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Guía Práctica de Estadística General

Estadística General

Área de Estadística Lima – Perú 2019

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Guía Práctica de Estadística General

GUÍA DE PRÁCTICAS DE ESTADÍSTICA GENERAL © Derechos Reservados 2019 © Área de Estadística Primera Edición 2011 Segunda Edición 2013 Tercera Edición 2014 Cuarta Edición 2015 Quinta Edición 2016 Sexta Edición 2017 Séptima Edición 2018 Octava Edición 2019 Diseño y Diagramación Universidad Científica del Sur Panamericana Sur km 19 - Lima 42 . Lima-Perú 610-6400

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Guía Práctica de Estadística General

Rector Dr. Manuel Rossemberg

Presidente Ejecutivo Luis Javier Cardó Soria

Gerente General Javier Frisancho Pendavis

Director General Académico José Agustín Ortiz Elías

Directos de Cursos Básicos Álvaro Pinillos Osnayo

Coordinador de Matemática y Estadística Sarita Bocanegra Gonzales

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CONTENIDO

UNIDAD 1 Capítulo 1: Conceptos

6

Capítulo 2: Presentación de datos

9

UNIDAD 2 Capítulo 3: Medidas de Tendencia Central

22

Capítulo 4: Medidas de Posición No Central

25

Capítulo 5: Medidas de Dispersión

29

Capítulo 6: Asimetría y Curtosis

37

UNIDAD 3 Capítulo 7: Cálculo de Probabilidades

42

Capítulo 8: Distribución Binomial

54

Capítulo 9: Distribución Poisson

58

Capítulo 10: Distribución Normal

61

Capítulo 11: Distribución Muestral

68

UNIDAD 4 Capítulo 12: Tamaño de la muestra.

71

Capítulo 13: Regresión y Correlación Lineal

73

Capítulo 14: Tablas de Contingencia y Pruebas Chi – Cuadrado

83

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Elaboración propia

CONCEPTOS BÁSICOS. PRESENTACIÓN DE DATOS.

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CONCEPTOS ESTADÍSTICOS Población.Es la totalidad de individuos o de elementos (empresas, personas, objetos etc.) que cumplen o satisfacen la o las características en estudio. Por el número de elementos que la componen la población se clasifica en finita e infinita. La población es finita si tiene un número determinado de elementos en caso contrario es infinita. En la práctica una población finita con un gran número de elementos se considera como una población infinita; por otro lado el tamaño de una población va a depender de objetivo trazado por el investigador. Muestra.Está constituida por una parte de los individuos o elementos que componen la población, seleccionada de acuerdo a cierta técnica con el fin de obtener información acerca de la población, de la cual proviene. La muestra debe ser seleccionada de manera que sea representativa, es decir tenga características similares a las de su población. Parámetro.Es una medida descriptiva que resume una característica de la población, es decir constituye el valor real, verdadero; su cálculo implica utilizar toda la información contenida en la población; entre los más conocidos tenemos: La media poblacional ( μ ) La varianza poblacional ( σ2 ) La proporción poblacional ( P ) etc. Estadístico.- Es una medida que describe una característica de la muestra, se calcula a partir de los datos observados en la muestra; es decir constituyen los estimadores de cada uno de sus respectivos parámetros; entre estos tenemos: La media muestral ( X ) La varianza muestral ( S2 ) ˆ ) La proporción muestral ( p Variable.- Es una característica definida en la población de acuerdo a cierto interés en una investigación estadística, que puede tomar dos o más valores (cualidades o números). Puede ser una característica medible (peso, precio, ingresos, temperatura etc) o una cualidad no medible (estado civil, calidad, color, sexo etc). Se representa con las letras X, Y, Z.

CLASIFICACIÓN DE LAS VARIABLES SEGÚN LA NATURALEZA DE LA VARIABLE a) VARIABLES CUALITATIVAS O CATEGÓRICAS Son aquellas cuyos valores expresan cualidades o atributos; estas a su vez pueden ser:

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VARIABLES NOMINALES.- Son aquellas en donde no existe un orden preestablecido entre las categorías de las variable. Ejemplos: VARIABLE Color Estado Civil Distrito Sexo Calidad

CATEGORÏAS Azul, rojo, blanco, verde, negro, amarillo etc. Soltero, casado, conviviente, viudo, divorciado. Lima, La Victoria, Breña, Miraflores, San Isidro, Lince etc Masculino, femenino Buena, mala.

VARIABLES ORDINALES.- Son aquellas en donde existe un orden preestablecido entre las categorías de la variable. Ejemplos: VARIABLE Grado de Instrucción Orden de Mérito Nivel Socioeconómico

CATEGORÏAS Primaria, Secundaria, Superior Primero, Segundo, Tercero etc. Bajo, Medio, Alto etc.

También podemos considerar como variables ordinales por ejemplo grado de satisfacción de un servicio (1 = Muy insatisfecho; 2 = Insatisfecho; 3 = Ni satisfecho ni insatisfecho; 4 = Satisfecho; 5 = Muy satisfecho) o también el grado de depresión, etc. b) VARIABLES CUANTITATIVAS Son aquellas que se obtienen como resultado de mediciones o conteos; estas a su vez se clasifican en: VARIABLES DISCRETAS Son aquellas cuyos valores resultan como consecuencia de conteos, y por lo tanto solo pueden asumir valores enteros positivos, incluido el cero. Ejemplos Número de empresas, número de hospitales, número de trabajadores, número de comprobantes de pago, número de máquinas, número de conservas etc. VARIABLES CONTINUAS Son aquellas cuyos valores se obtienen por medición, pueden asumir valores decimales. Ejemplos: Los sueldos, el precio, la temperatura, el volumen, el tiempo, el peso, la estatura, la presión etc.

SEGÚN EL ROL QUE TIENEN EN LA INVESTIGACIÓN a) VARIABLE DEPENDIENTE La variable dependiente es aquella determinada por el investigador para estudiarla en función de otras variables denominadas independientes. Generalmente se simboliza esta variable con la letra Y. b) VARIABLE INDEPENDIENTE

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La variable independiente es aquella que es controlada en un experimento por el investigador. Generalmente se simboliza esta variable con la letra X. En la mayoría de los experimentos el investigador está interesado en determinar el efecto que tiene la variable X, sobre la variable Y; para esto el investigador controla los niveles de la variable X y mide el efecto sobre la otra variable. Ejemplo: La variación en los precios de un determinado artículo, motiva cambios en las ventas. En este ejemplo las variables son: Precio = X Venta = Y -

El costo de producción de un artículo, determina su precio de venta. En este caso las variables son: Costo de producción = X Precio de venta = Y

Podemos notar que el rol que asuma una determinada variable como dependiente o independiente en una investigación, va a depender con qué variable se asocie. E J ER C I C I O S PR O PU E STO S 1. Determinar, en cada caso el tipo de variable, de acuerdo a su naturaleza: a. Tiempo que demora un paciente para ser atendido en un Centro Médico. b. Carreras que quieren seguir las alumnas y los alumnos de un centro educativo al terminar la Educación Secundaria. c. Intención de voto para las elecciones presidenciales. d. Horas que dedican a ver televisión los estudiantes de Primaria en Arequipa. e. Número de aparatos de radio que hay en los hogares de Ayacucho. f. Grado de instrucción de los trabajadores de una Empresa. g. Número de televisores LCD vendidos durante el mes de diciembre del año

pasado. h. Temperaturas registradas cada hora en un observatorio. i. Número de pacientes atendidos por emergencia durante el mes pasado. 2. Clasificar cada una de las afirmaciones siguientes ya sea como inferencias o métodos descriptivos. a. El año pasado en la UCS el puntaje promedio del examen de admisión fue 85. b. El Dr. García, un ecólogo, informó que en cierto río del oriente peruano, la carne de los peces contienen un promedio de 300 unidades de mercurio. c. La compañía “RM” predijo quién sería el ganador en una elección presidencial después de conocer los resultados de las votaciones de 25 mesas de sufragio de las 2 800 mesas que hubo en total.

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PRESENTACIÓN DE DATOS En todo trabajo de investigación se requiere la recolección de datos para posteriormente realizar el procesamiento del mismo. Estos datos pueden haber sido recogidos de fuentes primarias o secundarias. Luego de la recolección de información se debe clasificar u organizar los datos para realizar el análisis y la interpretación de los resultados. Para facilitar este procedimiento se deberá agrupar la información en categorías o clases. Una forma sencilla de agrupar los datos es realizando tablas de distribución de frecuencias. Presentación de tablas: Todo gráfico debe presentar la siguiente estructura: 1. Numeración 2. Título 3. Contenido 4. Fuente

Datos agrupados Variable

fi

Fi

hi

Hi

hi%

Hi%

fi= frecuencia absoluta Fi= frecuencia absoluta acumulada hi= frecuencia relativa Hi= frecuencia relativa acumulada hi%= frecuencia relativa porcentual Hi%= frecuencia relativa acumulada porcentual

Datos agrupados por clases o intervalos Clases

Xi

f

Fi

hi

Hi

hi%

Hi%

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TABLAS Y GRÁFICOS ESTADÍSTICOS DE DATOS PARA VARIABLES CUANTITATIVAS a) Tabla de frecuencias para Datos No Agrupados.- Es apropiada para datos cuyos valores distintos no son muy numerosos. Ejemplo: Los siguientes datos corresponden a las edades de 50 estudiantes: 20 23 19 21 21

22 19 22 20 22

21 18 23 21

19 20 20 20

18 21 21 24

18 22 19 23

20 19 22 20

22 20 18 21

20 18 19 19

19 23 20 20

20 20 21 22

19 21 24 21

a) Presentar dichos datos en una tabla de frecuencias b) Presentar los datos gráficamente a través de un Histograma c) Presentar los datos gráficamente en un Polígono de Frecuencias Solución: En este caso notamos que la variable edad, apenas está tomando solamente siete

valores distintos que van desde 18 hasta 24 Variable: Xi Frecuencias Absolutas: fi Frecuencias Absolutas Acumuladas: Fi Frecuencias Relativas: hi Frecuencias Relativas Acumuladas: Hi La siguiente tabla y el gráfico han sido obtenidos, usando el software MINITAB Tabla de frecuencias para la variable edad: Edad 18 19 20 21 22 23 24 Total

fi

Fi 5 9 13 10 7 4 2

50

Porcentaje 5 14 27 37 44 48 50

10.00 18.00 26.00 20.00 14.00 8.00 4.00 100.00

% Acumulado 10.00 28.00 54.00 74.00 88.00 96.00 100.00

Comentario: Se observa que el 26% de los estudiantes tienen 20años de edad mientras que solo un 4% tienen 24 años. También podemos ver que un 46% tienen entre 20 y 21 años.

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b) Histograma de Frecuencias

Distribución de los estudiantes según edad 25

Porcentaje

20

15

10

5

0

18

19

20

21 Edad (años )

22

23

24

c) Polígono de Frecuencias obtenido con SPSS

d) Tabla de frecuencias para Datos Agrupados.- Es apropiada cuando los valores distintos que toma la variable es muy numeroso. Se siguen los siguientes pasos: 1) Calcular el rango de la variable: R = Valor máximo – Valor mínimo 2) Elegir el número de intervalos de clases: K se sugiere entre 5 y 10 inclusive 3) Calcular la amplitud de los intervalos de clases: C C= R cuyo cociente en lo posible deberá ser exacto, caso contrario deberá K trabajarse con los llamados “excesos”

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Ejemplo 1: Los siguientes datos representan el contenido de yodo en la sangre de 40 pacientes adultos en µg/100cc. 8.6 9.2 4.6 5.9

9.5 6.5 3.8

6.5 7.3 7.0

7.4 5.5 8.1

10.5 5.6 5.9

6.8 5.1 7.3

7.7 4.4 5.5

5.9 10.2 5.5

7.0 6.5 4.5

7.3 7.5 3.5

5.1 5.8 5.6

4.3 5.8 5.7

7.9 5.3 5.8

Presente los datos en una tabla de frecuencias Solución Rango: R R = 10.5 – 3.5 = 7.0 K = 1 + 3.32 log 40 = 6.32

K = 5 ó 6 ó

Si k = 5

C = 7.0 = 1.4 5

Si

C = 7.0 = 1.0 7

k=7

7

Observamos que para ambos valores de K; hemos obtenido un cociente exacto Eligiendo K = 5 obtenemos la siguiente tabla de frecuencias según el Programa SPSS Yodo (µg/100cc) 3.5 - 4.9 4.9 - 6.3 6.3 - 7.7 7.7 - 9.1 9.1 - 10.5 TOTAL

Xi 4.2 5.6 7.0 8.4 9.8

fi 6 15 12 3 4 40

Fi 6 21 33 36 40

hi 0.150 0.375 0.300 0.075 0.100 1.000

Hi 0.150 0.525 0.825 0.900 1.000

Se observa que el 37.5% de los pacientes tienen un nivel de yodo en la sangre que varía entre 4.9 y 6.3 microgramos por 100 cc. También podemos decir que poco más del 50% han tenido entre 3.5 y 6.3 microgramos de yodo en la sangre.

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Ejemplo 2: Como control de la ética publicitaria, se requiere que el rendimiento en millas/ galón, de gasolina esté basado en un buen número de pruebas efectuadas en diversas condiciones. Al tomar una muestra de 50 automóviles se registraron las siguientes observaciones en millas por galón 35.6 32.0 29.5 30.3

27.9 28.5 28.7 33.5

29.3 27.5 23.0 30.5

31.8 29.8 30.1 30.6

22.5 34.2 30.5 35.1

34.2 31.2 31.3 28.6

32.7 28.7 24.9 30.1

26.5 30.0 26.8 30.3

26.4 28.7 29.9 29.6

31.0 33.2 28.7 31.4

31.6 30.5 30.4 32.4

Presente los datos en una tabla de frecuencias Solución: Rango: R R = 35.6 – 22.5 = 13.1 K = 1 + 3.32 log 50 = 6.64 Si k = 6

K = 6 ó 7 u C = 13.1 = 2.1833………… 6

:

2.2

:

1.9

Exceso E = (6 x 2.2) – 13.1 = 13.2 – 13.1 = 0.1 Si

k=7

C = 13.1 = 1.8714………… 7

8

28.0 33.7 27.9 31.2 31.3 32.7

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Exceso

Si

E = (7 x 1.9) – 13.1 = 13.3 – 13.1 = 0.2

k=8

C = 13.1 = 1.6375 8

:

1.7

Exceso E = (8 x 1.7) – 13.1 = 13.6 – 13.1 = 0.5 Eligiendo

K=6

por tener el menor exceso

Las frecuencias han sido obtenidas según el Programa SPSS Rendimiento (millas/galón) 22.5 - 24.7 24.7 - 26.9 26.9 - 29.1 29.1 - 31.3 31.3 - 33.5 33.5 - 35.7 T O T A L

Xi 23.6 25.8 28.0 30.2 32.4 34.6

fi 2 4 10 20 9 5 50

Fi 2 6 16 36 45 50

hi

Hi

0.04 0.08 0.20 0.40 0.18 0.10 1.00

0.04 0.12 0.32 0.72 0.90 1.00

Se observa que el 60% de los automóviles tienen un rendimiento entre aproximadamente 27 y 31.3 millas por galón de gasolina. Ejemplo 3 Los siguientes son los puntajes logrados en un examen de cierta asignatura por 50 estudiantes: 61 67 56 47

50 48 54 65

65 64 67 56

70 56 68 57

45 60 60 58

60 61 63 55

80 62 56 51

65 62 53 43

60 57 61 79

65 75 62 72

64 53 69 48

54 58 70

Presentar los datos en una tabla de frecuencias Solución R = 80 – 43 = 37 K = 1 + 3.32 log 50 = 6.64 Si

k=6

Exceso

:

7 C = 37 = 6.1666………… 6

E = (6 x 7) – 37 = 42 - 37 = 5

K = 6 ó 7 u

:

