1 Oscilaciones forzadas Jorge Armando Peña Yeison Ferney Espitia Kristian Camilo Gonzalez Rodrigo Andres Alvarado Funda
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Oscilaciones forzadas Jorge Armando Peña Yeison Ferney Espitia Kristian Camilo Gonzalez Rodrigo Andres Alvarado Fundacion Universitaria Los Libertadores
INTRODUCCION Los efectos de la resonancia están alrededor de nosotros. La resonancia acentúa no sólo el sonido de la música, sino también el color de las hojas en el otoño, la altura de las mareas oceánicas, la operación de los rayos láser, y una vasta multitud de fenómenos que le dan belleza al mundo que nos rodea. OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL Estudiar el comportamiento de un movimiento armónico forzado OBJETIVOS ESPECIFICOS Determinar el tipo de fuerza involucrada en el movimiento armónico forzado. Establecer la frecuencia de resonancia para un sistema forzado.
lentamente), el muelle oscila prácticamente en fase con la excitación y con su misma amplitud. Si la frecuencia de excitación coincide con la frecuencia característica del muelle, la amplitud de oscilación va creciendo cada vez más (resonancia); en este caso, las oscilaciones del muelle están retrasadas alrededor de un cuarto de período respecto a la excitación. Si la frecuencia de excitación es muy alta, el resonador oscila con una amplitud muy pequeña y casi en oposición de fase. Si la constante de atenuación (debida al rozamiento) es muy pequeña, el estado transitorio adquiere relevancia; por tanto, es necesario esperar algún tiempo para observar los tipos de comportamiento mencionados. Oscilaciones amortiguadas En el caso de los osciladores reales es inevitable que parte de su energía se disipe debido a fuerzas de origen "viscoso", es decir fuerzas que (en el límite lineal que estamos estudiando) sean proporcionales a la velocidad del oscilador es decir a la derivada primera de espacio respecto del tiempo. Así, la ecuación diferencial que representa el movimiento de un oscilador real (para pequeños desplazamientos respecto de su posición de equilibrio):
MARCO TEORICO La teoría de los movimientos armónicos forzados es fundamental en muchos ámbitos de la física y la ingeniería. Un oscilador amortiguado por sí solo dejará de oscilar en algún momento debido al roce, pero podemos mantener una amplitud constante aplicando una fuerza que varíe con el tiempo de una forma periódica a una frecuencia definida. Un ejemplo cotidiano es un columpio, que podemos mantenerlo con amplitud constante con sólo darle unos empujoncitos una vez cada ciclo. El movimiento resultante se llama oscilación forzada. Si se suprime la excitación externa, el sistema oscilará con su frecuencia natural. Si la fuerza impulsora se aplica con una frecuencia cercana a la natural, la amplitud de oscilación es máxima. Aí mismo si la frecuencia coincide con la natural la amplitud de la velocidad se hace máxima. Este fenómeno se denomina resonancia. Se pueden apreciar tres tipos diferentes de comportamiento: Si la frecuencia de excitación es muy pequeña (lo que equivale a que se hace oscilar el extremo superior del muelle muy
la solución de esta ecuación contiene un factor que da cuenta de la disminución de la amplitud con el tiempo, de manera que su solución x(t) es: donde de manera que la energía total del oscilador puede escribirse ahora como:
Oscilaciones forzadas y resonancia Siempre es posible "forzar" todo oscilador mediante una fuerza externa que sea función del tiempo. Supongamos que esta fuerza es periódica de periodo Text, es decir Bajo la acción de esta fuerza, la amplitud de las oscilaciones resultantes, es ahora una función de la frecuencia de
2 forzado wext, y tendrá un máximo cuando la la frecuencia del forzado sea igual a la frecuencia propia o natural del oscilador. A este fenómeno se lo conoce con el nombre de resonancia. PREGUNTAS ORIENTADORAS 1) Se va a analizar el movimiento oscilatorio en una dimensión, que describe un sistema formado por un péndulo de resorte - un cuerpo de masa m, suspendido del extremo de un resorte ideal de constante elástica k -, cuando se lo perturba -se estira, o se comprime- respecto de su posición de equilibrio x0, una distancia x. El modelo puede utilizarse para analizar las variables cinemáticas (posición, velocidad y aceleración), o dinámicas (cantidad de movimiento y fuerza). Si bien se pueden analizar las variables en forma individual, se agrupan en dos gráficos: uno que involucra las cinemáticas, y otro para cantidad de movimiento y fuerza. Incluso tiene una ventaja adicional: se puede analizar si existe movimiento oscilatorio amortiguado. ¿Cómo se hace? Simplemente, cambiando el valor de la constante de amortiguamiento b, y realizando la simulación. El siguiente gráfico nos lo muestra. Si al modelo del oscilador amortiguado se le da el valor de b = 0, se tendrá un movimiento oscilatorio armónico. Esto muestra claramente de la gran utilidad educativa que tiene la Dinámica de Sistemas. Cambiando los valores de las variables que influyen en el movimiento, se puede analizar cómo se comporta el mismo. Por ejemplo, para el oscilador armónico simple, se puede vislumbrar el cambio en la amplitud, la longitud de onda, y la frecuencia (o el período, que es su recíproco) cuando