Oscilaciones forzadas

Oscilaciones forzadas. El estado estacionario Oscilaciones Osciladores (I) Oscilaciones libres Oscilaciones amortiguada

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Oscilaciones forzadas. El estado estacionario Oscilaciones Osciladores (I) Oscilaciones libres Oscilaciones amortiguada s Oscilaciones forzadas el estado estacionario Oscilaciones forzadas el estado transitorio El péndulo de Pohl Una partícula cae sobre muelle elástico Caja sobre una cinta transportador a Oscilador amortiguado por una fuerza cte (I). Oscilador amortiguado por una fuerza cte (II).

Descripción Energía del oscilador forzado. Resonancia Actividades

Como hemos estudiado en la página anterior, la amplitud de una oscilación amortiguada decrece con el tiempo. Al cabo de un cierto tiempo teóricamente infinito, el oscilador se detiene en el origen. Para mantener la oscilación es necesario aplicar una fuerza oscilante.

Descripción

Las fuerzas que actúan sobre la partícula son:   

La fuerza que ejerce el muelle -k·x La fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad λv y de sentido contrario a ésta La fuerza oscilante F0·cos(f t) de frecuencia angular f

La ecuación del movimiento de la partícula es ma=-kx-λv+F0·cos(f t) Expresamos la ecuación del movimiento en forma de ecuación diferencial

La solución de esta ecuación diferencial se compone de la suma de dos términos:  

el estado transitorio que depende de las condiciones iniciales y que desaparece al cabo de cierto tiempo, teóricamente infinito. el estado estacionario, independiente de las condiciones iniciales, y que es el que permanece, después de desaparecer el estado transitorio.

Una solución particular de la ecuación diferencial completa tiene la forma

Obtendremos los valores de A y  haciendo que cumpla la ecuación diferencial lineal completa

En la figura, se muestra la respuesta en amplitud de la oscilación forzada, en el estado estacionario. Como podemos observar en la gráfica, la amplitud de la oscilación forzada en el estado estacionario disminuye rápidamente cuando la frecuencia f de la fuerza oscilante se hace mayor que la frecuencia propia del oscilador .

Derivando la expresión de la amplitud A en función de la frecuencia de la fuerza oscilante, respecto de ωf, e igualando a cero, obtenemos la frecuencia ωf para la cual la amplitud en el estado estacionario presenta

un máximo



En el caso ideal de que no existiese rozamiento γ=0, la amplitud de la oscilación forzada se haría muy grande, tendería a infinito, cuando la frecuencia f de la fuerza oscilante es igual a la frecuencia propia del oscilador .



En el caso habitual de que exista rozamiento (γ>0), la amplitud se hace máxima cuando la frecuencia f de la fuerza oscilante es próxima a la natural del oscilador 

La característica esencial del estado estacionario, es que la velocidad de la partícula

está en fase =0 con la fuerza oscilante cuando la frecuencia de la fuerza oscilante f es igual a la frecuencia propia del oscilador 0.

Energía del oscilador forzado. Resonancia Denotemos por valor medio de una función periódica f(t) de periodo P a

Calculemos el valor medio de la energía por unidad de tiempo suministrada por la fuerza oscilante

El valor medio de la energía por unidad de tiempo que disipa el oscilador a causa de su interacción con el medio que le rodea. Dicha interacción se describe en términos de una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad v.

En el estado estacionario x=A·sen(ωf·t+δ)

v=A·ωf·cos(ωf·t+δ) Haciendo algunas operaciones, se obtiene la misma expresión para P1 y para P2.

En el estado estacionario, el valor medio de la energía por unidad de tiempo suministrada por la fuerza oscilante, es igual al valor medio de la energía por unidad de tiempo que disipa el oscilador a causa de su interacción con el medio que le rodea. Manteniéndose la energía del oscilador forzado constante en valor medio. La expresión anterior la podemos escribir de una forma más simple

Cuando la frecuencia f de la fuerza oscilante es igual a la frecuencia 0 natural del oscilador la fuerza oscilante F0·cos(f t) y la velocidad v del oscilador están en fase δ=0, el valor medio de la energía por unidad de tiempo P suministrada por la fuerza oscilante es máxima. Esta situación recibe el nombre de resonancia. La representació n de la potencia P en función de X tiene la forma de la curva acampanada de la figura. El máximo de la potencia P se obtiene para X=0, o bien, cuando la frecuencia

f de la fuerza oscilante es igual a la frecuencia 0 natural del oscilador. Vemos también que la función es simétrica, tiene el mismo valor para X positivos y X negativos, y que P tiende rápidamente a cero a medida que X se hace mayor o menor que cero, es decir, a medida que la frecuencia f de la fuerza oscilante se hace mayor o menor que la frecuencia  propia del oscilador. La anchura es otra característica importante de la curva. Se define como el intervalo de frecuencias de la fuerza oscilante para los cuales la potencia P es mayor que la mitad de la máxima. El

intervalo de frecuencias f alrededor de la frecuencia  propia del oscilador está comprendido entre X=-1 a X=+1, y vale aproximadamen te 2. En la figura, se representan dos curvas con la misma frecuencia de resonancia pero con distinta anchura.

Actividades Se introduce   

la constante de amortiguamiento γ, en el control de edición titulado Cte. amortiguamiento La frecuencia angular f de la fuerza oscilante, en el control de edición titulado Frecuencia En el programa, se ha fijado el valor de la frecuencia angular natural del oscilador  =100 rad/s, y de la amplitud F0 de la fuerza oscilante.

