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• Francisco Díaz Gonzáles

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MATEMÁTICA PARA ING.

 DOCENTE:

ING. BLASS REBAZA JUANA DORIS

 ALUMNO:

COLUNCHE GAONA ALEJANDRO

 CURSO:

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS III

 CÓDIGO:

180190I

 TEMA:

TRANSFORMADA DE LAPLACE

 FECHA:

06/08/19

U.N.P.R.G. ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

MATEMÁTICA PARA ING. INTRODUCCIÓN La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra variable. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales. Aunque se pueden resolver algún tipo de ED con coeficientes variables, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes. Un requisito adicional es el conocimiento de las condiciones iniciales a la misma ED. Su mayor ventaja sale a relucir cuando la función en la variable independiente que aparece en la ED es una función seccionada. Cuando se resuelven ED usando la técnica de la transformada, se cambia una ecuación diferencial en un problema algebraico. La metodología consiste en aplicar la transformada a la ED y posteriormente usar las propiedades de la transformada. El problema de ahora consiste en encontrar una función en la variable independiente tenga una cierta expresión como transformada. La transformada de Laplace es un caso especial de lo que se denomina transformación integral. Su utilidad para resolver problemas físicos hace que sea una de las herramientas más útiles para estos efectos. En particular destaca su utilidad para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias como las que surgen al analizar, por ejemplo, circuitos electrónicos. El método de Laplace consiste en aplicar esta transformada a ecuaciones diferenciales de difícil resolución, convirtiéndolas así en problemas algebraicos simples, que pueden ser resueltos de manera sencilla. El objeto del método es que modificar el problema usando la transformada de Laplace y posteriormente usar la transformada inversa, sea más fácil que resolver la ecuación diferencial por métodos directos. Esto resulta particularmente útil cuando las funciones involucradas no son continuas. La transformada de Laplace es un operador lineal muy útil para la resolución de ecuaciones diferenciales. Laplace demostró cómo transformar las ecuaciones lineales no homogéneas en ecuaciones algebraicas que puedan resolverse por medios algebraicos. En este tema veremos otro enfoque para llegar a la solución, consiste en el empleo de variables transformadas (sometidas a algún proceso matemático). En concreto, estudiaremos la transformada de Laplace, que permite transformar las ecuaciones integro-diferenciales en ecuaciones algebraicas.

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MATEMÁTICA PARA ING. I.

BIOGRAFÍA

Nacido en una familia de granjeros de la baja Normandía, marchó a estudiar en la Universidad de Caen donde fue recomendado a D'Alembert, quien, impresionado por su habilidad matemática, lo recomendó para un puesto de profesor en la Escuela Militar de París en 1767, donde tuvo entre sus discípulos a . Napoleón En 1785 es nombrado miembro de la Academia de Ciencia y en 1795, miembro de la cátedra de matemáticas del Nuevo Instituto de las Ciencias y las Artes, que presidirá en 1812. En 1788 se casó con la joven Marie-Charlotte de Courty de Romanges perteneciente a una familia de Besançon, 20 años más joven que él con quien tuvo dos hijos, Sophie-Suzanne y Charles-Émile nacido en 1789 y el alcanzaría el grado de general. En 1795, Laplace empezó a publicar el primero de los cinco volúmenes que constituirán su Mecánica celeste y en 1796 imprime su Exposition du système du monde, donde revela su hipótesis nebular sobre la formación del sistema solar. En 1799 fue nombrado ministro del interior durante el Consulado, aunque no estuvo en el cargo sino seis semanas. Su antiguo alumno Napoleón I le confirió en 1805 la legión de honor y en 1806 el título de conde del Imperio. En 1812 publica su Teoría analítica de las probabilidades y en 1814 su Ensayo filosófico sobre la probabilidad. En 1816 fue elegido miembro de la Academia Francesa. A pesar de su pasado bonapartista, tras la restauración de los Borbones fue lo bastante hábil como para conseguir ser nombrado marqués en 1817. En Exposition du système du monde (Exposición del sistema del mundo, 1796) expuso una teoría sobre la formación del Sol y del sistema solar a partir de una nebulosa o remolino de polvo y gas. Aunque con mucho mayor detalle y múltiples refinamientos, esta "Hipótesis nebular" permanece en nuestros días como el fundamento básico de toda la teoría de la formación estelar. Por otra parte, demostró también la estabilidad del sistema solar, sentó las bases científicas de la teoría matemática de probabilidades (en su obra Théorie analytique des probabilités, donde, entre otros logros, formuló el método de los mínimos cuadrados que es fundamental para la teoría de errores) y formuló de manera muy firme e influyente la imagen de un mundo completamente determinista. Atento a los descubrimientos de nebulosas realizados por William Herschel en Inglaterra, Laplace pensó que el colapso gravitatorio de una nebulosa podría haber dado origen a la formación del Sol y que el material orbitando en torno al Sol podría condensarse para formar una familia de planetas.