se cambian los valores de k ó m en el modelo. Conclusiones Podemos obtener del modelo creado las conclusiones siguientes: - Cuando aumenta la masa, aumenta el período del movimiento oscilatorio armónico; - Cuando aumenta la constante k, disminuye el período del citado movimiento . En consecuencia, existe una relación directa entre el período de oscilación y la masa del péndulo de resorte, e inversa entre dicho período y la constante elástica del resorte. En consecuencia, se podría escribir: 𝑚 𝑇= 𝑘 La expresión matemática del período en función de la masa y de la constante elástica del resorte, se puede hallar mediante el procesamiento de los datos numéricos de la simulación, o a través de las ecuaciones diferenciales que resultan de la aplicación de la segunda ley de Newton. Mediante este trabajo se ha intentado explicar el gran aprovechamiento educativo que se puede hacer usando la Dinámica de Sistemas para el análisis de los Movimientos Oscilatorios Forzado, Amortiguado y Armónico. Empleando el mismo modelo, y modificando los valores de las variables según el caso a estudiar, se obtienen gráficas que facilitan enormemente el análisis, la comprensión y la discusión del sistema analizado.
2) Para describir matemáticamente el estado transitorio introducimos como variable la diferencia entre la posición instantánea y la de equilibrio
Teniendo en cuenta que la solución estacionaria es una de equilibrio
y sustituyendo en la ecuación del oscilador forzado queda
pero kzs = − mg así que esto se reduce a
que es la ecuación del oscilador armónico amortiguado. Dependiendo del grado de amortiguamiento podemos tener un caso subamortiguado, crítico o sobreamortiguado. En cualquiera de los tres casos el comportamiento general es el mismo: la solución decae exponencialmente a cero. Este estado transitorio sí depende de las condiciones iniciales, que determinan las constantes de la solución. Según esto, la solución de un oscilador forzado se compone de dos partes: Un estado transitorio inicial, que depende de las condiciones iniciales y que decae exponencialmente. Un estado estacionario final, que solo depende de la fuerza aplicada y no del estado inicial. Este mismo principio se aplica al caso de que tengamos una fuerza oscilante en lugar de una constante. En este estado equilibrio, al ser constante, las derivadas respecto al tiempo se anulan y nos queda
y sustituyendo obtenemos la posición de equilibrio
3 Esta estado estacionario es independiente de las condiciones iniciales. Ni la posición inicial ni la velocidad inicial aparecen en su expresión. 3) La resonancia es un estado de funcionamiento en el que una frecuencia de excitación se encuentra cerca de una frecuencia natural de la estructura de la máquina. Cuando ocurre la resonancia, los niveles de vibración que resultan pueden ser muy altos y pueden causar daños muy rápidamente. Cuando analizamos los problemas de vibración de una máquina es importante poder determinar las frecuencias naturales del sistema, ya que, es necesario asegurarnos de que no existen frecuencias forzadas cerca de las frecuencias naturales. 4) Cuando la frecuencia de la fuente emisora de ondas coincide con la frecuencia natural del resonador (objeto que oscila) se llega a una condición conocida como resonancia. La resonancia se define como la tendencia de un sistema físico a oscilar con una amplitud mayor en algunas frecuencias. La amplitud del sistema oscilante depende de la magnitud de la fuerza que se le aplique periódicamente al emisor de ondas y también está relacionada con las frecuencias de ondas del emisor y la frecuencia natural del sistema oscilante. Si la diferencia entre la frecuencia del emisor y la frecuencia del resonador es grande la amplitud del sistema resonador será mínima. Al igual que mientras más diferentes sean las frecuencias entre el generador y el resonador, se requerirá de mayor cantidad de energía para crear determinadas amplitudes de oscilación. En condición de resonancia, una fuerzade magnitud pequeña aplicada por el emisor puede lograr grandes amplitudes de oscilación en el sistema resonador, creando con ello perturbaciones marcadas en el sistema resonador. 5) Para mantener el movimiento de cualquier oscilador real es preciso suministrarle energía que contrarreste la pérdida debida a la fricción. En este caso se dice que el oscilador es forzado externamente. La fuerza aplicada suministra energía al sistema. Si la energía que aporta la fuerza aplicada es mayor que la que disipa la fuerza de rozamiento, la amplitud de las oscilaciones del sistema aumenta. Cuando la energía aportada por la fuerza aplicada es igual a la disipada por rozamiento, la amplitud de oscilación del sistema permanece constante. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL Antes de iniciar la toma de datos, lea detenidamente el siguiente procedimiento y discuta con sus compañeros de trabajo la forma en la cual se van a tomar las respectivas medidas y su correspondiente registro; tenga en cuenta y tome nota de las incertidumbres en las mediciones. 1. Arme el montaje que se muestra en la figura , fijando la longitud del péndulo en 30 cm. Ate bien el hilo en la barra superior del soporte universal y hágalo pasar por el orificio que se encuentra en el “pin” del parlante.
