INTERES COMPUESTO 1. Elabore una gráfica que muestre el crecimiento de una inversión de $1000 en un año si se deposita e
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INTERES COMPUESTO 1. Elabore una gráfica que muestre el crecimiento de una inversión de $1000 en un año si se deposita en una cuenta de valores que paga: a) 10% anual convertible semestralmente. b) 20% anual convertible semestralmente. c) 30% anual convertible trimestralmente. d) 40% anual convertible trimestralmente. e) 50% anual convertible trimestralmente. f) 50% anual convertible mensualmente. g) 60% anual convertible mensualmente. h) 70% anual convertible mensualmente. i) 80% anual convertible mensualmente. SOLUCIÓN a) DATOS i = 10% anual = 5% semestral N = 12 meses = 2 semestres P = 1000
F=P(1+i)N F=1000(1+5 %)2 F=$ 1102,50 b) DATOS i = 20% anual = 10% semestral N = 12 meses = 2 semestres P = 1000
F=P(1+i)N F=1000(1+10 %)2 F=$ 1210 c) DATOS i = 30% anual = 7.5% trimestral N = 12 meses = 4 trimestres P = 1000
F=P(1+i)N F=1000(1+7.5 %)4
F=$ 1335 , 47 d) DATOS i = 40% anual = 10% trimestral N = 12 meses = 4 trimestres P = 1000
F=P(1+i)N F=1000(1+10 %)4 F=$ 1 464 , 10 e) DATOS i = 50% anual = 12.5% trimestral N = 12 meses = 4 trimestres P = 1000
F=P(1+i)N F=1000(1+12.5 %)4 F=$ 1601 , 81 f) DATOS i = 50% anual = 4.166% trimestral N = 12 meses P = 1000
F=P(1+i)N F=1000(1+ 4.166 %)12 F=$ 1632,09 g) DATOS i = 60% anual = 5% trimestral N = 12 meses P = 1000
F=P(1+i)N F=1000(1+5 %)12 F=$ 1795,86 h) DATOS
i = 70% anual = 5.8333% trimestral N = 12 meses P = 1000
F=P(1+i)N F=1000(1+5.8333 %)12 F=$ 1 974.56 i) DATOS i = 80% anual = 6.66% trimestral N = 12 meses P = 1000
F=P(1+i)N F=1000(1+6.66 % )12 F=$ 2169.42 GRÁFICA
Crecimiento de una inversión en función de la tasa de interés capitalizable durante 1 año $2,500.00 $2,000.00 $1,500.00 $1,000.00 $500.00 $-
5%
se
m
t es
l ra % 10
se
m
t es
l ra
5% 7.
m tri
l tra s e % 10
tri
m
t es
l ra
% .5 12
tri
m
l tra s e % 16 4.
m
al su n e 5%
m
al su n e % 83 5.
m
al su n e % 66 6.
m
al su n e
2. ¿En cuánto tiempo se duplica un capital si la tasa de interés es de 6% y se compone: a) Mensualmente? b) Trimestralmente? c) Semestralmente? d) Anualmente? SOLUCIÓN DATOS: i = 6%
i = 0.06 APLICAMOS LA SIGUIENTE FORMULA:
F=P(1+i) N
…(𝝋)
En el problema menciona en cuanto tiempo el capital se duplicará, entonces:
F=2 P Reemplazando en (𝝋):
2 P=P(1+i)N 2=(1+i) N a) Mensualmente
2=(1+i) N 2=(1+
0.06 N ) 12
2=(1+0.005)N 2=(1.005)N N=
log 2 log1.005 N=138.98 meses
b) Trimestralmente
2=(1+i) N 2=(1+
0.06 N ) 4
2=(1+0.015)N 2=(1.015)N N=
log 2 log1.015
N=46.56 Trimestres c) Semestralmente
2=(1+i) N 2=(1+
0.06 N ) 2
2=(1+0.03)N
2=(1.03)N N=
log 2 log1.03
N=23.45 Semestres d) Anualmente
2=(1+i) N 2=(1+
0.06 N ) 1
2=(1+0.06)N 2=(1.06)N N=
log 2 log1.06
N=11.90 Años 3. Una inversión duplica su valor en 18 meses a una determinada tasa de interés. ¿En cuánto tiempo lo triplicará? SOLUCIÓN Como el monto es dos veces el préstamo:
F=P(1+i)N 2 P=P ( 1+ i ) N Reemplazamos datos:
2=(1+i)18 18
√ 2=(1+i)
i=0.03925 Luego hallamos el tiempo en que se triplicará:
3=(1+i) N 3=(1+0.03925)N N=
log 3 log1.03925