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MATEMÁTICA PARA ING. Esta teoría explicaba de manera natural que todos los planetas orbiten en torno al Sol en el mismo sentido (de oeste a este) y que sus órbitas estén en un mismo plano. Herschel concordó con esta idea y la generalizó para explicar la formación y evolución de todas las estrellas y de sistemas estelares. Es recordado como uno de los máximos científicos de todos los tiempos, a veces referido como el Newton de Francia, con unas fenomenales facultades matemáticas no poseídas por ninguno de sus contemporáneos. Su obra más importante, Traité de mécanique céleste (Tratado de mecánica celeste, 1799-1825, 5 vols.), es un compendio de toda la astronomía de su época, enfocada de modo totalmente analítico, y donde perfeccionaba el modelo de Newton, que tenía algunos fenómenos pendientes de explicar, en particular algunos movimientos anómalos que seguían sin solución: Júpiter estaba sometido a una aceleración aparente mientras que Saturno parecía frenarse poco a poco y la Luna también mostraba un movimiento acelerado. Si estos movimientos continuaban indefinidamente, Saturno caería sobre el Sol, Júpiter se escaparía del sistema solar y la Luna caería sobre la Tierra. Con tan sólo 23 años de edad, Laplace demostró que la aceleración de Júpiter y el frenado de Saturno eran movimientos periódicos. Los larguísimos períodos (en torno a mil años) habían hecho creer hasta entonces que estas variaciones eran continuas e indefinidas ('seculares'); en 1785 demostró que tales anomalías se debían a la posición relativa de Júpiter y Saturno respecto del Sol. Todo ello necesitó de una cantidad enorme de cálculos muy detallados. En 1787 Laplace demostró que el movimiento anómalo de la Luna también era oscilatorio y que estaba ocasionado por pequeños efectos (de 'segundo orden') en el sistema triple Sol-Tierra-Luna. Las variaciones eran periódicas y, por tanto, el sistema solar debía ser estable y autorregulado. Todas estas ideas se recogieron en su obra Exposition du système du monde publicada en 1796. Laplace creó una curiosa fórmula para expresar la probabilidad de que el Sol saliera por el horizonte. Él decía que la probabilidad era de , donde d es el número de días que el sol ha salido en el pasado.

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MATEMÁTICA PARA ING. Laplace decía que esta fórmula, que era conocida como la regla de sucesión, podía aplicarse en todos los casos donde no sabemos nada, o donde lo que conocíamos fue cambiado por lo que no. Aún es usada como un estimador de la probabilidad de un evento, si sabemos el lugar del evento, pero sólo tenemos muy pocas muestras de él. Laplace creía fuertemente en el determinismo causal, tal como puede apreciarse en la siguiente cita: Este intelecto se refiere al demonio de Laplace (cf. demonio de Maxwell). Los descubrimientos de la física moderna, especialmente la Física Cuántica y el principio de incertidumbre prueban que la existencia de tal intelecto es imposible al menos en principio. II.

TRANSFORMADA DE LAPLACE La transformada de Laplace de una función f(t) definida (en ecuaciones diferenciales, o en análisis matemático o en análisis funcional) para todos los números positivos t ≥ 0, es la función F(s), definida por:

Siempre y cuando la integral esté definida. Cuando f (t) no es una función, sino una distribución con una singularidad en 0, la definición es

Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:

La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f (t). Es llamado el operador de la transformada de Laplace. III.

PERSPECTIVA HISTÓRICA La transformada de Laplace recibe su nombre en honor del matemático francés Pierre-Simon Laplace, que la presentó dentro de su teoría de la probabilidad. En 1744, Leonhard Euler había investigado un conjunto de integrales de la forma:

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

como soluciones de ecuaciones diferenciales, pero no profundizó en ellas y pronto abandonó su investigación. Joseph Louis Lagrange, admirador de Euler, también investigó ese tipo de integrales, y las ligó a la teoría de la probabilidad en un trabajo sobre funciones de densidad de probabilidad de la forma:



que algunos historiadores transformadas de Laplace.

interpretan

como

auténticas

Este tipo de integrales atrajeron la atención de Laplace cuando, en 1782, y siguiendo la idea de Euler, trató de emplear estas integrales como soluciones de ecuaciones diferenciales. Parece ser que en 1785 dio un paso más allá, y reenfocó el problema para en vez de usar las integrales como soluciones, aplicarlas a las ecuaciones dando lugar a las transformadas de Laplace tal y como hoy en día se entienden. Usó una integral de la forma:



análoga a la transformada de Mellin, con la que transformó una ecuación diferencial en una ecuación algebraica de la que buscó su solución. Planteó alguna de las principales propiedades de su transformada, y de alguna forma reconoció que el método de Joseph Fourier para resolver por medio de series de Fourier la ecuación de difusión podría relacionarse con su transformada integral para un espacio finito con soluciones periódicas. Pese al logro, las transformadas de Laplace pronto cayeron en un relativo olvido, al haber sido presentadas en el campo de la probabilidad –ajeno a su moderna aplicación en la física y la ingeniería–, y ser tratadas sobre todo como objetos matemáticos meramente teóricos.