7

8

65 59 44

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Si

k=7

C = 37 = 5.2857……….. 7

:

6

Exceso E = (7 x 6) – 37 = 42 - 37 = 5 Si

k=8

Exceso Eligiendo

C = 37 = 4.625 8

:

5

E = (8 x 5) – 37 = 40 - 37 = 3 K = 8

por tener el menor exceso

Puntaje 42 – 46 47 – 51 52 – 56 57 – 61 62 – 66 67 – 71 72 – 76 77 - 81 Total

Xi 44 49 54 59 64 69 74 79

fi 3 5 9 12 11 6 2 2 50

Fi 3 8 17 29 40 46 48 50

hi 0.06 0.1 0.18 0.24 0.22 0.12 0.04 0.04 1

Hi 0.06 0.16 0.34 0.58 0.8 0.92 0.96 1

Poco menos de la mitad de los estudiantes (46%) han obtenido entre 57 y 66 puntos. TABLAS Y GRÁFICOS ESTADÍSTICOS DE DATOS PARA VARIABLES CUALITATIVAS O CATEGÓRICAS Ejemplo 1.- Se realizó un estudio para determinar la cantidad de personas que obtienen un empleo. La siguiente tabla incluye datos de 400 sujetos seleccionados al azar: Fuentes de empleo

Nº de sujetos

Porcentaje

Anuncios clasificados

56

14

Empresas de búsqueda de ejecutivos

44

11

Contactos profesionales Correo masivo

280 20

70 5

Total

400

100

Gráfico de Barras Simples ( EXCEL )

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Gráfico de Sectores Circulares ( EXCEL )

Diagrama de Pareto ( MINITAB )

100

100

80

80

60

60

40

40

20

20

0

0

Fuentes de Empleo

Porcentaje

Porcentaje

Fuentes de Empleo

Ejemplo 2.- La siguiente información se refiere al número de estudiantes matriculados en tres especialidades de Administración de Empresas, durante los años 2,000 y 2,005 Porcentaje Porcentaje % acumulado

70 70.0 70.0

14 14.0 84.0

11 11.0 95.0

5 5.0 100.0

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Especialidad Finanzas Marketing Contabilidad

2000 160 140 100

2005 250 200 150

Gráfico de Barras Dobles

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- Al contar el número de materias reprobadas por los alumnos de cierta Universidad, se han obtenido los siguientes datos: 1, 1, 2, 3, 2, 6, 0, 0, 1, 0, 4, 5, 0, 0, 0, 3, 2, 1, 3, 1, 1, 1, 0, 1, 2, 0, 0, 5, 4, 2. Construya una tabla de frecuencias y el histograma correspondiente. 2.- En un colegio “X” se piensa en la posibilidad de cambiar el timbre por unos acordes de música rock. Se ha preguntado a 20 alumnos cual es su opinión acerca de estos acordes, según la escala: No me gusta nada ( 1 ), Me gusta poco ( 2 ), Me es indiferente ( 3 ), Me gusta bastante ( 4 ) Me gusta muchísimo ( 5 ). Estos han opinado la siguiente manera (codificada): 5,

4,

1,

2,

2,

4,

2,

5,

3,

5,

3,

5,

1,

1,

3,

1,

2,

5,

3,

3

Construir la tabla de distribución de frecuencias adecuada para responder las siguientes preguntas: a) ¿A qué porcentaje de alumnos les gusta poco estos acordes? b) ¿A cuántos alumnos les gusta bastante los acordes? c) ¿Cuál es la proporción de alumnos a los que les es indiferente los acordes? d) ¿Cuál es la proporción de alumnos a los que les gusta poco o no les gusta nada los acordes? e) ¿Cuál es la proporción de alumnos a los que a lo más les gusta bastante los acordes?.

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3.- El gerente de una tienda comercial está interesado en el número de veces que 52 clientes han ido a comprar en su almacén durante un período de dos semanas. Los datos que se registraron fueron: 5 1 4 10

3 14 7 8

3 1 6 9

1 2 5 2

4 4 9 12

4 4 11 5

5 5 3 7

6 6 12 6

4 3 4 4

2 5 7 5

6 3 14 6

6 6 1 5

1 8 1

a) Organice los datos en un cuadro de distribución de frecuencias b) Presente los datos en una gráfica apropiada. 4.- Los siguientes datos proporcionan los ingresos anuales en miles de dólares de 50 personas: 7.9 30.0 42.0 18.0 12.0

10.3 25.5 41.9 24.9 8.3

45.7 50.0 35.0 20.0

9.5 17.1 11.7 28.0

43.0 25.5 55.3 28.5

56.0 43.5 27.0 36.4

38.0 31.6 58.4 39.5

6.7 59.0 57.0 5.0

48.0 41.5 29.6 9.0

30.5 13.5 38.5 5.0

25.0 12.0 26.0 6.9

40.0 9.2 16.5 7.0

a) Presentar dichos datos en una tabla de distribución de frecuencias, usando 6 intervalos de clase. b) Estime la proporción de ingresos que están entre 12,500 dólares y 52,500 dólares. c) Estimar la proporción de ingresos que están debajo de 50,000 dólares. 5.- Los siguientes datos son calificaciones en la prueba de Miller de personalidad de 82 estudiantes. 22 22 20 27 30 23 29 21 26 31 21 23 25 29 18 22 31 30 28 16 28 33 25 23 31 23 18 24 26 25 17 22 25 28 19 24 20 23 26 21 31 25 24 33 29 20 27 21 25 28 24 23 25 30 27 23 26 22 24 17 33 26 24 19 18 33 25 28 31 29 27 28 24 26 24 22 26 24 18 21 29 22 a) Organice los datos en un cuadro de distribución de frecuencias b) Presente los datos en una gráfica apropiada.

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6.- Cierto investigador especialista en salud pública afirma que el nivel de plomo en sangre en niños en edad escolar de una cierta región, se ha incrementado. Para verificar este supuesto se toma una muestra de 120 niños en edad escolar, obteniendo los siguientes resultados: 27.88 34.26 28.24 6.56 34.26 27.38 27.6 5.04 4.68 51.24

28.42 38.97 4.67 49.24 28.84 34.47 28.42 34.98 25.21 5.84

45.81 7.22 6.07 6.82 26.53 5.91 33.09 6.56 4.68 34.72

6.55 5.24 9.77 35.49 7.92 33.1 13.38 36.56 35 33.83

6.4 15.4 5.35 33.43 27.96 12.04 37.47 8.85 9.17 35.09

6.14 3.73 28.34 27.38 6.28 34.26 38.41 29.33 25.17 28.42

3.73 31.93 33.43 11.33 38.62 4.24 4.67 4.88 4.82 30.83

26.88 28.34 14.85 5.44 6.55 7.22 36.23 34.26 28.84 4.79

31.93 10.79 28.84 9.28 4.4 45.16 33.09 34.99 34.13 5.44

14.85 26.88 3.27 4.36 10.79 5.91 6.67 4.82 6.28 7.17

26.88 6.32 4.88 35.6 33.09 34.94 36.71 17.96 4.88 29.29

38.35 33.09 47 9.17 28.42 5.04 33.83 7.92 8.7 32.29

a) Construya una tabla de frecuencias b) Obtenga un histograma y polígono de frecuencias. 7.- Se hizo un estudio sobre el cangrejo Xantido referente al número de huevos puestos por individuo Las siguientes son las observaciones obtenidas para 45 cangrejos. 1959 2412 5099 8973

4534 7624 6627 849

7020 1548 4484 3894

6725 4801 5633 5847

6964 737 4148 9166

7428 5321 6588 4327

2802 6837 6472 5749

2462 8639 8372 1801

4000 7417 8225 4632

3378 6082 6142

7343 4189 10241 962 12130 9359

Presentar en una tabla de frecuencias usando 6 intervalos de clase cerrados. 8.- En marzo de 1995 la inversión extranjera en el Perú y de acuerdo al país de origen fue como sigue: España 46% Países Bajos 6% EE.UU. 16% Panamá 5% Reino Unido 8% Chile 4% Otros 15% Representar gráficamente dicha información. 9.- Una tienda comercial, ubicada en Lima Metropolitana, vende ropa de moda para damas y caballeros además de una amplia gama de productos domésticos. A continuación se presentan las ventas netas observadas durante los años del 2002 al 2006. Represente gráficamente dicha información. Año 2002 2003 2004 2005 2006

Ventas netas (millones de S/.) 500.0 519.2 535.8 560.9 544.1

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10.- Se ha hecho una encuesta para saber con qué regularidad se lee el periódico en Lima, y los resultados fueron estos: RESPUESTAS Todos los días Una vez por semana Una vez al mes Alguna vez al año Nunca No contesta a) b) c)

% 37.5 29 10.5 12 0.4

¿Qué tanto por ciento de personas respondieron “nunca”? Si las personas que no contestaron fueron 6, ¿cuántas personas fueron encuestadas? Las personas encuestadas, ¿son muestra o población?

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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL, MEDIDAS DE POSICIÓN,

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MEDIDAS DE DISPERSIÓN, ASIMETRÍA Y CURTOSIS.

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Ejercicios de Medidas de Tendencia Central 1.- Los salarios en una Empresa son en promedio S/. 380 semanales, con posterioridad se incorpora a la Empresa un grupo de trabajadores igual al 25 % de los que estaban anteriormente. El nuevo grupo ingresa a la Empresa con un salario medio igual al 60 % de los antiguos. Dos meses más tarde, la Empresa concede un aumento de salarios de S/. 50. Hallar el salario promedio del total de trabajadores. Solución: n1 : N º de trabajador es antiguos  x1 : Salario promedio de antiguos 0.25n1  n 2 : N º de trabajador es nuevos  x 2 : Salario promedio de los nuevos X p  Salario promedio de todos los trabajador es Sabemos que Xp 

x1  380

x 2  0.6(380)  228

n1 (380)  0.25 n1 ( 228)  349.6 1.25n1

 349.6  50  399.6

2.- En una Compañía que maneja cuatro productos; los márgenes de utilidad y las totales de ventas observados durante el año pasado aparecen en la siguiente tabla. Producto A B C D

Margen de utilidad 4.2 % 5.5 % 7.4 % 10.1 %

Venta total $ 30,000 $ 20,000 $ 5,000 $ 3,000

Calcule el margen de utilidad promedio.

Solución: Considerando que las ventas totales no son las mismas para cada producto, utilizaremos un promedio ponderado Xp 

0.042 (30,000)  0.055 ( 20,000)  ...................................  0.101 (3,000)  0.0523 30,000  20,000  ........................  3,000

Por lo que el margen de utilidad promedio será del 5.23 % 3.- Una fábrica tiene 3 máquinas. La máquina B produce la mitad de lo que produce la máquina A y la producción de la máquina C es inferior en un 20 % de lo que produce la máquina B. Los costos de producción por unidad son: 3, 4 y 5 soles para las máquinas A, B y C respectivamente. Se desea ganar el 20 % por unidad. Calcule el precio medio de venta.

Solución:

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Máquinas A B C

Costo por unidad S/. 3 4 5

Cantidad producida 2x x 0.8x

Precio de venta 3.6 4.8 6.0

3.6 (2 x)  4.8 x  6 (0.8 x)  4.42 soles 2 x  x  0.8 x

PV 

4.- El ingreso per cápita mensual de un país es $315. El sector público que constituye un 55% de la población percibe 18% del ingreso total. Calcule el ingreso medio por habitante del sector público y no público. Solución: Consideremos: Ingreso percápita : X p 

n1 x1  n 2 x 2  $315 n

Sector Público : n1  0.55 n

x1 

x

1

x



n1

1





Ingreso total  315 n

Sector no Público : n 2  0.45 n

 n1 x1 Ingreso total del Sector Público   x1  0.18 (315 n)  56.7 n

. luego x1 

x

1

n1



56.7 n  103.09 dólares ( Ingreso promedio del Sector Público) 0.55n

Ahora hallaremos el ingreso promedio del Sector no Público 315 

n1 x1  n 2 x 2 56.7 n  0.45 n ( x 2 )  n n



315  56.7  0.45 x 2

 x 2  574 dólares

5.- Un grupo de 200 estudiantes, cuya estatura media es de 60.96 pulgadas se divide en dos grupos, uno con estatura media de 63.4 pulgadas y otro con una estatura de 57.3 pulgadas. ¿Cuántos estudiantes hay en cada grupo?.

Sea n1 = Nº de hombres

Solución: Sabemos que además

luego

n1  n 2  200

X p  60.96 60.96 



y

n2 = Nº de mujeres

n1  200  n 2

X 1  63.4

( 200  n 2 ) 63.4  57.3 n 2 200

X 2  57.3 

n2  80

n1  120

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6.- Una estación de servicio automotriz gasta $500 en la compra de latas de aceite que cuestan $10 la docena; $500 en latas que cuestan $12.5 la docena; otros $500 en latas que cuestan $20 la docena y $500 en otras que cuestan $25 la docena. a) Determinar el costo promedio por docena de las latas de aceite. b) En promedio ¿Cuántas docenas de latas de aceite compró? Solución: a) Hallaremos el costo promedio por docena Monto Costo por docena 500 10 500 12.5 500 20 500 25 Total = 2000 X 

b)

Docenas compradas 50 40 25 20 135

2000 dólares  14.8 dólares / docena 135 docenas

Pr omedio de docenas compradas :

135  33.75 docenas 4

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Ejercicios de Medidas de Posición No Central

Ejemplo: Suponga que Juan obtiene 86 en la calificación de un examen de inglés. Si esta puntuación corresponde al percentil 90, entonces 90% de los estudiantes obtuvieron una puntuación menor que la de Juan y 10% de los estudiantes obtuvieron una puntuación mayor. Ejemplo:

Determine el percentil 85 en los sueldos mensuales de la tabla siguiente: Egresado

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Sueldo Mensual inicial

3450

3550

3650

3480

3355

3310

3490

3730

3540

3925

3520

3480

Ejemplo: Determine el percentil 50 en los sueldos mensuales: Egresado Sueldo Mensual inicial

1

2

3

4

5

6

3450

3550

3650

3480 3355 331 0

7

8

9

10

11

12

3490

3730

3540

3925

3520

3480

Ejemplo: Determine el cuartil 25 y 75 en los sueldos mensuales de la tabla siguiente: Egresado 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Sueldo Mensual inicial

3550

3650

3480

3355

3310

3490

3730

3540

3925

3520

3480

3450

Ejemplo: Determine el Deciles 1 y 7 en los sueldos mensuales de la tabla siguiente: Egresado Sueldo Mensual inicial

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

3450

3550

3650

3480

3355

3310

3490

3730

3540

3925

3520

3480

.4

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Ejemplo: En la tabla siguiente se muestra la distancia recorrida por 65 automóviles en un día. Calcular el percentil 35 de los datos agrupados. Distancia recorrida

Frecuencia

Frecuencia Acumulada

50-59 60-69 70-79 80-89 90-99 100-109 110-119

8 10 16 14 10 5 2

8 18 34 48 58 63 65

Ejemplo: En la tabla siguiente se muestra la distancia recorrida por 65 automóviles en un día. Calcular el cuartil 1 de los datos agrupados

Distancia recorrida

Frecuencia

Frecuencia Acumulada

50-59 60-69 70-79 80-89 90-99 100-109 110-119

8 10 16 14 10 5 2

8 18 34 48 58 63 65

Ejemplo: En la tabla siguiente se muestra la distancia recorrida por 65 automóviles en un día. Calcular el Decil 6 de los datos agrupados Distancia recorrida 50-59 60-69 70-79 80-89 90-99 100-109 110-119

Frecuencia 8 10 16 14 10 5 2

Frecuencia Acumulada 8 18 34 48 58 63 65

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EJEMPLOS QUE DEBEN DE RESOLVERSE EN CLASES 1. El tiempo de viaje (en horas) de 5 pasajeros es :11, 10, 14, 9 y 13, Calcular los percentiles 20,25 y 65 2. Millones de estadounidenses trabajan para sus empresas desde sus hogares. A continuación, se presenta una muestra de datos que dan las edades de estas personas que trabajan desde sus hogares. 18 54 20 46 25 48 53 27 26 37 40 36 42 25 27 33 28 40 45 25 ¿Calcule el percentil 50, cuartil 2 que conclusiones puede observar luego de efectuar el cálculo? 3. Se analizan los salarios en una de las áreas de una compañía y se obtiene información de 7 salarios en nuevos soles: 850.000, 740.000, 1350.000, 5565.000,750.000, 650,000, 680.000. Calcular los deciles 6, 8 y 9. 4. En el Curso de estadística de un centro de formación bancaria se obtuvieron las notas de 15 estudiantes, las que se detallan a continuación: 12, 14, 15, 13, 16, 17, 19, 11, 13, 15, 16, 18, 13, 17, 14. Calcule el Percentil 45, cuartil 3 y decil 8 de las notas de los estudiantes. 5. Se analizó el impuesto que se aplica, en diversos países de Asia, a la compra de instrumento de Musical. Los resultados obtenidos fueron los siguientes: Intervalo (años)

Frecuencia (fi)

50-54 54-58 58-62 22-66 66-70 70-74 74-78 Total

7 10 16 20 18 11 8 90

Calcule el percentil 36, el cuartil 2 y el decil 3.

