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Sistemas dinámicos Etapa 2

Grupo: 25

Estudiantes: Edgardo Tobon Juan David Aparicio Jaime Andres Maya

Tutor: Francisco Fernandez

Universidad Abierta y a distancia UNAD Octubre de 2018

Contenido Introducción ............................................................................................................................... 3 Listado de conceptos desconocidos ........................................................................................... 4 Resultado de consultas ............................................................................................................... 6 Problema .................................................................................................................................... 7 Desarrollo de actividad .............................................................................................................. 8 Circuito 3 por Juan David Aparicio ....................................................................................... 8 Circuito 4 por Edgardo Tobón Zúñiga ................................................................................. 15 Circuito 5 Por Jaime Andrés Amaya ................................................................................... 19 Videos ...................................................................................................................................... 21 Conclusiones ............................................................................................................................ 22 Referencias bibliográficas ........................................................................................................ 23

Introducción

El estudio de los sistemas dinámicos en la Unidad 2 - Etapa 2 - Modelar el sistema dinámico en el dominio de la frecuencia el modelado matemático y el análisis de la respuesta delos sistemas dinámicos en el siguiente trabajo colaborativo aprendemos a resolver ejercicios de circuitos electrónicos al hallar el modelamiento en el dominio de frecuencia del circuito RLC por medio de fórmulas matemáticas. Cuando a un sistema se le somete a una excitación de tipo senoidal en la entrada y se observa la señal de salida en el régimen permanente, las relaciones que se establecen entre estas dos señales son conocidas como la respuesta en frecuencia de ese equipo. En los métodos de respuesta en frecuencia, la frecuencia de la señal de entrada es la variable independiente, haciéndose recorrer la frecuencia en un determinado rango o espectro frecuencia

Listado de conceptos desconocidos

Conceptos Conocidos.    

Ecuación diferencial Modelos matemáticos Diagrama de bloques Transformada de Laplace

Conceptos Desconocidos  Función de transferencia  Estabilidad del sistema  Error en estado estacionario  Soluciones homogéneas  Operador derivado  Dominio de la frecuencia  Polos y ceros  Error de Estado Estacionario: El error de estado estacionario se define como la diferencia entre la entrada y la salida de un sistema en el límite cuando el tiempo tiende a infinito (e.d. cuando la respuesta ha alcanzado el estado estacionario).  Transformada De Laplace: Es una herramienta matemática utilizada para convertir una ecuación diferencial en una ecuación algebraica en el dominio de complejos  Señal: Dos definiciones de señal son: La variación en el tiempo o el espacio de una magnitud física. Una función que lleva información, generalmente acerca del estado o comportamiento de un sistema físico.  Espacio de estados: en ingeniería de control , una representación de espacios de estados es un modelo matemático de un sistema físico descrito por un conjunto de entradas, salidas y variables de estado relacionadas por ecuaciones diferenciales de primer orden que se combinan en una ecuación diferencial matricial de primer orden  Función de transferencia: s un modelo matemático que a través de un cociente relaciona la respuesta de un sistema (modelada o señal de salida) con una señal de entrada o excitación (también modelada).  Modelamiento matemático: es uno de los tipos de modelo científico que emplea algún tipo de formulismo matemático, para expresar, relaciones, proposiciones sustantivas de hechos , variables parámetros variables y relaciones entre variables y/o entidades o el estudio de sistemas complejos ante situaciones difíciles de observar en la realidad.  El dominio de la frecuencia es un término usado para describir el análisis de funciones matemáticas o señales o movimiento periódico respecto a su frecuencia. Un gráfico del dominio temporal muestra la evolución de una señal en el tiempo, mientras que un gráfico frecuencia muestra las componentes de la señal según la frecuencia en la que oscilan dentro de un rango determinado.  Diagrama de bloques: Es la representación gráfica del funcionamiento interno de un sistema, que se hace mediante bloques y sus relaciones, y que, además, definen la organización de todo el proceso interno, sus entradas y sus salidas.

