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• José David Romero

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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS, ELECTRÓNICA E INDUSTRIAL PERÍODO ACADÉMICO: Septiembre/2015- Marzo/2016

8.1 Una empresa invierte sus excedentes financieros que suman $225´000.000 en un banco durante un año. a) Si el banco reconoce una tasa del 4% ET; ¿Cuál será el Interés que la empresa recibirá al cabo del año? b) Si el banco reconoce una tasa simple del 4% trimestral; ¿Cuál será el Interés que la empresa recibirá al cabo del año? c) Explique porque las diferencias. a) Si el banco reconoce una tasa del 4% ET; ¿Cuál será el Interés que la empresa recibirá al cabo del año? Solución: Parámetros: Valor inicial de la inversión Valor final de la inversión

Tasa de interés Período de conversión

Vp= $ 225 000 000 Vf = x

4% n =4 𝑽𝒇 = 𝑽𝒑(𝟏 + 𝒊)𝒏 𝑉𝑓 = 225 000 000 (1 + 0.04)4 𝑉𝑓 = 263 218 176

b) Si el banco reconoce una tasa simple del 4% trimestral; ¿Cuál será el Interés que la empresa recibirá al cabo del año? 𝑉𝑓 = 225 000 000 (1 + 0.04) 𝑉𝑓 = 234 000 000(1 + 0.04) 𝑉𝑓 = 243 360 000(1 + 0.04) 𝑉𝑓 = 253 094 400(1 + 0.04) 𝑉𝑓 = 263 218 273 c) Explique porque las diferencias. El interés efectivo considera un porcentaje total del monto de una sola vez, el nominal lo hace por cada período de conversión y lo acumula.

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8.2 Hallar las Tasa Efectivas Equivalentes para las siguientes Tasas Nominales a) 28% N-b b) 36% Nm c) 27% N-t d) 25% N e) 32.5% N-s a) 28% N-b 28% 6 𝑖 = 4,66% 𝑖=

b) 36% N-m 36% 12 𝑖 = 3%

𝑖=

c) 27% N-t 27% 4 𝑖 = 6.75% 𝑖=

d) 25% N 25% 1 𝑖 = 25% 𝑖=

e) 32.5% N-s 32.5% 2 𝑖 = 16.25% 𝑖=

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8.3 ¿Cuándo debe ahorrar un padre el 1 de enero para pagar la matrícula de su hijo que inicia en la Universidad el 10 de febrero del año siguiente, si la matrícula para ese entonces le costará $2´550.000 y el banco le reconoce un Interés Nominal del 12% N-m Solución: Parámetros: Valor inicial de la inversión Valor final de la inversión

Tasa de interés Períodos de conversión

Vp= x Vf = $ 2 550 000

j = 12% N-m n = 13 𝒋 𝒎 12% 𝑖= 12 𝑖 = 1% 𝒊=

𝑽𝒑 = 𝑽𝒇(𝟏 + 𝒊)−𝒏 𝑉𝑝 = 2 550 000(1 + 0,01)−13 𝑉𝑝 = $ 2 240 589, 63 8.4 Una empresa contrata con un banco la financiación para la compra de los equipos de informática los cuales tienen un costo de $78´000.000. Si las condiciones del préstamo son: un pago único al cabo de 18 meses y el banco aplica una tasa de interés del 23,5% EA; ¿Cuánto deberá pagar la empresa al momento de cumplirse el plazo? Solución: Parámetros: Valor inicial de la inversión Valor final de la inversión

Tasa de interés Períodos de conversión

Vp= $ 78 000 000 Vf = x

i = 23,5% EA n =1 𝑽𝒇 = 𝑽𝒑(𝟏 + 𝒊)𝒏 𝑉𝑓 = 78 000 000(1 + 0,235)1 𝑉𝑓 = $ 96 330 000

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8.5 Un comerciante realiza un préstamo bancario de $68´000.000. para este pacta con el banco el pago de una cuota única a los 23 meses y una tasa de interés del 25% N-b. ¿Cuánto deberá cancelar de intereses y en total al cabo del plazo pactado? Solución: Parámetros: Valor inicial de la inversión Valor final de la inversión

