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• Jose Manuel

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El oscilador forzado La amplitud de una oscilación amortiguada decrece con el tiempo. Al cabo de un cierto tiempo teóricamente infinito, el oscilador se detiene en el origen. Para mantener la oscilación es necesario aplicar una fuerza oscilante. El oscilador forzado, o su equivalente el circuito LRC conectado a una fuente de corriente alterna es un ejemplo que nos permite estudiar con detalle las soluciones de una ecuación diferencial de segundo orden.

Las fuerzas que actúan sobre la partícula son: La fuerza que ejerce el muelle -k·x La fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad λv y de sentido contrario a ésta La fuerza oscilante F0·cos(ωf t) de frecuencia angular ωf La ecuación del movimiento de la partícula es ma=-kx-λv+F0·cos(ωf t) Expresamos la ecuación del movimiento en forma de ecuación diferencial que describe las oscilaciones forzadas d 2x dx F0 k λ + 2γ + ω20 x = cos(ωf t)  ω20 =   2γ = 2 dt m m m dt donde ω0 es la frecuencia natural o propia del oscilador ωf es la frecuencia angular de la fuerza oscilante de amplitud F γ es la constante de amortiguamiento, γ> syms t w0 wf F x0 v0; >> x=dsolve('D2x+w0^2*x=F*cos(wf*t)','x(0)=x0','Dx(0)=v0'); >> x=simplify(x) x =(w0*(F*cos(t*w0) - F*cos(t*wf)) - v0*w0^2*sin(t*w0) + v0*wf^2*sin(t*w0))/(w0*wf^2 - w0^3) + x0*cos(t*w0) >> xx=subs(x,{w0 wf F x0 v0},{100 120 1 0 0}); >> ezplot(xx,[0 0.2*pi])

Obtenemos pulsaciones, suma de armónicos de dos frecuencias distintas

Cuando ω0=ωf Cuando la frecuencia de la fuerza oscilante ωf se hace igual a la frecuencia propia del oscilador ω0, en el tercer término de la ecuación que nos da la posición x tenemos una ideterminación del tipo 0/0. lim

ωf →ω0

cos(ωf t) − cos(ω0 t) ω20 − ω2f

x = x 0 cos(ω0 t) +

=

t sin(ω0 t) 2ω 0

v0 F t sin(ω0 t) sin(ω0 t) + ω0 m 2ω 0

>> syms w0 wf t; >> limit((cos(wf*t)-cos(w0*t))/(w0^2-wf^2),wf,w0) ans =(t*sin(t*w0))/(2*w0)

O bien, resovemos de nuevo la ecuación diferencial con ωf=ω0. Establecemos los siguientes valores: Coeficiente de rozamiento g=0; Frecuencia angular propia y de la fuerza oscilante, w0=100 rad/s >> syms w0 F x0 v0; >> x=dsolve('D2x+w0^2*x=F*cos(w0*t)','x(0)=x0','Dx(0)=v0'); >> x=simplify(x) x =x0*cos(t*w0) + (v0*sin(t*w0))/w0 + (F*t*sin(t*w0))/(2*w0) >> xx=subs(x,{w0 F x0 v0},{100 1 0 0}) xx =(t*sin(100*t))/200 >> ezplot(xx,[0 0.3*pi]) >> title('Sin rozamiento')

La amplitud crece linealmente sin límite

Rozamiento γ> syms wf w0 g F x0 v0; >> x=dsolve('D2x+2*g*Dx+w0^2*x=F*cos(wf*t)','x(0)=0','Dx(0)=0'); >> x=simplify(x) x =(F + (F*g)/(g^2 - w0^2)^(1/2))/(2*exp(t*(g + (g^2 - w0^2)^(1/2)))* (2*g*(g^2 - w0^2)^(1/2) + 2*g^2 - w0^2 + wf^2)) - (F - (F*g)/(g^2 - w0^2)^(1/2))/ (2*exp(t*(g - (g^2 - w0^2)^(1/2)))*(2*g*(g^2 - w0^2)^(1/2) - 2*g^2 + w0^2 - wf^2)) - (F*exp(g*t + t*(g^2 - w0^2)^(1/2))*(cos(t*wf)*(g + (g^2 - w0^2)^(1/2)) + wf*sin(t*wf))) /(2*exp(t*(g + (g^2 - w0^2)^(1/2)))*(wf^2 + (g + (g^2 - w0^2)^(1/2))^2)*(g^2 - w0^2)^(1/2)) + (F*exp(g*t - t*(g^2 - w0^2)^(1/2))*(wf*sin(t*wf) + cos(t*wf)*(g - (g^2 - w0^2)^(1/2)))) /(2*exp(t*(g - (g^2 - w0^2)^(1/2)))*(g^2 - w0^2)^(1/2)*((g - (g^2 - w0^2)^(1/2))^2 + wf^2))

Establecemos los siguientes valores: Coeficiente de rozamiento g=7; Frecuencia angular propia, w0=100 rad/s y Frecuencia de la fuerza oscilante, wf=120 rad/s >> xx=subs(x,{g w0 wf F x0 v0},{7 100 120 1 0 0}); >> ezplot(xx,[0 0.3*pi])

Al cabo de un cierto tiempo (teóricamente infinito) el estado transitorio desaparece y la amplitud de la oscilación forzada tiende hacia un valor constante.