 Frecuencia: Es una magnitud que mide el número de repeticiones por unidad de tiempo de cualquier fenómeno o suceso periódico.  Observabilidad: es una condición que expresa el hecho de que las variables de un sistema afectan algunas de las salidas del mismo.

Resultado de consultas

Las consultas realizadas para la construcción de la actividad son las siguientes, principalmente se utilizan las referencias bibliográficas propias del curso

Soria, O. E., Martín, G. J. D., & Gómez, C. L. (2004). Teoría de circuitos Cap. 8-9. Madrid, ES: McGraw-Hill España. Recuperado dehttp://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=200&docID=10498 623&tm=1481843758253 Pastor, G. A., & Ortega, J. J. (2014). Circuitos eléctricos. Vol. II. Madrid, ES: UNED Universidad Nacional de Educación a Distancia. Recuperado dehttp://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=29&docID=108537 95&tm=1481844106731 Villegas, L. (2007). Trabajo teórico práctico con Matlab. Buenos Aires, AR: El Cid Editor - Informática. Recuperado dehttp://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=23&docID=101657 56&tm=1481844464476 Pagola, L. L. (2009). Regulación automática. Madrid, ES: Universidad Pontificia Comillas. Recuperado dehttp://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=1&docID=1052292 4&tm=1481844622214 El, H. N. (2007). Sistemas de control: ganancias de realimentación y observadores de estado. Buenos Aires, AR: El Cid Editor - Ingeniería. Recuperado dehttp://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=1&docID=1016570 8&tm=1481845234080 Roca, C. A. (2014). Control automático de procesos industriales: con prácticas de simulación y análisis por ordenador PC. Madrid, ES: Ediciones Díaz de Santos. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=74&docID=11001 962&tm=1481845100526 Gil, R. M. (2003). Introducción rápida a Matlab y Simulink para ciencia e ingeniería. Madrid, ES: Ediciones Díaz de Santos. Recuperado dehttp://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=33&docID=110594 28&tm=1481846504254

Problema

La compañía donde usted trabaja ha realizado la adquisición de un nuevo equipo industrial que permitirá incrementar los niveles de producción de la empresa. Con el fin de prevenir fallas y proteger la alta inversión realizada, el presidente de la compañía ha ordenado la creación de un sistema de monitoreo que permita supervisar el buen funcionamiento de la máquina y diagnosticar la existencia de alguna falla. Para el diseño del sistema de monitoreo y diagnóstico de fallas se requiere conocer de forma precisa el modelo matemático del equipo industrial; de esta manera se dice que la máquina está funcionando correctamente si la salida real es similar a la salida de su modelo matemático; en caso contrario es posible que la máquina esté presentando fallas. A continuación, se presenta un diagrama simplificado del nuevo equipo industrial, en el cual se tiene como variable de entrada el voltaje de alimentación 𝑒(𝑡) y como variable de salida el voltaje en la bobina L 𝑒𝐿 .

Desarrollo de actividad

Circuito 3 por Juan David Aparicio Circuito mixto RLC

𝑅1 = 1 Ω 𝑅2 = 2 Ω 𝐿 = 1𝐻 𝐶 =4𝐹 𝑖𝑅 =

2 3𝑒𝑐 2

1. Exprese el modelo matemático del sistema mediante una función de transferencia. 

Ecuación diferencial en el dominio del tiempo



Ecuación 1 𝑑𝑣𝑐 (𝑡) 𝑣(𝑡) 𝑣𝑐 (𝑡) 5𝑖𝐿 (𝑡) = − + 𝑑𝑡 4 4 2



Ecuación 2 𝑑𝑖𝐿 = 𝑣(𝑡) − 𝑣𝑐 − 2𝑖𝐿 𝑑𝑡



Realizo la trasformada de la place con la ecuación 1 𝑑𝑣𝑐 (𝑡) 𝑣(𝑡) 𝑣𝑐 (𝑡) 5𝑖𝐿 (𝑡) = − + 𝑑𝑡 4 4 2 𝑑𝑣𝑐 (𝑡) = 𝑠 ∗ 𝑣𝑐 (𝑠) 𝑑𝑡

