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• Edwin Gutierrez

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FORMULARIO DE MATEMÁTICA PARA LA U.S.F.X. PRODUCTOS NOTABLES 1.

Cuadrado de un binomio: (a  b) 2  a 2  2ab  b 2

(a  b) 2  a 2  2ab  b 2

2. Cubo de un binomio: (a  b)3  a3  3a 2b  3ab2  b3

(a  b)3  a3  3a 2b  3ab 2  b3

3. Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades: (a  b)(a  b)  a 2  b 2

4. Producto de dos binomios que poseen un término común (x + a)(x + b): ( x  a)( x  b)  x 2  (a  b) x  ab

5. Cuadrado de un trinomio: (a  b  c) 2  a 2  b 2  c 2  2(ab  ac  bc)

6. Cuadrado de un trinomio: (a  b  c) 2  a 2  b 2  c 2  2(ab  ac  bc)

COCIENTES NOTABLES 1)

a n  bn ab

Siempre es divisible

2)

a n  bn ab

Es divisible si n es impar

3)

a n  bn ab

Es divisible si n es par

4)

a n  bn ab

Nunca es divisible

Ejemplos: a 2  b2  ab ab

a 2  b2  ab ab

a 3  b3  a 2  ab  b 2 ab

a 3  b3  a 2  ab  b 2 a b

a 4  b4  a 3  a 2 b  ab 2  b3 a b

a 4  b4  a 3  a 2 b  ab 2  b3 ab

a 5  b5  a 4  a 3b  a 2 b 2  ab3  b 4 a b

a 5  b5  a 4  a 3b  a 2 b 2  ab3  b 4 ab

FACTORIZACIÓN I. Factor común: a) Factor común monomio: 5a2 15ab 10ac  5a  a  3b  2c 

b) Factor común polinomio:

1 3y  x 1  2 y  x 1  3 x 1   x 11 3y  2 y  3   x 1 y  4 II. Factor común por agrupación de términos: 3abx2  2 y 2  2 x2  3aby 2  3abx2  3aby 2    2 y 2  2 x2   3ab  x2  y 2   2  y 2  x2    3ab  2  x2  y 2 

III. Trinomio cuadrado perfecto: a 2  2ab  b 2  (a  b) 2

IV. Diferencia de cuadrados perfectos: a 2  b 2  (a  b)(a  b)

V. Trinomio de la forma x 2  bx  c : x2 + bx + c = ( + ) ( + )

x2 – bx + c = ( – ) ( – )

Ejemplo:

x2  7 x  10   x  5 x  2

5 x 2 = 10 y 5 + 2 = 7

VI. Método de aspas.- Para

ax 2  bx  c

1er. término: Se descompone en dos factores que den resultado al primer término. 3er. término: Se descompone en dos factores que den resultado al tercer término. Ejemplo:

Factorizar:

8x2  2 x  3

Descomponiendo el 1er. y 3er. términos: 8x2 – 2x – 3 4x 2x

– 3 = – 6x +1 = 4x --------– 2x

Factorizado queda:  8x2  2x  3   4x  3 2x  1 VII. Cubo perfecto de binomios: ( x  y )3  x3  3x 2 y  3xy 2  y 3

Ejemplo: Factorizar: 27a3  27a 2b  9ab2  b3

Raíz cúbica de 27a3 = 3 a Raíz cúbica de b3 = b El 2º término: 3(3 a)2.b = 3(9 a2).b = 27a2b El tercer término: 3(3 a) (b)2 = 9ab2 Factorizado queda:  27a3  27a 2b  9ab2  b3   3a  b 3 VIII. Suma o diferencia de cubos perfectos: a) Suma de cubos:

a3  b3   a  b   a 2  ab  b2 

b) Diferencia de cubos:

a3  b3   a  b   a 2  ab  b 2 

M. C. D. y m. c. m. M. C. D.- Es el número, más grande posible, que permite dividir a esos números. Se toma los divisores de los números y el máximo que se repita es el M.C.D. Ejemplo.- Encontrar el M. C. D. de 40 y 60: 1º

Descomponer en factores primos: 40 20 10 5 1

2 2 2 5

60 30 15 5 1

2 2 3 5

2º

Se toman los factores comunes con el menor exponente y se multiplican. 40 = 2x2x2x5 = 23x5 60 = 2x2x3x5 = 22x3x5

