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ECUACIONES EQUIVALENTES CON INTERES SIMPLE Y COMPUESTO CALCULO DEL TIEMPO Y TASA DE DESCUENTO CON DESCUENTO COMERCIAL Y RACIONAL

ELABORADO POR:

YENY TORRES HOYOS LUIS FERNEY GALARCIO

SEMESTRE IV

TUTOR:

CARLOS FERNANDO DORIA SIERRA

UNIVERSIDAD DE CARTAGENA EDUCACION A DISTANCIA Y VIRTUAL CENTRO TUTORIAL DE CERETE PROGRAMA: ADMINISTRACIÓN FINANCIERA ASIGNATURA: INGENIERIA ECONOMICA 18 DE MARZO DE 2017

1827 ¡Siempre a la altura de los tiempos

INTRODUCCION

Las personas en todo el mundo manejan el efectivo desde hace miles de años y gastar dinero hace parte de nuestra vida cotidiana para cubrir necesidades generadas, pero no siempre tienen lo suficiente para ello; por ejemplo cuando desean colocar un negocio, comprar un vehículo o comprar una casa, en situaciones como esta acuden al crédito y solicitan un préstamo con la seguridad de que en determinado tiempo tienen que cancelarlo con algún tipo de interés. Por consiguiente este trabajo se enfoca en que se estudiará el concepto del valor del dinero en el tiempo y se conocerán los elementos básicos de operaciones financieras a interés simple y compuesto, las diversas manifestaciones del capital como valor presente, valor futuro, tasa de interés y plazo o tiempo, con sus respectivas formulas. También se resolverán situaciones financieras por medio de ecuaciones de valor equivalente y todo lo relacionado con descuento comercial y descuento racional.

OBJETIVOS

Objetivo general Conocer cómo cambia el valor del dinero en el transcurso del tiempo, aplicando los principios matemáticos referentes a la variación del dinero en el tiempo.

Objetivos específicos   

Definir los conceptos de los temas a tratar como; interés simple, interés compuesto y ecuaciones equivalentes. Identificar las respectivas formulas en cada tema Realizar ejercicios con respecto al tema estudiado.

FUNDAMENTACION TEORICA Definiciones El interés es el redito que se conviene pagar en un determinado tiempo por el uso del dinero, intervienen básicamente tres elementos fundamentales: el capital, la tasa de interés y el tiempo o plazo. 

Capital (c): Es una cantidad o masa de dinero localizada en una fecha o punto inicial de una operación financiera.



Tasa de interés (i): Es la razón de los intereses devengados en un lapso de tiempo entre el capital inicial. Se expresa en tanto por uno o en tanto por ciento.



Tiempo (n): Es el número de unidades de tiempo que transcurren entre la fecha inicial y final en una operación financiera. Se conoce también como plazo.

FORMULAS Interés……………………………..𝐼 = 𝐶 ∗ 𝑛 ∗ 𝑖

Capital…………………………… 𝐶=

Tiempo………………………….

𝐼 𝑛∗𝑖

𝑛=

𝐼 𝐶∗𝑖

Tasa de interés……………..

𝑖=

𝐼 ∗ 100 𝐶∗𝑛

Ejercicios

1. ¿Qué interés produce un capital de $ 30.000.000 durante 1 año, con una tasa de interés de 24% anual?

Formula: 𝐼 = 𝐶 ∗ 𝑛 ∗ 𝑖 Datos C= $ 30.000.000 n = 1 año i = 24% = 0.24 I=?

Solución 𝐼 =𝐶∗𝑛∗𝑖 𝐼 = 30.000.000 ∗ 1 ∗ 0.24 𝐼 = $7.200.000

2. Por un capital de $20.000.000 invertido durante 11 meses, los intereses recibidos son de $5.000.000 ¿Cuál es la tasa de interés simple mensual?

Formula 𝐼 𝑖= ∗ 100 𝐶∗𝑛

Datos C= $ 20.000.000 n= 11 meses I= $ 5.000.000 i =?