Frecuencia Acumulada (Fi) 7 17 33 53 71 82 90

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6. Se ha pasado un examen de 79 preguntas a 600 personas. El número de respuestas correctas se refleja en la siguiente tabla: Repuestas

Frecuencia (fi)

0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80

40 60 75 90 105 85 80 65

Frecuencia Acumulada (Fi) 40 100 175 265 370 455 535 600

Obtener los percentiles, cuartiles y deciles 30, 1 y 18 respectivamente

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Ejercicios de Medidas de Dispersión 1.- El coeficiente de variación de los ingresos mensuales de 100 empleados de una compañía es 0.6. Después de un aumento general de S/. 90 mensuales para cada uno de los trabajadores de la compañía, el coeficiente de variación es ahora de 0.55. Determinar la cantidad de dinero que necesitará mensualmente la compañía para pagar los sueldos después de hacer efectivos los aumentos. Solución:

Sea X: Sueldos antes del aumento

Antes

C.V 

Después

S  0.6 X

luego

C.V 

S  0.55 X  90

S  0.6 X

Igualando

las

S  0.55 ( X  90

desviacion es

0.6 X

 0.55

( X  90)

0.6 X

 0.55

X  49.5

entonces X  90  Luego : Dinero total



1080 para

estándar

0.05 X

S

 49.5



( Sueldo promedio pagar los sueldos

X

 990

actual ) será

2.- Una muestra de 70 datos da una media de 120 y una desviación estándar de 6; otra muestra de 30 datos da una media de 125 y una desviación estándar de 5. Se reúnen las dos muestras formando una sola muestra de 100 datos. Calcule el coeficiente de variación de esta muestra de 100 datos. Solución: Se tiene que:

Hallaremos :

C.V . 

en este caso

X 

n1  70

n2  30

X 1  120

X 2  125

S1  6

S2  5

S X n1 X 1  n 2 X 2 = n1  n2

70 ( 120 )  30 ( 125 )  121.5 70  30

(S

100(10

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S2 

Sabemos que :

X2 

 X 

n 1

2

n

en este caso por tratarse de dos grupos :

S12 

S 22 

 X 12 

 X 

2

1

n1

 36 

n1  1

 X 22 

Luego

 X  2

2

n2

 25 

n 2

S2 

1479959  12150

Por lo tan to C.V 

99

S2 

 X

70



X



X

6.14 x 100%  5.05% 121.5

2 1

 1010484

2

30

2

100  37.72

1

2

69

29

 X X  X   2 2

n 1

 X 12   8400

 X 22   3750

2 1

 S  6.14

2 2

 469475

2

2

n

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EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- Una firma comercial afirma que el salario promedio mensual pagado a su personal es de $640, esto sugiere que dicha firma paga bien. Sin embargo, un análisis posterior indicó que se trata de una pequeña empresa, que emplea 4 jóvenes con haberes mensuales de $300 c/u y el gerente general con un haber de $2000 mensuales. ¿Ud. puede seguir afirmando que la firma paga bien? 2.- En cierto hospital se encuentran en observación en el Departamento de Urología: 5 adultos de 51 kg de peso; 8 de 53; 10 de 62; 7 de 64; 3 de 70; 8 de 72; 15 de 75 y 2 de 79 kg de peso. Hallar la mediana y la moda. Interprete. 3.- Las temperaturas medias de 40 días del año, registradas en la localidad de Monteagudo han sido: (en grados centígrados): -9 -8 -5 -2 2 1 6 7 9 12 13 17 16 15 18 17 14 17 23 22 25 25 28 26 29 31 35 38 37 36 29 25 24 18 16 8 7 3 -1 -3 a) Construya la tabla de frecuencias clasificando la temperatura en cinco clases. b) Calcule la media aritmética c) ¿Cuántos días han registrado temperaturas entre X  8º C y X  8º C d) ¿Cuál es el porcentaje de días con temperaturas entre  3º C y 33º C ? e) ¿Cuál es la proporción de días con temperaturas mayores a 26ºC ?. 4.- Una población industrial tiene 4 fábricas: M, N, O y P. Los 50 obreros de la fábrica M ganan, en promedio $24 por día; los 35 obreros de N, $38 por día, los 25 obreros de O, $43 por día y los 72 empleados de P, $36 por día. Hallar el ingreso promedio por día de esa población industrial. Rpta. 34.05 5.- Ciertos inspectores de salubridad examinan toneladas de mariscos. El inspector A examinó 30 toneladas de las cuales 10 no sirven. El inspector B examinó 50 de las cuales 40 están en perfectas condiciones. El inspector C examina 80 de las cuales el 25% no sirve. ¿Qué porcentaje de los mariscos están en buenas condiciones?. Rpta. 75% 6.- Para evaluar como influye el consumo de alcohol en el deterioro de la inteligencia, se realizó una investigación en la ciudad de Trujillo sobre un cierto número de personas de entre 25 y 55 años. Se tomó entre otras técnicas el test de Wais que mide el CI; los resultados obtenidos se muestran en la tabla. ¿Se puede calcular la mediana? ¿y la moda? de ser así hallar el valor de dichos estadígrafos e interpretar los resultados obtenidos. Rpta. Me = 121.5 C. Intelectual Hi

100-110 110-120 120-130 130-140 140-150 0.14 0.44 0.85 0.97 1.00

7.- Seis mecanógrafas escriben a las siguientes velocidades 45, 37, 30, 38, 35 y 42 palabras por minuto. Si cada una de ellas escribe un mismo texto calcular la velocidad media. Rpta. 37.2 palab/min 8.- Las notas de 50 alumnos se clasificaron en una tabla de frecuencias con siete intervalos de clase de igual amplitud. Se pide calcular la mediana y la moda sabiendo además que: x 5 = 75; f2 = f5 = 7; F1 = 6; f7 = 4; F3 = 22; F5 = 41 y x = 62.6.

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9.- Hallar e interpretar la moda de la distribución siguiente: Intervalo de clase Frecuencia absoluta

34 -36 2

10.- Dado los siguientes datos: 20, Hallar: Me, Mo, Q3, y P85

9,

36 - 38 5 25,

4,

38 - 40 30 13,

15,

40 - 42 40 20,

27,

42 - 44 20 22,

18,

44 – 46 3 30,

7,

10 .

11.- De las mediciones biométricas efectuadas con cierto número de estudiantes se han extraído los siguientes datos: Los varones de 17 años tienen un peso medio de 60.8 kg. con una desviación estándar de 6.69 kg. Los varones de 10 años tienen un peso medio de 30.5 kg y una desviación estándar de 5.37 kg A partir de los datos anteriores se puede afirmar que el peso es más variable a los 10 años que a los 17 años. Rpta. Efectivamente el peso es más variable a los 10 años 12.- Se tiene la siguiente información sobre una distribución de frecuencias de los pesos en kg de 50 elementos de un determinado material. La amplitud de los intervalos de clase es igual a 20: [Li-1 - Li>

xi

fi

Fi

xifi 850 1710 27 2730

9 - 260

1500 50

a. b. c. d.

Realiza el histograma de frecuencias absolutas y el polígono de frecuencias. Determinar la media y la mediana. Hallar el número de datos que se estima pertenezcan al intervalo [200, mediana]. Hallar el primer cuartil y el 85avo percentil. Interpretar los resultados obtenidos.

13.- Suponga que la siguiente tabla de distribución representa los salarios diarios de los trabajadores de construcción civil de Lima: Salarios diarios (en S/.) De 24 a 36 De 36 a 42 De 42 a 60 De 60 a 72 De 72 a 84 De 84 a 96 Total

Frecuencia 360 420 510 660 570 480 3000

a. El sindicato de construcción civil solicita que en el nuevo pacto colectivo se establezca un salario diario mínimo de S/. 42. ¿Qué porcentaje de trabajadores se beneficiarán con este pacto? b. Los trabajadores que reciben más de 90 soles diarios, se supone son muy calificados (maestros de obra). ¿Cuál es ese porcentaje? c. Estime el número de trabajadores que ganan entre 45 y 81 soles diarios.

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14.- En la tabla siguiente se tiene los datos del número de seguidores de diferentes religiones en el mundo, según una estimación de www.adherents.com a. Elaborar la distribución de frecuencias relativas b. ¿Se puede calcular la media, la mediana o la moda de estos datos? Si es así, obtenerlos y explicar el significado de tus cálculos. Religión Cristianismo Islam Hinduismo Ateos-agnósticos-sin religión Budismo Confucionismo / Maoísmo Animismo y religiones tradicionales africanas Otras Total

Millones de personas 2000 1300 900 850 360 225 245 93 5880

15.- Dada la siguiente distribución respecto a edades de un grupo de personas: 18, 39, 33, 28, 29, 40, 21, 26, 23, 48, 22, 43, 24, 46, 19, 27, 38, 12, 36, 32. Calcular e interpretar: Q1, y P87. 16.- El Ministerio de Educación realiza un estudio para determinar el monto de las subvenciones anuales entregadas a colegios de Arequipa. Para ello selecciona una muestra de 40 de ellos; los montos por subvención son los que a continuación de se detallan (expresados en millones de soles):

Subvención (millones de soles) 6–7 7–8 8–9 9 – 10 10 – 11 11 – 12 12 – 13 13 – 14 14 – 15

Nº colegios 1 5 3 4 5 7 5 7 3

Calcular e interpretar: a. b. c.

La subvención mínima del 25% de los colegios con mayor subvención. La subvención máxima del 40% de los colegios con menor subvención El numero de colegios del intervalo [P40, P85].

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17.- Cierta fábrica tiene un departamento de producción y otro de ventas. Las tablas que se muestran a continuación muestran los salarios percibidos hasta fines de mayo de este año (expresado en miles de soles): Dpto. producción Nº Intervalos trabajadores 1 – 1.5 12 1.5 – 2 28 2 – 2.5 32 2.5 – 3 24 3 – 3.5 12

Dpto. ventas Intervalos 6-8 8 – 10 10 – 12 12 – 14 14 – 16

Nº trabajadores 4 6 12 15 3

a.

Hallar la desviación típica correspondiente a cada departamento.

b.

Determinar cual de los departamentos presenta mayor dispersión relativa.

18.- Dos países son igual de ricos, porque tienen la misma renta per cápita (o renta media), de 8.000 dólares al año. Pero en el país A la desviación típica es de 1.000 dólares y en el país B es de 4.000 dólares. ¿Qué podemos decir sobre la distribución de la riqueza de ambos países gracias a este dato? 19.- Los pesos de los jugadores de un equipo de fútbol son los siguientes: 76 78 82 71 68 71 a. Calcula el peso medio del equipo. b. ¿Cuál es la mediana?

75

72

81 75

20.- Determinar la varianza del conjunto de observaciones x 1, x2, x3, x4, x5, a los cuales se les ha restado 4, obteniéndose el siguiente conjunto: 3, 0, 2, 4, 1. 21.- Se ha realizado un estudio a través de una prueba que mide el CI (coeficiente de inteligencia) de 90 personas. Los resultados se recogen en la tabla siguiente: C. Intelectual Nº de estudiantes

100-110 110-120 120-130 130-140 140-150 10

26

40

12

2

a) ¿Qué porcentaje de personas tuvieron a lo más un CI de 118?. Rpta. 34.4% aprox b) ¿Cuál es el CI mínimo que se requiere tener para pertenecer al quinto superior? Rpta. 129 22.- Un comerciante vende cinco tipos de limpiadores para desagües. En la tabla se muestra cada tipo junto con la utilidad por lata y el número de latas vendidas. Limpiador A B C D E

Utilidad por lata $ 2.00 3.50 5.00 7.50 6.00

Calcular la utilidad promedio por lata.

Volumen de ventas en latas 3 7 15 12 15

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23.- En una clase hay 70 estudiantes varones con una edad promedio de 21.8 años y 30 mujeres las cuales en promedio son 15% más jóvenes. Calcular la edad promedio de los estudiantes. Rpta. 20.82 24.- Los siguientes datos son los haberes básicos en dólares del mes de agosto de 20 empleados de un Ministerio. 210 180

200 230

220 210

150 160

190 140

100 180

160 120

150 200

170 190.

190

150

Para el mes de setiembre se decreta un aumento del 10% sobre los haberes del mes de agosto y un descuento del 2% de los haberes del mes de setiembre pro fondos de compensación social. Se pide calcular la media y la desviación estándar de los nuevos haberes. Rpta. 188.65 y 35.51

25.- El cuadro siguiente presenta la distribución (en porcentajes) de volúmenes de ventas anuales en las empresas de cerámicas de la provincia de Lima durante el año pasado: Ventas (dólares) Menos de 2500 2500 – 5000 5000 – 10000 10000 – 20000 20000 – 40000 40000 – 100000 100000 – 250000 250000 – 500000 500000 ó más

Empresas (%) 19,8 13,2 13,0 17,7 11,0 14,4 8,5 1,8 0,6

a) Calcule el volumen de venta promedio anual de las empresas b) Determine el volumen de ventas mínimo observado por el 25% de las empresas que registraron mayores ventas. 26.- Se pretende lanzar un producto del hogar al mercado para ser vendido en las grandes tiendas de Lima. Se hizo una encuesta en la salida de dichas tiendas a 200 personas y se le preguntó por el precio que estarían dispuestos a pagar por el producto. Los resultados fueron los siguientes: Precio (soles) 1400 - 1800 1800 - 2200 2200 - 2600 2600 - 3000 3000 - 3400 Total

Nº de personas 40 45 44 39 32 200

a) Determine el precio promedio que una persona está dispuesto a pagar por el producto.

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b) El precio mínimo en que conviene lanzar el producto al mercado es de S/. 2180 y solo se lanzará si por lo menos la mitad de los encuestados están dispuestos a pagar dicho precio. ¿Qué decisión se toma según la información anterior?. 27.- Los precios de una artículo, el mes pasado tenía una media de S/. 45.8 y una desviación estándar de 8.2. En el presente mes hubo un aumento en los precios equivalente a un 3 % de los precios del mes pasado. Calcule los nuevos valores de la media y la desviación estándar.

