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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Fase 5 - Realizar el trabajo final - Aplicar los conceptos de las unidades vistas

TUTOR: ANDRES FERNANDO MOSQUERA

INTEGRANTES:

PEDRO LUIS ROJAS VILLAMIZAR. Cód: 13279212 BRAYAN RODOLFO ARDILA. Cód: 99062002960- 1098820461 DIANA MAYERLI MARTINEZ. Cód: JULIAN DAVID PEREZ. Cód: 1090175681

Colombia, 12 de diciembre de 2018

1. Si: ∠ AOD=2x; ∠DOC=5x; ∠COB=3x. ¿Cuánto mide cada ángulo?

2𝑥 + 5𝑥 + 3𝑥 = 180 10𝑥 = 180 𝑥=

180 10

𝑥 = 18 ∠ AOD=36°; ∠DOC=90°; ∠COB=54°

2. Hallar los complementos de los siguientes ángulos: a) 18° b) 36°52’ c) 48°39’15’’

a) 90° − 18° = 72°

b) 89°60´ − 36°52´ = 53°08´

c) 89°59´60´´ − 48°39´15´´ = 41°20´45´´

3. Encontrar los suplementos de los siguientes ángulos: a) 78° b) 92°15’ c) 123°9’16’’

a) 180° − 78° =

b) 179°60´ − 92°15´ = 87°45´ c) 179°59´60´´ − 123°9´16´´ =

102°

56°50´44´´

4. Si el ∠AOB es recto y ∠AOC y ∠BOC están en relación 4:5, ¿cuánto vale cada ángulo?

∠AOC = 𝑥

𝑥+𝑦 4+5 = 𝑦 5

𝑦 = 50° 𝑥 = 40°

∠BOC = 𝑦 𝑥 4 = 𝑦 5

90 9 = 𝑦 5 𝑦=

90 ∗ 5 9

5. Si el ∠AOD es recto y ∠AOB=2x; ∠BOC=3x; ∠COD=4x, ¿cuánto vale cada ángulo?

2𝑥 + 3𝑥 + 4𝑥 = 90 9𝑥 = 90 𝑥=

90 9

𝑥 = 10 ∠AOB=20°

∠BOC=30° ∠COD=40° 6. si ∠BOC=2∠AOB, hallar: ∠AOB y ∠COD

2𝑥 + 𝑥 = 180 3𝑥 = 180 𝑥 = 60 ∠AOB = 60° y ∠COD = 60°

7. Si ∠MON y ∠NOP están en la relación 4 a 5, ¿cuánto mide cada uno?

5𝑥 + 4𝑥 = 180 9𝑥 = 180 𝑥 = 20 ∠MON = 80° y ∠NOP = 100°

8. Hallar el ángulo que es igual a su complemento:

Ángulo = 𝑥 Complemento = 90 − 𝑥

2𝑥 = 90 𝑥=

90 2

𝑥 = 90 − 𝑥 𝑥 = 45° 𝑥 + 𝑥 = 90

9. Encontrar el ángulo que es el doble de su complemento

Ángulo= 𝑥 Doble del complemento = 2(90 − 𝑥)