La moderna aplicación de las transformadas de Laplace y toda su teoría subyacente surge en realidad en la segunda mitad del siglo XIX. Al tratar de resolver ecuaciones diferenciales relacionadas con la teoría de vibraciones, el ingeniero inglés Oliver Heaviside (18501925) descubrió que los operadores diferenciales podían tratarse analíticamente como variables algebraicas. De acuerdo con el

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MATEMÁTICA PARA ING. "cálculo operacional", si se tiene una ecuación diferencial de la forma:



donde D es el operador diferencial, esto es, la solución general a dicha ecuación es de la forma:



Heaviside observó que si se trataba al operador D como una variable algebraica, era posible alcanzar igualmente la solución de toda ecuación pareja a la de arriba. En efecto, según la solución general, se cumple que:

, entonces

Entonces, si se considera una ecuación diferencial de segundo orden como la siguiente:



ésta puede reescribirse en para resaltar el operador D como:

Heaviside propuso despejar y tratar a D algebraicamente, en cuyo caso se tendría que:

Sustituyendo las fracciones en D por la expresión integral de las mismas arriba presentada, se llega a la solución de la ecuación diferencial:

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Heaviside publicó sus resultados, cuya utilidad a la hora de resolver ecuaciones de la física y la ingeniería hizo que pronto se extendieran. Sin embargo, el trabajo de Heaviside, formal y poco riguroso, atrajo las críticas de algunos matemáticos puristas que los rechazaron argumentando que los resultados de Heaviside no podían surgir de tal forma. No obstante, el éxito del método hizo que pronto fuera adoptado por ingenieros y físicos de todo el mundo, de manera que al final atrajo la atención de cierto número de matemáticos tratando de justificar el método de manera rigurosa. Tras varias décadas de intentos, se descubrió que la Transformada descubierta por Laplace hacía un siglo no sólo ofrecía un fundamento teórico al método de cálculo operacional de Heaviside, sino que además ofrecía una alternativa mucho más sistemática a tales métodos. Hacia principios del siglo XX, la transformada de Laplace se convirtió en una herramienta común de la teoría de vibraciones y de la teoría de circuitos, dos de los campos donde ha sido aplicada con más éxito. En general, la transformada es adecuada para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones iniciales en el origen. Una de sus ventajas más significativas radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación y división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas, mucho más fáciles de resolver.

IV.

PROPIEDADES 

Linealidad



Derivación

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

Integración



Dualidad



Desplazamiento de la frecuencia



Desplazamiento temporal

Nota:

es la función escalón unitario.



Desplazamiento potencia n-ésima



Convolución



Transformada de Laplace de una función con periodo p



Condiciones de convergencia

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MATEMÁTICA PARA ING. (Que crece más rápido que obtenidas por Laplace, ya que exponencial de ángulos. 

) no pueden ser

, es una función de orden

Teorema del valor inicial Sea una función

derivable a trozos y que

Entonces:

Es el conjunto de funciones continuas a trozos con orden exponencial. 

Teorema del valor final Sea

una función derivable a trozos tal que

.Entonces:

es el conjunto de funciones continuas a trozos con orden exponencial. V.

TABLA DE LAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE MÁS COMUNES La siguiente tabla provee la mayoría de las transformaciones de Laplace para funciones de una sola variable. Debido a que la transformada de Laplace es un operador lineal, la transformada de Laplace de una suma es la suma de la transformada de Laplace de cada término.

Aquí está una lista de las transformadas más comunes. En ella u denota a la llamada función de Heaviside o función escalón, que vale 1 cuando su argumento es positivo y 0 cuando su argumento es negativo. Cuando su argumento vale 0 se le suele asignar el valor 1/2, aunque esto no tiene relevancia práctica.

