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UMSA

Facultad de Ingeniería

1er. PARCIAL

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA

CURSO BASICO I/2019

MAT-207

ECUACIONES DIFERENCIALES (Grupo-G) ING.GUILLERMO ESPINOZA AUX. UNIV.RUDDY LLANQUI CONDORI ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 1. VARIABLES SEPARABLES SI: f1( x ) g1( y ) dx  f 2( x ) g2( y ) dy  0 La solución será:

f1( x )

f

dx  

g2( y )

dy g1( y ) 2. ECUACION HOMOGENEA dy  f y  SI: dx    x 2( x )

Para la solución se efectuara el cambio de variable: y  xu  dy  udx  xdu du Entonces: ln x   C f (u )  u 3. ECUACION ISOBARICA dy  x n 1 f y  SI: dx  n x  Para la solución se efectuara el cambio de variable: y  z  dy   z 1dz Y  se escogerá de modo que la ecuación resultante sea homogénea 4. ECUACION LINEAL dy  P( x ) y  Q( x ) SI: dx La solución será:  P dx P dx y  e  ( x )   Q( x )e ( x ) dx  C   

5. ECUACION DE BERNOULLI dy  P( x ) y  Q( x ) y n SI: dx UNIV. RUDDY LLANQUI CONDORI

Para la solución se efectuara el cambio de variable: u  y1n si ( n  1 ) du  (1  n) P( x )u  (1  n)Q( x ) Entonces: dx Y esta es una ecuación lineal 6. ECUACION DE ARGUMENTO LINEAL dy  f (ax  by  c) SI: dx Para la solución se efectuara el cambio de variable: u  ax  by  c  du  adx  bdy Y esta es una ecuación de variables separables 7. ECUACION DE JACOBI a x  b1 y  c1 dy  f( 1 ) dx a2 x  b2 y  c2

Caso 1:  

a1 a2

b1 0 b2

Para la solución se efectuara el cambio de t  a1 x  b1 y variable: dt  a1dx  b1dy

Caso 2:  

a1 a2

b1 0 b2

Se resolverá el sistema de ecuaciones  a1 x  b1 y  c1  0  a2 x  b2 y  c2  0 Al resolver se halla x,y después: Se realiza el cambio de variable:

xh yk

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Facultad de Ingeniería Y nuevamente se deberá realizar los siguientes cambios de variables:

x  r  h  dx  dr y  s  k  dy  ds

Por lo tanto se obtiene una ecuación homogénea 8. ECUACION DE RICCATI dy  f ( x )  g( x ) y  h( x ) y 2 SI: dx Caso 1: Sea y1 una solución primicial Para la solución se efectuara el cambio de 1 variable: y  y1  u Se reduce a una ecuación diferencial lineal du  ( y  2hy1 )u  h dx Caso 2: Sean y1, y2 dos soluciones primiciales si: u( y  y1 )  y  y2 Se llega a una ecuación de variables separables Caso 3: Sean y1, y2 , y3 soluciones primiciales si:

( y  y1 )( y2  y3 )  C( y  y2 )( y3  y1 )

Caso 4: Si: yhu  u '  0 se transforma en una ecuación lineal de segundo orden homogéneo: d 2u  h '  du   g    fhu  0 2 dx  h  dx Algunos cambios sugeridos: gdx g y  ue , y  u  2h 9. ECUACION EXACTA SI: M ( x, y)dx  N ( x, y)dy  0 Donde se cumple la condición de Euler: M N  y x La solución será:



x

x0

M ( x, y0 )dx   N ( x, y)dy  0 y

y0

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10. FACTOR INTEGRANTE SI: no se cumple la condición de Euler, buscamos u ( x, y ) de modo que: u ( x, y ) M ( x, y )dx  u ( x, y ) N ( x, y )dy  0 M N Hallamos: z1  entonces tenemos los  y x siguientes casos a realizar: z1 dx z1  N  f ( x)  u  u( x)  e Caso 1: N z   1 dy z1 M  g ( y)  u  u( y)  e Caso 2: M

Caso 3: hallamos E de la siguiente manera:

z z Y también z  z( x , y ) se puede M x y buscar en las formas: axm  by n , xm y n luego se EN

z1 dz z1  E  f ( z )  u  u ( z )  e tiene: E Caso 4: Puede buscarse directamente u de la

forma: u  xm y n multiplicando directamente a: M ( x, y )dx  N ( x, y )dy  0 11. E.D. LAGRANGE

SI: y  xf dy   g dy     dx 

   dx 

Para la solución se efectuara el cambio de

dy p dx

variable:

12. E.D. CLAIREAUT

SI: y  x

dy f  dx  dy  dx 

Para la solución se efectuara el cambio de variable:

dy  pC dx

APLICACIONES A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Página 2

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TRAYECTORIAS ORTOGONALES EN COORDENADAS

APLICACIONES GEOMETRICAS Rectas y Segmentos. Sea y0 '  f ' x0  

y

dy y y0  f x0  . dx x  x0

dr d  r 2 d dr y '' Curvatura: k  3 1  ( y ')2  2 POLARES:

Radio de curvatura:   1

LN

LT

APLICACIONES FISICAS

y=f(x)

y0

Leyes de newton el movimiento de una masa m cumple:

N

T x0

ST

x

α Recta Tangente.

LT : y  y0  y0 '  x  x0   m  tg   y0 ' Recta Normal.

1  x  x0  y0 '

 F  ma

Si x es la posición, la aceleración a y la velocidad v de la masa m Cumple: a 

SN

LN : y  y0  

k

dv dt

v

dx dt

Sistemas mecánicos: Un sistema mecánico consta de tres elementos masa amortiguador y resorte las ecuaciones de las mismas son las siguientes:

Segmento Tangente.

T

y0 2 1   y0 ' y0 '

F  ma

F  cv

Dónde: m=masa

Segmento Normal.

N  y0 1   y0 '

F  kx

K=constante del resorte C=constante del amortiguador

2

Segmento Subtangente.

Sistemas eléctricos:

y ST  0 y0 '

Un sistema eléctrico está conformado por los tres componentes resistencia, bobina y capacitor.

Segmento Subnormal.

S N  y0  y0 ' TRAYECTORIAS ORTOGONALES:

y'  

TRAYECTORIAS ISOGONALES: y ' 

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1 y'

y ' tg 1  y ' tg

v  Ri

vL

di dt

iC

dv dt

Dónde=voltaje[v]; i=intensidad de corriente [A]; L=inductancia [H]; C=capacitancia [F] Página 3

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GRUPOS DE TERMINOS

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DIFERENCIAL EXACTA

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