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• Ricardo Lenis Maturano

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CAP- 4

IMPOSICIÓN A INTERÉS COMPUESTO

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UNIDAD 4 IMPOSICIÓN INTERÉS COMPUESTO CONCEPTO La imposición es el total de las cantidades de dinero que se depositan a periodos regulares de tiempo (cuotas) con la finalidad de formar un capital. La duración de imposición es el tiempo que transcurre entre el primero y el último de los depósitos. Se conoce dos tipos de imposición: Vencida y Adelantadas 1. IMPOSICIÓN VENCIDAS (Sn i) Se tiene este tipo de imposición cuando las cuotas se depositan al final de cada periodo. Sn i = c Donde:

(1  i ) n  1 = c * sn i i

(4-1)

(1  i ) n  1 sn i = i

(4-2)

c=

Sn i * i (1  i ) n  1

(4-3)

n=

log ( Sn i * i  c)  log c log (1  i )

(4-4)

2. IMPOCISION ADELANTADA (S’n i) Se tiene este tipo de imposición cuando las cuotas se depositan al comienzo de cada periodo S’n i = c (1+i) Donde:

n=

(4-5)

(1  i ) n  1 i

(4-6)

S 'n i i * (1  i ) (1  i ) n  1

(4-7)

s’n i = (1+i) c=

(1  i ) n  1 = c * s’n i i





log S ' n i  i  c (1  i )  log  c (1  i )

(4-8)

log (1  i )

RELACIÓN ENTRE IMPOSICIÓN ADELANTADA Y VENCIDA La imposición adelantada es igual a la imposición vencida capitalizada por un periodo más, o sea , multiplicada por (1+i), es decir:

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S’n i = c (1+i) Sn i

(4-9)

S’n i = Sn+1 i - 1

(4-10)

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CONSIDERACIONES A CERCA DEL VALOR DE n Cuando n es un numero decimal, se puede solucionar el problema mediante dos procedimiento 1.- Pagar una cuota adicional que represente la fracción de tiempo, es decir que la última cuota no será igual a las demás 2.- Cambiar el valor de cada cuota a fin de que todas ellas sean iguales, se aconseja emplear este procedimiento CALCULO DE LA TASA DE INTERES ( i ) Se puede calcular la tasa de interés empleando tablas de sn i y s’n i . Casos en que n es un valor elevado.- Si n es un valor elevado y se quiere calcular mediante tablas se utilizan la siguiente ecuación, Sn i = c [ sp i (1+i)q + sq i ]

(4-11)

Donde: p +q = n IMPOSICIÓN VENCIDA CON CAPITALIZACION SUBPERIODICA Sn i 

c (1  i/m) m*n  1 i/m

(4-12)

Abreviaturas utilizadas en el tema c = cuota (cantidad de dinero que se deposita regularmente) Sn i = imposición vencida S’n i = imposición adelantada sn i = factor de capitalización de una serie uniforme vencida a determinarse mediante tabla s’n i = factor de capitalización de una serie uniforme adelantada a determinarse mediante tablas m = numero de subperiodos

SOLUCION DE PROBLEMAS PROPUESTOS 1.

Luego de depositar 1.000 $ mensuales al 5% de interés mensual durante 2 años se podrá tener un préstamo equivalente al triple de la suma integrada con sus respectivos intereses. Se desea saber cual seria el importe del mencionado préstamo.

Razonamiento y Solución. Cuando no se especifica si los depósitos son vencidos o adelantados se debe suponer que son vencidos. Calculamos primero la imposición Sn i Datos: (1  i ) n  1 Sn i = c (4.1) c = 1.000 $ i i = 5% mensual n = 2 años = 24 meses (1  0.05) 24  1 Sn i = 1.000 Sn i =? 0.05 Préstamo =3 * Sn i Sn i = 44.502 $

Préstamo = 3*Sn i = 3*44.502 $ Préstamo = 133.506 $

2.