Figura : Montaje experimental para el sistema forzado. 2. Con el motor apagado, haga oscilar el péndulo y mida su periodo con el sensor de movimiento. Repita este paso tres veces. 3. Detenga el péndulo y déjelo en reposo. 4. Fije la frecuencia f del generador en 0,2 Hz. Mantenga el sensor de movimiento en el modo de toma de datos y observe detenidamente el comportamiento de la oscilación. Cuando el péndulo se encuentre en el estado estacionario, realice la medida del periodo T de oscilación y de la amplitud A del movimiento. 5. Repita el procedimiento haciendo un barrido de la frecuencia en pasos de 0,1 Hz hasta 2,0 Hz. 6. Aumente o disminuya tres veces la longitud del péndulo. Para cada caso repita los pasos del 2 al 5. Tenga en cuenta que los cambios de longitud deben ser mayores a 5 cm 7. Vuelva a fijar la longitud del péndulo en 30 cm y cambie la masa colgante. Posteriormente repita los pasos del 2 al 5. DISCUSIÓN DE REsULTADOS 1) Para cada uno de los casos trabajados con el motor apagado, ¿qué puede decir acerca del periodo de oscilación? En cada caso halle la frecuencia de oscilación, tenga en cuenta que este valor representa la frecuencia natural de oscilación del sistema. Compárela con su valor teórico.
𝑷𝒆𝒓𝒊𝒐𝒅𝒐 𝑇 = 2𝜋√
𝑙 𝑔
𝑪𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒆𝒍𝒂𝒔𝒕𝒊𝒄𝒂 𝐾 =
𝑚𝑥𝑔 𝑣
𝑭𝒓𝒆𝒄𝒖𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒏𝒂𝒕𝒖𝒓𝒂𝒍 𝑓=
1 𝑘 ∗√ 2𝜋 𝑚
Observación #1 - Masa: 10gr. - T=10.98 - f= 0.091 - Longitud de la cuerda: 30cm. - Promedio de las observaciones :
4 𝑉1 =0.198 𝑉2 =0.198 𝑉3 =0.196 Constantes elásticas: - 𝐾1= 495.45 - 𝐾2= 495.45 - 𝑲𝟑= 500.51 Frecuencia natural: - 𝒇𝟏= 1.12 - 𝒇𝟐= 1.12 - 𝒇𝟑= 1.125 Observación #2 - Masa: 10gr. - T=11.86 - f=0.084 - Longitud de la cuerda: 35cm. - Promedio de las observaciones : 𝑉1 =0.202 𝑉2 =0.1955 𝑉3 =0.1952 Constantes elásticas: - 𝐾1= 485.64 - 𝐾2= 501.79 - 𝐾3= 502.56 Frecuencia natural: - 𝒇𝟏= 1.109 - 𝒇𝟐= 1.127 - 𝒇𝟑= 1.128 Observación #3 - Masa: 10gr. - T=12.68 - f=0.078 - Longitud de la cuerda: 40cm. - Promedio de las observaciones : 𝑉1 =0.217 𝑉2 =0.208 𝑉3 =0.208 Constantes elásticas: - 𝐾1= 452.07 - 𝐾2= 471.63 - 𝐾3= 471.63 Frecuencia natural: - 𝒇𝟏= 1.070 - 𝒇𝟐= 1.093 - 𝒇𝟑= 1.093 Observación #4 - Masa: 10gr. - T=10 - f=0.1 - Longitud de la cuerda: 25cm. - Promedio de las observaciones : 𝑉1 =0.014 𝑉2 =0.012 𝑉3 =0.016 Constantes elásticas: - 𝐾1= 7007.14 - 𝐾2= 8175
- 𝐾3= 6131.25 Frecuencia natural: - 𝒇𝟏= 4.212 - 𝒇𝟐= 4.550 - 𝒇𝟑= 3.940 Observación #5 - Masa: 232gr. - T=10.98 - f=0.091 - Longitud de la cuerda: 30cm. - Promedio de las observaciones : 𝑉1 =0.024 𝑉2 =0.338 𝑉3 =0.004 Constantes elásticas: - 𝐾1= 95238.75 - 𝐾2= 6762.51 - 𝐾3= 571432.5 Frecuencia natural: - 𝒇𝟏= 3.22 - 𝒇𝟐= 0.85 - 𝒇𝟑= 7.89 R/ El periodo de oscilación, para este ejercicio varía según la longitud de la cuerda, y la frecuencia no excede 0.1, esto debido a la poca variación de la masa. 2) Para cada caso estudiado realice una gráfica de A vs f, presente todas las gráficas en un mismo plano. Describa cualitativamente su comportamiento. R/Como podemos observar en la gráfica, la amplitud de la oscilación forzada en el estado estacionario disminuye rápidamente cuando la frecuencia 𝜔𝑓 de la fuerza oscilante se hace mayor que la frecuencia propia del oscilador 𝜔0 .