𝑣𝑐 (𝑡) = 𝑣𝑐 (𝑠) 𝑣(𝑡) = 𝑣(𝑠) = 𝑈(𝑠) 𝑑𝑖𝐿 (𝑡) = 𝑠 ∗ 𝑖𝐿 (𝑠) 𝑑𝑡 𝑖𝐿 (𝑡) = 𝑖𝐿 (𝑠) 𝑣𝐿 (𝑡) = 𝐿

𝑑𝑖𝐿 𝑑(𝑡)

𝑣𝐿 (𝑠) = 𝐿 ∗ 𝑠 ∗ 𝑖𝐿 (𝑠) = 𝑌(𝑠) 𝑣𝐿 (𝑡) = 𝑣𝐿 (𝑠) = 𝑌(𝑠) 𝑣(𝑡) = 𝑣(𝑠) = 𝑈(𝑠) 𝑠 ∗ 𝑣𝑐 (𝑠) = 

Realizo el Despejo vc 𝑠 ∗ 𝑣𝑐 (𝑠) = 𝑣𝑐 (𝑠) =



𝑣(𝑠) 𝑣𝑐 (𝑠) 5𝑖𝐿 (𝑠) − + 4 4 2

𝑣(𝑠) 𝑣𝑐 (𝑠) 5𝑖𝐿 (𝑠) − + 4 4 2

𝑣(𝑠) 𝑣𝑐 (𝑠) 5𝑖𝐿 (𝑠) − + 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 3 4𝑠 4𝑠 2𝑠

Con la ecuación 2 𝑑𝑖𝐿 = 𝑣(𝑡) − 𝑣𝑐 (t) − 2𝑖𝐿 (𝑡) 𝑑𝑡 𝑠 ∗ 𝑖𝐿 (𝑠) = 𝑣(𝑠) − 𝑣𝑐 (s) − 2𝑖𝐿 (𝑠)



Llevo a 𝑖𝐿 a la forma 𝑣𝐿 (𝑠) = 𝐿 ∗ 𝑠 ∗ 𝑖𝐿 (𝑠) multiplicando por L=1H 𝑠 ∗ 𝑖𝐿 (𝑠) = 𝑣(𝑠) − 𝑣𝑐 (s) − 2𝑖𝐿 (𝑠) 𝐿 ∗ 𝑠 ∗ 𝑖𝐿 (𝑠) = 𝐿 ∗ 𝑣(𝑠) − L ∗ 𝑣𝑐 (s) − L ∗ 2𝑖𝐿 (𝑠) 𝑣𝐿 (𝑠) = 𝐿 ∗ 𝑣(𝑠) − L ∗ 𝑣𝑐 (s) − L ∗ 2𝑖𝐿 (𝑠)

𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 4

𝑣𝐿 (𝑠) = 1 ∗ 𝑣(𝑠) − 1 ∗ 𝑣𝑐 (s) − 1 ∗ 2𝑖𝐿 (𝑠) 

Remplazo en la ecuación 4 la ecuación 3

𝑣𝐿 (𝑠) = L ∗ 𝑣(𝑠) − L ∗ 𝑣𝑐 (s) − L ∗ 2𝑖𝐿 (𝑠) 𝑣(𝑠) 𝑣𝑐 (𝑠) 5𝑖𝐿 (𝑠) 𝑣𝐿 (𝑠) = 𝐿 ∗ 𝑣(𝑠) − L ∗ ( − + ) − L ∗ 2𝑖𝐿 (𝑠) 4𝑠 4𝑠 2𝑠 𝑣𝐿 (𝑠) = 𝐿 ∗ 𝑣(𝑠) − 𝑣𝐿 (𝑠) =

L ∗ 𝑣(𝑠) L ∗ 𝑣𝑐 (𝑠) L ∗ 5𝑖𝐿 (𝑠) + − − L ∗ 2𝑖𝐿 (𝑠) 4𝑠 4𝑠 2𝑠

4𝑠 ∗ 𝐿 ∗ 𝑣(𝑠) − L ∗ 𝑣𝑐 (𝑠) + L ∗ 𝑣𝑐 (𝑠) − 2𝑠 ∗ L ∗ 5𝑖𝐿 (𝑠) − 4𝑠 ∗ L ∗ 2𝑖𝐿 (𝑠) 4𝑠 𝑣𝐿 (𝑠) =

