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• Manuel Cerpa de Salazar

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FASE 3 – ACTIVIDAD FUNDAMENTOS DE DETERMINANTES Y ESPACIOS

PRESENTADO POR: Aristobulo Marin

TUTOR: Andrés Felipe Correa

GRUPO: 551111_8

UNAD- UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ALGEBRA LINEAL (LIC. EN MATEMATICAS) 2019

TAREA 1: Determinantes b. Calcule el determinante: 1 𝐴=| 1 0 −1

1 2 2 4

3 2 −1 2| 1 −4 3 −2

Aplicando el método de cofactores 2 −1 2 1 −1 2 1 2 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 1 |2 1 −4| − 1 | 0 1 −4| + 3 | 0 2 4 3 −2 −1 3 −2 −1 4

2 1 2 −1 −4| − 2 | 0 2 1 | −2 −1 4 3

Haciendo las siguientes sustituciones y hallando sus respectivos determinantes 2 Siendo 𝑎 = |2 4

−1 2 1 −4| 3 −2 𝑑𝑒𝑡(𝑎) = 2 |

1 −4 2 | + 1| 3 −2 4

2 −4 | + 2| 4 −2

1 | 3

𝑑𝑒𝑡(𝑎) = 36 1 −1 2 Siendo 𝑏 = | 0 1 −4| −1 3 −2 1 −4 0 1 0 −4 𝑑𝑒𝑡(𝑏) = 1 | |+1| | + 2| | 3 −2 −1 3 −1 −2 𝑑𝑒𝑡(𝑏) = 8 1 2 Siendo 𝑐 = | 0 2 −1 4

2 −4| −2

2 𝑑𝑒𝑡(𝑐) = 1 | 4

−4 0 −4 0 2 | − 2| | + 2| | −2 −1 −2 −1 4 𝑑𝑒𝑡(𝑐) = 24

1 2 Siendo 𝑑 = | 0 2 −1 4

−1 1| 3

2 𝑑𝑒𝑡(𝑑) = 1 | 4

1 0 | − 2| 3 −1

1 0 | − 1| 3 1

2 | 4

𝑑𝑒𝑡(𝑑) = −2 Utilizando la siguiente fórmula 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 1[𝑑𝑒𝑡(𝑎)] − 1[𝑑𝑒𝑡(𝑏)] + 3[𝑑𝑒𝑡(𝑐)] − 2[𝑑𝑒𝑡(𝑑)] Ahora reemplazando 𝑑𝑒𝑡(𝑎), 𝑑𝑒𝑡(𝑏), 𝑑𝑒𝑡(𝑐) y 𝑑𝑒𝑡(𝑑) en 𝑑𝑒𝑡(𝐴) 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 1[36] − 1[8] + 3[24] − 2[−2] Eliminando los paréntesis 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 36 − 8 + 72 + 4 Operando 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 104

TAREA 2: Vectores e. Calcule la 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑣 𝑢 sabiendo que: a) 𝑢 = 3𝑖 + 2𝑗 ; 𝑣 = 𝑖 + 4𝑗 Se sabe que la fórmula de proyección es

𝑃𝑟𝑜𝑦𝑣 𝑢 =

𝑢 ⃗ ∙𝑣 𝑣 (|𝑣|)2

Primero se va a hallar el producto punto, 𝑢 ⃗ ∙𝑣 𝑢 ⃗ ∙ 𝑣 = (3,2) ∙ (1,4) 𝑢 ⃗ ∙ 𝑣 = [(3)(1) + (2)(4)] 𝑢 ⃗ ∙ 𝑣 = (3 + 8) 𝑢 ⃗ ∙ 𝑣 = 11 Segundo, se va a hallar la norma de 𝑣, |𝑣| |𝑣| = √(1)2 + (4)2 |𝑣| = √1 + 16 |𝑣| = √17 Ahora, reemplazando en la fórmula de proyección

𝑃𝑟𝑜𝑦𝑣 𝑢 =

11 (√17)

2

(1,4)