Solución 𝑖=

5.000.000 ∗ 100 20.000.000 ∗ 11

𝑖=

5.000.000 ∗ 100 220.000.000

𝑖 = 0.022727272 ∗ 100 𝑖 = 2.272%

Equivalencia

La equivalencia económica es una combinación del valor del dinero en el tiempo y la tasa de interés para determinar las diferentes cantidades de dinero en momentos distintos y que tienen el mismo valor económico. Dos cantidades diferentes ubicadas en diferentes fechas son equivalentes, aunque no iguales, si producen el mismo resultado económico. Esto es, $100 de hoy son equivalentes a $140 dentro de un año si la tasa de interés es del 40% anual. Un valor presente (P) es equivalente a un valor futuro (F) si el valor futuro cubre el valor presente más los intereses a la tasa exigida por el inversionista. Como conclusión de este principio, podemos decir que si para un inversionista es indiferente en términos económicos recibir hoy $100 que $140 dentro de u año, estos dos valores son equivalentes financieramente para él. La equivalencia implica que el valor del dinero depende del momento en que se considere, esto es, que un peso hoy es diferente a un peso dentro de un mes o dentro de un año.

Interés simple Se denomina al interés que se aplica siempre sobre el capital inicial, debido a que los intereses generados no se capitalizan, en consecuencia el interés obtenido en cada periodo es el mismo, es decir solo se gana interés sobre el capital. Características del interés simple 





El capital inicial no varía durante todo el tiempo de la operación financiera ya que los intereses no se capitalizan. Esta condición se cumple siempre que no se haga abono al capital principal. En caso de pagos sobre el capital inicial, los intereses se calcularan sobre el capital insoluto. Como consecuencia de la característica anterior, la tasa de interés siempre se aplicara sobre el mismo capital, es decir, sobre el capital inicial o sobre el capital insoluto. Por la misma razón, puede decirse que los intereses serán siempre iguales en cada periodo, o menores si hay abonos al capital principal.

Desventajas del interés simple   

Su aplicación en el mundo financiero es limitado. Desconoce el valor del dinero en el tiempo. No capitaliza los intereses no pagados y, por lo tanto, estos pierden poder adquisitivo.

Calculo del interés

En interés simple, el interés a pagar por una deuda varia en forma directamente proporcional al capital y al tiempo, es decir, a mayor capital y mayor tiempo es mayor el valor de los intereses. Formula: 𝐼 = 𝑃∗𝑖∗𝑛 En donde: I = valor de los intereses

i= tasa de interés expresada como decimal

P= capital

n= tiempo

Ejemplo: juan David tiene un capital de $2.000.000. Invierte el 60% de este capital a una tasa del 36% anual simple y el capital restante al 2% mensual simple. Calcular el valor de los intereses mensuales simples. El 60% de $2.000.000 = 0.6 x 2.000.000 = $1.200.000 Juan invierte el capital de la siguiente forma: $1.200.000 a una tasa del 36% anual simple $800.000 a una tasa del 2% mensual simple 

P= $1.200.000

i=36% /100 = 0,36

n= 1 mes

0,36 ∗1 12 𝐼 = $36.000

𝐼 = 1.200.000 ∗



P= $800.000

i= 2% / 100 = 0,02

n= 1 mes

𝐼 = 800.000 ∗ 0.02 ∗ 1 𝐼 = $16.000

Total de interés mensual: $36.000 + $16.000 = $52.000

Valor futuro a interés simple Consiste en calcular el valor futuro F, equivalente a un valor presente P, después de n periodos a una tasa de interés simple i. el valor futuro es igual al capital prestado más los intereses. Formula: 𝐹 = 𝑃(1 + 𝑛𝑖) Dónde: F= valor futuro P= valor presente

n= número de periodos i= tasa de interés simple por periodo

Ejemplo 1: se depositan $50.000 y se espera ganar 10% mensual, ¿al término de 5 meses cuanto poseo?