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ASIMETRÍA Y CURTOSIS

ASIMETRÍA

Recuperado de: http://www.spssfree.com/curso-de-spss/analisis-descriptivo/medidas-de-distribucion-curtosisasimetria.html

Índice de Simetría de Pearson

As0 Asimetría positiva El coeficiente varía de -3 y 3 Si: As0 Distribución Asimetría positiva b) Medida de Yule Bowley o Medida Cuartílica

La medida de Bowley varía entre -1 y 1 Si: As0 Distribución Asimetría positiva

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c) Medida de Fisher Datos sin agrupar:

Cálculo en el SPSS:

CURTOSIS K0 Leptocurtica

Recuperado de: http://www.spssfree.com/curso-de-spss/analisis-descriptivo/medidas-de-distribucion-curtosisasimetria.html

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Ejercicios La Dirección General de ESSALUD está interesada en estudiar los casos de varicela en los niños. Para ello selecciona una muestra aleatoria de niños que acaban de salir del proceso de la enfermedad (grupo I) del distrito de Miraflores y otro grupo de niños que (grupo II) del distrito de Breña. Se registró la edad en que se presentó la mencionada enfermedad en ambos grupos de niños. Los datos se muestran a continuación: Grupo I

1

2

4

1

Grupo II

2

7

7

8

1=2

= 1.5

2=6

= 5.5

Calcule los índices de asimetría y curtosis para cada grupo de niños

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Los siguientes datos corresponden a la cantidad de goles realizados por el Club Alianza Lima en el último Torneo de la Copa Perú. 2

5

3

4

1

2

0

3

4

2

Determine el coeficiente de asimetría y curtosis. Realice la gráfica respectiva. 2. Se evalúo a una sección estudiantes que llevaron el curso de Estadística en el Ciclo

Verano de una Universidad Peruana. Determine el tipo de distribución que presentan los siguientes datos. Notas 0–5 5 – 10 10 – 15 15 - 20 Total

fi 3 5 12 10

3. Los siguientes datos corresponden al número de hijos de las trabajadoras del sexo

femenino del Centro de Salud “El Olivar” Número de hijos 0 1 2 3 4 5 6

Número de trabajadoras 13 20 25 20 11 7 4

Analiza la forma de la distribución calculando los coeficientes adecuados.

4. Se evaluó a un grupo de estudiantes de la carrera de Estomatología para establecer la

cantidad de piezas dentales extraen por día. 2

1

3

3

4

Determine el tipo de distribución que presentan los datos.

5

7

2

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PROBABILIDADES DISTRIBUCIONES: BINOMIAL, POISSON, NORMAL, MUESTRAL.

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OPERACIONES CON EVENTOS Y PROBABILIDADES 1.- En una compañía hay 6 varones y 4 damas que aspiran a ser miembros de un comité. Si se debe escoger dos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) Los dos sean hombres b) Sean un hombre y una mujer o dos mujeres. Solución: a) Sea el evento A = {Los dos sean hombres}

6   2 1  P(A)    10  3   2  b) Sean los eventos: B = {Sean un hombre y una mujer}

C = {Sean dos mujeres} luego hallaremos:

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64 4       1 1 2 246 2 (BP C)  BP )(  CP )(  (BP C)   1 0  4 5 3   2  2.- Un lote contiene 100 artículos de los cuales 20 son defectuosos. Se inspecciona del siguiente modo. Se sacan 5 artículos del lote: si los 5 son buenos se acepta el lote; en otro caso se rechaza. ¿Cuál es la probabilidad de rechazar el lote?. Solución:

Sea X: Nº de artículos defectuosos en la muestra de tamaño 5

P(Rechazar el lote) = P ( X = 1 ) + P ( X = 2 ) + P ( X = 3 ) + P ( X = 4 ) + P ( X = 5 ) = 1 – P ( X = 0 ) = 1 – P ( Aceptar el lote )

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 80    5  en donde P(Aceptar)  0.32  P(Rechaz r)  1 0.32  0.68  10    5  3.- Un recién graduado solicita empleo en la compañía A y en la B. Se estima que la probabilidad de ser contratado por A es 0.7 y de ser contratado por B es 0.5. En tanto que la probabilidad de que se rechace por lo menos una de sus solicitudes es de 0.6. ¿Cuál es la probabilidad de ser contratado al menos por una de las compañías? Solución

Sean los eventos:

A  {El recien graduado sea contratado por la compañía A}  B  {El recien graduado sea contratado por la comañía B } 

P ( A )  0.7 P ( B )  0.5

A'  B '  {Sea rechazado en al menos una de las compañías}  P ( A'  B ' )  0.6 Hallaremos P ( A  B )  P ( Sea contratado en al menos una de las compañias) P( A  B )  P ( A )  P( B )  P( A  B ) Por otro lado P ( A' B ' )  P ( A  B )'  1  P ( A  B )  0.6  P ( A  B )  0.4 Luego P ( A  B )  0.7  0.5  0.4  0.8

4.- Suponga que en un sorteo la probabilidad de ganar el primer premio es 2/5 y la de ganar el segundo premio es 3/8. Si la probabilidad de ganar al menos uno de los dos premios es 3/4. Calcular la probabilidad de ganar: a) Sólo uno de los dos premios b) Ninguno de los dos premios Solución

Sean los eventos:

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2 5 3 B   Ganar el segundo premio   P( B )  8 A  B   Ganar al menos uno de los dos premio   P( A  B )  3 / 4 P( A  B )  P( A )  P ( B )  P ( A  B ) 3 / 4  2 / 5  3 / 8  P( A  B )  P( A  B )  1 / 40 A   Ganar el primer premio



15 40

Luego

P ( A B '  B A' ) 

 P( A ) 

1 40

14 40

15  14 29   0.725 40 40

b) P( A'  B' )  P ( A  B )'  1  P ( A  B )  1  3 / 4  1 / 4  0.25 5.- Un banco de sangre dispone de 10 unidades de sangre tipo A. De ellas cuatro están contaminadas con suero de hepatitis. Se seleccionan aleatoriamente 3 de estas unidades para utilizarlas con tres pacientes diferentes. a) ¿Cuál es la probabilidad de que los tres pacientes estén expuestos a contraer hepatitis por esta razón? b) ¿Que al menos dos de ellos no estén expuestos a contraer hepatitis? Solución: a) P ( X = 3 )

en donde X: Nº de pacientes expuestos a contraer hepatitis

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 4   3 4  P( X 3)   0. 3 10 120   3 

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b) P ( X  2 )  P  X  2 )   P ( X  3 ) 6  4     2 1  60 P( X 2)   10 120   3 

60  20 Luego P ( X  2 )   .0 667 120

X : N º de pacientes no expuestos a contraer 6   3 20 P ( X  3)   10 120   3 

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b) P ( X  2 )  P  X  2 )   P ( X  3 ) 6  4     2 1  60 P( X 2)   10 120   3 

60  20 Luego P ( X  2 )   .0 667 120

X : N º de pacientes no expuestos a contraer 6   3 20 P ( X  3)   10 120   3 

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PROBABILIDAD CONDICIONAL Se trata de dos eventos A y B definidos en un mismo espacio muestral, en donde uno de ellos (evento B) ya ocurrió, es decir se conoce su resultado.

P( A / B ) 

P ( A �B ) P( B )

Ejemplo 1.- Una cierta compañía compra insumos de tres proveedores A, B y C. Proveedor A abastece con 40% de los insumos, de los cuales el 8% son defectuosos. Proveedor B abastece con el 35% de los cuales el 9% son defectuosos. Proveedor C abastece con el 25% de los cuales el 10% son defectuosos. Si se elige un insumo al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que este sea defectuoso? b) Si el insumo salió defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido adquirido del proveedor A? Solución:

Proveedor

Calidad

Total

Defectuoso No Defectuoso A

0.032

0.368

0.40

B

0.0315

0.3185

0.35

C

0.025

0.225

0.25

Total

0.0885

0.9115

1.00

a) Según la tabla: P (Defectuoso) = 0.0885

b) P ( A / D ) 

P( A  D ) 0.032   0.36 P( D ) 0.0885

OTRO MÉTODO: DIAGRAMA DEL ÁRBOL D P(D/A) = 0.08 A

P(D’/A) = 0.92

P(A) = 0.40 D’ P(B)=0.35

P(D/B) = 0.09 B

D

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P(D’/B) = 0.91 P(C) = 0.25 D’ C

P(D/C) = 0.10 D P(D’/C) = 0.9 D’

a) Ahora hallaremos la probabilidad de obtener un artículo defectuoso P ( D )  P ( A ) P ( D / A )  P ( B ) P ( D / B )  P (C ) P ( D / C ) P ( D )  (0.40 x 0.08 )  (0.35 x 0.09 )  (0.25 x 0.10 )  0.0885

b) Ahora hallaremos la probabilidad que un artículo sea proveniente del proveedor A, sabiendo que el artículo seleccionado salió defectuoso. P( A / D ) 

P( A  D ) P( A ) P( D / A ) 0.40 x 0.08    0.36 P ( D) P( D ) 0.0885

Ejemplo 2.- Una cierta prueba médica tiene una efectividad de 99% para descubrir la presencia o no de una enfermedad (resultado positivo cuando realmente lo tiene o negativo cuando realmente no lo tiene). Se aplica masivamente la prueba a una población en la cual hay 1% de individuos con la enfermedad; se desea saber qué porcentaje de los individuos con resultados positivos tendrán efectivamente la enfermedad.

Solución: Sean los eventos

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P  { Re sultado sea posiivo } E  { Persona tenga la enfermedad }



P ( E )  0.01

E Se pide hallar P   P Se sabe que :

P E  P P P    0.99  P E  E  P' P  E '  P '   0.99  P  E ' PE'   







P E  P



 0.99 x 0.01  0.0099

P  E '  P '  0.99 x 0.99  0.9801

Total

Tiene la enfermedad: E

No tiene la enfermedad: E’

Resultado Positivo: P

0.0099

0.0099

0.0198

Resultado Negativo: P’

0.0001

0.9801

0.9802

0.01

0.99

1.000

Total

Luego

PE  P  0.0099 E P     0.5 PP  0.0198 P

MÉTODO DEL DIAGRAMA DEL ÁRBOL: P P ( P/E ) = 0.99 E

P ( P’/E ) = 0.01

P ( E ) = 0.01 P’ P P ( E’) = 0.99

P ( P/E’ ) = 0.01 E’ P ( P’/E’) = 0.99 P’

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Ahora hallaremos la probabilidad que un resultado sea positivo, sabiendo que realmente tiene la enfermedad.

P (E / P ) 

P (E  P ) P (E ) P (P / E ) 0.01 x 0.99    0.50 P(P) P (P ) 0.0198

EVENTOS INDEPENDIENTES Son eventos en donde el resultado de uno de ellos en nada afecta al resultado del siguiente evento o que en nada se ve afectado por el resultado del evento que le antecedió. Ejemplo 1.- La proporción general de artículos defectuosos en un proceso continuo es 0.10. Cuál es la probabilidad de que elegidos dos al azar: a) Ninguno sea defectuoso b) Cuando menos uno no tenga defectos Solución

Sean los eventos:

A   El artículo A tenga defectos   P ( A )  0.10 B   El artículo B tenga defectos   P ( B )  0.10 A'   El artículo A no tenga defectos  B '   El artículo B no tenga defectos



 P ( A' )  0.90  P ( B ' )  0.90

a) Hallaremos la probabilidad que ninguno sea defectuoso P ( A'  B ' )  P ( A' ) x P ( B ' )

Por ser eventos independientes

 0.90 x 0.90  0.81

b) Ahora hallaremos la probabilidad de que cuando menos uno no tenga defectos P ( A'  B ' )  P ( A  B )'  1  P ( A  B )  1  ( 0.10 ) x ( 0.10 )  1  0.01  0.99 OtroMétodo : Esto implica que por lo menos uno de los dos artículos no tenga defectos  P ( A'  B )  P ( A  B ' )  P ( A'  B ' )  ( 0.09 ) ( 0.10 )  ( 0.10 x 0.90 )  ( 0.90 ) ( 0.90 )  0.99

Ejemplo 2.- La probabilidad de que se alivie un resfriado con el antibiótico A es de 0.7 y con el antibiótico B es de 0.8. Se tienen dos pacientes resfriados, uno toma el antibiótico A y el otro el B. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) Ambos se curen b) Uno se cure y el otro no se cure

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Solución

Sean los eventos:

A   El paciente A se cure con el antibiótico A   P ( A )  0.70 B   El paciente B se cure con el antibiótico B   P ( B )  0.80 A '   El paciente A no se cure con el antibiótico A   P ( A' )  0.30 B '   El paciente B no se cure con el antibiótico B



 P ( B ' )  0.20

a) Hallaremos la probabilidad de que ambos pacientes se curen P ( A  B )  P ( A ) x P ( B )  0.7 x 0.8  0.56

b) Ahora hallaremos la probabilidad de que uno se cure y el otro no se cure P( A  B ' )  P( A'  B )  P ( A ) x P ( B' )  P ( A' ) x P ( B )  ( 0.7 x 0.2 )  ( 0.3 x 0.8 )  0.14  0.24  0.38

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EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- En un grupo de alumnos de la especialidad de contabilidad se ha determinado de que el 40 % tienen dificultades en el curso de análisis matemático (M), 20% tienen dificultades en el curso de estadística aplicada (E) y el 5% tienen dificultades en ambos cursos (M y E). De este grupo de alumnos de contabilidad seleccionamos uno al azar se pide contestar preguntas a) Calcular la probabilidad de que tenga dificultad en el curso de análisis matemático o estadística aplicada. b) Calcular la probabilidad de que el alumno tenga dificultad en el curso de estadística dado que tiene dificultad en el curso de análisis matemático. c) Calcular la probabilidad de que el alumno de contabilidad no tenga dificultad en el curso de análisis matemático ni en el curso de estadística aplicada. 2.- A continuación se presenta una tabla en el cual se han clasificado a 100 alumnos según hábito de fumar y rendimiento en el curso de matemática: De este grupo seleccionamos un estudiante al azar, se pide contestar las preguntas: a) Calcular la probabilidad de que tenga un rendimiento malo en matemáticas dado de que fuma cigarrillos.

