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• Yesica Jasbleydy Rincon Nunez

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GUIA # 1 − ESTADISTICA Y PROBABILIDAD TERCER CORTE 3.2 Usted y un amigo participan en un juego donde cada uno tira una moneda balanceada. Si las caras superiores de las monedas son cruces en ambos casos, el lector gana 1; si salen caras en ambos tiros, gana 2; si las caras de las monedas no son iguales, el lector pierde 1 (gana - 1). Obtenga la distribución de probabilidad para sus ganancias, Y, en un solo intento. R: A = Cruz B = Cara P(Y=-1) = 2/4 = 0,50 = 50% P(Y=1) = 1/4 = 0,25 = 25% P(Y=2) = 1/4 = 0,25 = 25% En conclusión, podemos afirmar que el lector al lanzar la moneda tiene una posibilidad del 50% de que las caras no sean igual frente a las demás posibilidades que son solamente del 25% cada una. 3.4 Considere un sistema de agua que fluye a través de unas válvulas de A a B. Las válvulas 1, 2 y 3 funcionan independientemente, y cada una se abre correctamente mediante una señal con una probabilidad de 0.8. Encuentre la distribución de probabilidad para Y el número de vías abiertas de A a B después de haber enviado la señal (observe que Y puede tomar los valores 0, 1 y 2). R: P(vía abierta) = 0,8 = 80% P(vía cerrada) = 0,2 = 20% Para la vía con dos válvulas tienen que estar abiertas las dos P(estar abierta la de abajo) = 0,8 · 0,8 = 0,64 = 64% P(estar cerrada la de abajo) = 1 - 0,64 = 0,36 = 36 % P(0 vías) = P(estar cerradas las dos) = 0,2 · 0,36 = 0,072 = 7,2% P(2 vías) = P(estar abiertas las dos) = 0,8 · 0,64 = 0,512 = 51,2% P(1 vía) = 1 - 0,072 - 0,512 = 0,416 = 41,6% En conclusión, al enviar la señal hay una posibilidad más alta de que las vías estén ambas abiertas con un 51,2 % frente a las demás posibilidades.

3.6 Cinco pelotas numeradas 1, 2, 3, 4 y 5 se ponen en una urna. Dos de ellas se seleccionan al azar de entre las cinco y se toma nota de sus números. Encuentre la distribución de probabilidad para lo siguiente: a) El mayor de los dos números muestreados. b) La suma de los dos números muestreados. R: 5! 5 C =2!(5−2)! = 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 10 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 2

(1,2), (1,3), (1,4), (1,4), (2,3), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,5). a. P(X=2)=1/10 = 0,1 = 10% P(X=3)=2/10 = 0,2 = 20% P(X=4)=3/10 = 0,3 = 30% P(X=5)=4/10 = 0,4 = 40% Por lo anterior podemos concluir que el mayor de los dos números muestreados frente a la distribución de probabilidad es el 5 ya que ocurre 4 veces de las 10 combinaciones posibles. b. P(X=3)=1/10 = 0.1 = 10% P(X=4)=1/10 = 0,1 = 10% P(X=5)=2/10 = 0,2 = 20% P(X=6)=2/10 = 0,2 = 20% P(X=7)=2/10 = 0,2 = 20% P(X=8)=1/10 = 0,1 = 10% P(X=9)=1/10= 0,1 = 10% Suma total = 1.0 = 100% 3.8 Una sola célula puede morir, con probabilidad .1 o dividirse en dos células, con probabilidad .9, produciendo una nueva generación de células. Cada célula en la nueva generación muere o se divide independientemente en dos células, con las mismas probabilidades que la célula inicial. Encuentre la distribución de probabilidad para el número de células de la siguiente generación.

R: P(X=0) = 0,1 = 10% P(X=2) = 0,9 = 90% P(X=0) = 0,1 + (0,9 · 0,1 · 0,1) = 0,1 + 0,009 = 0,109 = 11% P(X=2) = 2 · 0,9 · 0,1 · 0,9 = 0,162 = 16% P(X=4) = 0,9 · 0,9 ·0,9 = 0,729 = 73% Suma de probabilidades = 0,11 + 0,16 + 0,73 = 1 = 100% Según lo anterior podemos concluir que para la siguiente generación de células hay una posibilidad del 73% frente a las anteriores de morir o dividirse independientemente en dos células. 3.10 Una agencia de rentas, que alquila equipo pesado por día, ha encontrado que, en promedio, se renta una costosa máquina sólo un día de cada cinco. Si la renta en un día es independiente de la renta en cualquier otro día, encuentre la distribución de probabilidad de Y, el número de días entre un par de rentas. R: La probabilidad de que este 0 días sin uso es: P(Y=0) = 0.2 La probabilidad de que este 1 día sin uso y el siguiente día se use, es: P(Y=1) = (0.8).(0,2) = 0,16 La probabilidad de que este 2 día sin uso y el tercer día se use, es: P(Y=2) = (0,8).(0,8).(0,2) = 0,128 Por lo tanto, podemos concluir que: P(n días entre medio) = (0,8)^n · 0,2 3.12 Sea Y una variable aleatoria con p (y) dada en la tabla siguiente. Encuentre E(Y), E(1/Y), E(Y^2-1) Y V(Y). Y P(Y)

1 0.4

2 0.3

3 0.2

4 0.1

R: E (Y) = 1 (0,4) + 2 (0,3) + 3 (0,2) + 4 (0,1) = 2,0 E (1/Y) = (0,4) + 1 / 2(0,3) + 1 / 3 (0,2) + 1 / 4 (0,1) = 0,642 E (Y^2-1) = [1(0,4) + 2^2(0,3) + 3^2(0,2) + 4^2(0,1)] – 1 = 5 – 1 = 4 V (Y) = E(Y^2) = [E(Y)]^2 = 5 – 22 = 1 3.14 La vida máxima de la patente para un nuevo medicamento es 17 años. Si restamos el tiempo requerido por la FDA para someter a pruebas y aprobar el medicamento, se obtiene la vida real de la patente para el medicamento, es decir, el tiempo que la compañía tiene para recuperar los costos de investigación y desarrollo y para obtener una utilidad. La distribución de los tiempos de vida reales de las patentes para nuevos medicamentos se da a continuación: a Encuentre la vida media de la patente para un nuevo medicamento. b. Encuentre la varianza del tiempo de vida media de la patente para un nuevo medicamento. R: a. Xi 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Pi 0,03 0,05 0,07 0,1 0,14 0,2 0,18 0,12 0,07 0,03 0,01 MEDIA

Xi.Pi 0,09 0,2 0,35 0,6 0,98 1,6 1,62 1,2 0,77 0,36 0,13 7,9 ~ 8 años

Por lo anterior podemos concluir que la vida máxima media de la patente frente a los 17 años son 8 años aproximadamente.

b. Xi 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Pi 0,03 0,05 0,07 0,1 0,14 0,2 0,18 0,12 0,07 0,03 0,01 MEDIA

Xi.Pi 0,09 0,2 0,35 0,6 0,98 1,6 1,62 1,2 0,77 0,36 0,13 7,9

Xi2.Pi 0,27 0,8 1,75 3,6 6,86 12,8 14,58 12 8,47 4,32 1,69 67,14

Varianza = 67,14 – 64 = 3,14 Finalmente, la varianza del tiempo de vida media de la patente para un nuevo medicamento corresponde a 3,14.