N=28.53 Meses
4. Si la tasa de interés es de 12% convertible mensualmente durante el primer semestre del año, y asciende a 15% durante el segundo semestre, ¿en qué fecha valdrá $55000 la inversión del caso anterior? 5. Se invierten $37500 durante 50 meses en un fondo de ahorro que paga 1% mensual capitalizable cada mes. ¿cuánto dinero se tendrá al final del plazo y cuál es el interés compuesto ganado? SOLUCIÓN DATOS: P = 37500 N = 50 Meses i = 1% Mensual capitalizable cada mes Aplicamos la siguiente formula:
F=P(1+i)
N
Reemplazamos datos:
F=37500(1+0.01)50 F=$ 61673.69 Luego:
I =F−P I =$ 24 173.69 6. Víctor acaba de obtener un premio de un millón de pesos y decide invertir 70% de lo que queda después de pagar el impuesto correspondiente, que asciende a 7% del valor del premio, en una sociedad de inversión que le ofrece una tasa de interés de 10% anual capitalizable cada semana. ¿Qué cantidad tendrá al cabo de 10 años? ¿Qué interés total ganó en ese tiempo? SOLUCIÓN Premio ganado: 1000000 pesos Impuesto pagado: 7%(1000000) = 70000 pesos Invierte: 70%(1000000-70000) = 651000 pesos Datos: P = 651000 i = 10% anual Tiempo = 10 Años = 10x52 = 520 Semanas Aplicamos la siguiente formula:
F=P(1+i)N
F=651000(1+
N 10 %) 52
( )
F=$ 1767 902.92 pesos Además
I =F−P I =1 767 902.92−651 000 I =$ 1116 902.92 pesos 7. El 13 de septiembre de 2007, la Cámara de Diputados aprobó la reforma fiscal para 2008, que incluye un incremento de 0.29789% mensual al precio de las gasolinas, durante 18 meses. El nuevo impuesto entró en vigor el 1 de enero de 2008. Si el 31 de diciembre de 2007 el litro de gasolina Magna era de $7.01, calcule el precio que tendrá al cabo de 18 meses y de cuánto será el incremento expresado en porcentaje. SOLUCIÓN DATOS: P = 7.01 i = 0.29789% capitalizable cada mes N = 18 meses Aplicamos la siguiente formula:
F=P(1+i)N Reemplazamos:
F=7.01(1+
0.29789 18 ) 100
F=$ 7.3955 Hallamos la variación porcentual:
F −P ×100 % P 7.3955−7.01 ∆ Porcentual = × 100 % 7.01 ∆ Porcentual =
∆ Porcentual =5.559 % 8. ¿qué monto se acumulará en dos años si se invierten ahora $50000 en un fondo de inversión que paga 11% capitalizable cada mes el primer año, y 13% capitalizable cada bimestre en segundo? SOLUCIÓN DATOS: Como la tasa de interés el primer año es anual lo convertimos a mensual
i=
11 % =0.91666 … % 12
P = 50000 Aplicamos la siguiente formula: Para el 1er Año
F=P(1+i)N F=50000(1+0.9166 % )12 F=$ 55785,9418 Para el 2do Año Calculamos la tasa de interés del segundo año de forma bimestral
13 % =2.166 … % 6 F=P(1+i)N
i=
F=55 785.9418(1+2.166 %)6 F=$ 63 442,47 9. Determine la conveniencia o no de un negocio que garantiza una ganancia de 25% del capital invertido al final del primer año, o depositar el dinero en una cuenta que paga 16.42% capitalizable cada quincena. SOLUCIÓN DATOS: F = 125%P (Se gana un 25% del capital) N = 1 Año Por otro lado: Deposito del dinero que paga 16.42% capitalizable cada quincena. i% = 16.42% Entonces i = 0.6841% quincenal Aplicamos la siguiente formula:
F=P(1+i)N F=P(1+0.6841 %)24 F=1.1777 P(Cada año se ganara 17.77 % del capital) En conclusión conviene invertir en el negocio.