Hábito de fumar

Rendimiento en matemáticas Malo Bueno

Total

Si

25

5

30

No

15

55

70

Total

40

60

100

b) Calcular la probabilidad de que no fume cigarrillos si se sabe que tiene un buen rendimiento en matemáticas. 3.- La UCS recientemente lanzó una campaña publicitaria para el examen de admisión 2012, instalando cuatro anuncios panorámicos en la panamericana norte. Se sabe por experiencia que la probabilidad de que el primer anuncio sea visto por un conductor es de 0.75. La probabilidad de que el segundo sea visto es de 0.82, la probabilidad para el tercero es de 0.87 y la del cuarto es de 0.90. Suponiendo que el evento de que un conductor vea uno cualquiera de los anuncios publicitarios es independiente de si ha visto o no los demás. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) Los cuatro anuncios sean vistos por un conductor? b) El primero y el cuarto sean vistos, sin que el segundo y el tercero sean notados? c) Exactamente uno de los anuncios sea visto? d) Ninguno de los anuncios sea visto? e) El tercero y cuarto anuncios no sean vistos? 4.- Se estima que el 30% de los habitantes de EE.UU son obesos y que el 3% sufre de diabetes. El 2% son obesos y sufren de diabetes. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar. a) Sea obesa o sufra de diabetes? Rpta. 0.31 b) Sea obesa pero no sufra de diabetes?. Rpta 0.28 5.- De todos los pacientes con cáncer, el 52% son mujeres. El 40% de todos los pacientes sobrevive al menos 5 años desde el momento del diagnóstico. No obstante, esta tasa de sobrevivencia es válida solamente para el 35% de las mujeres. ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente con cáncer seleccionado aleatoriamente sea mujer y sobreviva al menos 5 años?. Rpta. 0.182

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6.- Una empresa constructora del programa MI VIVIENDA descubrió que sólo el 20% de todos los trabajos se terminaban a tiempo; mientras que el 30% sufrían sobrecostos. Además, los sobrecostos se presentaban el 75% de las veces en las que se terminaban el trabajo a tiempo. El propietario de la empresa desea conocer la probabilidad de que un trabajo: a) Tenga sobrecostos y se termine a tiempo Rpta. 0.15 b) Tenga sobrecostos o se termine a tiempo. Rpta. 0.35 c) Se termine a tiempo, dado que no tiene sobrecostos. Rpta. 0.0714 7.- La distribución de los tipos de sangre en EE.UU entre los individuos de raza blanca es aproximadamente la siguiente: A: 40% B = 11% AB = 4% O = 45% Tras un accidente automovilístico, un individuo de raza blanca es conducido a una clínica de emergencia. Se le hace un análisis de sangre para establecer el grupo al que pertenece. ¿Cuál es la probabilidad de que sea del tipo A o del B? Rpta. 0.51 8.- En un estudio sobre alcohólicos se informa que el 40% de los mismos tiene padre alcohólico y que el 6% tiene madre alcohólica. El 42% tiene al menos uno de los padres alcohólicos. ¿Cuál es la probabilidad de que elegido uno al azar: a) Tenga ambos padres alcohólicos. Rpta. 0.04 b) Tenga un padre alcohólico, pero no una madre alcohólica. Rpta. 0.36 c) Tenga una madre alcohólica, si el padre no lo es. Rpta. 0.033 9.- De 1000 jóvenes de 18 años, 600 tienen empleo y 800 son bachilleres. De los 800 bachilleres, 500 tienen trabajo. ¿Cuál es la probabilidad de que un joven de 18 años tomado aleatoriamente sea: a) Un bachiller empleado b) Empleado pero no bachiller c) Desempleado o un bachiller d) Desempleado o no bachiller 10.- El Sr. Conti, propietario de un restaurante, ha mejorado la infraestructura para una buena presentación. Observa que el 25% de todos los autos que pasan por allí, se detienen para consumir algún alimento. a) ¿Cuál es la probabilidad de que los próximos cuatro carros se detengan? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer auto pare, que el segundo y tercero no lo hagan y el cuarto pare? 11.- LLusol compra tres acciones diferentes. La probabilidad de que la primera aumente su valor es 1/3, la probabilidad de que la segunda aumente es de 3/4 y la probabilidad de que la tercera aumente su valor es de 1/10. Determine la probabilidad de que: a) Todas aumenten de valor b) Una aumente su valor 12.- Con base en su experiencia un médico ha recabado la siguiente información, relativa a

las enfermedades de sus pacientes: 5 % creen tener cáncer y lo tienen; 45 % creen tener cáncer y no lo tienen; 10 % no creen tener pero sí lo tienen; y finalmente 40 % creen no tenerlo, lo cual es cierto. De entre los pacientes del doctor se seleccionó uno al azar a) Cuál es la probabilidad que el paciente tenga cáncer?. Rpta. 0.15 b) Cuál es la probabilidad de que el paciente tenga cáncer, si cree no tenerlo?. Rpta. 0.2 13.- Se estima que el 15 % de la población adulta padece de hipertensión, además se sabe que el 75% de todos los adultos creen no tener este problema. Se estima también que el 6 % de la población tiene hipertensión pero no es consciente de padecer dicha enfermedad.

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a) Si un paciente adulto cree que no tener hipertensión. ¿ Cuál es la probabilidad de que la enfermedad, de hecho exista?. Rpta. 0.08 b) Si la enfermedad existe. ¿Cuál es la probabilidad de que el paciente lo sospeche?. Rpta. 0.60 14.- Sólo el 60% de los estudiantes de la clase de matemática del Profesor X pasaron la primera prueba. De quienes pasaron el 80% estudiaron, el 20% de quienes no pasaron si estudiaron. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante pase o estudie? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante pase pero no estudie? 15.- El 5% de las unidades producidas en una fábrica se encuentran defectuosas cuando el proceso de fabricación se encuentra bajo control. Si el proceso se encuentra fuera de control, se produce un 30% de unidades defectuosas. La probabilidad marginal de que el proceso se encuentre bajo control es de 0.92. Si se escoge aleatoriamente una unidad y se encuentra que es defectuosa, ¿Cuál es la probabilidad de que el proceso se encuentre bajo control? 16.- Una planta armadora recibe microcircuitos provenientes de tres distintos fabricantes B1, B2 y B3. El 50% del total se compra a B1, mientras que a B2 y B3 se les compra un 25% a cada uno. El porcentaje de circuitos defectuosos para B1, B2 y B3 es 5, 10 y 12% respectivamente. Si un circuito está defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido vendido por el proveedor B2 ? 17.- Se estima que la probabilidad de que una Cía. B tenga éxito al comercializar un producto es de 0.95 si su competidora la compañía A no interviene en el mercado; y es de 0.15 si la compañía A interviene en el mercado. Si se estima que A intervendría en el mercado con probabilidad de 0.7 a) ¿Cuál es la probabilidad de que la compañía B tenga éxito?. Rpta. 0.39 b) Si la Cía. B no tuviera éxito ¿En cuánto se estima la probabilidad de que A intervenga en el mercado?. Rpta. 0.975 18.- Contratistas S.A. está negociando dos contratos. La Gerencia piensa que la probabilidad de ganar el primer contrato es de 60% y que el ganador tendrá ventaja definitiva en la negociación del segundo contrato. La Gerencia cree que si Contratistas S.A gana el primer contrato va a tener un 70% de probabilidad de ganar el segundo contrato, en caso contrario disminuirá a 0.10. a) ¿Cuál es la probabilidad de que Contratistas S.A. pierda ambos contratos?. Rpta. 0.36 b) ¿Cuál es la probabilidad que gane el segundo contrato?. Rpta. 0.46 19.- Una Compañía tiene 1000 repuestos para cierto ensamblado. El 20% de las partes son defectuosas; además el 40% se compraron a proveedores de fuera y el resto fue fabricado por la misma compañía. De los comprados fuera de la compañía el 80% son buenos. Si se elige un repuesto al azar entre esta existencia. ¿Cuál es la probabilidad de que : a) Sea fabricado por la Compañía y esté buena. Rpta. 0.48 b) Sea defectuosa o comprada. Rpta. 0.52 c) No sea fabricada por la Compañía ni sea buena. Rpta. 0.08 d) Sea comprada, siendo defectuosa. Rpta. 0.4 20.- En un cajón hay 80 artículos buenos y 20 malos; en un 2ª cajón el 30% son malos y en un tercer cajón el 25% son malos. Se sabe que el número de artículos del tercer cajón es el triple de los que hay en el segundo y que en total hay 260 artículos. Se mezclan los artículos de las cajas. a) Si se extrae al azar un artículo. Calcule la probabilidad de que sea malo si se sabe que pertenece al 2ª cajón. Rpta. 0.3 b) Si se extraen al azar dos artículos. Calcule la probabilidad de que el primero y el segundo sean malos. Rpta. 0.056

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21.- Se ha determinado que el porcentaje de televidentes que ven los programas A, B y C son respectivamente 0.4. 0.5 y 0.3. Cada televidente ve los programas independientemente uno del otro. Si se elige al azar a uno de tales televidentes. ¿Qué probabilidad hay de que vea: a) Dos de los tres programas. Rpta. 0.29 b) Al menos uno de los tres programas. Rpta. 0.79 22.- En cierta región la probabilidad de que llueva en cualquier día del año es 0.1. Suponiendo la independencia de un día con otro. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera lluvia ocurra después de 14 días sin lluvia?. Rpta. 0.023

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DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Estudia a eventos independientes que se repiten varias veces y cuyos resultados tienen solo dos alternativas; así por ejemplo: masculino-femenino, sano-enfermo, bueno-defectuoso, aprobadodesaprobado, compra-no compra etc.

n �� P [ X  x ]  ��p q x �� x

x  0, 1, 2, 3,..........................., n

nx

Ejemplo 1.- Un fabricante envía sus productos en lotes de 20 unidades a sus clientes. El sabe que la probabilidad de que cualquier artículo esté defectuoso es de 0.05. Cual es la probabilidad de que determinado lote: a) No contenga artículos defectuosos b) ¿Cuál es el número de artículos defectuosos que se espera encontrar en un lote?. Solución: a) Hallaremos P ( X = 0 )

en donde X: Nº de artículos defectuosos en un lote

n �� P [ X  x ]  ��p q x �� x

x  0, 1, 2, 3,.................................n

nx

�20 � P( X  0)  � �(0.05) (0.95)  0.36 �0 � 0

20

b) Ahora hallaremos el Nº promedio de artículos defectuosos por lote E( X )  n p E ( X )  20 ( 0.05 )  1 artículo defectuoso por lote

Ejemplo 2.- El 20% de todas las mujeres que reciben a un vendedor de aspiradoras en sus hogares terminan por comprar una. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 6 mujeres que admiten la demostración del vendedor en sus casas: a) Exactamente dos compren una aspiradora b) Al menos una acabe por comprar la aspiradora c) A lo más una no compre una aspiradora Solución:

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Exactamente dos compren una aspiradora luego hallaremos P( X  2 ) a)

b)

en donde X : N º de mujeres que compran

6 2 4 P( X  2 )    (0.2) (0.8)  0.24576  2

P( X  1)  P( X  1)  P( X  2 )  P( X  3 )  P( X  4 )  P( X  5 )  P ( X  6 ) luego P( X  1 )  1  P( X  0 ) en donde X : N º de mujeres que compran  6 0 6 P( X  0 )    (0.2) (0.8)  0.26214  0 Por lo tan to P( X  1)  1  0.26214  0.738

c) Ahora hallaremos la probabilidad que a lo más una no compre

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P( X  1 )  P ( X  0 )  P( X  1 )

X : N º de amas de casa que no compran la aspiradora

 6 0 6 P( X  0 )    ( 0.8 ) ( 0.2 )  0.000064  0  6 1 5 P( X  1)    ( 0.8 ) ( 0.2 )  0.001536 1  Luego P ( X  1)  0.0016 Ejemplo 3.- En una empresa donde los empleados son 80% hombres y 20% mujeres; están aptos para jubilarse el 10% de las mujeres y el 15% de los hombres. De 5 solicitudes para jubilarse ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos estén aptos para jubilarse? Solución: Sea X : N º de empleados aptos para jubilarse P ( X �2)  1   P ( X  0)  P( X  1) 5 �� P ( X  0)  �� ( p) (q) en donde p : probabilidad que una persona esté apto para jubilarse 0 �� luego p  0.15 ( 0.8)  0.1 ( 0.2)  0.14 0

En con sec uencia

5

5 �� P ( X  0)  �� ( 0.14 ) ( 0.86)  0.4704 0 �� 5 �� P ( X  1)  �� ( 0.14) ( 0.86)  0.3829 1 �� P ( X �2)  1  0.8533  0.1467 0

1

Por lo tan to

5

4

Ejemplo 4.- El jefe de la sección de recaudación de cierto municipio observa que, de todas las multas de aparcamiento que se ponen, se pagan el 78%. La multa es de $2. En la semana mas reciente, se han puesto 620 multas. a) Halle la media y la desviación estándar del número de multas que se pagan. b) Halle la cantidad de dinero que se obtiene por el pago de estas multas; así como también su desviación estándar. Solución:

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a) Sea X: Nº de multas impuestas E( X ) = n p = 0.78 ( 620) = 483.6 multas o sea aproximadamente 484 multas serán pagadas V( X ) = n p q = 620 x 0.78 x 0.22 = 106.392

luego σ = 10.315 multas

b) Recaudación por el pago de multas = 483.6 x 2 = 967.2 dólares La desviación estándar será: 10.315 ( 2 ) = 20.63 Ejemplo 5.- La probabilidad de cura de una enfermedad normalmente mortal con cierto medicamente, se estima en 0.30. Si cinco enfermos se tratan con este medicamento. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos cuatro se curen? Solución: a) Hallaremos P( X ≥ 4 )

 n  x nx P[ X  x ]    p q  x P ( X  4 )  P( X  4 )  P ( X  5 ) 5  4 1 P( X  4 )    ( 0.3) ( 0.7 )  0.02835  4  5 5 0 P ( X  5 )    (0.3) ( 0.7 )  0.00243  5

en donde X: Nº de pacientes que se curan

x  0, 1, 2, 3,. . . . . . . . . . . . . . . . .n

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Luego

P ( X  4 )  0.02835  0.00243  0.03078

Ejemplo 6.- Se somete a un estudiante a un examen del tipo verdadero – falso que contiene 10 preguntas; para que apruebe debe responder correctamente a 8 preguntas o más. Si el estudiante está adivinando. ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe el examen?. Solución: Sea X: Nº de preguntas contestadas correctamente

P( X  8 )  P( X  8 )  P( X  9 )  P( X  10 ) 10  8 2 P( X  8 )    (0.5) (0.5)  0.043945 8  10  9 1 P( X  9 )    (0.5) (0.5)  0.009765 9  10  10 0 P( X  10)    (0.5) (0.5)  0.000976 10  Por lo tan to P( X  8 )  0.0547

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DISTRIBUCIÓN DE POISSON Estudia a los eventos independientes que suceden con muy poca frecuencia y que ocurren en un determinado espacio, volumen o tiempo.

X= 0, 1, 2, 3.4 ………………. Ejemplo 1.- El promedio de llamadas telefónicas en una hora es de 3. ¿Cuál es la probabilidad de recibir: a) Exactamente 2 llamadas en una hora b) Dos o más llamadas en 90 minutos Solución: a) Hallaremos P ( X = 2)

X: Nº de llamadas en una hora

Según la distribución de Poisson

P (X  2) 

Luego

e 3 3 2 2!

 0.224

b) Enseguida hallaremos la probabilidad de que ocurran dos o más llamadas en 90 minutos P ( X  2 )  1  {P ( X  0 )  P ( X  1)} P (X  0)  P ( X  1)  Luego

e

 4. 5

( 4. 5 ) 0!

0

X : N º de llamadas en 90 min utos

 e  4.5

e  4 . 5 ( 4 .5 ) 1  4.5e 4.5 1!

P ( X  2 )  1  5.5e  4.5  1  0.0611  0.9389

Ejemplo 2.- Una fábrica envía al depósito 500 artículos. La probabilidad de deterioro de un artículo en el camino es de 0.002. Hallar la probabilidad de que en el camino se deterioren: a) Menos de tres artículos

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b) Por lo menos un artículo Solución: a) Dado que np ≤ 1 usaremos la aproximación de la Binomial a la de Poisson en donde µ= np En este caso µ = np = 500(0.002) = 1 P ( X  3 )  P ( X  0 )  P ( X  1)  P ( X  2 )

P(X  0)  P ( X  1)  P(X  2)  Luego

e 1 10  e 1 0! e 111 1!

 e 1

e 112 e  2! 2

1

P ( X  3 )  2.5 e 1  0.92

b) P ( X  1)  1  P ( X  0 )  1  e 1  1  0.36788  0.63212 Ejemplo 3.- Un líquido contiene cierta bacteria con un promedio de 3 bacterias por centímetro cúbico. Calcular la probabilidad de que: a) No contenga bacteria alguna una muestra de 1/3 de cc. b) Contenga por lo menos una bacteria una muestra de 2 cc. Solución: a) Hallaremos P ( X = 0 )

X: Nº de bacterias en 1/3 de cc.

Según la Distribución de Poisson

Donde: µ= Promedio de bacterias en 1/3 de cc = 1

Luego

P(X  0) 

e 1 10 0!

b) P ( X  1 )  1  P ( X  0 )

P(X  0) 

luego

e 6 6 0  e 6 0!