Se pulsa en el botón Empieza. En la parte izquierda del applet, se representa la oscilación en el estado estacionario para la frecuencia angular f de la fuerza oscilante. A la derecha del applet, se representa la amplitud y la diferencia de fase en función de la frecuencia f de la fuerza oscilante, para un valor de la constante γ de amortiguamiento que se ha introducido. Se señala el valor de la amplitud A y de la diferencia de fase δ para el valor f introducido.

Oscilación Forzada (Resonancia)

Se hace oscilar arriba y abajo, por ejemplo con la mano, el extremo superior de un muelle (círculo rojo); se supone que este movimiento es armónico, lo cual significa que es posible describirlo mediante una función coseno. Las oscilaciones del muelle así producidas se llaman oscilaciones forzadas. Mediante el botón "Inicio", el muelle vuelve a su posición inicial. Mediante los otros dos botones, se puede comenzar o parar y continuar la simulación. Si se elige la opción "Ralentizado", el movimiento se hará cinco veces más lento. Se puede cambiar, dentro de ciertos límites, los valores de la constante del muelle, masa, constante de atenuación y frecuencia angular de la excitación. Además, se puede elegir, mediante el botón selector correspondiente, uno de los tres diagramas siguientes:   

Los desplazamientos de la excitación y del resonador en función del tiempo La amplitud de oscilación del resonador en función de la frecuencia angular de excitación El desfase entre las oscilaciones de la excitación y del resonador en función de la frecuencia angular de excitación.

Se pueden apreciar tres tipos diferentes de comportamiento: Si la frecuencia de excitación es muy pequeña (lo que equivale a que se hace oscilar el extremo superior del muelle muy lentamente), el muelle oscila prácticamente en fase con la excitación y con su misma amplitud. Si la frecuencia de excitación coincide con la frecuencia característica del muelle, la amplitud de oscilación va creciendo cada vez más (resonancia); en este caso, las oscilaciones del muelle están retrasadas alrededor de un cuarto de período respecto a la excitación. Si la frecuencia de excitación es muy alta, el resonador oscila con una amplitud muy pequeña y casi en oposición de fase. Si la constante de atenuación (debida al rozamiento) es muy pequeña, el estado transitorio adquiere relevancia; por tanto, es necesario esperar algún tiempo para observar los tipos de comportamiento mencionados. Esta aplicación se basa en fórmulas que pueden resultar algo complicadas. Si no le gustan las matemáticas, no debería pinchar con el ratón aquí.

Oscilación Forzada Apéndice Matemático El muelle oscilante se caracteriza por la constante elástica D, la masa m y la constante de atenuación Γ. (Γ es una medida de la fuerza de fricción cuando se supone que ésta es proporcional a la velocidad.) El muelle se excita mediante un movimiento hacia arriba y abajo de su extremo

superior, según la fórmula yE = AE cos (ωt). En ella, yE representa el desplazamiento de la excitación respecto a la posición media; AE es la amplitud de oscilación de la excitación, siendo ω la frecuencia angular y t el tiempo. Se trata de encontrar el valor del desplazamiento del resonador (respecto a su posición media), y, en el instante t. Haciendo ω0 = (D/m)1/2, el problema queda descrito por la siguiente ecuación diferencial: y''(t) = ω02 (AE cos (ωt) − y(t)) − Γ y'(t) Condiciones iniciales: y(0) = 0; y'(0) = 0 Al resolver esta ecuación diferencial, hay que distinguir varios casos: Caso 1: Γ < 2 ω0 Caso 1.1: Γ < 2 ω0; Γ ≠ 0 o ω ≠ ω0 y(t) = Aabs sin (ωt) + Ael cos (ωt) + e−Γt/2 [A1 sin (ω1t) + B1 cos (ω1t)] ω1 = (ω02 − Γ2/4)1/2 Aabs = AE ω02 Γ ω / [(ω02 − ω2)2 + Γ2 ω2] Ael = AE ω02 (ω02 − ω2) / [(ω02 − ω2)2 + Γ2 ω2] A1 = − (Aabs ω + (Γ/2) Ael) / ω1 B1 = − Ael Caso 1.2: Γ < 2 ω0; Γ = 0 y ω = ω0 y(t) = (AE ω t / 2) sin (ωt) Caso 2: Γ = 2 ω0 y(t) = Aabs sin (ωt) + Ael cos (ωt) + e−Γt/2 (A1 t + B1) Aabs = AE ω02 Γ ω / (ω02 + ω2)2 Ael = AE ω02 (ω02 − ω2) / (ω02 + ω2)2 A1 = − (Aabs ω + (Γ/2) Ael) B1 = − Ael Caso 3: Γ > 2 ω0 y(t) = Aabs sin (ωt) + Ael cos (ωt) + e−Γt/2 [A1 sinh (ω1t) + B1 cosh (ω1t)] ω1 = (Γ2/4 − ω02)1/2 Aabs = AE ω02 Γ ω / [(ω02 − ω2)2 + Γ2 ω2] Ael = AE ω02 (ω02 − ω2) / [(ω02 − ω2)2 + Γ2 ω2] A1 = − (Aabs ω + (Γ/2) Ael) / ω1 B1 = − Ael

URL: http://www.walter-fendt.de/ph14s/resmath_s.htm © Walter Fendt, 9 Septiembre 1998 © Traducción: Juan Muñoz, 9 Marzo 1999 Última modificación: 17 Marzo 2010