Solución VP=$ 50.000 i = 10%= 0.1 n = 5 meses VF =? 𝐹 = 50,000(1 + 5 ∗ 0,1) 𝐹 = 50,000(1.5) 𝐹 = 50,000(1.5) 𝐹 = $75.000

Ejemplo 2: cuál será el valor a cancelar dentro de 10 meses por un préstamo de $5.000.000 recibidos en el día de hoy, si la tasa de interés es del 3.5% mensual simple? VP= $5.000.000 n= 10 meses i= 3.5% mensual F=? Solución: 𝐹 = 5.000.000(1 + 10 ∗ 0,035) 𝐹 = 5.000,000(1.35) 𝐹 = $6.750.000

Ejemplo 3: Se realiza un crédito por valor de $2.000.000 a una tasa de interés simple del 3% mensual ¿Cuál es el valor a cancelar dentro de 12 meses?

VP= $2.000.000 i= 3% mensual n= 12 meses

VF=? Solución: 𝐹 = 2.000.000(1 + 12 ∗ 0,03) 𝐹 = 2.000.000(1,36) 𝐹 = $2.720.000

Valor presente a interés simple Consiste en calcular un valor presente P equivalente a un valor futuro F, ubicado en periodos adelante a una tasa de interés simple de i. De la expresión: 𝐹 = 𝑃(1 + 𝑛𝑖)

Se despeja el valor de P:

𝑃=

𝐹 1 + 𝑛𝑖

Ejemplo 1: el señor Pedro Picapiedra tiene que cancelar dentro de año y medio un valor de $2.500.000. Si la tasa de interés es del 3% mensual simple ¿cuál es valor inicial de la obligación? VF= $2.500.000 I= 3% mensual N= 1 ½ años = 18 meses VP=? Solución. 𝑃=

2.500.000 1 + 18 ∗ 0.03

𝑃=

2.500.000 1.54

𝑃 = $1.623.376.62

Ejemplo 2: Se solicita un préstamo por un periodo de 6 meses, con una tasa de interés simple del 4% mensual ¿Cuál es el valor del préstamo solicitado, si al cabo de los 6 meses paga $1.000.000?

Solución VF= $1.000.000 i = 4% = 0.04 n = 6 meses VP=? 𝑃=

1.000.000 1 + 6 ∗ 0.04

𝑃=

1.000.000 1.24

𝑃 = $806.451.61

Calculo de la tasa de interés simple

Consiste en calcular la tasa de interés simple (i), que arroja una inversión inicial P y después de n periodos se recibe una cantidad acumulada F. Formula: 𝑖=

1 𝐹 [ − 1] 𝑛 𝑃

Ejemplo 1: un inversionista deposita en el día de hoy en una corporación $ 1.000.000 y después de 6 meses retira $ 1.250.000. Calcular la tasa de interés simple ganada. VP= $1.000.000 VF=$1.250.000 n=6 meses i =? 𝑖=

1 1.250.000 [ − 1] 6 1.000.000

𝑖 = 0.0417 = 4.17%

Ejemplo 2: Se deposita en una cuenta de ahorro $600.000, por un periodo de 4 meses, al fin de los cuales se recibe $800.000 ¿cuál es la tasa de interés? Solución VP= $600.000 VF=$800.000 n = 4 meses i=? 𝑖=

1 800.000 [ − 1] 4 600.000

𝑖 =0.083 = 8.33%

Calculo del tiempo de negociación Consiste en determinar el número de periodos (n), que se requieren para que una inversión inicial (P) a una tasa de interés simple de (i) produzca un valor futuro (F). Formula: 𝑛=

1 𝐹 [ − 1] 𝑖 𝑃

Ejemplo 1: ¿cuánto tiempo se debe esperar para que un capital de $100 se convierta en $200, si la operación se realiza al 4% mensual simple? VP= $100 VF=$200 I=4% mensual N=?