4𝑠 ∗ 𝐿 ∗ 𝑣(𝑠) − 2𝑠 ∗ L ∗ 5𝑖𝐿 (𝑠) − 4𝑠 ∗ L ∗ 2𝑖𝐿 (𝑠) 4𝑠

4𝑠 ∗ 𝑣𝐿 (𝑠) = 4𝑠 ∗ 𝐿 ∗ 𝑣(𝑠) − 2𝑠 ∗ L ∗ 5𝑖𝐿 (𝑠) − 4𝑠 ∗ L ∗ 2𝑖𝐿 (𝑠)



Debo llevarlo a esta forma 𝑖𝐿 (𝑠) 𝑎 𝑣𝐿 (𝑠) multiplico por s 𝑣𝐿 (𝑠) = 𝐿 ∗ 𝑠 ∗ 𝑖𝐿 (𝑠) 4𝑠 ∗ 𝑣𝐿 (𝑠) = 4𝑠 ∗ 𝐿 ∗ 𝑣(𝑠) − 2𝑠 ∗ L ∗ 5𝑖𝐿 (𝑠) − 4𝑠 ∗ L ∗ 2𝑖𝐿 (𝑠) 4𝑠 ∗ 𝑣𝐿 (𝑠) = 4𝑠 ∗ 𝐿 ∗ 𝑣(𝑠) − 10𝑣𝐿 (𝑠) − 8𝑣𝐿 (𝑠) 4𝑠 ∗ 𝑣𝐿 (𝑠) = 4𝑠 ∗ 𝐿 ∗ 𝑣(𝑠) − 18𝑣𝐿 (𝑠)



Separo términos 𝑣𝐿 (𝑠) 4𝑠 ∗ 𝑣𝐿 (𝑠) = 4𝑠 ∗ 𝐿 ∗ 𝑣(𝑠) − 18𝑣𝐿 (𝑠) 4𝑠 ∗ 𝑣𝐿 (𝑠) + 18𝑣𝐿 (𝑠) = 4𝑠 ∗ 𝐿 ∗ 𝑣(𝑠)



Factorizo 𝑣𝐿 (𝑠) 4𝑠 ∗ 𝑣𝐿 (𝑠) + 18𝑣𝐿 (𝑠) = 4𝑠 ∗ 𝐿 ∗ 𝑣(𝑠) 𝑣𝐿 (𝑠)(4𝑠 ∗ 1 + 18) = 4𝑠 ∗ 1 ∗ 𝑣(𝑠) 𝑣𝐿 (𝑠)(4𝑠 + 18) = 4𝑠 ∗ 𝑣(𝑠)



Remplazo términos por Y(s)=salida y U(s)=entrada 𝑌(𝑠)(4𝑠 + 18) = 4𝑠 ∗ 𝑈(𝑠)



La función de trasferencia es

𝐺(𝑠) = 𝐺(𝑠) =

𝑌𝑠 𝑈𝑠

4𝑠 4𝑠 + 18

2. Represente el sistema linealizado mediante un diagrama de bloques. 

La función de trasferencia es 𝐹𝑇 =



𝐺 1 + 𝐺𝐻

La función de trasferencia es e igualo los términos 𝐺(𝑠) = 𝐹𝑇 =

𝑌𝑠 4𝑠 = 𝑈𝑠 4𝑠 + 18

𝐺 4𝑠 = 1 + 𝐺𝐻 4𝑠 + 18 

observamos que G =4𝑠 y lo remplazo 4𝑠 4𝑠 = 1 + (4𝑠)𝐻 4𝑠 + 18 1 1 = 1 + (4𝑠)𝐻 4𝑠 + 18



