos una masa suspendida

del extremo de un resorte, la cual sumergimos en un medio viscoso. De esta manera, el sistema masa resorte deja de ser ideal para adecuarse más a la realidad, por lo que tendremos una nueva fuerza externa que se opondrá a la velocidad de la masa.

Llamaremos a esta fuerza, fuerza de amortiguamiento viscosa, y la expresaremos de la forma 3.

Donde x es la distancia al punto de equilibrio, A es la amplitud máxima alcanzada inicialmente, t es el tiempo transcurrido desde que se suelta la masa hasta que llega al punto x, es la frecuencia de oscilación dada por , y la fase, que se obtiene de integrar la √ ecuación diferencial

Donde es una constante que depende del medio y de la forma del cuerpo, y v es la velocidad del cuerpo. Entonces, asociando (2) y (3), obtendremos la ecuación diferencial 4.

2. que al resolverla, resulta en la ecuación exponencial decreciente de x en función de t 5. Donde kres la constante de elasticidad del resorte, y m la masa suspendida del resorte.

De esta manera podemos describir sin ningún problema la oscilación de una masa suspendida de un resorte en la cual no interfiere fuerza externa alguna (Excepto la de la

gravedad, que al ser conservativa no se tiene en cuenta, pues su único efecto es el de cambiar el punto de equilibrio del sistema), y la oscilación de una masa suspendida sobre un resorte en la cual interfiere una fuerza viscosa. Sin embargo, los casos descriptos más arriba no explican todas las posibles perturbaciones que puede presentar una masa en oscilación.

Datos de las mediciones

Descripción del sistema.

La tabla 1, corresponde a la experiencia hecha manualmente. Con el software, se obtuvieron otros datos, que se aprecian en la su tabla 2. Ambas tablas corresponden a las amplitudes máximas.

Con objetivo de medir la distancia de la masa al punto de equilibrio en función del tiempo, se utilizó, el montaje que se ilustra en la figura 1. El cual consistía en una masa cilíndrica atada a un resorte y sumergida en agua. Por medio de un hilo conectado a dicha masa la cual pasaba por una polea de 6 cm de radio, se hizo oscilar el sistema masa resorte. Cada vez que el sistema oscilaba, el dispositivo registraba los datos (Grados vs tiempo).

En la siguiente tabla se ilustra los datos tomados de la experiencia (Amplitud y Tiempo). En la figura 1, como el programa arrojaba las amplitudes en grados, se procedió a hacer la respectiva conversión a cm. En la figura 2, las mediciones fueron manuales, tomando así una regla para medir las amplitudes, y un cronometro para medir el tiempo.

Amplitud (cm) 5 4 3 2,5 2

Tiempo (s) 0 0,86 1,55 2,45 3,32

Tabla 1: Datos tomados manualmente Amplitud(cm) 2,54678 1,25245 0,6635 0,35542 0,10304 0,04555

Tiempo (s) 0,15 1,15 2,1 3,05 3,95 4,75

Tabla 2: Datos tomados por el software. Figura 1 También se realizó la misma experiencia, pero esta vez, las mediciones se hicieron manuales, tanto las amplitudes, como el tiempo. Ver figura 2.

Figura 2

Desarrollo Los datos obtenidos de la posición en función de tiempo de la masa oscilante, son graficados con el programa Origin 2016, y se muestran en el Gráfico 1.

Figura 1: Posición de la partícula en función del tiempo Como se observa, la posición parece ser una sinusoide modulada de forma tal que su amplitud decrece con el tiempo.

Observamos que la gráfica 2, es más fiable, ya que se trata de datos tomados a base de una computadora, donde los errores son mínimos, en cambio la gráfica 3, por ser datos manuales, contiene muchos errores; sin embargo, en ambas se puede observar, el comportamiento que tiene la partícula en cuanto a su amplitud, al pasar el tiempo.

Ahora, tomaremos las amplitudes máximas, tanto para los datos que obtuvimos manualmente, como para los que nos arrojó el software. Graficamos en función del tiempo, las gráficas mostrada son de tipo exponencial, con lo cual le aplicamos su respectivas regresión.

En la gráfica 2, observamos que la constante de amortiguamiento, en este caso el agua es:

La figura 2, muestra la gráfica de las amplitudes máximas en función del tiempo, para los datos tomados del software. La grafica 3, muestra las amplitudes máximas en función del tiempo, con los datos tomados manualmente.

LA ENERGÍA DEL OSCILADOR AMORTIGUADO

CONSTANTE DE AMORTIGUAMIENRO

La energía de la partícula, que describe la oscilación amortiguada, es la suma de la energía cinética de la partícula y la de la energía potencial del resorte deformado.

Las expresiones de posiciones de la posición ( ) y de la velocidad ( ̈ ), son las siguientes.

̈ Figura 2: Amplitudes máximas en función del tiempo (Datos del software)

Introducimos (1) y (2) en (*), así: [ [

(

Como la masa es de 51g, k= 3 N/mts, entonces:

] )]

,y

√

√ Figura 3: Amplitudes máximas en función del tiempo (Datos manuales)

Como la constante de amortiguamiento es pequeña, entonces, concluimos que . Tenemos también que la constante , la cual nos arroja origin.

Hallamos la constante de desfase, la cual es de 0.36π, calculada a partir de la tabla de valores y haciendo uso de la ecuación 1. Por lo tanto, reemplazando todos los valores en la ecuación (4) [

]

Posteriormente Graficamos, la energía en función del tiempo. Ésta grafica fue realizada con el programa Geogebra (ver figura 4)

Figura 4: Energía en función del tiempo La energía decrece exponencialmente con el tiempo, pero con una pequeña ondulación, debido al segundo término entre paréntesis, tal como se aprecia en la figura.

Conclusiones Podemos concluir, según la experiencia anterior lo siguiente:  La amplitud de las amplitudes disminuye con el tiempo.  La energía del oscilador también disminuye, debido al trabajo de la fuerza Fr de rozamiento viscoso, opuesta a la velocidad.  En el espacio de las fases (v-x), la partícula describe una espira, que converge hacia el origen

Referencias bibliográficas [1]- C. Barratt and George L. Strobel – Sliding Friction and the Harmonic Oscillator – American Journal of Physics – 49, pp. 500-501 (1981) [2]- Richard Lapidus – Motion of a Harmonic Oscillator with Sliding Friction – American Journal of Physics – 38, pp. 1360-1361 (1970) [3]- M. I. Molina – Exponential versus Lineal Amplitud Decay in Damped Oscillators.