M.C.D. = 22x5= 20

Ejemplo: Halla el M. C. D. de: 4a 2  4ab ; 2a 4  2a 2b2  4a2  4ab  4a  a  b   22 a  a  b 

 2a4  2a2b2  2a2  a2  b2   2a2  a  b  a  b 

M. C. D: = 2a(a  b) m. c. m.- De dos o más números es el menor múltiplo común distinto de cero. Ejemplo.- Calcular el m. c. m. de 4, 5 y 6. 1º Se descompone en factores primos: 4 = 2x2 = 22

5 = 5

6 = 2x3

2º Se toman los factores comunes y no comunes con el mayor exponente y se multiplican: 22 x 3 x 5 = 60. El m.c.m. de 4, 5 y 6 es: 60.

Ejemplo: Halla el m.c.m de: 4ax 2  8axy  4ay 2 ; 6b 2 x  6b 2 y  4ax2  8axy  4ay 2  22 a  x  y 

2

 6b x  6b y  6b  x  y   2  3b2  x  y  2

2

2

m.c.m. = 22  3ab 2 ( x  y ) 2  12ab 2 ( x  y ) 2 ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO 1) Resolver: 3x = 8x – 15 3x – 8x = –15 –5x = –15 x = 3

2) Resolver: y – 6 = 3y – 26 y – 3y = – 26 + 6 – 2y = – 20 y = 10

Problemas sobre ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita.- Seguir cuatro pasos: 1. 2. 3. 4.

Comprender el enunciado. Plantear el problema mediante una ecuación. Resolver la ecuación. Comprobar la solución.

1) Tres veces un número menos 12 es igual a 24. ¿Cuál es ese número? Solución: Sea x el número, entonces:

2) ¿36 es, qué porcentaje de 80? Solución: Sea x el porcentaje, por lo tanto:

3x – 12 = 24 3x = 36 x = 12

80 x  36 100 Rpta: 36 es el 45% de 80.

Rpta: El número es 12.

TEORÍA DE LOS EXPONENTES a) Producto de potencias de igual base: a m  a n  a mn

Ejemplos: 1) x6.x9  x69  x15

2) x6.x2  x62  x4

b) División de potencias de igual base: am  a mn an

Ejemplos: 1)

x11 x5

2)

 x115  x6

x4 x6

 x 4 6  x  2

c) Exponente cero: Toda cantidad diferente de cero con exponente cero es igual a la unidad: a0  1

Ejemplos: 1)

40 = 1

2)

0

64  61  6

El exponente cero proviene de dividir potencias iguales de la misma base: a2  a2 

a2 a2

 a 2 2  a 0

a0  1

O sea.

d) Exponente negativo:

Ejemplos: 1)

1

x 5 

x

a0

1 an

an 

5

2 2) a 2  a 3  a  a 23  a 1 3

a

e) Potencia de un producto: ( a  b) n  a n  b n

Ejemplos: 1) ( x  y )7  x 7  y 7 2)

 abc 

3

 a3 b3 c3

f) Potencia de un cociente: n

an a    n b b 4

Ejemplos: 1)

x x4    y y4  

2)

4

1 14 1    4  4 y y y  

g) Potencia negativa de un cociente: a   b

n

n

bn b    n a a

Ejemplos: 1)

4   3

3

3

27 3    64 4

3

3

3  7  343      27 7 3

2)

h) Potencia de potencia:

a 

n m

 a nm

Ejemplos: 1)

x 

4 3

 x4.(3)  x12

2)

(a  

4 2 3

 a 234  a 24

i) Potencia para un exponente: Llamada también escalera de exponentes:

a4

32

9

 a 4  a 2621144

Para efectuar esta operación se toma de dos en dos de arriba hacia abajo: Ejemplo:

3 12

22

18

1

 22  22  22  4

Propiedades que no tienen las potencias No son conmutativas:

an  na

No son asociativas:

a 

No son distributivas respecto a la suma y resta:

( a  b) n  a n  b n

n m

 a (n

m

)