Fundamento teórico Definición Resonancia

Ejemplos Ejercicios

1.- Fundamento teórico. - Definición La energía de un oscilador amortiguado disminuye con el tiempo, como resultado de la fuerza disipativa. Es posible compensar esta pérdida de energía aplicando una fuerza externa que suministre la energía disipada realizando un trabajo positivo sobre el sistema. En cualquier instante, es posible agregar energía al sistema por medio de una fuerza aplicada que actúe en la dirección del movimiento del oscilador. Vamos a estudiar el oscilador forzado, el cual está sometido a una fuerza restauradora y a una fuerza externa (fuerza impulsora) que varía armónicamente con el tiempo cuya expresión obedece a una del tipo:

en donde Fo es constante y                   Fo cos  t obedece entonces a la ecuación del movimiento dada por

o sea

en donde hemos puesto

y

La solución de la ecuación consta de dos partes, la solución transitoria y la solución estacionaria. La parte transitoria de la solución es idéntica a la de un oscilador amortiguado no forzado dada por

Las constantes de esta solución, A y , dependen de las condiciones iniciales. Transcurrido cierto tiempo, esta parte de la solución se hace despreciable porque la amplitud disminuye exponencialmente con el tiempo. De este modo sólo queda la solución estacionaria, que no depende de las condiciones iniciales y que se puede escribir como

en donde la frecuencia angular  es la misma que la de la fuerza impulsora. La amplitud A viene dada por

y la constante de fase  por

Observando las ecuaciones podemos ver que el desplazamiento del sistema y la fuerza impulsora oscilan con la misma frecuencia pero difieren en fase en . El signo negativo de la fase se ha introducido para que la constante de fase  sea positiva. - Resonancia

La amplitud y, por tanto, la energía de un sistema en estado estacionario, depende no sólo de la amplitud del sistema impulsor sino también de su frecuencia. Se define la frecuencia natural de un oscilador como la que tendría si no estuviesen presentes ni el amortiguamiento ni el sistema impulsor. El fenómeno de resonancia se produce cuando la frecuencia impulsora es igual (o aproximadamente igual) a la frecuencia natural del sistema, es decir,  = o. En esta situación  = /2. En esta imagen se observa una gráfica que representa la amplitud frente a la frecuencia de un oscilador amortiguado cuando se encuentra presente una fuerza impulsora periódica. Cuando la frecuencia de la fuerza impulsora es igual a la frecuencia natural, o, aparece la resonancia. Se observa que la forma de la curva de resonancia depende del valor del coeficiente de amortiguamiento, b.

La cantidad media de energía absorbida en un ciclo es igual a la potencia media producida por la fuerza impulsora. En la figura se muestra un diagrama de la potencia media transmitida a un oscilador en función de la frecuencia de la fuerza impulsora o externa para dos valores diferentes de amortiguamiento (y por tanto de Q).

Estas curvas reciben el nombre de curvas de resonancia. Cuando el amortiguamiento es pequeño (el valor de Q es alto), la potencia consumida en la resonancia es mayor y la resonancia es más aguda; es decir, la curva de resonancia es más estrecha, lo que quiere decir que la potencia suministrada es grande sólo cerca de la frecuencia de resonancia. Cuando el amortiguamiento es grande (el valor de Q es pequeño), la curva de resonancia es más achatada y la potencia suministrada toma valores más para  diferentes de la de resonancia.

Para amortiguamientos relativamente pequeños, el cociente entre la frecuencia de resonancia o y la anchura total a la mitad del máximo  es igual al factor Q (que ya se definió en oscilaciones amortiguadas):

Por tanto, el factor Q nos indica directamente si la resonancia es aguda o no y en qué medida lo es. En resumen, cuando se está en resonancia:    

la amplitud del oscilador es máxima; la energía absorbida por el oscilador es máxima; la constante de fase  = /2; la velocidad está en fase con la fuerza impulsora como se observa al operar:

según esto, el oscilador siempre se está moviendo en el sentido en que actúa la fuerza impulsora, por lo que se consigue el máximo aporte de energía. * Resonancia e incertidumbre Hemos visto que la amplitud de un oscilador armónico impulsado y amortiguado tiene un pico de resonancia. También hemos visto que el oscilador armónico amortiguado, sin impulsión, tiene un tiempo de decaimiento característico. Estos fenómenos se relacionan estrechamente, y esa relación tiene consecuencias importantes sobre nuestra capacidad de construcción de sistemas con resonancias, como sintonizadores, o filtros de radio para eliminar el ruido electrónico.

La ecuación permite obtener la rapidez a la cual se disipa la energía en un oscilador amortiguado no impulsado. La energía es proporcional a la amplitud al cuadrado y, por consiguiente, decrece de acuerdo con

, en la cual

es la vida media. La vida media determina el decaimiento debido al amortiguamiento. El ancho de frecuencias del oscilador armónico forzado está representado por la ecuación , y vemos que es inversamente proporcional a . De acuerdo con las ecuaciones anteriores, tenemos que

  es del orden de 1. A esta ecuación se le conoce como principio de incertidumbre; expresa la posibilidad de medir efectos físicos que sean arbitrariamente precisos, tanto en tiempo como en frecuencia. Hablando con propiedad, sólo lo hemos deducido para una fuerza especial de amortiguamiento. Pero en realidad representa una propiedad muy general.