Despejo H 1 + (4𝑠)𝐻 = 4𝑠 + 18 (4𝑠)𝐻 = 4𝑠 + 18 − 1 (4𝑠)𝐻 = 4𝑠 + 17 𝐻=



Diagrama de bloques en simulink

4𝑠 + 17 4𝑠

3. Determine el error en estado estacionario del sistema. 

Determino el error estacionario 𝑒𝑠𝑠 =

𝑅 1 + 𝐾𝑝

𝐾𝑝 = lim 𝐺(𝑠) 𝑛→0

4𝑠 𝑛→0 4𝑠 + 18

𝐾𝑝 = lim 𝐾𝑝 =

4(0) 4(0) + 18

𝐾𝑝 =

0 0 + 18

𝐾𝑝 = 0 𝑒𝑠𝑠 =

1 1+0

𝑒𝑠𝑠 = 1

4. A partir de la ecuación característica del sistema, determine la estabilidad del mismo. 

Determino los polos con la ecuación característica FT 𝐺(𝑠) =



Aplicamos en el numerador

4𝑠 4𝑠 + 18

4𝑠 = 0 𝑠=

0 4

𝑠=𝑜 

Aplicamos los polos en el denominador

4𝑠 + 18 = 0 𝑠=−

18 4

𝑠=−



9 2

El sistema es marginalmente estable por que hay un polo negativo y otro en el origen

Prácticas: Utilice MATLAB® para simular el sistema seleccionado de manera lineal por medio de la función de transferencia hallada y grafique la salida del mismo cuando se aplica una entrada constante 𝑒(𝑡) = 2 𝑉, durante los primeros 2 segundos y en ese momento se aplica una entrada escalón unitario durante 5 segundos más. De manera que la simulación dura 7 segundos. Cada estudiante elabora de manera individual las actividades planteadas y registra en un documento el desarrollo teórico. Respecto al desarrollo práctico, se requiere que cada estudiante elabore un video de la simulación obtenida en MATLAB® donde explique el funcionamiento y comportamiento del modelo hallado en el dominio de la frecuencia, debe estar en su página de youtube y hace entrega del enlace del video en el foro de interacción y producción de la unidad, se aclara que el video debe estar explicado por el estudiante. 

Simulación

Circuito 4 por Edgardo Tobón Zúñiga 1. Exprese el modelo matemático del sistema mediante una función de transferencia. De acuerdo con el desarrollo de la etapa 1, donde se obtuvieron las ecuaciones diferenciales que describen el circuito eléctrico mixto RLC a estudiar en el dominio del tiempo. tenemos

Ecuación diferencial 1 𝑑𝑒𝑐 𝑑𝑡

=

𝑖𝐿

; donde C= 3

𝐶

𝑑𝑒𝑐 𝑖𝐿 = 𝑑𝑡 3 Ecuación diferencial 1 en el dominio del tiempo

𝑑𝑒𝑐 (𝑡) 𝑑𝑡

=

𝑖𝐿 (𝑡) 3

Ecuación diferencial 2 𝑑𝑖𝐿 𝑑𝑡

𝑒

𝑒𝑐

2

2

= −

− 𝑖𝐿 ; donde L = 2

𝑑𝑖𝐿 𝑒 𝑒𝑐 = − − 𝑖𝐿 𝑑𝑡 2 2 Ecuación diferencial 2 en el dominio del tiempo

𝑑𝑖𝐿 (𝑡) 𝑑𝑡

=

𝑒(𝑡) 2

−

𝑒𝑐 (𝑡) 2

− 𝑖𝐿 (𝑡)

Por medio de las ecuaciones diferenciales anteriormente descritas, se hallarán las ecuaciones diferenciales en dominio de la frecuencia del sistema dinámico en estudio, para lo cual es necesario aplicar la transformada de Laplace a las mismas. Se aplica transformada de Laplace a la Ecuación diferencial 1

𝑑𝑒𝑐 (𝑡) 𝑖𝐿 (𝑡) = 𝑑𝑡 3 𝑒𝐿 (𝑡) = 𝑒𝐿 (𝑠) = 𝑌(𝑠)

𝑖𝐿 (𝑡) = 𝑖𝐿 (𝑠)