Función

1

retraso ideal

1a

impulso unitario

Dominio en el tiempo

Dominio en la frecuencia

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Región de la convergencia para sistemas causales

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2

enésima potencia retrasada y con desplazamien to en la frecuencia

2a

n-ésima potencia

2a. 1

q-ésima potencia

2a. 2

escalón unitario

2b

escalón unitario con retraso

2c

Rampa

2d

potencia nésima con cambio de frecuencia

2d. 1

amortiguació n exponencial

3

convergencia exponencial

3b

exponencial doble

4

seno

5

coseno

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5b

Seno con fase

6

seno hiperbólico

7

coseno hiperbólico

8

9

onda senoidal con amortiguami ento exponencial onda cosenoidal con amortiguami ento exponencial

10

raíz n-ésima

11

logaritmo natural

12

13

14

15

Función de Bessel de primer tipo, de orden n Función de Bessel modificada de primer tipo, de orden n Función de Bessel de segundo tipo, de orden 0 Función de Bessel

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MATEMÁTICA PARA ING. modificada de segundo tipo, de orden 0 16

Función de error

VI.

DEDUCCIONES DE FÓRMULA La razón principal por la cual las demostraciones de las pruebas son incluidas es que hacen uso del teorema de la transformada de la derivada, haciéndolas sencillas y breves. Deducción de:

En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la función

Y por consiguiente

Y al aplicar el teorema nos queda:

De donde:

Por tanto

Deducción de:

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MATEMÁTICA PARA ING. En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la función

Y por consiguiente

Y al aplicar el teorema nos queda:

De donde y utilizando la obtención 1:

Por tanto

Deducción de:

En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la función

Y por consiguiente

Y al aplicar el teorema nos queda:

De donde y utilizando la obtención 2 y la linealidad de la transformada:

Por tanto

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Deducción de:

En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la función

Y por consiguiente

Y al aplicar el teorema nos queda:

De donde y utilizando un razonamiento inductivo:

Por tanto

Deducción de:

En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la función

Y por consiguiente

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MATEMÁTICA PARA ING. Y al aplicar el teorema nos queda:

De donde:

Por tanto y despejando

:

Deducción de:

En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la función

Y por consiguiente

Y al aplicar el teorema nos queda:

De donde:

Por otro lado, si ahora utilizamos el mismo teorema de la transformada de la derivada pero usando la función

Y por consiguiente

Y al aplicar el teorema nos queda: U.N.P.R.G. ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

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Si resolvemos este sistema de ecuaciones simultaneas en obtenemos las fórmulas deseadas.

VII.

EJERCICIOS RESUELTOS 

Ejemplo 1 Calcular la Antitransformada de Laplace

Puesto que

por lo tanto tenemos que:



Ejemplo 2 Determinar

Utilizando las transformaciones de la Tabla1 obtenemos:



Ejemplo 3

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y

MATEMÁTICA PARA ING. Determinar



Ejemplo 4

Determinar Por fracciones parciales.....



Ejemplo 5 Determinar



Ejemplo 6 Determinar Dado que Obtenemos que

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

Ejemplo 7 Determinar Podemos separar el 6 en

y sacamos el 3

Luego tenemos que

es de la forma

Por lo que obtenemos que 

Ejemplo 8

Determinar Podemos separar en dos partes

Podemos factorizar un 2 en ambas partes

Por lo que nos queda de la forma respectivamente

Por lo tanto obtenemos que 

Ejemplo 9 Determinar

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y

MATEMÁTICA PARA ING. Obtenemos que

Restamos el corrimiento y obtenemos



Ejemplo 10 Determinar Obtenemos que



Ejemplo 11 Calcular la Transformada de Laplace

Puesto que

por lo tanto tenemos que:



Ejemplo 12 Calcular Aplicando complementación al cuadrado obtenemos los siguiente.

Ahora expresando la ecuación como

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MATEMÁTICA PARA ING. Finalmente aplicando las transformadas inversas básicas q conocemos obtenemos que:



Ejemplo 13

Calcule



Ejemplo 14 Calcule Suponga que y utilizando Fracciones parciales encontramos los valores de nuestras constantes.

Ya que tenemos nuestros valores tenemos que



Ejemplo 15 Calcular la transformada inversa de Laplace

Identificamos que Entonces

Valuada de 0 a T

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MATEMÁTICA PARA ING. 

Ejemplo 16

Calcular:



Ejemplo 17 Calcular:

VIII.

LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuación diferencial la convertimos en una ecuación algebraica, la cual podemos resolver para, es decir, . Ahora, como si pudiéramos devolvernos obtendríamos la solución que buscamos. Es decir, necesitamos de la transformada inversa, para hallar la función

Entonces definamos la transformada inversa.

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MATEMÁTICA PARA ING. Definición [Transformada inversa de Laplace] Si

es la transformada de Laplace de una función continua , es decir,

inversa de Laplace de

, entonces la transformada , escrita

es

, es decir,

Ejemplo Calcule

Solución Puesto que

Tenemos que

Observación existe un problema potencial al trabajar con la transformada inversa, puede no ser única. En efecto, es posible que , siendo . Para nuestro propósito esto no es tan malo como parece, pues, si y son continuas y de orden exponencial en y , entonces ; pero, si y son continuas y de orden exponencial en y , entonces se puede demostrar que las funciones y son casi iguales; esto quiere decir, que pueden diferir sólo en puntos de discontinuidad. Ejemplo Calcule

, donde

está dada por

¿Qué se puede concluir?