(Solución)

Durante 6 meses consecutivos efectúe depósitos de 1.000$ mensuales al 6% de interés. Deseo saber cuanto tendré luego de 10 meses de iniciado el depósito

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Razonamiento y Solución. Tenemos un problema de imposición vencida porque no se especifica el tipo de depósitos. Como la imposición vencida de una serie de depósitos se ubica en la misma fecha del último deposito, este se debe capitalizar por 4 meses para determinar lo acumulado en el 10º mes (X). X Sn i Datos: n 1 = 6 meses 0 1 2 3 4 5 6 c =1.000 $ 7 8 9 10 meses i = 6% mensual X=? n 2 = 4 meses X será igual a la imposición de los depósitos capitalizada por 4 meses X = Sn i *(1+i) n2 X=c

reemplazando la ec. (4-1) en Sn i

(1  i ) n1  1 (1+i) n2 i

X = 1.000

reemplazando datos

(1  0.06) 6  1 (1+0.06) 4 0.06

X = 8.806,18 $ 3.

(Solución)

El señor Z efectúo un depósito de 5.000 $ que ganó intereses durante 15 meses al 5% mensual. Al mes siguiente comenzó a depositar mensualmente 500 $ cada fin de mes, durante un año ganando el 6% mensual. Se desea saber cual es el saldo de la cuenta del señor Z al final de los 27 meses

Razonamiento y Solución. Imposición vencida. X es igual a la capitalización del único deposito de 5.000 $ tomando en cuenta las tasas de interés diferentes más la imposición de la segunda operación. i1 = 5 % i2 = 6 % X Datos: Operación 1 0 1 2 14 15 16 17 18 25 26 27 Co = 5.000 $ n 1 = 15 meses n 2 = 12 meses c = 500 $ i 1 = 5% mensual 5.000 $ i 2 = 6% mensual X = Co (1+ i 1 ) n1 (1+ i 2 ) n2 + Sn2 i2 reemplazando la ec. (4-1) en Sn i Operación 2 c = 500 $ (1  i 2 ) n2  1 n 2 = 1 año = 12 meses X = Co (1+ i 1 ) n1 (1+ i 2 ) n2 + c reemplazando i 2 i 2 = 6% mensual X=? datos X = 5.000 (1+0,05) 15 (1+0,06) 12 + 500

(1  0.06)12  1 0.06

X = 20.916,06 + 8.434,97

4.

M ahorra 500$ mensuales durante 2 años, ganando un interés mensual del 4%. luego de transcurridos 18 meses efectúo un retiro de 3.000$. Se desea saber el saldo de la cuenta final de los 2 años.

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Razonamiento y Solución. Calculamos primero la imposición para los 18 meses a los cuales restamos el retiro de 3.000$ luego capitalizamos por 6 meses. Finalmente, calculamos la imposición para los 6 meses restantes, los cuales vamos a sumar al cálculo anterior. Datos: R = 3.000 $ X c = 500$ 0 1 2 17 1 8 19 20 21 22 23 24 meses i = 4% mensual n = 2 años = 24 meses Retiro R = 3.000 $ c = 500 $ n 1 = 18 meses (1  0.04)18  1 * S18 i = 500 = 12.822,71 $ X=? 0.04

Co = S18 i – R = 12.822,71 - 3.000 = 9.822,71 $ Cn = Co (1+i) 6 = 9.822,71 (1+0,04) 6 Cn = 12.428,86 $

(1  0.04) 6  1 = 3.316,49 $ 0.04

*

S6 i = 500

*

X = Cn + S6 i = 12.428,86 + 3.316,49 X = 15.745,35 $

5.

(Solución)

B abre una cuenta de ahorro y piensa depositar 2.000 $ mensuales durante 2,5 años ganando un interés del 5$ mensual, pero luego de un año el interés sube en un punto por lo cual decide incrementar en un 10% el valor de cada depósito. Se desea saber cuanto pudo reunir B al cabo de 30 meses.