Tasa de interés Períodos de conversión

Vp= $ 68 000 000 Vf = x

j = 25% N-b n = 11 𝒊= 𝑖=

𝒋 𝒎

25% 11

𝑖 = 2.27% 𝑽𝒇 = 𝑽𝒑(𝟏 + 𝒊)𝒏 𝑉𝑓 = 68 000 000(1 + 0,0227)11 𝑉𝑓 = $ 87 044 177,95

8.6 ¿Cuál será la inversión que debe realizar una empresa en fondo tener el dinero necesario para reponer sus equipos de cómputo dentro de 38 meses? Se estima que los equipos tendrán un valor de $223´500.000 y que el rendimiento promedio del fondo es del 17% EA. Solución: Parámetros: Valor inicial de la inversión Valor final de la inversión

Tasa de interés Períodos de conversión

Vp= x Vf = $ 223 500 000

i = 17% EA n = 38/12 𝑽𝒇 = 𝑽𝒑(𝟏 + 𝒊)𝒏 38

𝑉𝑓 = 223 500 000(1 + 0,17)12 𝑉𝑓 = $ 367 450 991

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8.7 ¿A que tasa de Interés efectiva trimestral se deberá colocar un capital para que se triplique, durante los próximos 56 meses? Solución: Parámetros: Valor inicial de la inversión Valor final de la inversión

Vp= x Vf = 2x

Tasa de interés Períodos de conversión

i =y n = 56/4 𝒏 𝑽𝒇 𝒊= √ −𝟏 𝑽𝒑

2𝑥 √ −1 𝑥

56/4

𝑖=

𝑖 = 0, 05 = 5%

8.8 La compañía GGG quiere invertir por un año sus excedentes, que suman $625´900.600, del periodo pasado; para esto solicita al sector financiero tres ofertas: la entidad No 1, le reconoce una Tasa de Interés de 0.75% EM; la entidad No 2, le ofrece 1.5% EB. ¿Qué tasa de Interés Nominal debería ofrecerle la tercera entidad, para convertirse en la mejor opción? Solución: Parámetros: Valor inicial de la inversión Valor final de la inversión

Vp= $ 625 900 600 Vf = x

Tasa de interés Períodos de conversión

i = 0,75% EM n = 12 𝑽𝒇 = 𝑽𝒑(𝟏 + 𝒊)𝒏 𝑉𝑓 = 625 900 600(1 + 0,0075)12 𝑉𝑓 = $ 684 614 393,50

La entidad No 2, le ofrece 1.5% EB. Solución: Parámetros: Valor inicial de la inversión Valor final de la inversión

Tasa de interés Períodos de conversión

Vp= $ 625 900 600 Vf = x

i = 1,5% EB n =6 𝑽𝒇 = 𝑽𝒑(𝟏 + 𝒊)𝒏

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𝑉𝑓 = 625 900 600(1 + 0,015)6 𝑉𝑓 = $ 684 386 795 ¿Qué tasa de Interés Nominal debería ofrecerle la tercera entidad, para convertirse en la mejor opción? Solución: Parámetros: Valor inicial de la inversión Valor final de la inversión

Vp= $ 625 900 600 Vf = $ 685 000 000

Tasa de interés Períodos de conversión

j = x n =4 𝒏 𝑽𝒇 𝒊= √ −𝟏 𝑽𝒑

4

𝑖=√

685 000 000 −1 625 900 600

𝑖 = 0,0228 = 2,28% 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 8.9 Durante cuánto tiempo una empresa debería mantener un ahorro de $123´500.000 para obtener una suma de $250´000.000; si el fondo de inversión donde tiene el dinero le reconoce una Tasa de Interés de 11.5%N-m. Solución: Parámetros: Valor inicial de la inversión Valor final de la inversión

Vp= $ 123 500 000 Vf = $ 250 000 000

Tasa de interés Períodos de conversión

j = 11.5% N-m n =x 𝒊= 𝑖=

𝒋 𝒎

11.5% 12

𝑖 = 0.96%

𝒏=

𝑽𝒇 𝐥𝐨𝐠(𝑽𝒑) 𝐥𝐨𝐠(𝟏 + 𝒊)

250 000 000 ) 123 500 000 𝑛= log(1 + 0.0096) log(

𝑛 = 73.81 = 74 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠

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8.10 ¿Cuánto tiempo se necesitara para duplicar un capital, si el fondo de inversión reconoce una tasa de Interés de 3.5% ET? Solución: Parámetros: Valor inicial de la inversión Valor final de la inversión

