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En términos de sus derivadas, sea f y f derivables en m entonces m es minimo relativo de f si: F´ (m)=0

y

F´´(M)>0

También se puede decir que m es un mínimo relativo en su entorno si a la izquierda su función es decreciente i a la derecha creciente. Ejercicios de máximos y mínimos aplicados a la contabilidad 1. Un nuevo soporte para celulares se puede producir a un costo de 10 soles cada uno los precios de venta indican que si se vende a x soles cada soporte, al mes se obtendría ventas de (50-x) soportes ¿Cuántos se deben vender para obtener máxima ganancia?

Datos -Número de soportes vendidos (50-x) -Ventas menos costos de producción (x-10)

Ingresos= (50-x) (x-10) I=50X-500-X2 +10X I=-X2+60X-500  Primera derivada

-segunda derivada

Y =-X2+60X-500

Y=-2X+60

Y´=-2X+60

Y´=-2

Igualamos a cero -2X+60=0 2X=60 X=30  Es un máximo por tener valor valor negativo.  Obteniendo la ganancia: I=-X2+60X-500

TENIENDO EN CUENTA X=30

I=-(30)2+60(30)-500 I=400 2. Dada la función de ingreso I(X) y el costo C(X) determinar el ingreso máximo y la utilidad máxima I(X)=300X –X2 C(X)=X2-40X +80 Primera derivada

U=I(X)-C(X)

I(X)=300-X2 I´(X)=300-2X 300-2X=0 2X=300 X=150  En x=150 existe un punto máximo I(x)=300x-x2 I(150)=300(150)-(150)2 I(150)=45000-22500 I(150)=22500 3. El costo total de pedido y almacenaje x de automóviles es: C(x)=4x2+72x+20 Determine el tamaño del pedido que minimiza el costo total C(x)=4x2+72x+20 C´(x)=8x-72 Igualando a cero 8x-72=0 8x=72 X=9 4. Se fabrica muebles por un precio unitaria de 2500 soles, si vende x muebles el costo es igual C(X)=X2-3X2-80X+500 ¿Calcular la utilidad máxima mensual y mayor ganancia posible? U=I(X)+C(X) U=2800X-X3+3X2-80X-500 U=-X3+3X2+2880X-500 U´=-3X2+6X+2880 (-1)

3X2+6X+2880 =0

(-1)

3X2+6X+2880=0 3(X2+2X-960)=0 X2+2X-960=0 (X-30)

(X-32)=0

X1=30 (mínimo) U´´=-3x2+6x+2880 U´´=-6x+6

X2=-32 (máximo )

Reemplazando los valores de x1 y x2 U´´(30)=-6(30)+6 U´´(30)= -174

(máximo)

U´´(-32)= -6(-32)+6 U´´(-32)= 188

(mínimo)

U(30)=-(30)3+3(30)2+2880(30)-500 U(30)=61600 5. Un fabricante de ensaladas sabe que si vende a 20 soles cada ensalada entonces venderá 180 ensaladas al día. Por cada peso que aumenta al precio de la ensalada vende 9 ensaladas menos al día. Si el costo en la elaboración de una ensalada es 13 soles ¿a qué precio de venta es máxima la ganancia diaria que obtiene el fabricante?  Sea x el aumento en soles el precio por cada ensalada (x≥0) el precio de venta por cada ensalada es 20+x soles y bajo este precio el fabricante venderá 180-9x ensaladas al día. Nótese que el número de ensaladas vendidas no puede ser negativo es decir, 180-9x≥0 entonces x≤0 El ingreso total es el precio de ventas d una ensalada por el número de ensaladas vendidas (20+x)(180-x) El costo total de la elaboración es el costo de elaborar una ensalada por el número de ensaladas vendidas 13(180-9x) De esta manera, la ganancia es el ingreso total menos el costo total de la elaboración, G(X)= (20+X)(180-9X)-13(180-9X) =1260+117X-9X2 La derivada de la función g es igual (0.2) →IR es Y(1260+117X-9X2)=117-18X Por lo tanto 117/18=13/2=6,5 es el único punto crítico en (0.20) además G(0)= 1260,

G(20)=0

G(13/2)=1,640.3

IMPLICA QUE G(13/2) es ≥ Max de (g(0),g(20)) Por lo tanto, el criterio C deducimos que x=6.5 es el máximo global de G. De esta manera, el precio de cada ensalada que produce la máxima ganancia que produce es de 26.5 soles

6. Un banco lanza al mercado un plan de inversión un plan de inversión cuya rentabilidad R(X), en soles viene dada en función de la cantidad invertida x en soles , por medio de la expresión : R(X)=-0,001X2+0.4X +3.5 Deducir que cantidad de dinero convendrá invertir en dicho plan. ¿Qué rentabilidad se obtuvo? Obviamente, convendrá invertir la cantidad que mayor rentabilidad produzca: R´(X)=0.002X+0.4

R´(X)=0 ↔-0.002X+0.4=0↔X=0.4/0.002=200 R´´(X)=-0.002< 0 por tanto x =200 es un máximo de la función R(x) La rentabilidad que obtiene es R(200)=-0.001(2002)+0.4*200+3.5=43.5 7. Una compañía de autobuses interurbanos a comprobado que el numero de viajeros (N) diarios depende del ´precio del billete (p) según la expresión: N(p)=300-6p Dar la expresión que no proporciona los ingresos diarios (I) de esa compañía en función del precio del billete. Que ingresos se obtiene si el precio del billete es d e15 soles Cuál es el precio del billete que hace máximo los ingresos diarios Cuáles son esos ingresos máximos Solución N(p)=300-6p es el número de viajeros según el precio del billete , p. A) Por tanto la función que nos proporciona los ingresos en función de los ingresos en función del precio del billete será el producto de número de viajeros por el precio que paga cada uno: F(p)=N(P)(P)=300P-6P2

B) F(15)=300*15-6*152-3150 ingresos diarios para un billete de 15 soles C) F´(p)=300-12p F´(p)=0 entonces 300 -12p=0 entonces P=300/12=20 F´´(P)=-12