Cuando ω0=ωf >> syms w0 g F x0 v0; >> x=dsolve('D2x+2*g*Dx+w0^2*x=F*cos(w0*t)','x(0)=0','Dx(0)=0'); >> x=simplify(x) x =-(w0^2*(F*g*exp(g*t)*exp(t*(g^2 - w0^2)^(1/2)) - (F*g*exp(g*t))/exp(t*(g^2 - w0^2)^(1/2))) - 2*F*g*w0*exp(2*g*t)*sin(t*w0)*(g^2 - w0^2)^(1/2))/(4*w0^2*exp(2*g*t)*(g^2 - w0^2)^(3/2) + 4*w0^4*exp(2*g*t)*(g^2 - w0^2)^(1/2))

Establecemos los siguientes valores: Coeficiente de rozamiento g=7; Frecuencia angular propia y de la fuerza oscilante, w0=100 rad/s >> xx=subs(x,{g w0 F x0 v0},{7 100 1 0 0}); >> ezplot(xx,[0 0.3*pi])

La amplitud de la oscilación crece y tiende hacia un valor límite constante

El estado estacionario En el estado estacionario la amplitud de la oscilación forzada tiende hacia un valor constante. Como hemos apreciado, la solución de la ecuación diferencial se compone de la suma de dos términos: el estado transitorio que depende de las condiciones iniciales y que desaparece al cabo de cierto tiempo, teóricamente infinito. el estado estacionario, independiente de las condiciones iniciales y que es el que permanece, después de desaparecer el estado transitorio. La solución particular la expresamos, al principio de esta página, de la forma x2=Acos(ωf t)+Bsin(ωf t) y la podemos expresar de la forma equivalente x = A 0 sin (ωf t − δ) x = A 0 cos δ sin (ωf t) − A 0 sin δ cos (ωf t) Obtendremos los valores de A0 y δ a través de los parámetros A y B de la solución particular de la ecuación diferencial que ya hemos calculado.

A 0 sin δ = −

F 0 (ω20 − ω2f ) 2

m ((ω20 − ω2f ) A 0 cos δ =

+ 4γ 2 ω2f )

2γωf F 0 m ((ω20 − ω2f )

2

+ 4γ 2 ω2f )

ω2f − ω20 F 0 /m A 0 = −−−−−−−−−−−−−−−−−   tan δ = 2 2γωf √ (ω20 − ω2f ) + 4γ 2 ω2f El cosδ es siempre positivo y el sinδ es positivo cuando ωf>ω0 y negativo cuando ωf0), la amplitud se hace máxima cuando la frecuencia ωf de la fuerza oscilante es próxima a la natural del oscilador ω0 La característica esencial del estado estacionario, es que la velocidad de la partícula v=

dx = A 0 ωf cos(ωf t − δ) dt

está en fase δ=0 con la fuerza oscilante cuando la frecuencia de la fuerza oscilante ωf es igual a la frecuencia propia del oscilador ω0. Expresamos la amplitud A0 y la fase δ en términos de los cocientes x=ωf/ω0 y g=γ/ω0. A0 =

F 0 /m ω20

x2 − 1 1   tan δ = −−−−−−−−−−−−−− − 2 2xg √ (x 2 − 1) + 4x 2 g 2

r=[0.1 0.3 0.4 0.5 1 1.5 2]; %rozamiento col=['b' 'g' 'r' 'm' 'k' 'b' 'g']; %colores x=linspace(0,3,200); %frecuencias %amplitud figure hold on i=0; for g=r i=i+1; y=1./sqrt((x.^2-1).^2+4*x.^2*g^2); plot(x,y,col(i),'displayName',num2str(r(i))) end ylim([0 2.8])

title('Amplitud en función de la frecuencia') xlabel('\omega_f/\omega_0') ylabel('A_0') legend('-DynamicLegend','location','Northeast') grid on hold off %fase figure hold on i=0; for g=r i=i+1; y=atan((x.^2-1)./(2*x*g))*180/pi; plot(x,y,col(i),'displayName',num2str(r(i))) end ylim([-90 90]) title('Desfase en función de la frecuencia') xlabel('\omega_f/\omega_0') ylabel('\delta (grados)') legend('-DynamicLegend','location','Southeast') grid on hold off

Energía del oscilador forzado. Resonancia Denotemos por valor medio de una función periódica f(t) de periodo P a f(t)

=

1 ∫ P

P 0

f(t) dt

Calculemos el valor medio de la energía por unidad de tiempo suministrada por la fuerza oscilante P1 =

F 0 cos(ωf t) ⋅ v

El valor medio de la energía por unidad de tiempo que disipa el oscilador a causa de su interacción con el medio que le rodea. Dicha interacción se describe en términos de una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidadλv. P2 =

