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Sistemas de Control en Tiempo Continuo

Jeison Tacué González [email protected] Oficina 316 FIET 2° piso

Introducción a Sistemas Dinámicos Ejercicio: Modelar el siguiente sistema en ecuaciones diferenciales y observar la evolución de la corriente. 𝑑2 𝑅𝑑 1 𝑉𝑓 𝑞+ 𝑞+ 𝑞= 𝑑𝑡 𝐿 𝑑𝑡 𝐿𝐶 𝐿

𝐼𝑐 = 𝐶

𝑑 𝑉𝑐 𝑑𝑡

𝑉𝑙 = 𝐿

𝑑 𝑖 𝑑𝑡

𝑉𝑐 =

1 𝐶

𝐼=

𝑖𝑑𝑡

𝑑 𝑞 𝑑𝑡

Representación en Espacio de Estados Sistemas lineales Representación en Espacio de Estados (EE) 

Es un modelo matemático de un sistema físico descrito mediante un conjunto de entradas, salidas y variables de estado relacionadas por ecuaciones diferenciales de primer orden, que se combinan en una ecuación diferencial matricial de primer orden.



Las variables de estado describen la respuesta futura de un sistema, conocido el estado presente, las señales de excitación y las ecuaciones que describen la dinámica.

Representación en Espacio de Estados Sistemas lineales Representación en Espacio de Estados (EE) 

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En ocasiones es necesario conocer lo que sucede dentro del sistema para alguna de sus variables Aplicable a sistemas lineales y no lineales Permite analizar sistemas de más de una entrada o más de una salida Pueden ser sistemas variantes o invariantes en el tiempo Las condiciones iniciales pueden ser diferentes de cero Resultados sencillos y elegantes

Representación en Espacio de Estados Sistemas Lineales en Espacio de Estados

Representación en Espacio de Estados Sistemas Lineales en Espacio de Estados

Representación Gráfica de Sistemas Lineales

Representación en Espacio de Estados Sistemas Lineales en Espacio de Estados

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Analizar el sistema consiste en predecir la respuesta , ante una excitación, conocida la energía inicial del sistema. Solución de una Ecuación diferencial.

Representación en Espacio de Estados Pasos para obtener la representación en E.E. de la forma 1- Hallar la ecuación diferencial que describe el sistema 2- Observar si es un sistema LTI (caso de estudio para la asignatura), y determinar su grado diferencial (n) 3- Plantear las Xn nuevas variables de estado (VE) e igualarlas con su respectiva variable a representar de la ecuación diferencial 4- Reemplazar las VE en la ecuación diferencial 5- Escribir de forma matricial lineal (ver arriba)

Representación en Espacio de Estados Ejercicio: Modelar el siguiente sistema en ecuaciones diferenciales y observar la evolución de la corriente mediante representación en EE. 𝑑2 𝑅𝑑 1 𝑉𝑓 𝑞+ 𝑞+ 𝑞= 𝑑𝑡 𝐿 𝑑𝑡 𝐿𝐶 𝐿

0 𝑥1 1 = 𝑥2 − 𝐿𝐶

1 𝑥 0 1 𝑅 1 𝑉𝑓 + 𝑥2 − 𝐿 𝐿

𝑥1 𝑦= 0 1 𝑥 2

Representación en Espacio de Estados Ejercicio: Modelar el siguiente sistema en ecuaciones diferenciales y observar la evolución de la posición mediante representación en EE.

𝑑2 𝐵𝑑 𝑘 𝑥+ 𝑥+ 𝑥=𝑔 𝑑𝑡 𝑚 𝑑𝑡 𝑚

Estabilidad de Sistemas Dinámicos Estabilidad de Sistemas  La estabilidad de un sistema es su propiedad más importante, tanto es así que no se puede hablar de control si el sistema no es estable. La ausencia de esta propiedad vuelve inútil en la práctica a cualquier sistema. “Un sistema es estable si al inyectar una entrada acotada su respuesta también es acotada”

Estabilidad de Sistemas Dinámicos Estabilidad de Sistemas 

Prueba de estabilidad. Un sistema es estable si la respuesta ante una señal impulso tiende a cero cuando el tiempo tiende a infinito. Si por el contrario el sistema tiende a un valor finito el sistema es críticamente estable, para una salida de amplitud infinita el sistema es inestable.

Estabilidad de Sistemas Dinámicos Estabilidad de Sistemas 

Ejemplo real

Estabilidad de Sistemas Dinámicos Calculo de la Estabilidad de Sistemas en Representación de EE

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Se debe obtener el polinomio característico del sistema y hallar sus raíces.

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Cuando se habla de raíces en algebra, en algebra lineal se habla de valores propios o eigenvalores, mientras que en sistemas se tratan como polos del sistema.

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Si los valores propios de la matriz A tienen todos parte real negativa entonces el sistema es estable.

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La estabilidad depende exclusivamente de la matriz A.

Estabilidad de Sistemas Dinámicos Calculo de la Estabilidad de Sistemas en Representación de EE

Determinar la estabilidad de los sistemas y ubique los polos en el plano complejo.

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R=1 Ω

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L=0,5 H

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C=0,1 F

0 1 𝑥 0 𝑥1 1 1 𝑅 = + 1 𝑉𝑓 𝑥 𝑥2 − − 2 𝐿𝐶 𝐿 𝐿 𝑥1 0 1 𝑥1 0 = + 𝑉𝑓 𝑥2 −2 2 𝑥2 1

Controlabilidad de Sistemas Dinámicos Controlabilidad 

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Un sistema es controlable si existe una señal de entrada que puede llevarlo de un estado inicial a un estado final. El sistema es controlable si la matriz de controlabilidad (Mc) es invertible. Es decir el det(Mc) ≠ 0

𝑥1 1 0 𝑥1 0 = + 𝑉𝑓 𝑥2 0 2 𝑥2 1

Observabilidad de Sistemas Dinámicos Observabilidad 

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Un sistema es completamente observable si y sólo si existe un tiempo finito T de forma que el estado inicial se pueda estimar a partir de la observación de la salida dada la señal de control. El sistema es observable si la matriz de Observabilidad (Mo) es invertible. Es decir el det(Mo) ≠ 0 𝑥1 2 0 𝑥1 0 = + 𝑉𝑓 𝑥2 −1 1 𝑥2 1

𝑥1 𝑦= 1 1 𝑥 2

Gracias…