3𝑥 = 180 𝑥=

180 3

𝑥 = 2(90 − 𝑥) 𝑥 = 60° 𝑥 = 180 − 2𝑥 Los ángulos son 60° y 30° 𝑥 + 2𝑥 = 180

10. Un ángulo y su complemento están en relación 5 a 4, hallar dicho ángulo y su complemento

Ángulo = 𝑥

4𝑥 + 5𝑥 = 450

Complemento = 90 − 𝑥

9𝑥 = 450

𝑥 5 = 90 − 𝑥 4

𝑥 = 50 Ángulo = 50°

4𝑥 = 5(90 − 𝑥) Complemento = 40° 4𝑥 = 450 − 5𝑥

11. Dos ángulos están en relación 3 a 4 y su suma es igual a 70°. Hallarlos.

Ángulo 1 = 𝑥

70 7 = 𝑦 4

Ángulo 2 = 𝑦 𝑥 3 = 𝑦 4

𝑦=

70 ∗ 4 7

𝑦 = 40 𝑥+𝑦 3+4 = 𝑦 4

𝑥 = 30

12. Dos ángulos se encuentran en relación 4 a 9 y su suma es igual a 130°. Hallarlos

Ángulo 1 = 𝑥

130 13 = 𝑦 9

Ángulo 2 = 𝑦 𝑥 4 = 𝑦 9

𝑦=

130 ∗ 9 13

𝑦 = 90 𝑥+𝑦 4+9 = 𝑦 9

𝑥 = 40

13. Los lados de un triángulo miden 6, 7 y 9 cm. Construir el triángulo y calcular su perímetro y su semiperimetro.

Perímetro = 6 + 7 + 9 = 21𝑐𝑚 Semiperímetro =

6+7+9 2

=

21 2

𝑐𝑚

14. Los lados de un triángulo miden 3,4 y 5 pulgadas. Construir el triángulo y calcular su perímetro y su semiperímetro tanto en pulgadas como en cm (tomar como valor de la pulgada 2,54 cm). 3 pulgadas = 7.62 cm 4 pulgadas = 10.16 cm 5 pulgadas = 12.7 cm Perímetro = 3 + 4 + 5 = 12 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠 Perímetro = 7.62 + 10.16 + 12.7 = 30.46 𝑐𝑚 Semiperímetro =

3+4+5 2

= 6 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠

7.62+10.16+12.7

Semiperímetro = = 15.23 𝑐𝑚 2 15. Construir un triángulo que tenga un ángulo que mida 60° y los lados que lo forman midan 3 y 4 pulgadas. Trazar las tres medianas y señalar el baricentro.

16. Construir un triángulo que tenga un lado que mida 4 pulgadas y los ángulos adyacentes midan 40° y 50 °. Trazar las bisectrices y señalar el incentro.

17. Construir un triángulo rectángulo que tenga un cateto que mida 6 cm y un ángulo agudo de 50°, dibujar las tres mediatrices.

18. Construir un triángulo rectángulo que tenga una hipotenusa que mida 5 cm y un ángulo que mida 45°. Dibujar las tres medianas.

19. Dos ángulos de un triángulo miden 40 y 30 ° respetivamente. ¿Cuánto mide el tercer ángulo y cada uno de los ángulos exteriores?

Los tres ángulos deben medir 180°

Los ángulos exteriores miden:

40° + 30° + 𝐴 = 180°

𝐴′ = 180° − 110° = 70°

70° + 𝐴 = 180°

𝐵 ′ = 180° − 40° = 140°

𝐴 = 180° − 70°

𝐶 ′ = 180° − 30° = 150°

𝐴 = 110°

20. Calcular la apotema de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 3 m de radio si el lado del cuadrado mide 𝟑√𝟐m.

𝑎 = √(3)3 − (

2

3√2 2

)

9

𝑎 = √9 − 2 9

𝑎 = √2 𝑎=

3√2 2

m

21. Calcular la apotema de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de 5 m de radio, si el lado del triángulo mide 𝟓√𝟑 m.

2

5√3 𝑎 = √(5)3 − ( 2 )

𝑎 = √25 − 25

𝑎 = √2 𝑎=

5√2 2

m

25 2

22. Sabiendo que el lado del octágono regular inscrito en una circunferencia de 6 m de radio es igual a 6√𝟐 − √𝟐 𝒎 , hallar el lado del polígono regular de 16 lados inscritos en la misma circunferencia.

Calculamos apotema del octágono: 2

𝑎 = √(6)2 − (3√2 − √2 ) 𝑎 = √36 − (9(2 − √2)) 𝑎 = √36 − 18 + 9√2

Calculamos la distancia que hay desde el vértice del hexadecágono y el punto medio del lado del octágono: 𝐿 = 6 − 3√2 + √2 𝐿 = 3 (2 − √2 + √2)

Calculamos la base del hexadecágono: 2

2

𝑏 = √(3√2 − √2 ) + (3 (2 − √2 + √2))

𝑏 = √9(2 − √2) + 9 (2 − √2 + √2)

2

𝑏 = √18 − 9√2 + 9 (4 − 4√2 + √2 + 2 + √2)

𝑎 = √18 + 9√2 𝑏 = √18 − 9√2 + 36 − 36√2 + √2 + 18 + 9√2 𝑎 = 3√2 + √2 𝑏 = √72 − 36√2 + √2

23. Si el lado del hexágono regular inscrito en una circunferencia de 9 m de radio es igual a 9 m, hallar el lado del hexágono regular circunscrito a la misma circunferencia. 𝐴𝑉 = 9 → 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜. 𝑃𝑉 = 𝑌 → 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟. ∡𝑃𝐴𝑉 = 30° Usando las propiedades de los triángulos especiales: 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 =

𝑌=

𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 √3 3

9√3 → 𝑌 = 3√3 ; 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 3

𝑃𝑄 = 2(3√3) → 𝑃𝑄 = 6√3 𝑚.