𝑛=

1 200 [ − 1] 0.04 100

𝑛 = 25 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 Ejemplo 2: Un inversionista ahorra $3.000.000 y espera recibir 20% anual de interés simple. Si recibe al término de n años $6.000.000, ¿por cuánto tiempo mantuvo el ahorro?

VP= $3.000.000 i = 20% = 0.2 anual VF= $6.000.000 n =? 𝑛=

1 6,000,000 [ − 1] 0.2 3.000.000

𝑛 = 5 𝑎ñ𝑜𝑠 Interés compuesto

El interés compuesto (llamado también interés sobre interés), es aquel que al final del periodo capitaliza los intereses causados en el periodo inmediatamente anterior. En el interés compuesto el capital cambia al final de cada periodo, debido a que los intereses se adicionan al capital para formar un nuevo capital sobre el cual se calculan los intereses. Capitalización: proceso mediante el cual los intereses que se van causando periódicamente se suman al capital anterior.

Valor futuro a interés compuesto Consiste en calcular el valor equivalente de una cantidad P, después de estar ganando intereses por n periodos, a una tasa de interés i. Formula: 𝐹 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛 La expresión significa que es equivalente P en el dia de hoy a F dentro de n periodos a una tasa de interés i por periodo.

Características del el interés compuesto   

El capital inicial cambia en cada periodo porque los intereses que se causan se capitalizan, o sea, se convierten en capital. La tasa de interés siempre se aplica sobre un capital diferente Los intereses periódicos siempre serán mayores.

Ejemplo 1: se invierten $1.000.000 durante 6 meses en una corporación que reconoce una tasa de interés del 3% mensual. Se desea saber ¿Cuánto dinero se tendrá acumulado al final del sexto mes? VP= $1.000.000 i= 3% mensual n= 6 meses VF=? 𝐹 = 1.000.000(1 + 0.03)6 𝐹 = $1.194.052.29 Ejemplo 2: se depositan $50.000 y se espera ganar 10% mensual, ¿al término de 5 meses cuanto poseo?

Solución

VP=$ 50.000 i = 10%= 0.1 n = 5 meses VF =?

𝐹 = 50.000(1 + 0.1)5 𝐹 = $80.525,5 Ejemplo 3: Hallar el valor futuro de $1.000.000, invertido a una tasa de interés del 5% trimestral al cabo de 2 años. Solución VP=$ 1.000.000 i = 5% trim= 0.05 n = 2 años =8 trim VF =?

𝐹 = 1.000.000(1 + 0.05)8

$1.477.455.54

Valor presente a interés compuesto Consiste en calcular el valor P, equivalente hoy a una cantidad futura F, ubicada n periodos adelante (en el futuro), considerando una tasa de interés compuesta i. esta operación de calcular el valor actual de un capital equivalente a lo pagado en el futuro, se presenta con mucha frecuencia en los negocios y se conoce como el procedimiento para encontrar una deuda. Formula: 𝑃=

𝐹 (1 + 𝑖)𝑛

Ejemplo 1: el señor Pedro Picapiedra necesita disponer de $300.000 dentro de 6 meses para el pago de la matrícula de su hijo. Si una corporación le ofrece el 3.5% mensual, ¿Cuánto deberá depositar hoy para lograr el objetivo? VF= $300.000 I=3.5% mensual N= 6 meses VP=?

𝑃=

300.000 (1 + 0.035)6

𝑃 = $244.050.19

Ejemplo 2: Hallar la cantidad de dinero que se debe invertir hoy para disponer de $2.000.000 al final de 3 años, si la tasa de interés es del 2% mensual.