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MATEMÁTICA PARA ING. Solución Usando la definición de transformada

Pero, anteriormente hemos comprobado que

Con lo cual las funciones y tienen la misma transformada, de este modo, la transformada inversa de

No es única.

El siguiente resultado establece el comportamiento de

Teorema [Comportamiento de Sea orden exponencial en

en infinito.

en infinito]

una función continua a trozos y de , entonces

Demostración

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MATEMÁTICA PARA ING. Puesto que es continua a trozos en acotada en este intervalo; o sea, donde

Y así

cuando

necesariamente es para todo . De

, de modo que

cuando

. Observación: el resultado anterior es válido independientemente de que sea continua a trozos o de orden exponencial, basta con que existe. Ejemplo ¿Porqué no existe una función

tal que

?

Solución Suponga que existe, entonces por el teorema anterior

Lo cual es falso; por lo tanto no existe tal función. Observación: con un argumento similar podemos concluir que no existen una función tal que , , , , es decir, estas funciones no tienen transformada inversa.

Por otro lado, una función racional alguna función si el grado del numerador denominador .

es la transformada de es menor que la del

Los siguientes resultados son útiles en análisis de sistemas de control automático, especialmente cuando se trazan gráficas.

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MATEMÁTICA PARA ING.

Teorema [Del valor inicial] Si , entonces

y

existe y es igual a

Demostración: Como Y

Siempre y cuando Tenemos que

sea continúa a trozos y de orden exponencial.

Siempre y cuando

sea continua por la derecha en

.

Ejemplo Si

, calcule

.

Solución Usando el teorema del valor inicial Note que no fue necesario calcular

.

Teorema [Del valor final] Si existe, entonces

y el límite

Demostración: Análoga a la anterior. El siguiente teorema establece la linealidad de la transformada inversa. U.N.P.R.G. ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

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Teorema [Linealidad de la transformada inversa] Sean y intervalo entonces

funciones continuas a trozos y de orden exponencial en el tales que y ,

Ejemplo Calcule

Solución Para usar la propiedad de linealidad de la transformada inversa de Laplace primero debemos expandir

En fracciones parciales

Ahora sí

El siguiente ejemplo ilustra el proceso que vamos a usar en la solución de ecuaciones diferenciales mediante Laplace. Es un ejemplo que puede ser resuelto de manera más eficiente con las técnicas ya estudiadas, pero el objetivo es aplicar algunas de las propiedades enunciadas hasta ahora e introducir la técnica de solución de ecuaciones diferenciales.

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MATEMÁTICA PARA ING. Ejemplo Use la transformada de Laplace para resolver el problema de valor inicial

Solución Aplicando transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación diferencial

Ahora debemos de aplicar transformada inversa para hallar

= =

Observación: está ecuación diferencial puede resolverse como una ecuación lineal con factor integrante .

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MATEMÁTICA PARA ING. Problemas con valores en la frontera

Deflexión de una viga Consideremos una viga homogénea de longitud 2L2 y secciones transversales uniformes a lo largo de su longitud.

Muchas estructuras se construyen usando vigas o trabes y estas se deflexionan o deforman bajo su propio peso o por las influencias de algunas fuerzas externas que actúan transversalmente sobre la viga.

Y(x): es la curvatura que une todos los centroides de las secciones transversales; que resulta de la distorsión o deformación de la viga al aplicarse una carga. Y(x): en el punto x está gobernada por la ecuación diferencial lineal de 4to orden. Sea M(x) en el momento de flexión en el punto x, ahora M(x) a lo largo de la viga se relaciona con la carga w(x) por unidad de longitud mediante la ecuación diferencial:

𝑑2 𝑀(𝑥)

𝑑𝑥2

= 𝑤(𝑥 )

…………………… (1)

Según la teoría de elasticidad.