Vp= x Vf = 2x

Tasa de interés Períodos de conversión

i = 3.5% ET n =y

𝒏=

𝑛=

𝑽𝒇 𝐥𝐨𝐠(𝑽𝒑) 𝐥𝐨𝐠(𝟏 + 𝒊) 2𝑥 log( 𝑥 )

log(1 + 0,035)

𝑛 = 20.15 = 21 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 8.11 Una Empresa realiza las siguientes inversiones todas con vencimiento el 31 de diciembre del 2012. La primera de ellas el 15 de enero del 2010 por un monto de $45´000.000 en un fondo que en promedio reconoce el 9,5% EA; una segunda inversión el 15 de junio del 2011 por un monto de $74´600.000 en una entidad bancaria que reconoce el 0,65% EM y una tercera inversión el 01 de enero del 2012 por un monto de $142´200.000 en un fondo que reconoce el 25% N-m. ¿Cuánto recibirá la empresa inversionista el día 31 de diciembre del 2012? 

La primera de ellas el 15 de enero del 2010 por un monto de $45´000.000 en un fondo que en promedio reconoce el 9,5% EA Solución: Parámetros: Valor inicial de la inversión Valor final de la inversión

Tasa de interés Períodos de conversión

Vp= $ 45 000 000 Vf = x

i = 9.5% EA n =2 𝑽𝒇 = 𝑽𝒑(𝟏 + 𝒊)𝒏 𝑉𝑓 = 45 000 000(1 + 0,095)2 𝑉𝑓 = $ 5 395 612,50



Una segunda inversión el 15 de junio del 2011 por un monto de $74´600.000 en una entidad bancaria que reconoce el 0,65% EM Solución: Parámetros: Valor inicial de la inversión Valor final de la inversión

Vp= $ 74 600 000 Vf = x

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Tasa de interés Períodos de conversión

i = 0.65% EM n = 18

𝑽𝒇 = 𝑽𝒑(𝟏 + 𝒊)𝒏 𝑉𝑓 = 74 600 000(1 + 0,0065)18 𝑉𝑓 = $83 827 565,47 

Una tercera inversión el 01 de enero del 2012 por un monto de $142´200.000 en un fondo que reconoce el 25% N-m. Solución: Parámetros: Valor inicial de la inversión Valor final de la inversión

Vp= $ 142 200 000 Vf = x

Tasa de interés Períodos de conversión

j = 25% N-m n = 11

𝒊= 𝑖=

𝒋 𝒎

25% 12

𝑖 = 2.08%

𝑽𝒇 = 𝑽𝒑(𝟏 + 𝒊)𝒏 𝑉𝑓 = 142 200 000(1 + 0,0208)11 𝑉𝑓 = $ 178 339 223,60 ¿Cuánto recibirá la empresa inversionista el día 31 de diciembre del 2012? 𝑉𝑇 = $ 5 395 612,50 + $83 827 565,47 + $178 339 223,60 𝑉𝑓 = $ 267 562 401,60

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8.12 Una Empresa realiza las siguientes inversiones todas con vencimiento el 31 de diciembre del 2011. La primera de ellas el 15 de febrero del 2010 por un monto de $211´000.000 en un fondo que en promedio reconoce el 12,5% N-m; una segunda inversión el 15 de agosto del 2011 por un monto de $180´500.000 en una entidad bancaria que reconoce el 12% N-b y una tercera inversión el 01 de noviembre del 2011 por un monto de $182´800.000 en un fondo que reconoce el 22% N-m. ¿Qué monto único deberá invertir el 15 de febrero para que el monto recibido el 31 de diciembre del 2011, no cambie? 

La primera de ellas el 15 de febrero del 2010 por un monto de $211´000.000 en un fondo que en promedio reconoce el 12,5% N-m Solución: Parámetros: Valor inicial de la inversión Valor final de la inversión

Vp= $ 211 000 000 Vf = x

Tasa de interés Períodos de conversión

j = 12.5% N-m n = 22

𝒊= 𝑖=

𝒋 𝒎

12.5% 12

𝑖 = 1.04% 𝑽𝒇 = 𝑽𝒑(𝟏 + 𝒊)𝒏 𝑉𝑓 = 211 000 000(1 + 0,0104)22 𝑉𝑓 = $ 264 932 892,70 

Una segunda inversión el 15 de agosto del 2011 por un monto de $180´500.000 en una entidad bancaria que reconoce el 12% N-b Solución: Parámetros: Valor inicial de la inversión Valor final de la inversión