1  e 6  0.9975

 e 1  0.368 X : N º de bacterias en una muestra de 2 cc

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Ejemplo 4.- Una vacuna produce inmunidad contra la polio en un 99.99%. Suponiendo que la vacuna ha sido administrada a 10,000 niños. a) ¿Cuál es el número esperado de niños que no han sido inmunizados?. b) ¿Cuál es la probabilidad que menos de 2 niños no sean inmunes? Solución: a) Dado que np ≤ 1 usaremos la aproximación de la Binomial a la de Poisson en donde µ = np En este caso µ = np = 10,000 (0.0001) = 1 niño b) P ( X  2 )  P ( X  0 )  P ( X  1 )

P(X  0)  P ( X  1)  Luego

e 1 10  e 1 0! e 111 1!

 e 1

P ( X  2 )  2 e 1  0.7358

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DISTRIBUCIÓN NORMAL Es una distribución de probabilidad que se diferencia de las anteriores por ser de variable aleatoria continua. Es una de las más importantes ya que la mayoría de los trabajos de investigación están basados en muestras aleatorias provenientes de poblaciones que se distribuyen normalmente . Ejemplo1.- Una máquina expendedora de refrescos se regula de manera que descargue un promedio de 196 gr. por vaso. La cantidad descargada tiene aproximadamente distribución normal con una desviación estándar de 14 gramos. c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un vaso con más de 218.4 gramos?. Solución: Consideremos a X: Cantidad descargada por la máquina vendedora de refrescos, la cual se distribuye normalmente con µ = 196 gr y σ = 14 gr. Hallaremos: P ( X  218.4 )

Z



X 



es tan darizando el valor de X 

Z 

218.4  1 96 14

mediante la fórmula :

 1.6

P ( Z  1.6 )  0.0548 Interpreta ción.  El 5.48% de los vasos tendrán una cantidad mayor de 218.4 gr

b) Si los vasos pueden contener solo 224 gramos sin que haya derrame. ¿En cuántos vasos de 200 vendidos es probable que el líquido se derrame?. Solución: P ( X  224 )  por lo tan to

Z 

224  196 2 14

luego

P ( Z  2)  0.0228

200 ( 0.0228 )  4.56 es decir se derramarán aproximadamente 5 vasos

Ejemplo 2.- La puntuación media en un examen final de una asignatura fue de 72 y la varianza 81. El 10% superior de los alumnos reciben calificación A. ¿Cuál es la puntuación mínima que un estudiante debe tener para recibir un calificación A?. Solución:

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Z

X  



1.28 

X  72 9



X  83.5

Ejemplo 3.- Una variable aleatoria tiene una distribución normal con σ = 21.5. Hallar su media si la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor menor que 120.5 es de 0.8849 Solución: Se sabe que P ( X  120.5)  0.8849

Z 

X  



1.2 

120.5   21.5



  94.7

Ejemplo 4.- Suponga que las puntuaciones obtenidas en un examen de un curso tienen distribución normal con µ = 80. Si el 95% de los examinados obtienen puntajes entre 60.4 y 99.6 a) Calcule el valor de la desviación estándar

Z 

X  



1.96 

99.6  80 



  10

b) ¿Qué porcentaje de los examinados obtuvieron entre 55 y 98 puntos

Z1 

55  80   2.5 10

Z2 

98  80  1.8 10

P (2.5  Z  1.8 )  0.4938  0.4641  0.9579



95.79 %

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Ejemplo 5.- Los puntajes del coeficiente de inteligencia tomados a un grupo de personas adultas, en un proceso de selección de personal están distribuidos normalmente con una media de 105 y una desviación estándar de 12. a) Si el puntaje mínimo para aprobar es 90. ¿Cuál es el porcentaje de no aprobados?. b) Si han aprobado el 80% de las personas. ¿Cuál es el puntaje mínimo aprobatorio?. Solución: a) Consideremos a X: Puntaje del coeficiente de inteligencia, la cual se distribuye normalmente con µ = 105 y σ = 12 Hallaremos

P ( X  90 )

Z 

X  

es tan darizando el valor de X 

Z 

90  1 05 12

mediante la fórmula :

  1.25

P ( Z  1.25 )  0.1056 o sea 10.56%

b) Ahora hallaremos el puntaje mínimo aprobatorio

80%

 0.84 

X  105 12



X  94.92 o sea aproximadamente 95 puntos

Ejemplo 6.- En una distribución normal hay 47 % de valores inferiores a 47 y 28% superiores a 70. Calcular la proporción de valores entre 57 y 86. Solución

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 0.08 

47   

0.58 

  0.08   47 Luego

Ahora

  0.58   70

  0.08   47   0.58   70

Re solviendo ecuaciones (1) y Z1 

70   

(2)

57  49.79  0.21 34.85

(1) (2) obtenemos

  49.79 Z2 

  34.85

86  49.79  1.04 34.85

P ( 0.21  Z  1.04 )  P ( 0  Z  1.04 )  P ( 0  Z  0.21 )  0.3508  0.0832  0.2676  26.76 %

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Para estudiar la regulación hormonal de una línea metabólica se inyectan ratas albinas con un fármaco que inhibe la síntesis de proteínas del organismo. En general 4 de cada 20 ratas mueren a causa del fármaco antes de que el experimento haya concluido. Si se trata a 10 animales con el fármaco. ¿Cuál es la probabilidad: a) Que exactamente 3 no lleguen vivas al final del experimento. Rpta. 0.2013 b) Que al menos 8 lleguen vivas al final del experimento. Rpta. 0.6778 2.- Se determina que un 25% de los niños expuestos a un determinado agente infeccioso contraerán la enfermedad producida por dicho agente. Entre un grupo de 4 niños igualmente expuestos al agente infeccioso. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) Exactamente 2 niños se enfermen. Rpta. 0.211 b) Por lo menos un niño se enferme. Rpta. 0.684 3.- En cierto país en desarrollo el 30% de los niños están desnutridos; en una muestra aleatoria de 25 niños de esa área. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de niños desnutridos sea: a) Menos de cinco. Rpta. 0.0905 b) Menos de 7; pero más de 4? Rpta. 0.2502

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4.- La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad sanguínea es 0.4. Si se sabe que 15 personas contraen esta enfermedad. ¿Cuál es la probabilidad: a) Que sobrevivan de 4 a 7 b) No sobrevivan exactamente 5 5.- Un prominente médico afirma que 70% de las personas con cáncer de pulmón son fumadores empedernidos. Si su afirmación es correcta: Encuentre la probabilidad de que de 10 de tales pacientes admitidos recientemente en un hospital, menos de 3 sean fumadores empedernidos 6.- Si la probabilidad de que un individuo sufra una reacción desfavorable por una inyección de cierto suero es de 0.001. Determinar la probabilidad de que de 200 personas: a) Exactamente 3 sufran la reacción. Rpta. 0.0011 b) Dos o más sufran la reacción. Rpta. 0.0175 7.- De la población de valores de Z seleccionamos uno al azar, se pide: I. Determinar las probabilidades siguientes: a) P ( Z > 1.37 ) b) P ( Z < - 0.84 ) c) P ( Z ≥ - 2.05 ) d) P ( 1.64 < Z < 1.96 ) e) P ( - 0.84 < Z < 0.84 ) f) P ( -1.24 < Z < 1.63 ) g) P ( - 1 < Z < 2) II. Calcular el valor de Zo en las siguientes expresiones: a) P ( Z > zo ) = 0.025 b) P ( Z < zo ) = 0.15 c) P ( Z ≥ zo ) = 0.85 d) P ( Z < zo ) = 0.10 e) P ( - zo < Z < zo ) = 0.8 f) P ( - zo < Z < zo ) = 0.98 8.- Supóngase que se sabe que los pesos de 300 individuos están distribuidos en forma normal con media de 68 Kg. y una desviación estándar de 11.5 Kg. a) Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar pese 70 Kg. O menos? b) Cuántas personas se espera encontrar que pesen 70 Kg o menos? 9.- Las notas de un examen del curso de bioestadística se distribuye normalmente con una media de 13.5 y una desviación estándar de 4.3 a) Cuál es el porcentaje de estudiantes cuyas notas están entre 11 y 15? b) Cuál es la probabilidad de que un alumno elegido al azar no tenga una nota mayor de 10? c) Determinar el valor de la nota debajo el cual se ubica el 15% inferior de los alumnos. 10.- Supóngase que se sabe que los niveles de glucosa en sangre extraída a 150 niños en ayunas están distribuidos normalmente con una media de 66 y una varianza de 42. a) Cuál es la probabilidad de un niño seleccionado al azar presente un nivel de glucosa en sangre mayor o igual a 71? b) Cuántos niños presentan un nivel de glucosa en sangre menor o igual a 61? c) Determinar la mediana y la moda de la distribución.

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11.- Los puntajes del Coeficientes de Inteligencia tomados a un grupo de personas adultas, en un proceso de selección de personal están distribuidos normalmente con una media de 105 y una desviación estándar de 12. a) Si el puntaje mínimo para aprobar es 90, ¿Cuál es el porcentaje de no aprobados? b) Si han aprobado el 75% de las personas, ¿Cuál es el puntaje mínimo aprobatorio? 12.- Supóngase que la estancia promedio de internación en un hospital es de 5.5 días, con una desviación estándar de 1.8 días. Si se supone que la duración de la internación se distribuye normalmente, encuentre la probabilidad de que un paciente seleccionado al azar de dicho grupo tenga una duración de internación: a) De más de 6 días b) Entre 4 y 7 días. c) De menos de 3 días. 13.- El nivel de colesterol en los trabajadores administrativos tiene distribución normal. Por otro lado se sabe que el 5% superior de los trabajadores su colesterol está por encima de 280 y que el 10% inferior de los trabajadores su colesterol está por debajo de 170. Se pide determinar los valores de la media y varianza de la distribución normal. Si de esta población seleccionamos un trabajador al azar, cuál es la probabilidad de que su colesterol sea mayor a 250. 14.- Calcular k si P ( X ≤ k ) = 0.6141 y X sigue una N(15,4). 15.- De una variable normal N(µ; σ) se sabe que P (X ≤ 7 ) = 0.9772 y P (X ≤ 6.5) = 0.8413. Calcular: a) µ y σ. b) P ( 5.65 ≤ X ≤ 6.25 ) c) El numero k tal que P ( X > k ) = 0.3 16.- La presión arterial sistólica de los cobayos tiene distribución normal con una media de 95 y una desviación estándar de 9. Si de esta población seleccionamos un cobayo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que: a) Su presión arterial sistólica sea menor a 75? b) Su presión arterial sistólica esté comprendida entre 75 y 120? c) Si el número de cobayos es de 1000, ¿Cuántos cobayos se espera que su presión arterial sistólica sea mayor a 120? d) A qué valor de presión arterial sistólica se localiza el 25% inferior de la población de cobayos? 17.- Las calificaciones de una prueba final de una cierta signatura tienen distribución normal con media de 12. Si el 95.44% de los examinados obtuvieron calificaciones entre 8 y 16. a) Calcule la desviación estándar. Rpta. 2 b) Si la nota aprobatoria es 11. ¿Qué porcentaje de alumnos aprobaron el curso? Rpta. 69.15% c) ¿Qué nota mínima deberá tener un alumno para estar ubicado en el quinto superior? Rpta. 13.7 18.-. El número promedio de personas que comen en un restaurante es aproximadamente normal, con una media de 250 y una desviación estándar de 20 por día. a) Si el consumo promedio por cliente es de $4 ¿Cuál es el consumo diario esperado? Rpta. $1000 b) ¿Cuál es la probabilidad de que el consumo exceda a $1,100? Rpta. 0.1056 19.- Suponga que la demanda mensual de un bien de consumo se distribuye normalmente con una media de 650 kg y una desviación estándar de 100 kg. a) ¿Qué probabilidad hay de que la demanda no supere los 500 kg? Rpta. 0.0668 b) ¿Qué cantidad del bien debe haber mensualmente a fin de satisfacer la demanda en un 89.8 %? Rpta. 813. kg

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20.- Trescientas estudiantes tienen talla media de 65 pulgadas y desviación estándar de 2 pulgadas. Las 300 tallas presentan distribución normal y se miden a la pulgada más cercana. a) ¿Cuántas estudiantes tienen talla de 64 pulgadas o menos?. b) ¿Debajo de qué talla están el 30% de las estudiantes?. c) ¿Cuántas de las estudiantes tienen talla que difiere de la media por más de una desviación estándar?. 21.- En base a pruebas y la experiencia, un fabricante de lavadoras mecánicas modelo 101XE, decide que la vida media con uso familiar normal es de 5.8 años, con desviación estándar de 2 años. Si la vida de este modelo presenta distribución normal: a) ¿Qué garantía debe ofrecer si está dispuesto a reparar únicamente al 1% de las lavadoras vendidas?. b) Si da una garantía de dos años ¿Qué porcentaje de las máquinas necesitarán reparación antes que expire el período de garantía?. 22.- Una máquina automática que expende café llena los vasos con 6 onzas de café, con desviación estándar de 0.40 onzas. Si se usan vasos de 7 onzas ¿Qué porcentaje de ellas se derramarán? 23.- Suponga que el ingreso familiar mensual en una comunidad tiene distribución normal con media de $400 y desviación estándar $50. a) Si el 10% de las familias debe pagar un impuesto. ¿A partir de qué ingreso familiar se debe pagar el impuesto? Rpta. $464 b) Si el ahorro familiar está dado por la relación Y = X - 50 4 ¿Cuál es la probabilidad de que el ahorro sea superior a $75? Rpta. 0.0228 24.- Si el 20% de los residentes en una ciudad prefiere un teléfono blanco que cualquier otro color disponible. ¿Cuál es la probabilidad de que entre los siguientes 1000 teléfonos que se instalen en esa ciudad: a) Más de 185 sean blancos. Rpta 0.883 b) Al menos 210 pero no más de 225 sean blancos. Rpta. 0.2049 25.- Si el 40% de los clientes de una estación de servicio utilizan tarjetas de crédito. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 400 clientes; más de 250 paguen en efectivo?. Rpta. 0.142

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DISTRIBUCIÓN MUESTRAL

1. Un estudio reciente de un organismo de vigilancia ambiental determinó que la cantidad de contaminantes en el río Rímac (en partes por millón) tiene una distribución normal con media de 64 ppm y varianza de 17.6. Suponga que se seleccionan al azar y se toman muestras de 35 ríos. Encuentre la probabilidad de que el promedio muestral de la cantidad de contaminantes sea: a) Mayor que 72 ppm. b) Entre 64 y 72 ppm. c) Exactamente 64 ppm. d) Mayor que 94 ppm. 5. La distribución de los ingresos anuales de todos los administrativos de una determinada institución educativa y con cinco años de experiencia sigue una distribución normal, tiene una media de $19,000 y una desviación estándar de $2,000. Si extraemos una muestra aleatoria de 30 administrativos ¿cuál es la probabilidad de que sus ganancias promedien más de $19,750 anualmente? 3. En una muestra de 25 observaciones a partir de una distribución normal con media 98.6 y desviación estándar 17.2, a) ¿Cuánto vale P(92 < < 102)? b) Encuentre la probabilidad correspondiente dada una muestra de 36. 4. Dionisio Romero Paoletti dueño de una gran compañía de tarjetas de crédito sabe que el saldo promedio mensual de un cliente dado es $112 y la desviación estándar es $56. Si Dionisio audita 50 cuentas seleccionadas al azar, encuentre la probabilidad de que el saldo promedio mensual de la muestra sea: a) Menor que $100. b) De entre $100 y $130. 5. Para una muestra de 19 observaciones de una distribución normal con media 18 y desviación estándar 4.8, calcule a) P(16 < . < 20). b) P ( > 21) c) Suponga un tamaño de muestra de 40. ¿Cuál es la nueva probabilidad en el inciso a)?

6. A partir de una población de 125 artículos con media de 105 y desviación estándar de 17, se eligieron 64 artículos. a) ¿Cuál es el error estándar de la muestra? b) ¿Cuál es la P(107.5 < < 109)?

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7. Luisa Aliaga Ricaldi, investigadora de la Colombian Cofee Corporation, está interesada en determinar la tasa de uso de café por hogar en Estados Unidos. Ella cree que el consumo anual por hogar tiene distribución normal con media

desconocida y desviación estándar cercana a 1.25

libras. Si Luisa toma una muestra de 36 hogares y registra su consumo de café durante un año, ¿cuál es la probabilidad de que la media de la muestra se aleje de la media de la población no más de media libra?