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MATEMÁTICA PARA ING. Además, el momento de flexión M(x) es proporcional a la curvatura “K” de la curva elástica. Es decir:

𝑀(𝑥 ) = 𝐾(∈ 𝐼 )

…………… (2)

Rigidez flexional donde:

∈= Módulo de elasticidad del material de la viga o módulo de Young. 𝐼 = Momento de inercia de una sección transversal de la viga con respecto al eje 𝑤 (𝑥 ) =

𝑌′′ [1 + (𝑦 ′ )2 ]3/2

Ahora si 𝑌(𝑥) → 0 entonces i 𝑌′ → 0 Luego i 𝐾 = 𝑌′′ dado que i 1 + (𝑌 ′ )2 → 1 Por lo tanto, reemplazando K=Y’’ en (2) se tiene

𝑀(𝑥 ) = (∈ 𝐼 )𝑌′′

…………… (3)

Derivando dos veces en (3) resulta:

𝑑2 𝑀(𝑥 )

𝑑𝑥

2

= (∈ 𝐼 )𝑌 𝐼𝑉 O

𝑑2 𝑀(𝑥 )

𝑑𝑥2

………..(4)

= (∈ 𝐼 )

𝑑4 𝑌

𝑑𝑥4

Comparando las ecuaciones (1) y (4) se obtiene:

𝑤(𝑥) = (∈ 𝐼 )

𝑑4 𝑌(𝑥)

𝑑𝑥4

O (∈ 𝐼 )

………(5)

𝑑4 𝑌(𝑥)

𝑑𝑥

4

= 𝑤(𝑥)

Ecuación que generaliza la deflexión de la viga

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MATEMÁTICA PARA ING. Condiciones de frontera asociada a la ecuación (5) EXTREMOS DE LA VIGA 1. EMPOTRADOS 2. LIBRES 3. APOYADOS SIMPLEMENTE O ABISAGRADOS O ARTICULADOS

CONDICINES DE FRONTERA Y=0 Y’=0 Y’’=0 Y’’’=0 Y=0 Y’’=0

TRANSFORMADA DE LAPLACE: DEFORMACIÓN DE VIGAS

En el presente informe se explicará cómo utilizar la transformada de Laplace y sus propiedades para determinar la deformación de una viga uniforme efectuada por una carga, intentando interpretar matemáticamente dicho fenómeno físico.

a) INTRODUCCIÓN

Los métodos de la transformada de Laplace pueden ser utilizados para resolver problemas con valores en la frontera y, para mostrar esto, se consideran los métodos de dicha transformada para determinar la deformación transversal de una viga delgada uniforme debido a una carga. b) TRANSFORMADA DE LAPLACE EN DEFORMACIÓN DE VIGAS

Consideremos una viga delgada uniforme de longitud l y sea y(x) su desplazamiento transversal, a una distancia x medida desde uno de los extremos, de la posición original debido a la carga (figura 1). Entonces, de la teoría elemental de las vigas, tenemos

……………….(1) Donde W(x) es la fuerza transversal por unidad de longitud, considerando la dirección positiva hacia abajo y EI es la rigidez de flexión de la viga (E es el módulo de elasticidad de Young e I es el momento de inercia de la viga alrededor de su eje central). Como suponemos que la viga tiene propiedades uniformes de elasticidad y una sección transversal uniforme en toda si longitud, tanto E como I se toman como constantes. La ecuación (1) algunas veces se escribe como

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MATEMÁTICA PARA ING. ………………..(2) Donde y(x) es su desplazamiento transversal medido hacia abajo y no hacia arriba como en (1).

Figura 1 : Deflexión transversal de una viga : (a) posición inicial ; (b) posición desplazada

En los casos cuando la carga es uniforme a lo largo de toda la longitud de la viga, esto es, W(x)=cte, (1) se puede resolver fácilmente con las técnicas del cálculo integral. Mientras que, si la carga no es uniforme, los métodos de la transformada de Laplace tienen una ventaja importante, ya que haciendo uso de las funciones unitarias de Heaviside y de las funciones impulso, el problema de resolver (1) independientemente para varias secciones puede evitarse. Aplicando la transformada de Laplace a ambos miembros en (1) se tiene: ……………………(3) Donde:

Interpretación física: EIy3 (0) Es la fuerza cortante en x=0. EIy2 (0) Es el momento de torsión en x=0. Y1 (0) Es la pendiente en x=0. Y(0) Es la deflexión en x=0. Resolviendo (3) para Y(s) llegamos a …………..(4) Así, se necesita encontrar cuatro condiciones de frontera e idealmente deber ser la fuerza cortante, el momento de torsión, la pendiente y la deflexión en x=0. Sin embargo, en la práctica estas condiciones de frontera no siempre están disponibles. Algunas de ellas son conocidas, pero otras están especificadas en puntos distintos de x=0 a lo largo de la viga.