Afirma que si el tiempo de amortiguamiento de un oscilador es grande, entonces el ancho de resonancia es pequeño, y viceversa. Cuanto más débil es el amortiguamiento de un oscilador armónico, con más definición responde a, o selecciona, una fuerza de impulsión armónica de la frecuencia adecuada. Veremos el significado de este resultado en un ejemplo. [inicio]

2.- Ejemplos Existen muchos ejemplos familiares de resonancia. 









Cuando nos sentamos en un columpio y nos impulsamos, la fuerza impulsora no es armónica simple. Sin embargo, es periódica y se aprende intuitivamente a bombear con el cuerpo con la misma frecuencia que la natural del columpio. Cuando un grupo de soldados pasa por un puente pequeño, normalmente dejan de marcar el paso porque es posible que la frecuencia de su marcha sea próxima a una de las frecuencias de resonancia del puente, y este puede romperse al empezar a oscilar en resonancia. Muchas máquinas vibran porque tienen piezas en rotación que no están perfectamente equilibradas. Si se sujeta una máquina de estas a una estructura que puede vibrar, dicha estructura se convierte en un sistema forzado que puede iniciar su movimiento por la acción de la máquina. Puede romperse un vaso con bajo amortiguamiento mediante una onda sonora intensa con un frecuencia igual o muy próxima a la frecuencia natural de vibración del mismo. Uno de los usos importantes del fenómeno de resonancia, tanto en sistemas mecánicos como en circuitos eléctricos, es que nos permite seleccionar o filtrar, determinadas frecuencias en un sistema, dejando que el sistema funcione como fuerza de impulsión en nuestro selector. El sintonizador de una radio, que escoge determinada estación, es un ejemplo. La ecuación que define al principio de incertidumbre establece límites estrictos a nuestra capacidad de diseño de filtros, que pueden responder sólo a unos límites estrechos de frecuencias impulsoras. Los efectos de estos filtros se desvanecen con más lentitud a medida que las frecuencias que seleccionan son más y más limitadas. es un resultado muy general, que no se puede evitar por más ingenioso que sea un diseño.

Oscilaciones en un circuito LCR con generador [inicio]

3.- Ejercicios 1.- Un objeto de 2 kg oscila sobre un muelle de constante de fuerza K = 400 N/m. La constante de amortiguamiento es b = 2 kg/s. Está impulsada por una fuerza sinusoidal de valor máximo 10 N y frecuencia angular = 10 rad/s.

a) ¿Cuál es la amplitud de las oscilaciones? b) Si se varía la frecuencia de la fuerza impulsora, ¿a qué frecuencia se producirá la resonancia? c) Hallar la amplitud de las vibraciones en la resonancia? d) ¿Cuál es la anchura de resonancia?

Solución

2.- Una masa de 0.5 kg cuelga de un resorte. La constante del resorte es de 100 N/m, y la constante de amortiguamiento del sistema es de 1.4 kg/s. La fuerza que excita al sistema es f = 2 cos 5t. a) ¿Cuáles serán los valores estacionarios de las amplitudes de la velocidad y del desplazamiento y la disipación de potencia promedio? b) ¿Cuál es el ángulo de fase entre la velocidad y la fuerza? c) ¿Cuál es la frecuencia de resonancia y cuáles serían, a esta frecuencia, las amplitudes del desplazamiento y velocidad, y la potencia promedio disipada, si la fuerza tiene la misma magnitud que en a)? d) ¿Cuál es la Q del sistema, y sobre qué intervalo de frecuencias la pérdida de potencia será por lo menos 50 por ciento del valor de resonancia?.

Solución

3.- Un cuerpo de 0.2 kg de masa está unido al extremo de un resorte de constante elástica K = 5 N/m, que tiene el otro extremo fijo. Se separa el cuerpo a 8 m de su posición de equilibrio y se abandona, comenzando a contar tiempos en ese instante. Hallar: a) La ecuación del movimiento del cuerpo.

b) Las energías cinéticas y potencial del sistema cuando la elongación es

del valor máximo.

A continuación se aplica al cuerpo una fuerza de rozamiento FR = -0.2 v y una fuerza impulsora f = 8 cos 6t. Una vez el sistema alcanza el estado estacionario, hallar: c) La ecuación del movimiento que resulta. d) La energía disipada por rozamiento en una oscilación. e) En que condiciones la potencia media aportada es máxima.