Solución VF= $2.000.000 i = 2% = 0.02 men. n = 3 años = 36 meses

VP=? 𝑃=

2.000.000 (1 + 0.02)36

𝑃 = $980.446.3

Ejemplo 3: un inversionista acepto, inicialmente, recibir $50.000.000 después de 2 años, ´por la venta de una propiedad. Recibe dos ofertas; pedro y juan le ofrecen pagarle hoy un valor equivalente, calculado así: pedro, con una tasa de 2% mensual y juan con una tasa de 3% mensual. ¿Qué oferta debe aceptar y por qué? VF= $50.000.000 N= 2 años = 24 meses I juan= 3% mensual I pedro= 2% mensual Solución Pedro: 𝑃=

50.000.000 (1 + 0.02)24

𝑃 = $31.086.074.40

Juan: 𝑃=

50.000.000 (1 + 0.03)24

𝑃 = $24.596.686.82 Por los resultados obtenidos, el inversionista debe aceptar la propuesta de pedro por tener un mayor valor presente. Se concluye que: el valor presente es inversamente proporcional a la tasa de interés.

Tasa de interés compuesta En algunos casos se conoce la cantidad invertida y recibida después de un número de periodos determinado, y se desea conocer la tasa de interés i. Formula:

1

𝑉𝐹 𝑛 𝑖= −1 𝑉𝑃 Ejemplo 1: si en el día de hoy se invierten $ 100 y después de año y medio se tienen acumulados $200, ¿qué tasa de interés arrojo la operación? VP=$100 VF$200 N=1.5 años= 18 meses I=? 1

20018 𝑖= −1 100 𝑖 = 0.0393 = 3,93% 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙

Ejemplo 2: Una inversión de $2.000.000, realizada hace 15 años alcanza hoy un valor de $70.000.000. Por consiguiente determinar tasa de interés trimestral.

Solución

VP=$2.000.000 VF= $70.000.000 i =? n =15 años = 60 trimestres

1

70.000.00060 𝑖= −1 2.000.000 𝑖 = 0.6104662 = 6.1% 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙

Tiempo de negociación Con frecuencia se hace una inversión inicial a una conocida tasa de interés con el propósito de obtener una cantidad futura determinada y se desea conocer en cuanto tiempo se obtendrá esta cantidad futura.

Formula: 𝑛=

𝑉𝐹 𝑙𝑜𝑔 𝑉𝑃 log 1 + 𝑖

Ejemplo 1: si se realiza una operación financiera con una tasa de interés del 4% mensual ¿Cuánto tiempo se debe esperar para que $500.000 de hoy se convierta en $711.656?

VP=$500.000 VF=$711.656 I=4%mensual N=? 711.656 500.000 𝑛= log 1 + 0.04 𝑙𝑜𝑔

𝑛=

log 1.423312 log 1.04

𝑛=

0.15330011 0.017033339

𝑛 = 9𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠

Ejemplo 2: En cuantos meses una inversión de $5.000.000 se duplica, si la tasa de interés es del 1.5% mensual.

Solución VP=$5.000.000 VF= $10.000.000 i = 1.5% = 0.015 men. n =?

10.000.000 5.000.000 𝑛= log 1 + 0.015 𝑙𝑜𝑔

𝑛=

𝑙𝑜𝑔2 log 1.015

𝑛 = 45.55𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠

Operaciones con descuento

Un descuento es una operación financiera que consiste en cobrar sobre el valor de un título o documento el valor de los intereses en forma anticipada. Esta operación es frecuente en el mundo de los negocios cuando se tienen cuentas por cobrar o títulos valores y se necesita hacerlas efectivas antes de su fecha de vencimiento. En nuestro país esta operación es usual cuando se acude a créditos bancarios de corto plazo. En este caso, en el mismo momento en que se recibe el préstamo se cobran los intereses por anticipado. Estos intereses cobrados en forma anticipada se llaman descuento y la cantidad de dinero que recibe el tenedor del título, una vez descontados los intereses, se llama valor efectivo del pagare. El valor nominales el monto que aparece en el pagare. Se presentan dos situaciones con el manejo del valor nominal sobre el cual se aplica el descuento. La primera de ellas ocurre cuando en el pagare aparece el valor del título y se indica que ganara unos intereses a una tasa prefijada. Para este caso, se le aplicara al valor del título los intereses simples durante todo el tiempo hasta la fecha de vencimiento, lo que se traduce en calcular el valor futuro a interés simple. Una segunda situación se presenta cuando se aplica que el valor nominal incluye intereses, lo que significa que el valor nominal es el valor a pagar en la fecha de vencimiento. Al vender un pagare antes de su fecha de vencimiento, el comprador aplica una tasa de descuento sobre el valor nominal del título (valor de vencimiento). Dependiendo de la forma como se aplica la tasa de descuento sobre el valor nominal, resultandos tipos de descuentos: el descuento comercial y el descuento racional o justo.