Por propiedades

𝑃𝑟𝑜𝑦𝑣 𝑢 =

11 (1,4) 17

Finalmente se multiplica el escalar encontrado por cada coordenada del vector 𝑣

11 11 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑣 𝑢 = [(1) ( ) , (4) ( )] 17 17

𝑃𝑟𝑜𝑦𝑣 𝑢 = (

11 44 , ) 17 17

b) 𝑢 = 3𝑖 − 2𝑗 + 6𝑘 ; 𝑣 = −2𝑖 + 𝑗 Se sabe que la fórmula de proyección es

𝑃𝑟𝑜𝑦𝑣 𝑢 =

𝑢 ⃗ ∙𝑣 𝑣 (|𝑣|)2

Primero se va a hallar el producto punto, 𝑢 ⃗ ∙𝑣 𝑢 ⃗ ∙ 𝑣 = (3, −2,6) ∙ (−2,1,0) 𝑢 ⃗ ∙ 𝑣 = [(3)(−2) + (−2)(1) + (6)(0)] 𝑢 ⃗ ∙ 𝑣 = (−6 − 2 + 0) 𝑢 ⃗ ∙ 𝑣 = −8 Segundo, se va a hallar la norma de 𝑣, |𝑣| |𝑣| = √(−2)2 + (1)2 |𝑣| = √4 + 1 |𝑣| = √5 Ahora, reemplazando en la fórmula de proyección

𝑃𝑟𝑜𝑦𝑣 𝑢 =

−8 (√5)

2

(−2,1)

Por propiedades

𝑃𝑟𝑜𝑦𝑣 𝑢 =

−8 (−2,1) 5

Finalmente se multiplica el escalar encontrado por cada coordenada del vector 𝑣

𝑃𝑟𝑜𝑦𝑣 𝑢 = [(−2) (

−8 8 ) , (1) ( )] 5 5

16 8 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑣 𝑢 = ( , ) 5 5 h. Determine el producto cruz 𝑢 × 𝑣 sabiendo que: a) 𝑢 = (3, −1,5) ; 𝑣 = (4,1,5) Reorganizando los vectores 𝑖 𝑢 × 𝑣 = |3 4

𝑗 𝑘 −1 5| 1 5

Operando por cofactores −1 5 3 5 3 −1 𝑢×𝑣 = 𝑖| |−𝑗| |+𝑘| | 4 1 1 5 4 5 𝑢 × 𝑣 = 𝑖[(−1)(5) − (1)(5)] − 𝑗[(3)(5) − (4)(5)] + 𝑘[(3)(1) − (4)(−1)] 𝑢 × 𝑣 = 𝑖[−5 − 5] − 𝑗[15 − 20] + 𝑘[3 + 4] 𝑢 × 𝑣 = −10𝑖 + 5𝑗 + 7𝑘

b) 𝑢 = (2, −3,4) ; 𝑣 = (1,1, −6) Reorganizando los vectores 𝑖 𝑢 × 𝑣 = |2 1

𝑗 𝑘 −3 4 | 1 −6

Operando por cofactores −3 4 2 4 2 −3 𝑢×𝑣 = 𝑖| |−𝑗| |+𝑘| | 1 −6 1 −6 1 1 𝑢 × 𝑣 = 𝑖[(−3)(−6) − (1)(4)] − 𝑗[(2)(−6) − (1)(4)] + 𝑘[(2)(1) − (1)(−3)] 𝑢 × 𝑣 = 𝑖[18 − 4] − 𝑗[−12 − 4] + 𝑘[2 + 3] 𝑢 × 𝑣 = 14𝑖 + 16𝑗 + 5𝑘 I.