Radicación: n

ax



a  xn

Leyes de exponentes para la radicación: a) Raíz de una potencia: p

n

ap  an

Ejemplos: 5

1)

3

x5  x 3

2)   

Generalizando:

2

6

a 

  

a

b) Potencia de una raíz:

a n

m

p



n

a  m

1

( a  b) 2   a  b  6   a  b  3

p

 n a m p

 a

Ejemplo:

3

4

5

3

a 

4 5

 3 a 45  3 a 20

c) Raíz de un producto: n

Ejemplo:

ab  n a  n b 12

3

15

a12  b15  3 a12  3 b15  a 3  b 3  a 4  b5

d) Raíz de un cociente: n

a  b

n n

a b

12

Ejemplo: 3

a12 3 a12 a 3 a 4   27  9 b 27 3 b 27 b b3

e) Exponente fraccionario: m

a n  n am 5

Ejemplos:

1)

3

4 3  45

2

2)

6 3  3 62

f) Introducción de un factor a un radical: am n b  n amnb x3 3 y 2  3 x33 y 2  3 x9 y 2

Ejemplo:

Leyes de signos para la radicación:  a  

a) Índice par:

2n

b) Índice impar:

2 n 1

2n

a  

a  imaginario

2 n 1

a  

RADICALES Radical.- Exponente racional se conoce como la raíz enésima. 1



an

n

a

a) Suma y resta de radicales: Ejemplo: 3 7  2 7  5 7  12 7 

3  2  5 12

7  8 7

b) Multiplicación de radicales: Ejemplo: x  3 2 x2 

6

x3  6  2 x 2 

2



6

x3  4 x 4 

6

4 x6 x

 x 6 4x

c) División de radicales: Ejemplo: 3 3 16a5  4 3 2a 2 

3 3 16a5 33 3 3 3  8a  2a  a 4 2a 2 4 4 2

d) Potenciación de radicales: Ejemplo:

4 2 

2

 16  22

 16  2  32

e) Radicación de radicales: Ejemplo: Simplificar:

3

8



6

8 

6

23



2

f) Racionalización: - Si el denominador contiene un solo término formado por una sola raíz cuadrada: Basta multiplicar numerador y denominador por la misma raíz cuadrada. Ejemplos: 5

1) Racionalizar: 

5 2



5 2

  2

2



2

5 2 2

2 3 18

2) Racionalizar:  

2 3 18



2 3 2  3 2 2

2 3 32  2 



2 3 3 2

2 6  3 2

6 3

- Si el denominador sólo tiene un término con una raíz de índice cualquiera “n”: Se multiplica numerador y denominador por otra raíz de índice “n” que complete una potencia de exponente “n”. - Si el denominador de la fracción contiene dos términos en uno de los cuales o en los dos hay una raíz cuadrada: Se multiplica el numerador y denominador por la conjugada del denominador.

a b c

La conjugada de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado: Ejemplo: 1)

Racionalizar:

7 5 3

5 3

Multiplicando numerador y denominador por 7  5 3

7 5 3   5 3 5 3

     7



5 3

2

5 

3

2



7



5 3 53





7



5 3 2



ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

ax 2  bx  c  0 Métodos de resolución: a) Usando la fórmula general:

x

b  b 2  4ac 2a

Las raíces o soluciones de la ecuación son: x1 

b  b 2  4ac 2a

x2 

b  b 2  4ac 2a

Ejemplo: Resolver: x2  11x  24 Ordenando se tiene: x 2  11x  24  0

Coeficientes: a =1 ; b =11 ; c = 24

Reemplazando en la fórmula: x

2  b  b2  4ac  11  11  4(1)( 24)  11  121  96  11  25  11  5     2a 2(1) 2 2 2

Las raíces: x1  11  5  6  3 2

2

x2 

11  5 16   8 2 2

b) Usando la factorización: Ejemplo: Resolver:

x2  x  2  2x  4

Factorizando:

x 2  3x  2  0



 x  2 x 1  0

Igualando a cero:

x2  0

Resolviendo:

x2

x 1  0

; x 1

;

Propiedades de las raíces.- Para ax 2  bx  c  0 , las igualdades son: x1  x2   x1 x2 

b a

c a

Ejemplo: 1) Escribir una ecuación de segundo grado cuyas raíces sean 1 y 3. Solución: b b b x1  x2    1 3    2   b  2a a a a c c c x1 x2   1(3)   3   c  3a a a a Reemplazando: ax 2  bx  c  0 Simplificando “a”:



x 2  2x  3  0

ax 2  2ax  3a  0

PROGRESIONES Se entiende por sucesión una colección de números dispuestos uno a continuación de otro. Ejemplo:

a1 , a2 , a3 , a4 ,.... an 2 , an 1 , an ,...