Solución

Oscilación forzada Las oscilaciones forzadas resultan de aplicar una fuerza periódica y de magnitud constante (llamada generador G) sobre un sistema oscilador (llamado resonador R). En esos casos puede hacerse que el sistema oscile en la frecuencia del generador (ƒg), y no en su frecuencia natural (ƒr). Es decir, la frecuencia de oscilación del sistema será igual a la frecuencia de la fuerza que se le aplica. Esto es lo que sucede por ejemplo en la guitarra, cuando encontramos que hay cuerdas que no pulsamos pero que vibran "por simpatía". Debe tenerse en cuenta que no siempre que se aplica una fuerza periódica sobre un sistema se produce una oscilación forzada. La generación de una oscilación forzada dependerá de las características de amortiguación del sistema generador y de las del resonador, en particular su relación. Resonancia Si, en el caso de una oscilación forzada, la frecuencia del generador (ƒg) coincide con la frecuencia natural del resonador (ƒr), se dice que el sistema está en resonancia. La amplitud de oscilación del sistema resonador R depende de la magnitud de la fuerza periódica que le aplique el generador G, pero también de la relación existente entre ƒg y ƒr. Cuanto mayor sea la diferencia ente la frecuencia del generador y la frecuencia del resonador, menor será la amplitud de oscilación del sistema resonador (si se mantiene invariable la magnitud de la fuerza periódica que aplica el generador). O, lo que es lo mismo, cuanto mayor sea la diferencia entre las frecuencias del generador y el resonador, mayor cantidad de energía se requerirá para generar una determinada amplitud en la oscilación forzada (en el resonador). Por el contrario, en el caso en que la frecuencia del generador y la del resonador coincidieran (resonancia), una fuerza de pequeña magnitud aplicada por el generador G puede lograr grandes amplitudes de oscilación del sistema resonador R. La Figura 04 muestra la amplitud de oscilación del sistema resonador, para una magnitud constante de la fuerza periódica aplicada y en función de la relación entre la frecuencia del generador ƒg y la frecuencia del resonador ƒr.

FIGURA 04: Curva de resonancia a = f (t) ƒg/ƒr = 1 => Resonancia En un caso extremo el sistema resonador puede llegar a romperse. Esto es lo que ocurre cuando un cantante rompe una copa de cristal emitiendo un sonido con la voz. La ruptura de la copa no ocurre solamente debido a la intensidad del sonido emitido, sino fundamentalmente debido a que el cantante emite un sonido que contiene una frecuencia igual a la frecuencia natural de la copa de cristal, haciéndola entrar en resonancia. Si las frecuencias no coincidieran, el cantante debería generar intensidades mucho mayores, y aún así sería dudoso que lograra romper la copa. El caso de resonancia es importante en el estudio de los instrumentos musicales, dado que muchos de ellos tienen lo que se conoce como resonador, como por ejemplo la caja en la guitarra. Las frecuencias propias del sistema resonador (caja de la guitarra) conforman lo que se denomina la curva de respuesta del resonador. Los parciales cuyas frecuencias caigan dentro de las zonas de resonancia de la caja de la guitarra serán favorecidos frente a los que no, de manera que el resonador altera el timbre de un sonido.

Oscilaciones Forzadas y Resonancia Cuando un cuerpo que está vibrando se pone en contacto con otro, el segundo cuerpo se ve forzado a vibrar con la misma frecuencia que el original. Por ejemplo, si un diapasón es golpeado con un martillo y luego se coloca su base contra la cubierta de una mesa de madera, la intensidad del sonido se incrementará repentinamente. Cuando se separa de la mesa el diapasón, la intensidad disminuye a su nivel original. Las vibraciones de las partículas de la mesa en contacto con el diapasón se llaman vibraciones forzadas. Una cuerda tensa de una longitud definida puede producir sonidos de frecuencias características. Un tubo abierto o cerrado también tiene frecuencias naturales de vibración. Siempre que se aplican a un cuerpo una serie de impulsos periódicos de una frecuencia casi igual a alguna de las frecuencias naturales del cuerpo, éste se pone a

vibrar con una amplitud relativamente grande. Este fenómeno se conoce como resonancia o vibración simpática. Un ejemplo de resonancia es el caso de un niño sentado a un columpio. La experiencia indica que la oscilación puede ser puesta en vibración con gran amplitud por medio de una serie de pequeños empujones aplicados a intervalos regulares. La resonancia se producirá únicamente cuando los empujones estén en fase con la frecuencia natural de vibración del columpio. Una ligera variación de los pulsos de entrada dará como resultado una vibración pequeña o incluso ninguna. El refuerzo del sonido por medio de la resonancia tiene múltiples aplicaciones, así como también buen número de consecuencias desagradables. La resonancia en una columna de aire en un tubo de órgano amplifica el débil sonido de una vibración de un chorro de aire vibrante. Muchos instrumentos musicales se diseñan con cavidades resonantes para producir una variedad de sonidos. La resonancia eléctrica en los receptores de radio permite al oyente percibir con claridad las señales débiles. Cuando se sintoniza la frecuencia de la estación elegida, la señal se amplifica por resonancia eléctrica. En auditorios mal diseñados o enormes salas de concierto, la música y las voces pueden tener un sonido profundo que resulta desagradable al oído. Se sabe que los puentes se destruyen debido a vibraciones simpáticas de gran amplitud producidas por ráfagas de viento. Todos los cuerpos que poseen masa y elasticidad son capaces de vibrar. La mayoría de las maquinas y estructuras experimentan vibración hasta cierto grado y, su diseño, requiere generalmente consideración de su conducta oscilatoria. Los sistemas oscilatorios pueden clasificarse, como lineales o no lineales. Para los sistemas lineales rige el principio de la superposición y las técnicas matemáticas para su tratamiento están bien desarrollas. Por el contrario las técnicas para el análisis de sistemas no lineales son menos conocidos y difíciles de aplicar. Sin embargo algún conocimiento de sistemas no lineales es deseable puesto que todos los sistemas tienden a volverse no lineales cuando crece la amplitud de la oscilación. Hay dos clases generales de vibraciones, libres y forzadas. La vibración libre es la que ocurre cuando un sistema oscila bajo la acción de fuerzas inherentes al mismo y, cuando las fuerzas externamente aplicadas son inexistentes. El sistema bajo vibración libre vibrara a una o mas de sus frecuencias naturales que, son propiedades del sistema dinámico que dependen de su distribución de masa y de rigidez. La vibración que tiene lugar bajo la excitación de fuerzas externas es una vibración forzada. Cuando la excitación es oscilatoria, el sistema es obligado a vibrar a la frecuencia de excitación, si esta coincide con una de las frecuencias naturales del sistema, se produce una situación de resonancia y ocurren oscilaciones peligrosamente grandes. Las vibraciones más importantes desde el punto de vista de las aplicaciones de ingeniería son las vibraciones forzadas de un sistema. Estas vibraciones ocurren cuando un sistema está sujeto a una fuerza periódica o cuando está unido elásticamente a un soporte que tiene un movimiento alternativo.

