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• Mariano Sabana Mendoza

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INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMÁTICO

SUCESIONES NUMÉRICAS I. DEFINICION Se llama sucesión a un conjunto de números dados ordenadamente de modo que se puedan numerar: primero, segundo, tercero... Los elementos de la sucesión se llaman términos y se suelen designar mediante una letra con los subíndices correspondientes a los lugares que ocupan en la sucesión: a1, a2, a3,... Por ejemplo, son sucesiones las siguientes listas de números: 1, 2, 3, 4, 5,... 2, 4, 8, 16, 32,... -3, 3, -3, 3, -3,... En algunas ocasiones es posible expresar el término n-ésimo (término que ocupa el lugar n) en función de n. Este término se llama término general de la sucesión, y se simboliza con an. Por ejemplo, en la sucesión 1, 4, 9, 16, 25,... cada término es el cuadrado del lugar que ocupa en la sucesión, con lo que el término general an = n². Cuando se conoce el término general de una sucesión se puede encontrar cualquier término. Por ejemplo, en la sucesión anterior, sabemos que el décimo término es 100, el que ocupa el lugar 20 es 20² = 400, el que ocupa el lugar 25 es 25² = 625,... No todas las sucesiones tienen término general. Por ejemplo, la sucesión de los números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,... En otras sucesiones, para hallar un término es necesario operar con dos o más de los anteriores y se llaman sucesiones recurrentes. Para hallar un término concreto hay que obtener, previamente, todos los anteriores. Por ejemplo, la sucesión de Fibonacci es una sucesión recurrente donde cada término se obtiene sumando los dos anteriores: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,...

II. PROGRESIONES ARITMETICAS Una progresión aritmética es una sucesión en la que se pasa de cada término al siguiente sumando una cantidad fija, llamada diferencia de la progresión (d). El término general, (𝑎𝑛 ), de una progresión aritmética cuyo primer término es a1 y se obtiene así: cuya diferencia es d

Suma de los n primeros términos de una progresión aritmética: Ejemplo: La sucesión 2, 5, 8, 11,... es una progresión aritmética de diferencia 3. El término general lo calcularemos así: (𝑎𝑛 ) = 2+(n-1) ∙3 = 2+ 3n – 3= 3n – 1 La suma de los 15 primeros términos de la progresión es:

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III. PROGRESIONES GEOMETRICAS Una progresión geométrica es una sucesión en la que se pasa de cada término al siguiente multiplicando por una cantidad fija, llamada razón de la progresión (r). Por ejemplo, la sucesión 1, 2, 4, 8, 16, 32,… es una progresión geométrica porque: El término general de una progresión geométrica es

Suma de n términos en una progresión geométrica (si r≠1): La suma, Sn, de n términos de una progresión geométrica de razón r, es

Ejemplo: Calcula la suma de los diez primeros términos de la sucesión: -1, - 2, 4, - 8,...

Suma de infinitos términos de una progresión geométrica en la que |r| < 1:

Por ejemplo, en la progresión 18, 6, 2, 2/3,..., la suma de infinitos términos es:

V. SUCECIONES MONÓTONAS ACOTADAS Una sucesión (𝑎𝑛 ) es monótona creciente si para todo n≥1 se verifica que (𝑎𝑛 ) ≤ 𝑎𝑛 +1, es decir, cada término es menor o igual que el siguiente. Una sucesión (𝑎𝑛 ) es monótona decreciente si para todo n≥1 se verifica que 𝑎𝑛 ≥ an+1, es decir, cada término es mayor o igual que el siguiente. Si las desigualdades son estrictas se dice que las sucesiones son estrictamente crecientes o estrictamente decrecientes. Por ejemplo, la sucesión (𝑎𝑛 ) = 2, 4, 6, 8, 10, 12,... es estrictamente creciente y la sucesión (𝑏𝑛 ) =12, 9, 6, 3, 0, -3,... es estrictamente decreciente. La sucesión (𝑐𝑛 ) =1, -2, 3, -4, 5, -6,... no es monótona creciente ni decreciente.