8. De una población de 75 elementos con media de 364 y varianza de 18, se seleccionaron 32 elementos al azar sin reemplazo. a) ¿Cuál es el error estándar de la media? b) ¿Cuál es la P(363 < < 366)? 9. Suponga que la proporción p de padres asistentes a las reuniones del colegio “Saco Oliveros” en la población es en realidad igual a 0.55. ¿Cuál es la probabilidad de observar una proporción muestral igual de grande o mayor que el valor observado ˆp = 0 .60 10. Reportajes en periódicos nos dicen que el estadounidense promedio tiene sobrepeso. Muchos de nosotros hemos tratado de bajar de peso cuando terminamos la preparatoria o la universidad. Y, en efecto, sólo 19% de adultos dicen que no sufren de problemas de pérdida de peso. Suponga que la cifra de 19% es correcta y que se selecciona una muestra aleatoria de n= 100 adultos. a. La distribución de ˆp, es decir, la proporción muestral de adultos que no sufren de excesos de peso, ¿tiene una distribución normal aproximada? Si es así, ¿cuál es su media y desviación estándar? b. ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral ˆp exceda de .25?

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TAMAÑO DE LA MUESTRA Y MUESTREO.REGRESIÓN Y CORRELACIÓN LINEAL. CHI CUADRADO

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TAMAÑO DE LA MUESTRA Y MUESTREO Ejemplo: Se quiere hacer una encuesta para estimar el tiempo promedio por semana que los niños ven televisión. Por estudios anteriores se sabe que la desviación estándar de dicho tiempo es de 3 horas. Con el nivel de confianza del 95%. a) ¿Qué tamaño de muestra se debe elegir, de tal manera que el error de estimación no sea superior a media hora?. Solución 2

2

Z    1.96 x 3  n    /2      138.3 e  0.5   



n  139 niños

b) ¿Qué costo se debe presupuestar para hacer la encuesta, si esta tiene un costo fijo de $5,000 más un costo variable de $2 por cada entrevista?. Solución: 5,000 + 2 ( 139 ) = $5,278

Ejemplo: La oficina de Planificación Familiar de cierto distrito desea determinar la proporción de familias con un ingreso mensual inferior a S/. 800. Estudios previos han indicado que esta proporción era del 20%. ¿Qué tamaño muestral se requiere para asegurar con una confianza del 95% que el error en la estimación de esta proporción no sobrepase a 0.03?. Solución:

n

Z 2 / 2 p q e2



n 

( 1.96 ) 2 ( 0.2 ) ( 0.8 )  683 ( 0.03 ) 2

familias

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Se ha proyectado una encuesta para determinar los gastos médicos anuales promedio por familia de los empleados de una gran compañía. La administración de la compañía desea tener una confianza del 95% de que el promedio de la muestra esté correcto en una escala de ± $50 de los gastos reales promedio por familia. Un estudio piloto señala que la desviación estándar se puede estimar como $400. ¿Qué tamaño de muestra se necesita?

2. Si un gerente de control de calidad quisiera estimar la vida promedio de un producto en una escala ± 20 horas con una confianza del 95% y también supone que la desviación estándar del proceso permanece en 100 horas ¿qué tamaño de muestra se necesita?

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3. Si una cadena de supermercados quisiera estimar el importe promedio de ventas en una escala de ± $100 con una confianza del 99% y si se supone que la desviación estándar de la población es $200 ¿qué tamaño de muestra se necesita? 4. Si una compañía de gas quisiera estimar el tiempo de espera promedio en días, dentro de ±5 días con una confianza del 95% y si se supone que la desviación estándar de la población es de 20 días ¿qué tamaño de muestra se necesita? 5. Un analista político quisiera estimar la proporción de votantes que elegirán al candidato demócrata en una campaña presidencial. El analista quisiera tener una confianza del 90% de que su predicción esté correcta en una escala de ±0.04 de la proporción real. ¿Qué tamaño de muestra se necesita? 6. El gerente de un banco quiere tener una confianza del 90% de estar en lo correcto en una escala de ± 0.05 de la proporción real de depositantes, que tienen al mismo tiempo cuentas de ahorro y de cheques. ¿Qué tamaño de muestra se necesita? 7. ¿Qué tamaño de muestra se necesitará si una compañía de autobuses quisiera realizar una encuesta, en la que desearía tener una confianza del 95% de estar en lo correcto en una escala de ± 0.02 de la proporción real de viajeros que utilizarían el servicio de autobús?. En base a la experiencia con otras rutas, se supone que la proporción real es de aproximadamente 0.40. 8. Un equipo de investigación médica está seguro sobre un suero que han desarrollado, el cual curará cerca del 75% de los pacientes que sufren de ciertas enfermedades. ¿Qué tamaño debe ser la muestra para que el grupo pueda estar seguro en un 98% que la proporción muestral de los que se curan esté dentro de más menos 0.04 de la proporción de todos los casos que el suero curará?.Rpta. n = 637

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Ejercicios de Regresión y Correlación Lineal Ejemplo 1.- El costo de fabricar un lote de cierto producto depende del tamaño del lote, como se aprecia en el siguiente conjunto de datos: Costo ($10):

30

70

140

270

530

1010

2500

5020

Tamaño del lote: (100 unidades)

1

5

10

25

50

100

250

500

a) Grafique un diagrama de dispersión b) Determine la ecuación de regresión lineal. Interprete el coeficiente de regresión lineal. c) Grafique sobre el diagrama de dispersión, la línea de regresión. d) Estime el costo para un lote cuyo tamaño es de 500 unidades e) Calcule el error estándar de estimación f) Calcule e interprete el coeficiente de correlación. g) Interprete el coeficiente de determinación. Solución a) Diagrama de Dispersión

Gráfica de dispersión de Y vs. X

Costo ( 10 dólares ): Y

5000

4000

3000

2000

1000

0 0

100

200 300 400 Tamaño del lote ( 100 unidades): X

500

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b) Determinación de la Ecuación de regresión lineal: Yˆ  a  b X

 X Y   X  X a n  X   X  n  X Y   X Y b n  X   X  2 i

i

i

i

i

i

X

Luego

a 

i

b 

i

2

2 i

en donde :

Yi

2

2 i

i

i

i

Y

 941

i

X Y

 9570

i i

325751 ( 9570 )  941 ( 3271030 ) 8 ( 325751 ) 

 941  2

 3271030

2 i

 325751

 22.8987

8 ( 3271030 )  ( 941 ) ( 9570 )  8 ( 325751 )  ( 941 ) 2

Por lo tan to la ecuación de regresión lineal

X

será :

9.975 Yˆ  22.8987  9.975 X

Interpretación: Al aumentar el tamaño del lote en 100 unidades, el costo aumentará en 9.975 decenas de dólar o sea aproximadamente en 100 dólares. c) Gráfica de la línea de regresión lineal

Gráfica de línea ajustada Y = 22,90 + 9,975 X S R-cuad. R-cuad.(ajustado)

5000

12,0374 100,0% 100,0%

Costo ( Y )

4000 3000 2000 1000 0 0

100

200 300 400 Tamaño del lote ( X )

d) Costo estimado para un lote de 500 unidades: Es decir el costo estimado sería de 728 dólares.

500

Yˆ  22.8987  9.975 ( 5 )  72.8

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e) Cálculo del Error Estándar de Estimación: Sy/x Sy/x 

Sy/x 

Y

2

 a

Y

b

n  2



XY

32849700  22.8987 ( 9570 )  9.975 ( 3271030 ) 8  2

f) Cálculo del Coeficiente de Correlación: r n XY   X Y r  2 n  X i2   X n  Yi 2 

[

r 





][

Y 

2

 12.0374 decenas de dólares

]

8 ( 3271030 )  ( 941) ( 9570 )

[ 8 ( 325751)

 ( 941) 2

] [ 8 ( 32849700 )

 ( 9570 ) 2

]

 1.00

Interpretación: Existe una correlación lineal positiva perfecta; a medida que el tamaño del lote se incrementa, el costo también crecerá. g) Cálculo del Coeficiente de Determinación: r 2 = 1 Interpretación: Las variaciones que se observa en el costo, se debe únicamente a la variación del tamaño del lote. Ejemplo 2.- Se llevó a cabo un experimento para estudiar el efecto de cierto medicamento para disminuir la frecuencia cardíaca en adultos. La variable independiente es la dosis en miligramos del medicamento y la variable dependiente es la diferencia entre la frecuencia cardíaca más baja después de la administración del medicamento y un control antes de administrarlo. Se reunieron los siguientes datos: Dosis

Disminución de la frecuencia

(mg)

cardíaca (latidos/min)

0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50 2.75 3.00 3.25 3.50

10 08 12 12 14 12 16 18 17 20 18 20 21

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a) Grafique un diagrama de dispersión b) Determine la ecuación de regresión lineal. Interprete el coeficiente de regresión lineal. c) Grafique sobre el diagrama de dispersión, la línea de regresión. d) Estime la disminución de la frecuencia cardíaca para una dosis de 2 mg e) Calcule el error estándar de estimación f) Calcule e interprete el coeficiente de correlación. g) Calcule e interprete el coeficiente de determinación Solución:

Y: Disminución de la frecuencia cardíaca (lat/min)

a) Diagrama de Dispersión Gráfica de dispersión de Y vs. X 22 20 18 16 14 12 10 8 0.5

1.0

1.5

2.0 X: Dosis ( mg )

b) Determinación de la Ecuación de regresión lineal: a

 X Y   X  X n  X   X  2 i

i

i

2 i

en donde :

X

Luego

a 

b 

i

 26

i

Yi

2

Y

i

 198

13 ( 63.375 ) 

n  X i Yi  n

X Y

63.375 ( 198 )  26 ( 442.5 )

 26  2

13 ( 442.5)  ( 26) ( 198 )  13 ( 63.375 )  ( 26 ) 2

3.0

3.5

Yˆ  a  b X

b

i

2.5

i i

X

2 i

 442.5

 X Y   X  i

i

2

i

X

2 i

 63.375

 7.055

4.088

Por lo tan to la ecuación de regresión lineal será :

Yˆ  7.055  4.088 X

Interpretación: Al aumentar la dosis del medicamento en 1 mg.la reducción de los latidos del corazón, se incrementan en 4 lat/min aproximadamente; es decir por cada mg de la dosis, los latidos del corazón se reducen en 4 aproximadamente.

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c) Gráfica de la línea de regresión lineal Gráfica de línea ajustada Reducción de la frecuencia cardíaca: Y

Y = 7.055 + 4.088 X 22

S R-cuad. R-cuad.(ajustado)

20

1.35579 90.4% 89.5%

18 16 14 12 10 8 0.5

1.0

1.5

2.0 Dosis: X

2.5

3.0

3.5

d) Disminución estimada de la frecuencia cardíaca para una dosis de 2 mg: Yˆ  7.055  4.088 ( 2 )  15

Es decir para una dosis de 2 mg de dicho medicamento, se espera que la frecuencia cardíaca disminuya en 15 lat/min aproximadamente.

e) Cálculo del Error Estándar de Estimación: Sy/x Sy/x 

Sy/x 

Y

2

 a

Y

b



XY

n  2 3226  7.055 ( 198 )  4.088 ( 442.5 ) 13  2

 1.3558 latidos

r  f) Cálculo del Coeficiente de Correlación: r

r 

[n  X

13 ( 442.5 )  ( 26 ) (198 )

[ 13 ( 63.375 )

 ( 26 ) 2

] [ 13 ( 3226 )

 ( 198 ) 2

]

XY   X Y   X  ] [ n  Y    Y 

n 2 i

2

2

i

 0.9507

Interpretación: Existe una correlación lineal positiva entre la dosis del medicamento y la reducción de la frecuencia cardíaca; a medida que se aumenta la dosis del medicamento entonces la reducción de la frecuencia también aumentará. g) Cálculo del Coeficiente de Determinación: r 2 = 0.904 Interpretación: El 90.4% de las variaciones que se observa en la reducción de la frecuencia cardíaca, se debe a la variación de la dosis del medicamento; el 9.6% restante se debe a la influencia o efecto de alguna otra variable no tomada en cuenta en el presente estudio.

2

]

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EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Una muestra aleatoria de cinco familias da la siguiente información en relación al ingreso familiar mensual y los gastos mensuales en gastos en seguros de salud. FAMILIA Ávila Benavides Calderón Díaz Ercilla a) b) c) d) e) f)

Ingreso mensual

Gastos en seguros de salud

3500 2800 4700 2100 3150

320 280 410 120 340

Grafique un diagrama de dispersión Determine la ecuación de regresión lineal. Interprete el coeficiente de regresión lineal. Grafique sobre el diagrama de dispersión, la línea de regresión. Pruebe otros modelos de regresión y elija el mejor a base del coeficiente de determinación. Estímese el gasto anual en prevención de la salud de una familia cuyo ingreso mensual es 2500 soles. Calcule el error estándar de la estimación del modelo Calcule e interprete el coeficiente de determinación

2.- Con la siguiente información: Horas-hombre por mes de instrucción Accidentes por millón de Horashombre

200 500 450 800 900 150 300 600 7.0 6.4 5.2 4.0 3.1 8.0 6.5 4.4

a) Grafique el diagrama de dispersión b) Determine una ecuación que describa la relación entre la frecuencia de accidentes y el nivel de educación preventiva. Grafique esta ecuación. c) Interprete los valores de los coeficientes de regresión. d) Calcule el error estándar de la estimación del modelo. e) Calcule e interprete el coeficiente de correlación. f) Calcule e interprete el coeficiente de determinación. g) Estime el número de accidentes si el número de horas de instrucción fuese 340. 3.- El editor en jefe de un importante periódico metropolitano ha intentado convencer al dueño del periódico para que mejore las condiciones de trabajo en el taller de prensas. Está convencido de que, cuando trabajan las prensas, el grado de ruido crea niveles no saludables de tensión y ansiedad. Recientemente hizo que un psicólogo realizara una prueba durante la cual los prensistas se situaron en cuartos con niveles variables de ruido y luego se le hizo otra prueba para medir niveles de humor y ansiedad. La siguiente tabla muestra el índice de su grado de ansiedad o nerviosismo y el nivel de ruido al que se vieron expuestos. (1,0 es bajo y 10,0 es alto). Nivel de ruido Grado de ansiedad

4 39

3 38

1 16

2 18

6 41

7 45

2 25

3 38

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a) Represente gráficamente estos datos. b) Desarrolle una ecuación de estimación que describa los datos. c) Pronostique el grado de ansiedad que podríamos esperar cuando el nivel de ruido es 5. d) Calcule e interprete el coeficiente de correlación e) Calcule e interprete el coeficiente de determinación f) Calcule el error estándar de la estimación 4.- El Gerente de una Clínica dispone de la siguiente información: Año Cirugías

2001 120

2002 143

2003 150

2004 170

2005 162

2006 158

a) Grafique y determine la ecuación de la tendencia b) Proyecte las cirugías al corazón para el año 2007 5.- Se ha medido la variación de creatinina en pacientes tratados con Captopril (droga antihipertensión) tras la suspensión del tratamiento con diálisis, resultando la siguiente tabla: Días tras la diálisis: X 1 5 10 15 20 25 Creatinina (mg/dl): Y 5.7 5.2 4.8 4.5 4.2 4

35 3.8

a) Calcule el modelo de regresión lineal b) Interprete la variación de creatinina, en función de los días transcurridos tras la diálisis. c) Si un individuo presenta 8 días tras la suspensión del tratamiento con diálisis, que sucede con la creatinina (mg/dl). 6.- En un grupo de 8 pacientes se registran las medidas antropométricas peso (kg) y edad (años) obteniendo el modelo de regresión:

Yˆ  20.61  2.83 X a) Interprete la recta de regresión lineal b) ¿Cómo cree Ud. que será el diagrama de dispersión? 7.- Una cadena de restaurantes de comida rápida decide llevar a cabo un experimento para medir la influencia del gasto en publicidad sobre las ventas. En 8 regiones del país, se realizaron diferentes variaciones relativas en el gasto de publicidad, comparado con el año anterior y se observaron las variaciones en los niveles de ventas resultantes. La tabla muestra los resultados: Incremento del gasto en publicidad ( % ) Incremento en las (%)

ventas

0 2.4

4 7.2

14 10 10.3 9.1

9

8 10.2

6 4.1

1 7.6

3.5

a) Calcule el coeficiente de correlación lineal. b) Estimar la ecuación regresión lineal del incremento en las ventas sobre el incremento del gasto en publicidad c) Calcule el error estándar de estimación. d) Estime el incremento en las ventas, si el gasto en publicidad es del 10%.