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MATEMÁTICA PARA ING. Las condiciones de frontera usualmente están indicadas en condiciones físicas tales como la siguiente: a) La viga está libre, o simplemente, sostenida en ambos extremos, indicando quetanto el momento de torsión como la deflexión son cero en ambos extremos, asi que en

x=0 y x=l.

b) En ambos extremos la viga está sujeta o construida en una pared. De esta manera, la viga está horizontal en ambos extremos, así que

en x=0 y x=l.

c) La viga está volada con un extremo libre (esto es, fija horizontalmente en un extremo, con el otro extremo libre). En el extremo fijo (x=0),

y en el extremo libre

(x=l), como tanto la fuerza cortante y el momento de torsión son cero

Si la carga no es uniforme a lo largo de toda la viga, se hace uso de las funciones escalón de Heaviside y de las funciones de impulso para especificar W(x) en (1).

c) EJEMPLO1 DE APLICACIÓN

En el siguiente ejercicio se determinará la deflexión transversal y(x) de una viga de longitud l, la cual esta soportada en ambos extremos y se dobla bajo su propio peso W uniformemente distribuido y una carga P concentrada en

Figura 2.

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, como se indica en la figura 2:

MATEMÁTICA PARA ING. El origen se coloca en el extremo izquierdo de la viga y la deflexión y(x) se mide hacia arriba desde la horizontal en el nivel de los soportes. La deflexión y(x) está dada por (1), teniendo en cuenta el peso W, la carga P y las reacciones del soporte R1 y R2. Suponiendo que W está concentrado en el centro de la viga:

Transformando a ambos lados:

Como la viga está sostenida libremente en los extremos, la deflexión y el momento de torsión son cero en ambos extremos;

Entonces (4) se convierte en:

Aplicando la transformada inversa, se obtiene:

Para obtener los valores de las constantes indeterminadas, utilizaremos las condiciones en la frontera x=l, a saber y(l)=0 y y2(l)=0. Para x>1/3l:

Entonces:

Sustituyendo hacia atrás se obtiene y(x):

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MATEMÁTICA PARA ING. O para las dos secciones de la viga

d) CONCLUSIÓN EJEMPLO 1 Es evidente que, al momento de aplicar la trasnformada de Laplace, resulta más simple y sencillo el procedimiento para calcular la deformacion de la viga. Además, si se modifica la ubicacíon de la carga sobre la viga es posible utilizar la misma metodología vista en este informe. Ésto indica claramente que la aplicación de la transformada de Laplace en estos problemas, es una ventaja y una opción muy viable al momento de resolverlos.

APLICACIÓN DE LA TRASFORMADA DE LAPLACE EN LA DEFORMACIÓN DE VIGAS En este informe se mostrará una de las aplicaciones de la transformada de Laplace, en este caso, se intentara mostrar como se utilizan este tipo de operaciones en el cálculo de la deformación de una viga. Palabras clave: viga, carga, frontera. a) INTRODUCCIÓN Los métodos de la transformada de Laplace pueden ser utilizados para resolver problemas con valores en la frontera y, para mostrar esto, consideremos los métodos de dicha transformada para determinar la deformación transversal de una viga delgada uniforme debido a una carga. En este documento, se intentara mostrar como son aplicadas las transformadas de Laplace para obtener deformaciones de vigas al aplicarle una carga en diferentes posiciones.

b) TRASFORMADA DE LAPLACE EN DEFORMACIONES DE VIGA Consideremos una viga delgada de longitud L y sea y(x) su desplazamiento transversal, a una distancia x medida desde uno de los extremos, de la posición original debido a la carga. En la figura 1 esta ilustrada esta situación, con el desplazamiento medido hacia arriba. Entonces, de la teoría elemental de las vigas, tenemos EI d4y dx4 = −W(x)

…………..(1)

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MATEMÁTICA PARA ING. Donde W(x) es la fuerza transversal por unidad de longitud, considerando la dirección positiva hacia abajo y EI es la rigidez de flexión de la viga (E es el modulo de elasticidad de Young e I es el momento de inercia de a viga alrededor de su eje central). Se supone que la viga tiene propiedades uniformes de elasticidad y una sección transversal uniforme en toda si longitud, asi que tanto E como I se toman como constantes. La ecuación 1) se escribe algunas veces como EI d4y dx4 = W(x) ………………………….(2) Donde y(x) es su desplazamiento transversal medido hacia abajo y no hacia arriba como en (1). En los casos cuando la carga es uniforme a lo largo de toda la longitud de la viga, esto es, W(x)= constante,

(1) se puede resolver fácilmente con las técnicas normales del cálculo integral. Sin embargo, cuando la carga no es uniforme, los métodos de la transformada de Laplace tienen una ventaja importante, ya que haciendo uso de las funciones unitarias Heaviside y de las funciones impulso, el problema de resolver (1) independientemente para varias secciones de la viga puede evitarse. Aplicando la transformada de Laplace en todo (1) se tiene EI*[s4Y(s) − s3y(o) − s2y1(0) − sy2(0) − y3(0)] = −W(s) (3) Donde y1 (0)= dy/dx y2 (0)= d2y/dx2 y3 (0)= d3y/dx3 Y pueden interpretarse físicamente como sigue: EIy3 (0) Es la fuerza cortante en x=0 EI y2 (0)Es el momento de torsión en x=0 y1 (0) Es la