3) Halle, a partir de sus graficas de frecuencia para la cual se tiene la amplitud máxima en cada caso, denótela como 𝑓𝑚𝑎𝑥 . ¿Qué indica esta frecuencia? ¿Puede comparar esta frecuencia con la frecuencia natural del sistema? Justifique. En qué caso de ser afirmativa su respuesta, ¿cuál es el error porcentual entre ellas? R/ Si se compara la frecuencia natural con lo observado en los valores máximos y mínimos se determinó que el promedio de las tres mediciones de frecuencia están por fuera de la escala de mínimos y máximos.
5 OBSERVACION #1 Masa: 10gr, L=30cm. Grafica
𝑓𝑚𝑎𝑥
𝑓𝑚𝑖𝑛
Prom. 𝑓𝑛𝑎𝑡
4
0.203
0.198
1.1213
5
0.203
0.198
1.1213
6
0.203
0.198
1.1213
7
0.203
0.198
1.1213
8 0.203 0.198 1.1213 OBSERVACION #2 Masa: 10gr, L=35cm. 9
0.271
0.155
1.1213
10
0.25
0.155
1.1213
11
0.26
0.155
1.1213
12
0.197
0.193
1.1213
13
0.201
0.19
1.1213
14
0.198
0.192
1.1213
15 0.197 0.193 1.1213 OBSERVACION #3 Masa: 10gr, L=40cm. 16
0.283
0.157
1.0853
17
0.276
0.164
1.0853
18
0.276
0.159
1.0853
19
0.199
0.195
1.0853
20
0.026
0.019
1.0853
21
0.021
0.013
1.0853
22
0.005
0.001
1.0853
23 0.005 0.004 1.0853 OBSERVACION #4 Masa: 10gr, L=25cm. 24
0.116
-0.03
4.234
25
0.104
-0.03
4.234
26
0.134
-0.03
4.234
27
0.015
0.009
4.234
28
0.094
-0.05
4.234
29 0.111 -0.05 4.234 OBSERVACION #5 Masa: 233gr, L=25cm. 30
0.065
-0.05
3.986
31
0.055
-0.05
3.986
32
0.038
-0.05
3.986
33
-0.006
-0.01
3.986
34
-0.0035
-0.01
3.986
-0.04
3.986
35 0.085 Tabla de relación 𝑓𝑚𝑎𝑥, 𝑓𝑚𝑖𝑛,
ERROR Obs1 1.32 Obs2 1.094 Obs3 1.214 Obs4 1.117 Obs5 798.2 Tabla de cálculo de error porcentual. 4) ¿Encuentra casos en los cuales haya sistemas cuyas 𝑓𝑚𝑎𝑥 , sean aproximadamente iguales? ¿por qué considera que sucede esto? R/ En este ejercicio en la observación #1, se observa que la frecuencia máxima es similar entre ellas, esto se debe a que las medidas se dan con vatios factores iguales como la masa, la longitud del péndulo, aceleración un impulso inicial similar. 5) ¿En que se diferencian los sistemas con 𝑓𝑚𝑎𝑥 diferentes? R/ A diferencia en lo observado y medido en estas observaciones los mismos factores afectan el resultado, la masa, la longitud del péndulo, aceleración un impulso inicial similar. 6) ¿Qué puede decir de la fricción sobre el sistema? R/ La fricción del aire es despreciable en el laboratorio, ya que allí no ejerce una fuerza mayor a la generada por el generador de ondas. Sin embargo la fricción de la cuerda con los demás elementos, del sistema, como el soporte, y los orificios del generador de ondas donde pasa la cuerda, esto afecta la medición, y se ve reflejada en las gráficas, como puntos a normales fuera del movimiento sinodal que describe el movimiento.
6 7) ¿Que concluye de la práctica? • Concluimos de la práctica que la longitud y la masa afectan la frecuencia y el periodo del péndulo, pero en la toma de datos estos tienden a ser similares. • Determinamos que por las imperfecciones de la superficie de los elementos, las gráficas están afectadas, y se puede ver en la tomas de datos gráficos.