Vp= $ 180 500 000 Vf = x

Tasa de interés Períodos de conversión

j = 12% N-b n =4 𝒊= 𝑖=

𝒋 𝒎

12% 6

𝑖 = 2% 𝑽𝒇 = 𝑽𝒑(𝟏 + 𝒊)𝒏 𝑉𝑓 = 180 500 000(1 + 0,02)4

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𝑉𝑓 = $ 195 379 004,90 

Una tercera inversión el 01 de noviembre del 2011 por un monto de $182´800.000 en un fondo que reconoce el 22% N-m. Solución: Parámetros: Valor inicial de la inversión Valor final de la inversión

Vp= $ 182 800 000 Vf = x

Tasa de interés Períodos de conversión

j = 22% N-m n =1 𝒊= 𝑖=

𝒋 𝒎

22% 12

𝑖 = 1.83% 𝑽𝒇 = 𝑽𝒑(𝟏 + 𝒊)𝒏 𝑉𝑓 = 182 800 000(1 + 0,0183)1 𝑉𝑓 = $ 186 145 240 ¿Qué monto único deberá invertir el 15 de febrero para que el monto recibido el 31 de diciembre del 2011, no cambie? 𝑉𝑇 = $264 932 892,70 + $195 379 004,90 + $186 145 240 𝑉𝑇 = $646 456 137,60 Solución: Parámetros: Valor inicial de la inversión Valor final de la inversión

Tasa de interés Períodos de conversión

VT= x VTf = $646 456 137,60

j = 12.5% N-m n = 22

𝑽𝒑 = 𝑽𝒇(𝟏 + 𝒊)−𝒏 𝑉𝑓 = 646 456 137,60(1 + 0,0104)−22 𝑉𝑓 = $ 514 855 832

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8.13 Una empresa recibe tres ofertas del sector financiero para invertir sus excedentes del periodo anterior que suman $455´000.000: la primera de ellas promete devolverle en 28 meses la suma de $520´000.000; la segunda promete devolverle en 24 meses la suma de 515´000.000 y la tercera promete en 35 meses devolverle la suma de $555´500.000. ¿Cuál de las tres opciones es la más atractiva para la empresa? (Nota: calcule la Tasa de Interés EA para cada opción y compare) 

La primera de ellas promete devolverle en 28 meses la suma de $520´000.000 o Solución: Parámetros: Valor inicial de la inversión Vp= $455´000.000 Valor final de la inversión Vf = 520´000.000

Tasa de interés Períodos de conversión

j= x n = 28

𝒏

𝒋= √

𝑽𝒇 −𝟏 𝑽𝒑

𝟐𝟖 𝟓𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒋= √ −𝟏 𝟒𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎

𝒋 = 𝟎. 𝟒𝟕𝟖% 𝒊 = 𝒋/𝒎 𝒊 = 𝟎. 𝟒𝟕𝟖/𝟏𝟐 𝒊 = 𝟑. 𝟗𝟖% 

La segunda de ellas promete devolverle en 24 meses la suma de $515´000.000 o Solución: Parámetros: Valor inicial de la inversión Vp= $455´000.000 Valor final de la inversión Vf = 515´000.000

Tasa de interés Períodos de conversión

j= x n = 24

𝒏

𝒋= √

𝑽𝒇 −𝟏 𝑽𝒑

𝟐𝟒 𝟓𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒋= √ −𝟏 𝟒𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎

𝒋 = 𝟎. 𝟓𝟏𝟕% 𝒊 = 𝒋/𝒎 𝒊 = 𝟎. 𝟓𝟏𝟕/𝟏𝟐 𝒊 = 𝟒. 𝟑𝟎𝟖%

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

La tercera de ellas promete devolverle en 35 meses devolverle la suma de $555´500.000. o Solución: Parámetros: Valor inicial de la inversión Valor final de la inversión

Vp= $455´000.000 Vf = 555´500.000

Tasa de interés Períodos de conversión

j= x n = 24

𝒏

𝒋= √

𝑽𝒇 −𝟏 𝑽𝒑

𝟑𝟓 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒋= √ −𝟏 𝟒𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎

𝒊 = 𝟎. 𝟓𝟕𝟏% 𝒊 = 𝒋/𝒎 𝒊 = 𝟎. 𝟓𝟕𝟏/𝟏𝟐 𝒊 = 𝟒. 𝟕𝟓𝟖% 8.14 Hallar el tiempo en que debe hacerse un pago de $30´000.000, para cancelar dos deudas: una de $15´000.000 con vencimiento en 15 meses y otra de $15´000.000 con vencimiento en 26 meses. Suponga una tasa del 30% N-m

NO SE TRATO ESTE TEMA EN CLASES

8.15 ¿Cuánto debería pagar hoy un empresario que tiene tres deudas: una de $29´500.000 con vencimiento en 18 meses; la segunda de $32´550.000 con vencimiento en 24 meses y otra de $18´000.000 con vencimiento en 28 meses? Suponga una tasa del 19,5%EA

NO SE TRATO ESTE TEMA EN CLASES

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8.16 Hallar las siguientes tasas equivalentes. a) Una tasa nominal semestre vencido equivalente al 24% N-tv b) Una tasa nominal trimestre anticipado equivalente al 2.5% EM c) Una tasa efectiva mensual anticipada equivalente al 41.12% EA d) Una tasa efectiva mensual equivalente al 36% N-ma e) Una tasa nominal semestral equivalente al 28% N-ta f) Una tasa nominal mes anticipado equivalente al 27% N-sv g) Una tasa efectiva mensual anticipada equivalente al 35% N-sv h) Una tasa efectiva semestral vencida equivalente al 25% EA i) Una tasa nominal mes anticipado equivalente al 24% N-ma j) Una tasa nominal trimestre vencido equivalente al 22.5% N-sa

NO SE TRATO ESTE TEMA EN CLASES

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8.17 Dado el 37% N170dv. Hallar una tasa efectiva mensual equivalente. Base 365 días.

NO SE TRATO ESTE TEMA EN CLASES

8.18 Dado el 25% N200dv. Hallar una tasa N300dv equivalente. Base 360 días

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8.19 Carolina y Juan acaban de casarse y quieren comprar un apartamento que a la fecha de hoy cuesta la suma de $80´000.000. No obstante que ellos disponen del dinero para comprarlo de contado; han decidido adquirir un préstamo, para destinar el capital en un negocio que les asegura una renta del 5% NT. Para la financiación del apartamento, después de consultar el mercado, encuentran las siguientes alternativas: 1) Una caja de compensación les ofrece un crédito por la totalidad durante 60 meses, teniendo que pagar al final la suma de $105´000.000; o Solución: Parámetros: Valor inicial de la inversión Valor final de la inversión

Tasa de interés Períodos de conversión

Vp= $80´000.000 Vf = $105´000.000

i= x n =5

𝒏 𝑽𝒇 𝒊= √ −𝟏 𝑽𝒑 𝟓 105´000.000 𝒊= √ −𝟏 80´000.000

𝒊 = 𝟏𝟑. 𝟑𝟗% 2) Por su parte, el Banco Medellín les ofrece la financiación del 100% durante 12 semestres, pagando al final $110´000.000. o Solución: Parámetros: Valor inicial de la inversión Valor final de la inversión

Tasa de interés Períodos de conversión

Vp= $80´000.000 Vf = $110´000.000

i= x n =6

𝒏 𝑽𝒇 𝒊= √ −𝟏 𝑽𝒑 𝟔 110´000.000 𝒊= √ −𝟏 80´000.000

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𝒊 = 𝟓. 𝟒𝟓%

a) ¿Cuál alternativa es la mejor para financiar el apartamento? Banco Medellín

8.20 Un inversionista estudia tres proyectos: el primero tiene un rendimiento del 25% N-m; el segundo del 30% EA y el tercero del 2,5% EM. ¿Cuál de los tres proyectos es más atractivo?

𝒊𝟏 = 𝒋/𝒎 𝒊𝟏 = 𝟎. 𝟐𝟓/𝟏𝟐 𝒊𝟏 = 𝟐. 𝟎𝟖𝟑%𝑬𝑴 𝒏𝟏

𝒊𝟐 = (𝟏 + 𝒊𝟏)𝒏𝟐 -1 𝟏

𝒊𝟐 = (𝟏 + 𝟎. 𝟑)𝟏𝟐 − 𝟏 𝒊𝟐 = 𝟐. 𝟐𝟏%𝑬𝑴 𝒊𝟑 = 𝟐. 𝟓%𝑬𝑴 El proyecto más atractivo es el primero ya que ofrece un interés mas bajo