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Una sucesión (𝑎𝑛 ) está acotada superiormente si existe un número real M tal que 𝑎𝑛 ≤ 𝑀 para todo n. Decimos que el número M es una cota superior de la sucesión. Una sucesión (𝑎𝑛 ) está acotada inferiormente si existe un número real M tal que (𝑎𝑛 ) ≥ M para todo n. Decimos que el número M es una cota inferior de la sucesión. Una sucesión (𝑎𝑛 ) está acotada si lo está superior e inferiormente. En este caso, existe un número real M tal que | 𝑎𝑛 |≤ M para todo n. En los ejemplos anteriores, la sucesión (𝑎𝑛 ) está acotada inferiormente por 2 y (𝑏𝑛 ) está acotada superiormente por 12. Ejemplo: Para estudiar la monotonía de la sucesión de término general restamos dos términos consecutivos cualesquiera y miramos el signo:

Por tanto, la sucesión es estrictamente creciente. Además, con lo que es una sucesión acotada superiormente por 1.

VI. LIMITES DE UNA SUCESION Consideramos, por ejemplo, la sucesión de término general. Veamos cómo varían los términos de esta sucesión para números cada vez mayores:

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Si sustituimos n por 1000, 10 000, 100 000, 1000 000 obtenemos:

A medida que aumenta el valor de n, los valores de an se aproximan cada vez más a 4. Decimos que 4 es el límite de la sucesión (an) y se escribe:

Si representamos gráficamente la sucesión anterior, vemos que los elementos de la sucesión se acercan cada vez más a 4:

Observación: El límite de una sucesión, si existe, es único. Consideremos ahora la

sucesión

Si sustituimos n por 1000, 10 000, 100 000, 1000 000 obtenemos:

A medida que aumenta el valor de n, los valores de (𝑏𝑛 ) se hacen cada vez más grandes. Esto lo expresamos así:

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Una sucesión es convergente si tiene como límite un número real, y será divergente si tiene como límite +∞ o -∞. Cualquier sucesión monótona creciente y acotada superiormente tiene límite, que es la menor de sus cotas superiores. Del mismo modo, cualquier sucesión monótona decreciente y acotada inferiormente tiene límite, que es la mayor de sus cotas superiores. Ejemplos: 1) (𝑎𝑛 ) = 4n+10 2n−1 es una sucesión convergente, pues tiene límite 2) a100= 400+10 200−1 =2,0603... , a1000= 4000+10 2000−1 =2,006003... a10000= 40000+10 20000−1 =2,00060003. .. a100000= 400000+10 200000−1 =2,0000600003... Así sucesivamente, podemos observar que los términos de la sucesión se aproximan cada vez más a 2, cuanto mayor es el valor de n. Es decir,

Se todo entre n:

puede calcular el límite de la sucesión anterior dividiendo

Si el numerador y denominador son del mismo grado, el límite es igual al cociente entre los términos de mayor grado: 4n /2n =2.

Si el numerador es de mayor grado que el denominador, el límite es ∞ o -∞, según los signos de los coeficientes principales. Si el numerador es de menor grado que el denominador, el límite es cero. Las sucesiones que no tienen límite se llaman sucesiones oscilantes. Pueden darse dos casos: • Si la sucesión no tiene límite y es acotada, entonces la sucesión tiene oscilación finita. Por ejemplo, 1, -1, 1, -1, 1, -1, -1,... • Si la sucesión no tiene límite y no es acotada, entonces la sucesión tiene oscilación infinita. Por ejemplo, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4,...

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INDUCCIÓN MATEMÁTICA 1. Principio de Inducción. La inducción matemática es muy útil en algunas demostraciones de fórmulas o propiedades de los números naturales. Los números naturales se definen de manera inductiva. Es decir, al describir los números naturales no podemos nombrar a todos los números naturales ya que son infinitos, lo que hacemos es decir algo como “1 es un número natural, también 2 y 3 y 4 y así sucesivamente, si le sumas 1 a un número natural te da otro número natural”. Esos son precisamente los Axiomas de Peano, la manera en que definimos los números naturales: a) 1 es un número natural. b) si n es un número natural, entonces n + 1 también es número natural. En el caso (b), suponemos la existencia de algún número que cumple la propiedad de ser natural. Nuestra hipótesis no está fuera de lo normal, pues a partir de (a) sabemos que existe al menos un número natural, el 1. El principio de inducción es usar esta definición para probar cosas. Podemos definirlo de varias maneras: I. Si A es un subconjunto de los números naturales tal que: a) 1 pertenece a A b) si n pertenece a A, entonces n + 1 pertenece a A Entonces A contiene a todos los naturales. II.