Progresiones aritméticas.- Cada elemento se obtiene sumando al anterior un número fijo llamado razón, que se representa por la letra r . an  an 1  r

Término general de una progresión aritmética: - La primera es siempre a1 - La segunda es el producto El término general es:

 n 1 r

an  a1   n 1 r

Ejemplo: 1) Sea la sucesión: término general?

 1, 3, 5, 7, 9, ... ¿Cuál es su

Solución: Diferencia r = 2 y primer término a1 = 1. an

 a1   n 1 r  1   n 1 .2  1  2n  2  2n 1

Suma de términos consecutivos de una progresión aritmética: a a  Sn   1 n  n  2 

Progresiones geométricas.- Cada elemento se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo llamado razón, y que se representará por la letra r. an  an 1  r

Término general de una progresión geométrica: - La primera es siempre a1 . - El segundo factor es una potencia de base r y exponente un cierto número n – 1. an  a1 r n 1

Ejemplo: ¿Cuál es el término general de la progresión: –1, 2, –4, 8, –16,…? Solución: r

a2 2 4 8 16  ...     a1 1 2 4 8

El término general:



r  2

an  a1 r n1  an  1  2 

n 1

Suma de términos consecutivos de una progresión geométrica: Sn 

an . r  a1 r 1

Sn 

a1  r n  1 r 1

LOGARITMOS El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número. log a x  y



ay  x

log 2 4  2 porque : 22  4

(a  0 y a  0)

log 2 1  0 porque : 20  1

Características de los logaritmos: 1)

No existe el logaritmo de un número con base negativa:

log  a x

2)

No existe el logaritmo de un número negativo:

loga   x 

3)

No existe el logaritmo de cero:

log a 0

4)

El logaritmo de 1 es cero:

log a 1  0

5)

El logaritmo en base “a” de “a” es uno: Ejemplos:

6)

log10  1 ;

log a a  1

ln e  1 ;

El logaritmo en base “a” de una potencia en base “a” es igual al exponente:

log a a n  n

Propiedades de los logaritmos: 1) Logaritmo de un producto: loga  x . y   loga x  loga y

Ejemplo:

log2  4  8  log2 4  log2 8  2  3  5

2) Logaritmo de un cociente:

Ejemplo:

x log a    log a x  log a y  y 8 log 2    log 2 8  log 2 4  3  2  1 4

3) Logaritmo de una potencia:

log a  xn   n . log a x Ejemplo:

log 2 84   4  log 2 8  4  3  12

log 2 2  1

4) Logaritmo de una raíz: log a

Ejemplo:

log 2

 x   logn x n

a

 8   log4 8  43 4

2

5) Cambio de base: log a x 

log b x log b a

Ejemplo: log 2 4 

log 4 4 1  2 log 4 2 1 2

Para tomar en cuenta: 1) log b ( x  y)  log b x  log b y 2)

log b ( x  y)  log b x  log b y

3)

log b x n

 n. log b x

Antilogaritmo:

anti log a y  x

Cologaritmo:

co log x  log

1   log x x

No constituyen propiedades de los logaritmos



ay  x

ELEMENTOS DE GEOMETRIA Ángulos formados por dos rectas y una secante: L3

2 L1

3

6

L2

7

1 4

5 8

Ángulos alternos internos: Ángulos alternos externos: Conjugados internos: Conjugados externos: Correspondientes:

4=6 y 3=5 2=8 y 1=7 3+6 = 180º y 4+5 =180º 2+7= 180º y 1+8 =180º 2=6;3=7;1=5;4=8

Ángulos de lados perpendiculares: 

 