Solución. X será igual a la imposición de la operación 1 capitalizada por 18 meses más la imposición de la operación 2. X i1 = 5 % i2 = 6 % Datos: Operación 1 0 1 2 11 12 13 14 15 28 29 30 c 1 = 2.000 $ n 1 = 12 meses c1 = 2.000 $ i 1 = 5% mes c2 = 2.200 $ Operación 2 n2 X = Sn1 i1 (1+i 2 ) +Sn2 i2 reemplazando la ec. (4-1) en Sn i i 2 = 6% mensual c 2 = 2.000 +2.000*0,1 (1  i 2 ) n2  1 (1  i1 ) n1  1 n 2 c 2 = 2.200$ X = c1 (1+i 2 ) + c 2 i1 i2 n 2 = 18 meses X = 2.000*

(1  0,06)18 1 (1  0.05)12  1 *(1+0.06) 18 + 2.200* 0,06 0.05

X = 90.865,75 + 67.992,44 X = 158.858,19 $ 6.

(Solución)

En el anterior problema a cuanto debería haber aumentado la cuota general para obtener igual valor final si el interés no se incrementaba Sn

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i

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Solución. Datos: S30 5 = 158.858,19 c =? i = 5% mensual n = 30 meses

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0

1

2

27

29

3 0 meses

c=?

c= c=

Sn i * i

(4-3)

(1  i ) n 158.858,19 * 0.05 (1  0.05) 30  1

c = 2.391 $

7.

28

(Solución)

El señor C ahorra 500 $ mensuales durante 4 años. El primer año sus depósitos ganan el 4% mensual; durante el segundo año el interés mensual sube al 5% y en los dos últimos años el interés vuelve a subir en un punto más. Se desea saber el saldo de la cuenta del señor C al cabo del 4º año.

Razonamiento y Solución. X será igual a la imposición de la operación 1 capitalizada por 12 meses al 5% y por 24 meses al 6%, más la imposición de la operación 2 capitalizada por 24 meses al 6%, y más la imposición de la operación 3. Datos: X i1 = 4 % i2 = 5 % i3 = 6 % Operación 1: c = 500 $ 0 1 2 11 12 13 14 23 24 25 26 46 47 48 meses n1 = 12 meses i1 = 4% mensual c = 500 $ Operación 2: n n 2 3 c = 500 $ X = Sn1 i1 *(1+i2) *(1+i3) + Sn2 i2 *(1+i3)n3 + Sn3 i3 reemplazando la ec.(4-1) n2 = 12 meses (1  i1 ) n - 1 (1  i 2 ) n - 1 n n i2 = 5% mensual Xc * (1  i 2 ) * (1  i3 )  c * (1  i3 ) n  i1 i2 Operación 3: n c = 500 $ (1  i3 ) - 1 c n3 = 24 meses i3 i3 = 6% mensual (1  0,04)12 - 1 (1  0,05)12 - 1 X=? X  500 * (1  0,05)12 * (1  0,06) 24  500 * (1  0,06) 24  0,04 0,05 24 (1  0,06) - 1 500 0,06 1

2

2

3

3

3

Operando tenemos, X = 54.628,61 + 32.223,70 + 25.407,79 X = 112.260 $ 8.

(Solución)

Debo reunir 30.000 $ dentro de 10 meses. Con tal fin, puedo depositar desde ahora y durante los 10 meses la suma de 1.500 $ mensuales el 5% de interés. Además estaré en condiciones de efectuar dos depósitos extras: uno dentro de 4 meses y otro dentro de 7 meses. Sé que dentro de 4 meses podré depositar 5.000 $ y me falta saber cual seria el importe de mi depósito extra que efectuaré dentro de 7 meses, para que el total reunido llegue a 30.000 $.

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Solución. Imposición Vencida. El total formado (30.000 $) después de los 10 meses, es igual a la imposición de las cuotas periódicas más las capitalizaciones de los depósitos extras. Datos: 30.000 $ C =1.5000$ n = 10 meses 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 meses i = 5% mes C01 = 5.000 n1 = 6 mes c = 1.500 $ C02 = X X Co1 = 5.000 $ n2 = 3 meses 30.000 = Sn i + Co1 (1+i)n1 + X (1+i) n2 (1  i ) n1  1 30.000 = c + C01 (1+i)n1 + X (1+i)n2 i 30.000 = 1.500

1  0,05 12  1 0,05

+ 5.000 (1+0.05)6 + X (1+0.05)3

30.000 = 18.866,84 + 6.700,48 + 1,1576 X ordenando 30.000 – 18.866,84 – 6.700,48 = 1,1576 X 4.432,68 = 1,1576 X

despejando X

X = 4.432,68 / 1,1576 X = 3.829,12 $ 9.