λ v ⋅ v

En el estado estacionario x=A0·sin(ωf·t-δ) v=ωf·A0·cos(ωf·t-δ) Haciendo algunas operaciones, se obtiene la misma expresión para P1 y para P2. P1 = P2 =

F 02 γω2f /m (ω2f − ω20 )

2

+ 4γ 2 ω2f

Nota: para el cálculo con MATLAB utilizamos la expresión de x=A·cos(ωf·t)+B·sin(ωf·t) de la solución de la ecuación diferencial en vez de x=A0·sin(ωf·t-δ) del párrafo anterior. >> >> >> >>

syms F wf w0 g t; A=F*(w0^2-wf^2)/((w0^2-wf^2)^2+4*wf^2*g^2); B=2*g*wf*F/((w0^2-wf^2)^2+4*wf^2*g^2); x=A*cos(wf*t)+B*sin(wf*t);

>> v=diff(x,t); >> p=F*cos(wf*t)*v; >> pot_1=int(p,t,0,P)/P %integramos respecto de t entre los límites 0 y P pot_1 =(F^2*g*wf^2)/((w0^2 - wf^2)^2 + 4*g^2*wf^2) >> f=2*g*v^2; >> P=2*pi/wf; %periodo >> pot_2=int(f,t,0,P)/P pot_2 =(F^2*g*wf^2)/(w0^4 + wf^4 + wf^2*(4*g^2 - 2*w0^2))

En el estado estacionario, el valor medio de la energía por unidad de tiempo suministrada por la fuerza oscilante, es igual al valor medio de la energía por unidad de tiempo que disipa el oscilador a causa de su interacción con el medio que le rodea. Manteniéndose la energía del oscilador forzado constante en valor medio. La expresión anterior la podemos escribir de una forma más simple ω2f − ω20 F 02 1 ( )    X = tan δ = P= 2γωf 4mγ 2 1 + X 2 Cuando la frecuencia ωf de la fuerza oscilante es igual a la frecuencia ω0 natural del oscilador la fuerza oscilanteF0·cos(ωf t) y la velocidad v del oscilador están en fase δ=0, el valor medio de la energía por unidad de tiempo Psuministrada por la fuerza oscilante es máxima. Esta situación recibe el nombre de resonancia. La representación de la potencia P en función de X tiene la forma de la curva acampanada de la figura. El máximo de la potencia P se obtiene para X=0, o bien, cuando la frecuencia ωf de la fuerza oscilante es igual a la frecuencia ω0 natural del oscilador. Vemos también que la función es simétrica, tiene el mismo valor para X positivos y Xnegativos, y que P tiende rápidamente a cero a medida que X se hace mayor o menor que cero, es decir, a medida que la frecuencia ωf de la fuerza oscilante se hace mayor o menor que la frecuencia ω0 propia del oscilador. La anchura es otra característica importante de la curva. Se define como el intervalo de frecuencias de la fuerza oscilante para los cuales la potencia P es mayor que la mitad de la máxima. El intervalo de frecuencias ωf alrededor de la frecuencia ω0 propia del oscilador está comprendido entre X=-1 a X=+1, y vale aproximadamente 2γ. En la figura, se representan dos curvas con la misma frecuencia de resonancia pero con disinta anchura.

Solución numérica Podemos escribir la ecuación diferencial de segundo orden que describe las oscilaciones forzadas en forma de dos ecuaciones diferenciales de primer orden, para resolverlas utilizando la función ode45 de MATLAB d 2x dx + 2γ + ω20 x = 2 dt dt dx =v dt dv = −2γv − ω20 x + dt

F0 cos (ωf t) m

F0 cos (ωf t) m

Si a la frecuencia de la fuerza oscilante ωf le damos los valores wf=120 y wf=100 obtenemos las mismas figuras que resolviendo la ecuación diferencial de forma analítica. w0=100; %frecuencia angular propia g=7; %rozamiento, gamma, wf=120; %frecuencia de la fuerza oscilante (cambiar este valor) F=1; %F0/m amplitud de la fuerza oscilante %condiciones iniciales x0=zeros(1,2); x0(1)=0; %posición inicial, x0 x0(2)=0; %velocidad inicial, v0: tf=0.3*pi; %tiempo final f=@(t,x) [x(2);-2*g*x(2)-w0*w0*x(1)+F*cos(wf*t)]; tspan=[0 tf]; [t,x]=ode45(f,tspan,x0); plot(t,x(:,1)) xlabel('t') ylabel('x'); title('oscilador forzado')

En este ejemplo se ha asignado a wf=100, y se han modificado la condición inicial, x0(2)=-0.08. El estado transitorio cambia pero no lo hace la amplitud constante de la oscilación que se establece al cabo de un cierto tiempo (teóricamente infinito)

Transformada de Laplace Estudiamos la ecuación diferencial de segundo orden que describe el oscilador forzado, con las condiciones iniciales especificadas. d 2x dx F + 2γ + ω20 x = cos(ωf t) 2 dt m dt x=0 t = 0  dx =0 dt donde ω0 es la frecuencia natural o propia del oscilador ωf es la frecuencia angular de la fuerza oscilante de amplitud F γ es la constante de amortiguamiento, γ