𝐷 = 𝑉𝑛 − 𝑉𝑎

𝐷 = 𝑉𝑛 ∗ 𝑛 ∗ 𝑑%

Descuento racional

En una operación con descuento comercial los intereses simples se calculan sobre el valor nominal, que corresponde al monto que aparece en el pagare. Formula: 𝑉𝑎 = 𝑉𝑛(1 − 𝑛 ∗ 𝑑%) 𝑉𝑛 =

𝑉𝑎 (1 − 𝑛 ∗ 𝑑%)

Vn= valor nominal Va=valor actual N= tiempo D%=tasa porcentual D=descuento

Ejemplo 1: se desea vender una letra por valor de $10.000.000 con una fecha de vencimiento dentro de 3 meses y que gana intereses al 2.5% mensual simple. El comprador se lo negocia con una tasa de descuento del 2% mensual. Calcular el valor efectivo con descuento comercial. F= 10.000.000(1+3 x 0,025) = $10.750.000 𝑉𝑎 = 10.750.000(1 − 3 ∗ 0,02) 𝑉𝑎 = $10,105,000

Ejemplo 2:Un inversionista gira un cheque por valor de $10.000.000 negociable por 3 meses antes de su vencimiento, su tasa de descuento es de 1.8% mensual. ¿Cuánto es el valor a pagar si su descuento es comercial?

Solución Vn = $10.000.000

n = 3 meses d% = 1.8% =0.018 Va=? 𝑉𝑎 = 10.000.000(1 − 3 ∗ 0.018) 𝑉𝑎 = $9.460.000 D= 10.000 – 9.460.000 D= $540.000

Descuento racional o justo

En una operación con descuento racional los intereses simples se calculan sobre el valor efectivo. Si comparamos el valor efectivo con descuento comercial y descuento racional, observamos que es menor el valor efectivo con descuento comercial, lo que nos indica que el tenedor del pagare recibe un menor valor al venderlo, al hacérsele un mayor descuento. Esto explica porque las operaciones de descuento se realizan con descuento comercial y no racional. Formula: 𝑉𝑎 =

𝑉𝑛 (1 + 𝑛 ∗ 𝑑%)

𝑉𝑛 = 𝑉𝑎(1 + 𝑛 ∗ 𝑑%)

Ejemplo 1: El almacén Falabella gira un cheque por valor de $30.000.000, 2 meses antes de su vencimiento, donde su tasa de descuento es de 2.5% mensual ¿Cuánto se debe pagar si su descuento es racional? Solución

Vn = $30.000.000 n = 2 meses

d% = 2.5% mensual=0.025 va=?

𝑉𝑎 =

30.000.000 (1 + 2 ∗ 0.025)

Va=$28.571.429 D= 30.000.000 – 28.571.429 D= $1.428.571

Ejemplo 2: Una factura de $500.000 tiene vencimiento en 4 meses, se compra 2 meses después de su expedición con una tasa de descuento racional del 12% mensual ¿Por qué valor se compró la factura? Solución Vn = $500.000 n = 2 meses d% = 12% mensual=0.12 Va=? 𝑉𝑎 =

500.000 (1 + 2 ∗ 0.12)

𝑉𝑎 = 403.226 𝐷 = 500.000 − 403.226 𝐷 = $96.774

Bibliografía



Matemáticas financieras aplicadas, Jhony de Jesús Meza Orosco, cuarta edición