(Solución)

El señor Z deposito 2.000 $ mensuales durante 10 meses y 3.000 $ mensuales durante 8 meses más, ganando un 3% mensual durante los primeros 10 meses y un 4% mensual durante los 8 últimos meses. Se desea saber: a) El total reunido por el señor Z al cabo de los 18 meses; b) en cuanto debería haber aumentado la cuota de los últimos 8 meses para juntar igual capital, si el interés seguía siendo el 3%; c) en cuanto habría disminuido esa misma cuota si en lugar de ganar el 4% mensual interés hubiera ganado el 5%.

Solución. Datos: a) Operación 1 c1 = 2.000 $ n1 = 10 mes i1 = 3% mes Operación 2 c2 = 3.000 $ n2 = 8 mes i2 = 4% mes X=?

a)

i1 = 3 % 0

1

2

9 10

11 12 13

c1 = 2.000 $

X  Sn 1

i1

X

i2 = 4 %

(1  i 2 ) n2  S n 2

16 17 18 meses

c2 = 3.000 $

i2

remplazando la ec. (4 - 1)

(1  i1 ) n1 - 1 (1  i 2 ) n 2 - 1 n2 X  c1 * (1  i 2 )  c 2 i1 i2 X  2.000

(A)

(1  0,03)10 - 1 (1  0,04)8 - 1 * (1  0,04)8  3.000 0,03 0,04

X = 31.378,22 + 27.642,68 X = 59.020,9 $ Lic. Ricardo Lenis M.

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b) ∆ = Incremento X = 59.020,9 $ c1 = 2.000 $ n1 = 10 meses i = 3% mes n2 = 8 meses c2 = ? ∆c2 = ?

51

b) 0

1

2

9 10

11 12 13

c1 = 2.000 $

X  S n 1 i1 (1  i 2 ) n2  S n 2 X  c1

X

i=3%

i2

16 17 18 meses

c2 = ?

remplazando la ec. (4 - 1)

(1  i) n1 - 1 (1  i) n 2 - 1 * (1  i) n 2  c 2 i i

59.020,9  2.000

remplazand o datos

(1  0,03)10 - 1 (1  0,03)8 - 1 * (1  0,03)8  c 2 0,03 0,03

59.020,9 = 29.044,19 + c2 * 8,8923 59.020,9 - 29.044,19 = c2 * 8,8923

operando y despejando c2,

c2 = 29.976,71 / 8,8923 = 3.371 $ ∆c2 =3.371 – 3.000 = 371 $ c) X = 59.020,9 $ Operación 1 c1 = 2.000$ n1 = 10 meses i1 = 3% mes c2 = ? n2 = 8 meses i2 = 5% mes ∆c2 = ?

(Solución)

c) Al igual que en el inicio a) empleamos la ec. (A); remplazando datos 59.020,9  2.000

(1  0,03)10 - 1 (1  0,05) 8 - 1 * (1  0,05) 8  c 2 0,03 0,05

59.020,9 = 33.874,74 + 9,5491 * c2 59.020,9 - 33.874,74 = 9,5491 * c2 c2 = 25.146,16 / 9,5491 = 2.633,35 ∆c2= 3.000 – 2.633,35 ∆c2 = 366.65 $

(Solución)

10. Para saldar una deuda tengo dos operaciones de pago: - Pagar 1.350 $ dentro de 5 meses , o bien - Pagar 250 $ mensuales durante 5 meses, reconociéndome un 2% mensual de interés. Deseo saber cual opción me conviene más. Razonamiento y Solución. Para compara las opciones, debemos calcular primero S n i de la 2da opción para comparar con el de la primera opción. Datos: (1  i) n - 1 (1  0,02) 5 - 1 1ra. Opción: Sn i  c  250 i 0,02 Sn i = 1.50 $ S n i  1.301 $ 2da. Opción: n = 5 mes c = 250 $ Como Sn i de la segunda opción es menor que el de la primera opción. La i = 2% mes opción más conveniente es: La segunda opción Sn i = ? Lic. Ricardo Lenis M.

