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• Orlan Cárcamo

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UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD MULTIDISCIPLINARIA DE OCCIDENTE ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS. ´ ´ GUIA DE EJERCICIOS: MATEMATICAS III. En los problemas del 1 al 20,encuentre las primeras derivadas parciales de la ´ dada. funcion 1. z = x2 − xy 2 + 4y 5

11. f (x, y) = xex

2. z = −x3 + 6x2 y 3 + 5y 2

3y

12. f (θ, φ) = φ2 sen

3. z = 5x4 y 3 − x2 y 6 + 6x5 − 4y 13. f (x, y) =

4. z = tan(x3 y 2 ) √ 4 x 5. z = 2 3y + 1

14. f (x, y) =

6. z = 4x3 − 5x2 + 8x

8. z = (−x4 + 7y 2 + 3y)6 9. z = cos2 5x + sen2 5y 2

3x − y x + 2y (x2

xy − y 2 )2

15. g(u, v) = ln(4u2 + 5v 3 ) √ r s − 16. h(r, s) = s r √ 17. w = 2 xy − yey/z

7. z = (x3 − y 2 )−1

10. z = ex

θ φ

tan−1 y 2

18. w = xy ln xz

19. f (u, v, x, t) = u2 w2 − uv 3 + uw cos(ut2 ) + (2x2 t)4 20. G(p, q, r, s) = (p2 q 3 )e2r

4 s5

En los problemas 21 al 28, encuentre la derivada parcial indicada. 21. z = exy ;

∂ 2z ∂x2

4 −2

22. z = x y ;

25. w = u2 v 3 t3 ;

∂ 3z ∂y 3

26. w =

23. f (x, y) = 5x2 y 2 − 2xy 3 ; 24. f (p, q) = ln

p+q ; q2

cos(u2 v) ; t3

wuvt

2

fxy

fqp

En los problemas 29 y 30, verifique que 29. z = x6 − 5x4 y 3 + 4xy 2

wtuv

27. F (r, θ) = er cos θ; Frθt 28. H(s, t) =

s+t ; s−t

Htts

∂ 2z ∂ 2z = ∂x∂y ∂y∂x 30. z = tan−1 (2xy)

En los problemas 31 y 32, verifique que las derivadas parciales indicadas son iguales. 31. w = u3 v 4 − 4u2 v 2 t3 + v 2 t; wuvt , wtvu , wvut 32. F (η, ξ, τ ) = (η 3 + ξ 2 + τ )2 ; Fηξη , Fξηη , Fηηξ

´ dada define a z como En los problemas del 33 al 36, suponga que la ecuacion ´ de las dos variables restantes. Emplee diferenciacion ´ impl´ıcita para una funcion encontrar las primeras derivadas parciales. 33. x2 + y 2 + z 2 = 25

35. z 2 + u2 v 3 − uvz = 0

34. z 2 = x2 + y 2 x

36. sez − est + 4s3 t = z

´ 37. El area de un paralelogramo con base x y altura y sen θ es A = xy sen θ. Encuentre todas las primeras derivadas parciales. 38. El volumen del siguiente cono truncado es V = 31 πh(r2 +rR+R2 ). Determine todas las primeras derivadas.

´ de temperatura indicada satisface En el problema 39 verifique que la distribucion ´ la ecuacion de Laplace en dos dimensiones ∂ 2u ∂ 2u + ∂x2 ∂y 2 ´ u(x, y) de la ecuacion ´ de Laplace puede interpretarse como la disUna solucion ´ ´ de una delgada placa tribucion de temperatura independiente del tiempo a traves bidimensional. 39. u(x, y) = e−(nπx/L) sen(nπy/L), n y L constantes

´ dada satisface la ecuacion ´ de En los problemas 40 y 41, verifique que la funcion Laplace. 40. u(x, y) = ln(x2 + y 2 ) 41. u(x, y) = tan−1

y x