Clasificación de triángulos: a) Según sus lados: a) Equilátero: Sus tres lados iguales

b) Isósceles: Dos lados iguales y uno desigual

c) Escaleno: Tres lados desiguales

Escaleno Equilátero Isósceles

b) Según sus ángulos: a) Rectángulo: Un ángulo recto

b) Acutángulo: Tres ángulos agudos

c) Obtusángulo: Un ángulo obtuso

Rectángulo

Acutángulo

Obtusángulo

Líneas notables en un triángulo.- Tienen mucha importancia en la solución de ejercicios.

a) Medianas de un triángulo: Son los segmentos que unen un vértice con el punto medio del lado opuesto. A

Mc

Mb

G

B

C Ma

Llamadas también transversales de gravedad, se cortan siempre en un punto llamado baricentro “G” AG = 2GMa

b) Bisectrices de un triángulo: Son las rectas que determinan con los lados adyacentes ángulos de igual medida. C

I

B P

A

Las bisectrices se cortan en un punto llamado incentro “I” y la circunferencia que se observa es inscrita al triángulo.

c) Alturas de un triángulo: Son las rectas perpendiculares trazadas desde los vértices a los lados opuestos o a sus prolongaciones. C

Las alturas se cortan en un punto llamado ortocentro “H” A

B

d) Mediatrices.- Son las rectas perpendiculares a los lados del triángulo, en sus puntos medios. A

O

C

B

Llamadas también simetrales, se cortan en un punto llamado circuncentro “O”.

ELEMENTOS DE TRIGONOMETRÍA Ángulos positivos y negativos.- Positivo contrario a las agujas del reloj y negativo en sentido contrario

Funciones trigonométricas:

sen  

cat.opuesto hipotenusa

tag  

cat.opuesto  cat.adyacente



a c

cos  

cat.adyacente  hipotenusa

b c

a b

c2 = a2 + b2

Teorema de Pitágoras:

(hipotenusa)2 = (cateto)2 + (cateto)2 Funciones trigonométricas en el círculo unitario:

Funciones trigonométricas de ángulos notables 0º

30º

45º

60º

90º

37º

53º

sen θ

0

1 2

2 2

3 2

1

3 5

4 5

cos θ

1

3 2

2 2

1 2

0

3 5

tag θ

0

3 3

1

4 5 3 4

3

4 3

Triángulos notables:

37 º

30º 30º

45º

1

1

2

1

5

4

53º 60º

60º 1 2

45º

1 2

Equilátero: para definir funciones de 30º y 60º

3

1

Rectángulo isósceles: para definir funciones de 45º

Rectángulo 3, 4 y 5: para definir funciones de 37º y 53º

RELACIONES FUNDAMENTALES a) Identidades trigonométricas usuales: sen 2  cos 2   1 sen  

1 csc 

1  tan 2   sec 2  cos  

1 sec 

1  cot 2   csc 2 

tan  

sen  cos 

b) Funciones trigonométricas diferencia de dos ángulos:

de

la

suma

sen (   )  sen  cos   sen  cos  cos (   )  cos  cos   sen sen tan (   ) 

tan   tan  1  tan  tan 

c) Funciones trigonométricas del ángulo doble: sen 2  2 sen cos  2 tan  tan 2  1  tan 2 

cos 2  cos 2   sen 2 

d) Reducción de ángulos al primer cuadrante:   cos  x    sen x  2   

cos  x   sen x  2 

cos  x    cosx 

cos  x    cosx   3 

cos  x   sen x   2   3  cos  x    sen  x   2 

  sen  x   cosx  2 

  sen  x   cos x  2  sen  x    senx  sen  x   senx   3  sen  x    cos x   2   3  sen  x    cos x   2 

y

e) Transformación de sumas y restas en producto: x  y x  y sen x   sen y   2 cos  sen   2   2  x  y x  y sen x   sen y   2 sen  cos   2   2  x  y x  y cos x   cos y   2 cos  cos   2   2  x  y x  y cos x   cos y   2sen  sen   2   2 

TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

a) Teorema de los cosenos: a2

 b 2  c 2  2 b c cos 

b2

 a 2  c 2  2 a c cos 

c

2

 a 2  b2  2 a b cos 

b) Teorema de los senos: a sen 



b sen 



c sen 

c) Ángulos interiores:  +  + θ = 180º