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11. En el problema anterior, ¿a partir de que interés mensual me resultaría más conveniente la otra opción? Razonamiento y Solución. La 1ra opción será conveniente a partir de, cuando la 2da. opción forme el mismo monto que la 1ra opción, es decir, cuando S n i = 1.350 $. Este problema se lo resolverá por dos métodos. 1er Método: Uso de tablas.- Calculamos el factor de capitalización de una Datos: serie uniforme vencida Sn i cuyo valor buscamos en tablas para el Sn i = 1.350 $ valor conocido de n. n = 5 meses Sn i = c sn i (4-1) c = 250 $ sn i = Sn i / c = 1.350 / 250

2do.

sn i = 54 valor que debemos buscar en tablas para n = 5, si no hay este valor exacto debemos interpolar; que se mostrará en el siguiente método. Método: Por Tanteo: que se refiere a suponer o dar un valor de i; para el cual se calcula el valor de Sn i que debe ser comparado con el valor que se muestra en el dato. Si son iguales, el valor de i supuesto es correcto caso contrario volver a suponer otro valor.  Para i = 0,025 =2,5 % (valor supuesto) Sn i = c

1  i  n

Sn i = 250

1

i

1  0.025 5  1 0.025

= 1314,08 $

Como Sn i no son iguales, volvemos a suponer otro valor de i 

Para i = 0,04 =4% (valor supuesto) Sn i = 250

1  0.04  5  1 0.04

= 1354,08

Como para ningún valor supuesto Sn i es igual a 1.350 y como se tiene un valor menor y otro mayor se puede interpolar. Interpolación.i Sn i 0,015

x

0.025 X 0.04

Interno con interno: x Externo con externo: 0.015

1.314,08 1.350 1.354,08 35.92 40



35,92 40

x  1000

(1  0.25) 60  1  0,01347 0.025

El resultado de x sumamos al primer valor de i: i = 0,025 + 0,01347 ⇒ i = 0,0385 = 3,85% mensual

(Solución)

12. B desea vender una propiedad y recibe dos ofertas: la primera de ellas consiste en un anticipo de 100.000 $ y 60 pagos mensuales e iguales a 1.000 $ cada uno. La segunda oferta consiste en igual anticipo que la otra, y 50 mensualidades de 1.100 $ cada una. Se desea saber que oferta es más conveniente para el señor B si los depósitos se valúan en el 60° mes y el interés mensual es 2.5 %. Lic. Ricardo Lenis M.

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Razonamiento y Solución, Para comparar las ofertas es necesario calcular el monto formado en el 60° mes en cada oferta. No es necesario tomar en cuenta los anticipos ya que son iguales en ambos casos 1ra oferta Datos: (1  i1 ) n1  1 1ra oferta (1  0.025) 60  1 S = 1.000 n i = c1 co = 100.000 $ i1 0.025 c1 = 1.000 $ Sn i = 135.991,59 $ n1 = 60 meses da 2 Oferta i1 = 0.025 % mensual X 2da oferta: co = 100.000 $ 58 59 c2 = 1.100 $ mensual 60 meses 0 1 2 49 50 51 52 53 n2 = 50 meses i = 0.025 % mensual c2 = 1.100 $ t = 10 mes X = Sn2 i (1+i)t (1  i1 ) n2  1 (1  0.025) 50  1 X=c (1+i)t = 1.100 (1+0.025)10 i1 0.025 X = 137.267,03 $ Como se esta vendiendo, debemos elegir la oferta que genera mayor monto, por tanto, la más conveniente es: La segunda Opción

Lic. Ricardo Lenis M.

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