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MATEMÁTICA PARA ING. pendiente en x=0 y (0) Es la deflexión en x=0 Resolviendo 3) para y(s) llegamos a Y(s) = −W(s)/ EIs4 + y(0) /s + y1(0)/ s2 + y2(0)/ s3 + y3(0)/ s4 ……..(4) Asi, se necesita encontrar cuatro condiciones de frontera e idealmente deben ser la fuerza cortante, el momento de torsión, la pendiente y la deflexión en x = 0. Sien embargo, estas condiciones de frontera no siempre están disponibles. Estas condiciones de frontera usualmente están indicadas en condiciones físicas de la siguiente manera: a.

La viga esta libre, o simplemente, sostenida en ambos extremos, indicando quetanto el

momento de torsión como la deflexión son cero en ambos extremos. Asi y = d2y/dx2 = 0 en ambos x = 0 y x = (donde es la longitud de la viga). b.

En ambos extremos la viga esta sujeta o construida en una pared. De esta manera,la viga

esta horizontal en ambos extremos, asi que y = dy/dx = 0 en ambos x = 0 e x = . c.

La viga esta volada con un extremo libre (esto es fija horizontalmente en u extremo,con

el otro extremo libre). En el extremo fijo (supongamos x = 0)

y= dy/dx = 0 en x = 0, y el extremo libre (x = ), como tanto la fuerza cortante y el momento de torsión son cero, d2y /dx2 = d3y dx3 = 0 en x = Si la carga no es uniforme a lo largo de toda la viga, se hace uso de las funciones escalón Heaviside y de las funciones de impulso para especificar W(x) en (1). Por ejemplo, un peso uniforme w por unidad de longitud sobre la porción de la viga x = x1a x = x , x2 se especifica como wH (x- x1) – wH (x- x2), y un peso puntual w en x= x1 se especifica como wδ (x- x1).

c) EJEMPLO2 DE APLICACIÓN

A continuación trataremos de encontrar la deflexión de una viga sostenida simplemente en sus extremos x = 0 y x = l , con un momento de torsión bajo su propio peso M uniformemente distribuido y una carga W concentrada en x = 1/2 l.

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MATEMÁTICA PARA ING.

Figura 2 Cargando W(x) = Ml H(x) +Wδ x − l2 − R1δ(x) Donde R1 = 12 (M +W) Por lo que la función de la fuerza es W(x) = Ml H(x) +Wδ x − l2 − δ(x) (M +W) 2 Con la transformada de Laplace W(s) = Mls +We−ls/2 − (M +W) 2 Ya que el haz es de libre apoyado en ambos extremos y(0) = y2(0) = y(l) = y2(l) = 0 Y la ecuación transformada (4) se convierte en Y(s) = 1 EI Mls5 +Ws4 e−ls 2 − M +W 2 1 s4 + y1(0) s2 + y3(0) s4 Tomando transformadas inversas da y(x) = 1 EI M 24l x4 + 16W(x − l2)3H x − l2 − 1 12 (M +W)x3 + y1(0)x + 16 y3(0)x3 Para x > l 2 y(x) = 1 EI M 24l x4 + 16W(x − l2)3 − 1 12 (M +W)x3 + y1(0)x + 16 y3(0)x3 y2(x) = 1 EI M 24l x2 +W(x − l2) − 12 (M +W)x + y3(0)x y(l) = 0 Entonces tenemos y3(0) = 0 y y(l) = 0 nos da 0 = 1 EI Ml3 24 + Wl3 24 − 1 12Ml3 − 12Wl3 + y1(0)l y1(0) = 1 EI 1 24Ml2 + 1 16Wl2 Entonces como resultado y(x) = 1/48EI[(2/ l)Mx4 + 8W(x – l/2)3

H(x – l/2) − 4(M +W)x3 + (2M + 3W)l2x]

d) CONCLUSIÓN EJEMPLO.

En este informe se aplica el método de la transformada de laplace en áreas que en un principio no es fácil notar su aplicación, como lo es la deformación de vigas. De esta manera nos podemos dar una idea del poder que tienen estas transformaciones, ya que nos simplifica mucho al momento de calcular los movimientos inmediatamente después de aplicar cargas en diferentes posiciones, como en este ejemplo a una viga, en la cual podemos

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MATEMÁTICA PARA ING. calcular sus desplazamientos respecto del tiempo, lo que nos da una idea de la deformación que posee la misma a consecuencia de la carga aplicada. Y, mediante la introducción de funciones impulsivas, podemos modelar este instante, en el que se aplica la carga de una manera más simple, sin considerar situaciones anteriores.

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