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8.- Los siguientes datos se refieren al número de horas de estudio invertidas por los estudiantes fuera de clase durante un período de tres semanas para cierto curso, junto con las calificaciones que obtuvieron en un examen aplicado al final de ese período. Calificaciones 64 Horas de estudio 20 a) b) c) d)

61 16

84 34

70 23

88 27

92 32

72 18

77 22

Calcule el coeficiente de correlación lineal. Estimar la ecuación regresión lineal Calcule el error estándar de estimación. Estime la calificación para un estudiante que estudió 24 horas durante dicho período de tiempo.

9.- Un editor tomó una muestra de 7 libros anotando el precio y el número de páginas respectivo, obteniendo los siguientes datos. Número de páginas 630 Precio ( $10 ) 10 a) b) c) d)

550 8

400 7

250 4

370 6

320 6

610 9

Calcule el coeficiente de correlación lineal. Estimar la ecuación regresión lineal Calcule el error estándar de estimación. Estimar el precio de un libro de 300 páginas. Si a este libro se le incrementa 20 páginas en una segunda edición. ¿En cuánto se incrementará su precio?.

10.- Un investigador de una fábrica de refrescos ha tomado al azar 8 semanas del año observando en cada semana la temperatura media (ºC ) y la cantidad de refrescos (miles) pedidos durante cada uno de dichos períodos. La información es la siguiente: Temperatura Pedidos a) b) c) d)

10 21

28 65

12 19

31 72

30 75

19 36

24 67

15 24

Calcule el coeficiente de correlación lineal. Halle la ecuación regresión lineal Calcule el error estándar de estimación. Estimar el pedido de refrescos para una semana cuya temperatura media es de 20ºC.

11.- Se efectúa un experimento médico para determinar el efecto de la droga efedrina en las pulsaciones del corazón. Un paciente recibe diversas dosis diarias de la droga durante seis días. La tabla que sigue resume los resultados del experimento. Dosis diaria total de efedrina (granos) 3 2 1 3 5 4

Nº de pulsaciones por minuto 70 60 50 80 100 90

Nota. 1 grano = 0.06 gramos a) Grafique un diagrama de dispersión b) Determine la ecuación de regresión lineal. Interprete los coeficientes de regresión lineal. Grafique sobre el diagrama de dispersión, la línea de regresión. c) Estímese el número de pulsaciones para una dosis diaria de 4 granos de efedrina.

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d) Calcule el error estándar de la estimación del modelo e) Calcule e interprete el coeficiente de correlación. f) Calcule e interprete el coeficiente de determinación 12.- La siguiente tabla ilustra los valores del consumo de metil mercurio y la cantidad total de mercurio en la sangre de 12 individuos expuestos a la primera sustancia por haber consumido peces contaminados. Consumo de metil mercurio (µgHg/día) 180 200 230 410 600 550 275 580 105 250 460 650

Mercurio en la sangre ( ng/g ) 90 120 125 290 310 290 170 375 70 105 205 480

a) Calcule el coeficiente de correlación lineal. b) Estimar la ecuación regresión lineal de la cantidad de mercurio en la sangre sobre el consumo de metil mercurio c) Calcule el error estándar de estimación. d) Estime la cantidad de mercurio en la sangre, considerando una ingesta de 300 µg de mercurio. 13.- Se quiere determinar la relación entre la experiencia en ventas y el volumen de ventas para cada vendedor basado en un grupo de 10 vendedores de una compañía de seguros. Los años de experiencia en ventas y los volúmenes de ventas son: Experiencia en ventas (años) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a) b) c) d)

Volumen de ventas ($10,000) 3 2 5 4 6 8 9 9 12 10

Halle la ecuación de regresión lineal. Interprete el coeficiente de regresión Estime las ventas para un vendedor con 5 años de experiencia Calcule e interprete el coeficiente de correlación Interprete el coeficiente de determinación

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14.- En una muestra de 8 pacientes se miden las cantidades antropométricas peso y edad obteniéndose los siguientes resultados Edad (años) Peso (kg) a) b) c) d)

12 56

8 42

10 51

11 54

7 40

7 39

10 49

14 58

Calcule e interprete el coeficiente de correlación Halle la ecuación de regresión lineal Estime el peso para un paciente de 10 años de edad Determine e interprete el coeficiente de determinación

15.- Consideremos los siguientes datos respecto al precio de venta ($1,000) de una muestra de viviendas y sus áreas (100 pies2) correspondientes a cada una de ellas, en cierta ciudad. Precio de venta: Área de la vivienda: a) b) c) d) e)

41 13

32 10

24 08

44 14

42 14

36 12

35 10

Hallar la ecuación de regresión lineal Interprete el coeficiente de regresión lineal Estime el precio de venta para una vivienda cuya área es de 1,000 pies 2 Calcule e interprete el coeficiente de correlación lineal Interprete el coeficiente de determinación

40 12

29 10

26 08

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PRUEBA DE INDEPENDENCIA Tiene por objeto probar si dos variables cualitativas o categóricas no están relacionadas o asociadas; también una de ellas podría ser cuantitativa.

c

O  �� r

c

ij

2

i 1

j 1

E

ij



2

E

ij

Ejemplo 1.- En una empresa se desea estudiar si existe una relación entre el nivel de las remuneraciones y los años de experiencia del personal de su planta de profesionales. Con este objeto, se clasifican las remuneraciones según su monto, en tres categorías: bajo, medio y alto; asimismo los años de experiencia de acuerdo a su número en cuatro categorías: A, B, C y D. Al nivel de 0.05. ¿Hay alguna relación entre los años de experiencia y las remuneraciones que perciben los 100 empleados de la empresa?. REMUNERACIONES Bajo Medio Alto Total

AÑOS DE EXPERIENCIA A B C D 4 9.88 11 9.88 9 9.12 14 9.12 12 8.58 9 8.58 8 7.92 4 7.92 10 7.54 6 7.54 7 6.96 6 6.96 26 26 24 24

Total 38 33 29 100

Solución: H 0 : No existe relación entre las remuneraciones y los años de exp eriencia H 1 : Si existe relación entre las remuneraciones y los años de exp eriencia Nivel de significancia   0.05

c2 

( 4  9.88) 2 (12  8.58) 2 (6  6.96) 2   ....................................   10.814 9.88 8.58 6.96

Re gla de decisión : Re chazar H 0 si c 2  Vt ( Valor hallado en la tabla c 2 con 6 g ..l en este caso Vt  12.592. Por lo tan to no rechazarem os H 0 Conclusión : No existe relación entre las remuneraci ones y los años de exp eriencia.

Ejemplo 2.- Se tiene la siguiente información obtenida de una muestra de 5,000 fallecidos. DIAGNÓSTICO Muerte por cáncer de pulmón Muerte por otras causas Fumadores 348 No Fumadores 82 Total 430

301 129

3,152 1,418 4,570

Total

3199 3,500 1371 1,500 5,000

Se desea probar la hipótesis de que el fumar y la muerte por cáncer pulmonar son independientes con α = 0.01 Solución

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H 0 : No existe relación entre el hábito de fumar y la muerte por cáncer pulmonar H 1 : Si existe relación entre el hábito de fumar y la muerte por cáncer pulmonar Nivel de significancia   0.01

c2 

( 82  129 ) 2 (348  301) 2 (3,152  3,199) 2 (1,418  1,371) 2     26.764 301 3,199 129 1,371

Re gla de decisión : Re chazar H 0 si c 2  Vt ( Valor hallado en la tabla c 2 con 1 g ..l En este caso Vt  6.635 Por lo tan to rechazarem os H 0 Conclusión : Ambos factores están relacionad os.

PRUEBA DE HOMOGENEIDAD Ejemplo 1.- El Director de compras de una fábrica grande debe decidir por la compra de una de las cuatro marcas que hay en el mercado. Para probar si existe diferencia significativa en la calidad de las máquinas, obtiene una muestra de la producción de 150 artículos para cada una de ellas y observa el número de defectuosos. Los resultados se dan en la siguiente tabla: M A Q U CALIDAD A B Defectuosos 21 16.5 12 16.5 Buenos 129 133.5 138 133.5 Total 150 150

I N A S C D 15 16.5 18 16.5 135 133.5 132 133.5 150 150

Total 66 534 600

Solución H 0 : p A  p B  p C  p D ( La proporción de defectuosos son las mismas en cada una de las máquinas) H 1 : Al menos en una de las máquinas la proporción de defectuosos no es la misma. Nivel de significancia   0.05 ( 21  16.5 ) 2 ( 129  133.5 ) 2 ( 132  133.5 ) 2 c2    ....................................   3.064 16.5 133.5 133.5 Re gla de decisión : Re chazar H 0 si c 2  Vt ( Valor hallado en la tabla c 2 con 3 g ..l en este caso Vt  7.815. Por lo tan to no rechazarem os H 0 Conclusión : La proporción de defectuosos sí es la misma.

Ejemplo 2.- Se sostiene que una droga determinada es efectiva para la curación del catarro común. En un experimento con 164 personas con catarro, a la mitad de ellas se le suministró la droga y a la otra mitad se le suministró píldoras azucaradas. Las reacciones de los pacientes aparecen anotadas en la siguiente tabla:

Droga

REACCIONES Mejorado Empeorados Efecto Nulo Total s 52 48 10 11 20 23 82

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Azúcar Total

44

48 96

12

11

26

22

23 46

82 164

Solución H 0 : La droga y las píldoras tienen igual efecto H 1 : La droga y las píldoras no tienen igual efecto. Nivel de significancia   0.05 c2 

( 52  48 ) 2 (10  11 ) 2 ( 26  23 ) 2   ....................................   1.631 48 11 23

Re gla de decisión : Re chazar H 0 si c 2  Vt ( Valor hallado en la tabla c 2 con 2 g..l en este caso Vt  5.991 Por lo tan to no rechazarem os H 0 Conclusión : La droga y las píldoras azucaradas producen reacciones similares.

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EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Una encuesta realizada en 378 hospitales por el Colegio de Cirujanos Americanos produjo los datos de la tabla siguiente: Tipo de tumor Total Benigno Maligno Usan 138 49 187 anticonceptivos No usan 39 41 80 No conocen su uso 35 76 111 Total 212 166 378 Proporcionan los datos evidencia suficiente para indicar una dependencia entre el tipo de tumor y el uso de anticonceptivos orales?. Use α = 0.05 Rpta. Sí 2.- Sobre una muestra de 500 niños de cierta escuela primaria se hizo un estudio acerca de su estado de nutrición y el desempeño académico, obteniéndose los siguientes resultados: Desempeño Académico Malo Satisfactorio Total

Estado de Nutrición Total Pobre Bueno 105 15 120 80 300 380 185 315 500

Existe relación entre el desempeño académico y el estado de nutrición. Use α = 0.01

Rpta. Sí

3.- Se llevó a cabo una encuesta con respecto a la preferencia del consumidor para determinar si existía alguna predilección entre las tres marcas competitivas (A, B y C ) dependiendo de la región geográfica en la que habita el consumidor. La información obtenida es la siguiente: Marca A Marca B Marca C Total

Región I Región II Región III Total 40 52 25 117 52 70 35 157 68 78 60 206 160 200 120 480

Con esta información ¿La preferencia por una determinada marca depende de la región geográfica? Rpta. No 4.- Los puntajes obtenidos en una muestra de 218 estudiantes en el examen de ingreso a una universidad, así como los promedios finales durante el primer semestre de la universidad fueron clasificados en cuatro categorías: A, B, C y D. Estos aparecen en la siguiente tabla: Promedios del Primer Semestre A B C D Total

Puntajes de Ingreso A B C D 20 10 17 8 17 16 18 7 19 4 15 12 12 8 12 23 68 38 62 50

Total 55 58 50 55 218

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Se puede decir que los puntajes obtenidos en ambos exámenes son independientes? Use α = 0.05 5.- Se tomó una muestra de 400, 500 y 400 compradores de las ciudades de Piura, Trujillo y Chiclayo respectivamente con la finalidad de determinar si la proporción verdadera de compradores que se inclinan por el producto A en lugar del B, es la misma en las tres ciudades. Use α = 0.05 Piura Trujillo Chiclayo Total

Producto A 232 260 197 689

Producto B Total 168 400 240 500 203 400 611 1300

6.- Se examinó una muestra de 2,000 registros médicos los cuales dieron los siguientes resultados: Muerte por cáncer Muerte por otras causas del intestino Fumadores 22 1,178 No Fumadores 26 774 Total 48 1,952

Total 1,200 800 2,000

Probar la hipótesis que las dos clasificaciones son independientes con α = 0.05 7.- Cierta compañía desea determinar si el ausentismo se relaciona con la edad. Se toma una muestra de 200 empleados al azar y se clasifica según su edad y causa de ausentismo: CAUSA Enfermeda d Otras

EDAD Menos de 30 30 - 50 40 28 20 36

¿Está la edad ausentismo? Use α = 0.01

Más de 50 52 24 relacionada con el

8.- Una fábrica de automóviles quiere averiguar si el sexo de sus posibles clientes no tiene relación con la preferencia del modelo. Se toma una muestra aleatoria de 2,000 posibles clientes y se clasifican así: SEXO MODELO I II III Contrastar la hipótesis de que el Masculino 350 270 380 sexo no tiene relación con la preferencia hacia un Femenino 340 400 260 determinado modelo para un α = 0.01 9.- Se desea determinar si existe algún tipo de relación entre la concentración de procaína usada en operaciones del molar mandibular y el porcentaje de casos satisfactorios (efectividad clínica de la anestesia). Se tuvo la siguiente información: Solución de procaína Casos satisfactorios 1.0 % 07 Más de 1.0 % 63 Use α = 0.05

Casos no satisfactorios 18 12

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10.- Un investigador estudia el nivel de efectividad de tres remedios R1, R2 y R3 para aliviar cierta enfermedad. Para esto escogió tres muestras aleatorias de tamaños 50, 70 y 60 pacientes con la enfermedad, suministrando a la primera el remedio R1, a la segunda muestra el remedio R2 y a la tercera el remedio R3; y midiendo la efectividad de los remedios en tres niveles: Sin alivio, cierto alivio y alivio total. Los resultados del experimento se dan en la tabla que sigue: Efectividad Sin alivio Cierto alivio Alivio total

Remedios para la alergia R1 R2 R3 10 20 15 30 20 20 10 30 25

¿Puede inferir que los tres remedios para la alergia son igualmente efectivos?. 11.- El ingeniero quiere saber si hay diferencias en la calidad de los productos procesados en los tres turnos operativos de una fábrica. Para esto se tomó una muestra aleatoria de tamaño 100 de cada turno del día anterior y las clasificó según el turno de su producción: mañana, tarde y noche; y según su calidad: defectuoso o no defectuoso. Los resultados se dan en la siguiente tabla: Calidad

Turnos de producción Mañana Tarde Noche Defectuosos 3 12 15 No defectuosos 97 88 85 Pruebe al nivel de significación del 5% la hipótesis de la igualdad de las tres proporciones reales de producción defectuosa.