Consideremos el caso de un cuerpo de masa m suspendido de un resorte unido a un soporte. La vibración obtenida en este sistema consiste en dos vibraciones superpuestas. Una es una vibración libre del sistema. La frecuencia de esta vibración es llamada frecuencia natural del sistema. Esta vibración libre es llamada también vibración transitoria ya que en realidad será amortiguada rápidamente por las fuerzas de rozamiento. La otra vibración superpuesta es la vibración del estado estacionario producido y mantenido por la fuerza aplicada o por el movimiento aplicado por el soporte. Esta frecuencia es la frecuencia forzada generada por esta fuerza o movimiento y, su amplitud xm, depende de la razón de frecuencia ð/p. La razón de amplitud xm de la vibración de estado estacionario a la deformación estática Pm/k causada por una fuerza Pm, o a la amplitud δm del movimiento de soporte se llama factor de amplificación. Factor de amplificación = xm/(Pm/k) = xm/δm = 1/(1-(ð/p)2 Cuando ð = p, la amplitud de la vibración forzada se vuelve infinita. La fuerza aplicada o el movimiento aplicado por el soporte se dice que está en resonancia con el sistema dado. La resonancia se define como un fenómeno que presenta un sistema físico influido por una fuerza de excitación periódica externa, en la que la amplitud resultante de la oscilación del sistema resulta grande cuando la frecuencia de la fuerza de excitación se aproxima a una frecuencia de oscilación libre natural de un sistema. En realidad, la amplitud de vibración permanece finita a causa de las fuerzas de amortiguamiento; sin embargo tal situación debe evitarse si la frecuencia forzada no debe escogerse muy cercana a la frecuencia natural del sistema. En el caso de ð < p, la vibración forzada está en fase con la fuerza aplicada o el movimiento aplicado por el soporte, mientras que para ð > p, la vibración forzada se encuentra 180º fuera de fase. Cuando la excitación es oscilatoria, el sistema es obligado a vibrar a la frecuencia de excitación. Si ésta coincide con una de las frecuencias naturales del sistema, se produce una situación de resonancia y ocurren situaciones realmente graves. La falla de estructuras mayores como puentes, edificios o alas de aviones, es una horrible posibilidad, bajo resonancia. Así el cálculo de las frecuencias naturales es de importancia capital en el estudio de las vibraciones. El movimiento oscilatorio puede repetirse a sí mismo regularmente, como en el caso de un balancín de reloj o, desplegar considerable irregularidad, como en el caso de los movimientos sísmicos. Cuando el movimiento se repite a intervalos de tiempo ð, se le llama periódica. El tiempo de repetición ð es el período de la oscilación y su recíproco, f = 1/ð es la frecuencia. Si se designa el movimiento por x(t), todo movimiento periódico debe satisfacer la relación: x(t) = x(t + ð)  ¿Qué métodos se pueden aplicar para disminuir las vibraciones? Una vibración mecánica es el movimiento de una partícula o de un cuerpo que oscila alrededor de una posición de equilibrio. La mayor parte de las vibraciones en máquinas y estructuras son indeseables porque aumentan los esfuerzos y las tensiones y por las pérdidas de energía que las acompañan. Deben por lo tanto eliminarse o reducirse lo más que sea posible con diseños apropiados. El análisis de las vibraciones se ha vuelto cada vez más importante en los últimos años en virtud de la tendencia actual de emplear