24. Si el lado del cuadrado inscrito en una circunferencia de 7 m de radio es igual a 𝟕√𝟐m, hallar el lado del cuadrado circunscrito a la misma circunferencia. 𝐴𝐻 = 7 → 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜. 𝐻𝐾 = 𝑌 → 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟. ∡𝐻𝐴𝐾 = 45° Usando las propiedades de los triángulos especiales: 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 = 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟. 𝑌 = 7 𝑚; 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜,

𝐾𝑁 = 2(7) → 𝐾𝑁 = 14 𝑚.

25. El perímetro de un cuadrado inscrito en una circunferencia es 𝟐𝟎√𝟐 m, hallar le diámetro de esta circunferencia. Como el perímetro es 𝑃 = 20√2 𝑚 𝑙 = 5√2𝑚 𝑙 = 𝑟√2𝑚 Por lo tanto 𝑟 = 5 D = 2r  D = 2(5)  D = 10m.

26. Si el perímetro de un hexágono regular inscrito en una circunferencia es igual a 48 cm, calcular el diámetro de dicha circunferencia. 𝑃 = 48𝑐𝑚 𝑙=

48𝑐𝑚 = 8𝑐𝑚 6

En el caso del hexágono el radio y el lado son iguales: 𝑙 = 𝑟 = 8𝑐𝑚 Por lo tanto, 𝐷 = 2𝑟 → 𝐷 = 2(8) → 𝐷 = 16𝑐𝑚.

27. Calcular el lado del octágono regular inscrito en la circunferencia cuyo radio es igual √𝟐 + √𝟐 m. 𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 = √2 + √2 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 = 𝑌 𝜃 = 22,5° sin 22,5° =

𝑌 √2+√2

𝑌 = √2 + √2 ∗ sin 22,5° → 𝑌 = Por lo tanto, 𝑃𝑄 = 2 ∗

√2 2

√2 2

→ 𝑃𝑄 = √2 𝑚.

28. El lado del decágono regular inscrito en una circunferencia cuyo diámetro mide 2+2√𝟓 m. 𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 = 1 + √5 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 = 𝑌 𝜃 = 18° 𝑌

sin 18° = 1+√5 𝑌 = 1 + √5 ∗ sin 18° → 𝑌 = 1. Por lo tanto, 𝑃𝑄 = 2 ∗ 1 → 𝑃𝑄 = 2 𝑚.

29. Calcular el lado del decágono regular inscrito en una circunferencia cuyo radio mide 𝟐 + √𝟑 𝒎. 𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 = 2 + √3 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 = 𝑌 𝜃 = 18° 𝑌

sin 18° = 2+√3 𝑌 = 2 + √3 ∗ sin 18° → 𝑌 = 1,15 Por lo tanto, 𝑃𝑄 = 2 ∗ 1,15 → 𝑃𝑄 = 2,30 𝑚.

Conclusiones Los estudiantes del curso de geometría nos sentimos muy contentos y llenos de más conocimientos pues ya tenemos claros los siguientes temas como son el Teorema de Pitágoras, Aportes de Euclides a La Geometría, Área de un triángulo en función de sus lados, Geometría como ciencia deductiva, Principios de la Geometría Euclidiana, Método deductivo,Axioma,Postulado,Teorema,Corolario,Lema,Escolio,Problema,Método deductivo,Punto,Línea,Segmento,Semirrecta,Plano,Semiplano,Polígono Cóncavo, Polígono Convexo, Sistema métrico decimal, Sistema sexagesimal, Sistema cíclico, Clases de ángulos, Rectas perpendiculares, Rectas paralelas, Sistema Inglés, Triángulo, Perímetro y semiperímetro Polígonos, Razón, Proporción, Teorema de Thales, Semejanza de triángulos, Círculo, Circunferencia, Líneas de la circunferencia. Todo esto va a ser de gran ayuda para nuestro proceso de aprendizaje y de enseñanza.

REFERENCIAS Clemens, O´Daffer, Cooney. Geometría con aplicaciones y solución de problemas. Addison Wesley. México, 1984. Pp. 110-137. Galdós, L. Geometría y trigonometría. COLCULTURAL, Madrid. 2000. Pp.699-741. A.V. Pogorélov. Geometría elemental. Editorial MIR, Moscú. 1978. Pp. 89-102