Si una propiedad P de un subconjunto de los números naturales cumple que: a) P es cierta para 1. b) Si P es cierta para n, entonces P es cierta para n + 1. Entonces P es cierta para todos los naturales.

Estas definiciones son equivalentes. También ocurre que el caso base no tiene que ser necesariamente 1, por ejemplo. 2. Analogía de los dominós. Si ponemos todos nuestros dominós parados en una fila, necesitamos que ocurran dos cosas para que se caigan: a) Que exista al menos un dominó que se caiga. b) Que, si un dominó cae, empuja al siguiente. Para la primera parte, no tiene que ser el primer dominó. Si tiramos el primero, queremos que se caigan todos; pero si tiramos el segundo o el tercero o el quinto, queremos que se caigan los que están después del que tiramos. Para la segunda parte tenemos que asegurarnos que la distancia entre cada dos dominós no sea demasiada o que estén en el ángulo correcto, porque si uno solo no empuja al que sigue, entonces no se va a caer el resto. 6|Página

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Los números naturales son como un conjunto infinito pero ordenado de dominós, donde cada dominó tiene escrito un número. Las pruebas por inducción son como ordenar nuestros dominós parados en una fila y ver si es posible empujar alguno para que se caigan todos. a) El caso base es asegurarse de que exista un primer dominó que se caiga. b) El paso inductivo es suponer que, si cumple para algún entero, cumple para el siguiente. Como sabemos que cumple para el caso base, entonces cumple para el siguiente; como cumple para el siguiente, cumple a su vez para el siguiente a ese y así sucesivamente cumplen todos los enteros a partir del caso base. Esos dos pasos nos aseguran que se caen todos los dominós sin necesidad de verlos caer. 3. Demostración. a. Probar que Probamos en caso base:

Es decir, la fórmula es válida para 1. Necesitamos probar que, si es válida para k, entonces es válida para k + 1. Por lo tanto, nuestra hipótesis de inducción es:

Y lo que queremos demostrar es:

Utilizando la hipótesis de inducción, tenemos:

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Factorizando:

Desarrollando:

Factorizando:

¿Qué es lo que queríamos demostrar? La intención es mostrar cómo las pruebas por inducción pueden ser mucho más sencillas que una prueba directa. La prueba por inducción necesita de sólo una sustitución y un par de manipulaciones algebraicas, mientras que la prueba directa no sólo necesita muchas más sustituciones y manipulaciones algebraicas, además parte de una idea que es sencillamente brillante. 4. Ejemplos. 𝑛(𝑛+1) 2 ] 2

a. Probar por inducción que 13 + 23 + 33 + ⋯ + 𝑛3 = [ Caso base: para n = 1 tenemos que

por lo tanto, la fórmula es válida para 1. Vamos a suponer que es válida para algún entero k. Es decir,

y, usando esto, queremos demostrar que

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Usando la hipótesis de inducción sabemos que

Vamos a factorizar (𝑘 + 1)2 y tenemos que

Vamos a resolver la suma de adentro del paréntesis

Puesto que 𝑘 2 + 4𝑘 + 4 = (𝑘 + 2)2 Sólo falta observar que esa expresión es lo mismo que

Por lo tanto, hemos terminado nuestra inducción. b. Probar por inducción que 2𝑛 < 𝑛! Lo primero que tenemos que encontrar es nuestro caso base.