máquinas de alta velocidad y estructuras más ligeras. Existe una evidencia para esperar que esta tendencia continúe y que se tenga una necesidad mayor de desarrollar en el futuro el análisis de las vibraciones. Una vibración mecánica se produce casi siempre cuando un sistema es desplazado desde un posición de equilibrio estable. El sistema tiende a regresar a esa posición bajo la acción de fuerzas de restitución (ya sean fuerzas elásticas, como en el caso de la masa unida a un resorte, o fuerzas gravitacionales en el caso del péndulo). Cuando el movimiento es mantenido únicamente por las fuerzas de restitución se dice que la vibración es una vibración libre. Cuando se aplica una fuerza periódica al sistema, el movimiento resultante se describe como una vibración forzada. Cuando los efectos del rozamiento pueden despreciarse se dice que las vibraciones son no amortiguadas. Pero en realidad todas las vibraciones son amortiguadas hasta cierto grado. Si una vibración libre es sólo ligeramente amortiguada, su amplitud decrece lentamente hasta que después de cierto tiempo el movimiento se detiene. Pero el amortiguamiento puede ser lo bastante grande para impedir cualquier vibración real; el sistema regresa entonces lentamente a su posición inicial. Una vibración forzada amortiguada dura tanto como dura la aplicación de la fuerza periódica que produce la vibración. Pero la amplitud de la vibración se modifica por la magnitud de las fuerzas de amortiguamiento. ¿Qué métodos existen para determinar las propiedades de los materiales que se encuentran sometidos a esfuerzos dinámicos ? En las máquinas, la mayoría de los elementos están sometidos a esfuerzos variables, producidos por cargas sucesivas y repetidas. Los elementos sujetos a este tipo de esfuerzos se rompen o fallan, frecuentemente, para un valor de esfuerzo mucho menor que el de ruptura correspondiente, determinado por el clásico ensayo estático de tensión. Este tipo de falla se denomina ruptura por fatiga. Para el diseño correcto de elementos sometidos a esfuerzos alternados, es necesario conocer el esfuerzo que puede aplicarse, sin que el elemento se rompa, un número indefinido de veces, o el esfuerzo (algo más alto) que puede quedar aplicado a un cierto número limitado de veces, caso que es importante ya que a veces se diseñan máquinas o elementos que sólo se utilizan ocasionalmente y que pueden tener, por tanto, una vida larga sin que el número de veces que se hayan aplicado las cargas sea demasiado grande. El ensayo para determinar estos valores se llama ensayo de fatiga. El procedimiento más sencillo consiste en la flexión alternada. Una probeta de sección circular se monta sobre unos cojinetes y su parte central queda sometida a un momento flexionante puro bajo la acción de una carga. Al girar la varilla mediante un motor, una fibra que inicialmente estuviera en la parte superior y, por tanto, comprimida, pasa a la parte inferior y queda sometida a tensión, de nuevo a compresión y así sucesivamente, de manera que en cada vuelta se produce una inversión completa de esfuerzos. También se llevan a cabo pruebas de fatiga en muestras tensiles cargadas axialmente, en muestras flexionadas o en otras colocadas bajo torsión, posiblemente el tipo más común de carga sea el que se produce al aplicar una carga a una viga en rotación. Lo más probable es que esta última se sostenga en ambos extremos, aplicando la carga entre los soportes.

Las cargas para vigas en rotación se aplican por medio de chumaceras, que permiten que la viga gire libremente.

Oscilaciones forzadas Contenido [ocultar]  





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1 Introducción 2 Solución estacionaria sinusoidal o 2.1 Posición o 2.2 Velocidad 3 Dependencia con la frecuencia o 3.1 Amplitud  3.1.1 Elongación  3.1.2 Velocidad o 3.2 Fase 4 Energía y potencia o 4.1 Energía almacenada o 4.2 Energía disipada o 4.3 Factor de calidad 5 Ejemplos de resonancia 6 =Puente de Tacoma Narrows 7 Circuito RLC

1 Introducción Un oscilador armónico amortiguado es aquel que, en adición a la fuerza recuperadora dada por la ley de Hooke, experimenta una fuerza de rozamiento viscoso proporcional a la velocidad.

Si este oscilador se mueve a lo largo de una recta, la segunda ley de Newton se reduce a

Si este oscilador amortiguado se encuentra sometido a una fuerza externa adicional, en general dependiente del tiempo, se dice que el oscilador está forzado, siendo su ecuación de movimiento

De entre los posibles tipos de fuerza que se pueden aplicar, la más importante desde el punto de vista físico, es aquella que en sí misma es oscilante, esto es

donde la frecuencia de oscilación de la fuerza no tiene por qué coincidir con la frecuencia propia del oscilador armónico

2 Solución estacionaria sinusoidal Si escribimos la ecuación de movimiento expresando la velocidad y la aceleración como derivadas de la posición nos queda la ecuación

El problema general consiste en determinar la elongación como función del tiempo, x(t) para una posición y velocidad iniciales. Antes de exponer la solución general, que se explica al final de este artículo, vamos a describir la solución particular más importante, que es la que se denomina estado estacionario sinusoidal, en la cual la elongación oscila con la misma frecuencia que la fuerza oscilante (no con su frecuencia propia, ω0):

El problema, para esta solución particular consiste en determinar la amplitud de las oscilaciones, A, así como su desfase respecto a la fuerza aplicada φ. Esta solución es importante, porque se demuestra que, cualesquiera que sean las condiciones iniciales, el sistema termina por oscilar con esta solución particular. 2.1 Posición

La forma más sencilla de determinar la solución estacionaria sinusoidal es mediante el uso de fasores. La fuerza aplicada puede escribirse, con ayuda de la fórmula de Euler, como

donde

es el fasor, o amplitud compleja, de la fuerza. Es una cantidad compleja cuyo módulo nos da la amplitud de las oscilaciones (F0 en este caso) y cuyo argumento nos da el desfase (nulo, en este caso).

En la solución estacionaria sinusoidal, la elongación admite una expresión análoga

donde ahora

Este fasor contiene tanto la amplitud como la fase de la solución, por lo que si determinamos el fasor, ya hemos resuelto nuestro problema. La ventaja de usar fasores es que transforma las derivadas en multiplicaciones. La velocidad y la aceleración pueden expresarse también en forma fasorial, siendo sus amplitudes complejas

Puesto que en la ecuación de movimiento

todas las cantidades (F, x, v y a) oscilan con la misma frecuencia, podemos escribirla como una relación entre fasores

Sustituyendo los fasores de la velocidad y la aceleración nos queda

Esta es una ecuación algebraica de la cual es inmediato despejar el fasor de la elongación

Amplitud La amplitud de las oscilaciones la hallamos como el módulo del fasor. A su vez, el módulo de un cociente de números complejos es el cociente de los módulos, por lo que