Determine una ecuación vectorial, ecuaciones paramétricas y ecuaciones simétricas de las rectas a) Contiene los puntos (5, −1,4) y (6,2,5) Primero se va a tomar uno de los puntos como vector 𝑢 ⃗ = (5, −1,4) La ecuación de la recta es (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (6,2,5) + 𝛼(5, −1,4) Ahora, igualando vectores se hallan las ecuaciones paramétricas 𝑥 = 6 + 5𝛼 {𝑦 =2−𝛼 𝑧 = 5 + 4𝛼 Finalmente, para las ecuaciones simétricas, se va a despejar el parámetro

Para 𝑥

Para 𝑦

Para 𝑧

𝑥 = 6 + 5𝛼

𝑦 =2−𝛼

𝑧 = 5 + 4𝛼

𝑥 − 6 = 5𝛼

𝑦 − 2 = −𝛼

𝑧 − 5 = 4𝛼

𝑥−6 =𝛼 5

2−𝑦 =𝛼

𝑧−5 =𝛼 4

Igualando 𝑥−6 𝑧−5 =2−𝑦 = 5 4 J. Determine la ecuación del plano que contiene los puntos: a) A=(1, 1, 1), B=(1, 1,0) y C=(1,0,0) La ecuación del plano que pasa por los puntos A, B y C está dada por 𝑥−1 𝑦−1 | 0 0 0 −1

𝑧−1 −1 | = 0 −1

(𝑥 − 1) | 0 −1| = 0 −1 −1

1 − 𝑥 = 0. b) A=(2,1,1), B=(3,2,1) y C=(3,1,-1) Como en a), la ecuación del plano está dada por 𝑥−2 𝑦−1 | 1 1 1 0

𝑧−1 0 |=0 −2

(𝑥 − 2) |1 0

0 1 1 1 0 | − (𝑦 − 1) | | + (𝑧 − 1) | |=0 −2 1 0 1 −2

−2𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 + 3 = 0 K. Halle la ecuación del conjunto de todos los puntos de intersección del plano:

a) 𝜋1 : −𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 3 = 0 y 𝜋2 : −4𝑥 + 2𝑦 − 7𝑧 − 5 = 0 Sean 𝑛1 y 𝑛2 los vectores normales a los planos 𝜋1 y 𝜋2 respectivamente están dados por 𝑛1 = (−1,1,1) y 𝑛2 = (−4,2, −7). Así 𝑛1 × 𝑛2 es un vector paralelo a la recta intersección. Al calcular obtenemos 𝑣 = 𝑛1 × 𝑛2

𝑖 𝑗 𝑘 = |−1 1 1 | −4 2 −7

1 1 −1 1 −1 1 = 𝑖| |−𝑗| |+𝑘| | 2 −7 −4 −7 −4 2

= (−9, −11,2). Si z=0, entonces −𝑥 + 𝑦 − 3 = 0 { −4𝑥 + 2𝑦 − 5 = 0 Al resolver el sistema obtenemos que 𝑥 = 1/2 y 𝑦 = 7/2. Entonces, un punto de la recta es 1 7

𝑃0 = (2 , 2 , 0). Con esto, el conjunto de puntos de la intersección entre estos dos planos está dado por 1 7 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = ( , , 0) + 𝑡(−9, −11,2), 2 2

donde 𝑡 es cualquier número real. L. Encuentre el punto de intersección de la recta: 𝒙 = 𝟒 + 𝟓𝒕 𝒚 = −𝟐 + 𝒕𝝐ℝ 𝒛=𝟒−𝒕 Y el plano 𝝅𝟏 : 𝟑𝒙 − 𝒚 + 𝟕𝒛 + 𝟖 = 𝟎 Reemplazando las ecuaciones de la recta en a ecuación del plano obtenemos que 3(4 + 5𝑡) − (−2 + 𝑡) + 7(4 − 𝑡) + 8 = 0

12 + 15𝑡 + 2 − 𝑡 + 28 − 7𝑡 + 8 = 0

50 + 7𝑡 = 0

𝑡=−

50 . 7

Con las ecuaciones de la recta, se tiene que el punto de intersección es (4 + 5 (−

50 50 50 ) , −2 − , 4 + ) 7 7 7

= (4 −

= (−

250 64 78 ,− , ) 7 7 7

222 64 78 ,− , ). 7 7 7