Vamos a tomar 4 como nuestro caso base porque es el primer natural que cumple. Nuestra hipótesis de inducción entonces es la siguiente 2k < k! siempre que k ≥ 4 Usando eso, queremos demostrar que 2k+1 < k + 1! Vamos a usar la hipótesis de inducción 2𝑘+1 = 2 × 2𝑘 < 2 × 𝑘! 9|Página

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La otra hipótesis que hicimos es que k ≥ 4, que implica, en particular, que k + 1 > 2 2 × 𝑘! < (𝑘 + 1) × 𝑘! = (𝑘 + 1)! Hemos terminado la inducción. Esta inducción se trabajó de diferente manera, con desigualdades. c. Probar por inducción que n+1=n Vamos a realizar primero el paso inductivo: probar que si cumple para un entero k, entonces cumple para el entero k + 1. Nuestra hipótesis de inducción es k=k+1. Lo que queremos demostrar es que k+1=k+2. Utilizando la hipótesis de inducción: k+2=k+1+1=k+1 Que es lo que queríamos demostrar. Acabamos de mostrar que si existe algún entero que cumple, entonces todos los enteros después de ese también cumplen. El detalle es que, si existiera algún entero que cumpliese, tendríamos que: 𝑥+1=𝑥 ⟺1=0 Lo que sabemos que es falso. Queremos enfatizar el cuidado que se tiene que tener con la inducción: hemos probado que, si un dominó se cae, sin duda empujará a todos los demás; el detalle es que no existe un solo dominó que se caiga. SERIES NUMERICAS Las series permiten entender la idea de querer hacer sumas en las que hay una cantidad infinita de sumandos (tantos sumandos como números naturales). En general, si tratamos de sumar los términos de una sucesión infinita an n 1 Obtenemos una expresión de la forma 1 + a1 + a2 + a3 +… + an que se denomina serie infinita (o sólo serie) Para dar la idea de una serie debemos considerar dos tipos de números reales: (1) la expresión para cada sumando: an (2) la expresión para la suma finita de los primeros n sumandos: Sea {an}una sucesióndenúmerosrealesyformemosunanuevasucesión{sn} de la forma:

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La sucesión así formada se llama serie y se representa El número sn es la suma parcial n-ésima de la serie El número an es el término n-ésimo de la serie. La siguiente terminología es usual: 5. A an se le llama término general de la serie. 6. A sn se le llama la suma parcial de la serie. Por lo tanto una serie está relacionada con dos sucesiones: 1. La sucesión { an } de los términos generales de la serie. 1. La sucesión { sn } de sumas parciales de la serie. La siguiente notación es usual: En vez de referirse a la serie como un par de sucesiones es usual hablar de la serie como

Para la serie:

tenemos que:

Una serie an es una serie de términos positivos cada n. Una serie an es

cuando an > 0 para una serie alternada cuando a n = (−1)ncn para alguna sucesi´on {cn } tal que cn > 0 para cada n.

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La serie arm´onica es: Para la serie:

Entonces se trata de una serie alternada. Además

Una cuenta interesante es la siguiente:

En conclusion, para la serie armónica:

Para la serie

tenemos que Entonces se trata de una serie alternada. Además

.**La serie geométrica

(de razón r) es:

Para esta serie:

Si r > 0 entonces se trata de una serie de términos positivos. Si r < 0 entonces se trata de una serie alternada. Además

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Un hecho curioso es que para eta serie: Entonces

Por lo tanto

En conclusión, si r ƒ= 1 para la serie geometrica:

A veces se puede decir con exactitud cuánto da la suma finita (la suma Pero en general es muy difícil decir cuánto da la suma infinita (la serie Para la serie tenemos que

Esta serie es de términos positivos. Además

Convergencia y divergencia de series. Dada una serie n 1 an a1 a2 a3 , 􀀁 sea sn la n-ésima suma parcial:

Si la sucesión {sn} es convergente y = s existe como un número real, convergente y se escribe entonces la serie se dice

El número s se llama suma de la serie. Si la sucesión {sn} es divergente, entonces la serie es divergente. **Se dice que la serie cuando la sucesión de

converge o es una serie convergente sumas parciales {sn} tiene límite finito. 13 | P á g i n a

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Se dice que la serie divergente

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an diverge o es una serie

cuando la sucesión de sumas parciales {sn} no converge (ya sea porque el limite da +∞, da −∞ ´o no existe). Sea s ∈ R, si la sucesión {sn} converge a s se suele escribir

En otras palabras, la expresión anterior quiere decir:

En esto último debe quedar claro que se no se obtiene simplemente por adición, s es el límite de una sucesión de sumas.