Desfase

El desfase entre las oscilaciones de la elongación y la fuerza aplicada lo da el argumento del fasor

2.2 Velocidad

Obtenemos el fasor de la velocidad multiplicando el de la elongación por jω

Dividiendo en el numerador y el denominador

la velocidad es también una función oscilante,

Amplitud la amplitud de las oscilaciones de la velocidad es

Desfase El desfase entre las oscilaciones de la velocidad y la fuerza aplicada es

3 Dependencia con la frecuencia Los fasores de la posición y de la velocidad (y por tanto sus amplitudes y desfases) son funciones de la frecuencia, lo cual quiere decir que la respuesta de un oscilador a una fuerza que varía sinusoidalmente no depende solo de la magnitud de la fuerza. Una fuerza pequeña puede tener un gran efecto, si la frecuencia es adecuada, o, por el contrario, una gran fuerza aplicada puede no tener efecto apreciable. Dependiendo del sistema que se esté estudiando, puede interesar una cosa o la otra. Así, para un receptor de radio, interesa que se amplifiquen las frecuencias de las señales de la frecuencia

deseada, y no las del resto, esto se consigue ajustando principalmente dos parámetros, la frecuencia propia del oscilador y su coeficiente de amortiguamiento, definidos por

3.1 Amplitud 3.1.1 Elongación

La amplitud de la elongación, en términos de la frecuencia propia y del factor de amortiguamiento queda en la forma

Bajas frecuencias Cuando

, la amplitud de las oscilaciones tiende a

que es el comportamiento que uno obtiene para una fuerza no oscilante, como el peso, para el cual la frecuencia sería estrictamente nula.

Amplitud de la elongación en una escala logarítmnica Altas frecuencias Si

Para frecuencias altas la amplitud tiende a cero

Esto quiere decir que si un oscilador lo excitamos mediante una fuerza cuya frecuencia sea mucho mayor que la propia del oscilador, éste prácticamente no se ve afectado.

Para valores intermedios de la frecuencia, de valor comparable a la frecuencia propia ω0, podemos tener un máximo de amplitud o no tenerlo dependiendo del grado de amortiguamiento. La amplitud es máxima cuando lo que hay dentro de la raíz del denominador es mínimo, lo cual ocurre para

como se comprueba sin más que derivar el radicando e igualar a cero. Este resultado nos dice que para que haya un máximo en la amplitud debe ser

esto es, no solo debe ser subamortiguado, sino con un amotiguamiento bastante inferior al crítico. Si se cumple esta condición, la amplitud el máximo es

Esta amplitud máxima diverge cuando resonancia en la amplitud.

. Se dice que el sistema posee una

3.1.2 Velocidad

De nuevo tenemos una función dependiente de la frecuencia.

Amplitud de la velocidad en una escala lineal

Amplitud de la velocidad en una escala logarítmica Bajas frecuencias Cuando , el término k / ω tiende a infinito y la amplitud se va a cero. Esto quiere decir que para una fuerza que varía muy lentamente, el oscilador se mueve muy lentamente, de forma que en todo momento está casi en la posición de equilibrio calculada anteriormente. Altas frecuencias Cuando , es el término mω el que tiende a infinito y la amplitud se va de nuevo a cero. Esto quiere decir que para una fuerza que varía muy rápidamente, la inercia del oscilador le impide responder y este se limita a vibrar ligeramente alrededor de su posición de equilibrio x = 0. Resonancia En la raíz que aparece en la amplitud hay una suma de dos términos positivos. El primero no se anula nunca, pero el segundo se hace cero si

esto es, si la frecuencia de la fuerza aplicada coincide con la frecuencia propia del oscilador, la amplitud de las oscilaciones en la velocidad es máxima. Vemos que, a diferencia de lo que ocurre con la elongación, el máximo en la amplitud de la velocidad está siempre centrado en la misma frecuencia (conocida como frecuencia de resonancia). El valor máximo de esta amplitud será

que tiende a infinito cuando el rozamiento se hace nulo.

3.2 Fase

4 Energía y potencia 4.1 Energía almacenada

Por tratarse de un oscilador armónico, el oscilador posee una energía mecánica, que será una función oscilante con el tiempo

Sustituyendo la posición instantánea x = Acos(ωt + φ)

queda

El valor promedio en un periodo se define como

Aplicando que

obtenemos el valor medio de la energía

En particular, en la frecuencia de resonancia, ω0 esta energía vale

4.2 Energía disipada

Al existir una fuerza de rozamiento, la energía se está transformando continuamente en calor. Puesto que la energía almacenada, en promedio, se conserva, esta energía que se

pierde debe ser aportada regularmente por un agente externo, en este caso, la fuerza aplicada sobre la partícula. La potencia con la que se disipa la energía es

Sustituyendo la velocidad como función del tiempo

La energía total disipada durante un periodo será

Sustituyendo el valor de la amplitud en la velocidad

En particular, para la frecuencia de resonancia

4.3 Factor de calidad

Ancho de banda

El factor de calidad, Q, de un oscilador mide cómo de agudo es el pico de una resonancia. Se define, en términos de la energía como

donde las cantidades se evalúan en la frecuencia de resonancia ω0. Sustituyendo los valores anteriores obtenemos

Gráficamente, para resonancias muy agudas, el factor de calidad es inversamente proporcional al ancho de banda, que es la anchura del pico medida a media altura