TEOREMA

DEMOSTRACIÓN: Sea Entonces, Puesto que es sucesión {sn} es convergente.

convergente, la Sea Como

cuando también se tiene. Por tanto,

NOTA 1 Con cualquier serie se asocian dos sucesiones: la sucesión {sn} de sus sumas parciales y la sucesión {an} de sus

términos. Si es

convergente, entonces el límite de la sucesión {sn}

es s (la suma de la

serie) y, como establece el teorema 6, el límite de

la sucesión {an} es

0.

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NOTA 2 En general, el inverso del teorema no se cumple. Si = 0, no podemos concluir serie armónica

que es convergente. Observe que para la tenemos cuando //demostramos en el

ejemplo 8//divergente. La prueba de la entonces la serie es

divergencia. Si no existe o si divergente.

SERIES ALTERNANTES Las pruebas de convergencia que se han examinado hasta ahora se aplican sólo a series con términos positivos. En esta sección y en la siguiente, se estudia cómo tratar con series cuyos términos no son necesariamente positivos. De particular importancia son las series alternantes, cuyos términos se alternan en signo. Una serie alternante es una serie cuyos términos son alternadamente positivos y negativos. Aquí hay dos ejemplos:

De acuerdo con estos ejemplos, el n-ésimo término de una serie alternante es de la forma

donde bn es un número positivo. (De hecho,

)

La siguiente prueba establece que si los términos de una serie alternante decrecen hacia 0 en valor absoluto, entonces la serie converge.

Prueba de la serie alternante Si la serie alternante

cumple con i) ii) 15 | P á g i n a

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entonces la serie es convergente. Antes de proporcionar la demostración vea la figura 1, la cual es una representación de la idea en que se apoya la demostración. Primero dibujamos s1 􀀁􀀁 b1 sobre una recta numérica. Para determinar s2 restamos b2, de modo que s2 está a la izquierda de s1. Luego, para determinar s3 sumamos b3, de modo que s3 está a la derecha de s2. Pero como b3 􀀁􀀁b2, s3 está a la izquierda de s1. Al continuar de esta manera, observamos que las sumas parciales oscilan hacia atrás y hacia adelante. Puesto que bn l 0, los pasos sucesivos se vuelven más y más pequeños. Las sumas parciales pares s2, s4, s6,. . . se incrementan, y decrecen las sumas parciales impares s1, s3, s5,. . . . Así, parece plausible que ambas converjan en el mismo número s, el cual es la suma de la serie. Por consiguiente, en la demostración siguiente se consideran por separado las sumas parciales pares e impares. FIGURA

DEMOSTRACIÓN DE LA PRUEBA DE LA SERIE ALTERNANTE Primero consideramos las sumas parciales pares:

Todos

términos entre paréntesis son b1 para toda n. Por tanto, la sumas parciales pares se arriba. Debido a eso, de acuerdo monótona es convergente.

los

positivos, de modo que s2n 􀀁 sucesión 􀀁s2n􀀁 de las incrementa y está acotada por con el teorema de la sucesión

Llamemos s a su límite, es decir,

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Ahora calculemos el límite de las sumas parciales impares: [según la condición ii)]

Puesto que tanto la suma parcial par como la suma parcial impar convergen a s, tenemos

por lo que la serie es convergente.

SERIE POTENCIA Una serie de potencias es una serie de la forma 1

donde x es una variable y las cn son constantes llamados coeficientes de la serie. Para cada x fija, la serie 1 es una serie de constantes que podemos probar para ver si son convergentes o divergentes. Una serie de potencias podría ser convergente para algunos valores de x y ser divergente para otros. La suma de la serie es una función

cuyo dominio es el conjunto de todas las x para las cuales la serie converge. Observe que f es análoga a una función polinomial. La única diferencia es que f tiene un infinito de términos. Por ejemplo, si tomamos Cn = 1 para toda n, la serie de potencias se transforma en una serie geométrica

Más generalmente, una serie de la forma

2 se denomina serie de potencias en (x - a), o bien, serie de potencias centrada en a, o también, serie de potencias en torno a a. Observe que al escribir el término correspondiente a n = 0 en las ecuaciones 1 y 2, se ha adoptado la convención de que (x = a)*0 = 1 aun cuando x = a. Asimismo, note que cuando x = a todos los términos son 0 para n ≥ 1 y de este modo la serie de potencias 2 siempre es convergente cuando x = a.

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