𝑒(𝑡) = 𝑒(𝑠) = 𝑈(𝑠)

𝑑e(𝑡) 𝑑𝑡

= 𝑆 ∗ 𝑒𝑐 (𝑠) ;

𝑑𝑖𝐿 (𝑡) 𝑑𝑡

= 𝑆 ∗ 𝑖𝐿 (𝑠) ; 𝑒𝐿 (𝑡) = 𝐿

𝑑𝑒𝑐 (𝑡) 𝑑𝑡

=

𝑖𝐿 (𝑡)

𝑑𝑖𝐿 (𝑡) 𝑑𝑡

;

𝑒𝐿 (𝑠) = L ∗ S ∗ 𝑖𝐿 (𝑠) = 𝑌(𝑠)

aplicamos transformada de Laplace

3

𝑆 ∗ 𝑒𝑐 (𝑠) =

𝑖𝐿 (𝑠)

ecuación # 1

3

Se aplica transformada de Laplace a la Ecuación diferencial 2 𝑑𝑖𝐿 (𝑡) 𝑒(𝑡) 𝑒𝑐 (𝑡) = − − 𝑖𝐿 (𝑡) 𝑑𝑡 2 2 𝑒𝐿 (𝑡) = 𝑒(𝑠) = 𝑌(𝑠) 𝑑e(𝑡) 𝑑𝑡

= 𝑆 ∗ 𝑒𝑐 (𝑠) ;

𝑑𝑖𝐿 (𝑡)

𝑑𝑖𝐿 (𝑡) 𝑑𝑡

𝑖𝐿 (𝑡) = 𝑖𝐿 (𝑠)

𝑑𝑡

=

= 𝑆 ∗ 𝑖𝐿 (𝑠) ; 𝑒𝐿 (𝑡) = 𝐿

𝑒(𝑡) 2

−

𝑒𝑐 (𝑡) 2

𝑒(𝑡) = 𝑒(𝑠) = 𝑈(𝑠)

𝑑𝑖𝐿 (𝑡) 𝑑𝑡

;

𝑒𝐿 (𝑠) = L ∗ S ∗ 𝑖𝐿 (𝑠) = 𝑌(𝑠)

− 𝑖𝐿 (𝑡) aplicamos transformada de Laplace

𝑆 ∗ 𝑖𝐿 (𝑠) =

𝑒(𝑠) 𝐿

𝑒𝑐 (𝑠)

−

− 𝑖𝐿 (𝑠) ecuación # 2

𝐿

Se despeja 𝑒𝑐 (𝑠) en ecuación #1 dejando la ecuación en función de 𝑖𝐿 (𝑠) 𝑆 ∗ 𝑒𝑐 (𝑠) = 𝑒𝑐 (𝑠) =

𝑖𝐿 (𝑠) 3

𝑖𝐿 (𝑠) 3∗𝑆

despejo 𝑒𝑐 (𝑠)

ecuación # 3

Multiplicamos la ecuación #2 por L 𝐿(𝑆 ∗ 𝑖𝐿 (𝑠)) = 𝐿(

𝑒(𝑠) 𝐿

−

𝑒𝑐 (𝑠) 𝐿

− 𝑖𝐿 (𝑠))

𝐿 ∗ 𝑆 ∗ 𝑖𝐿 (𝑠) = 𝑒(𝑠) − 𝑒𝑐 (𝑠) − 𝐿 ∗ 𝑖𝐿 (𝑠) donde 𝐿 ∗ 𝑆 ∗ 𝑖𝐿 (𝑠) = 𝑒𝐿 (𝑠) 𝑒𝐿 (𝑠) = 𝑒(𝑠) − 𝑒𝑐 (𝑠) − 𝐿 ∗ 𝑖𝐿 (𝑠) ecuación # 4 Como 𝑒𝐿 (𝑠) = 𝐿 ∗ 𝑆 ∗ 𝑖𝐿 (𝑠) , para poder tener la ecuación #4 en función de 𝑒𝐿 (𝑠) se debe multiplicar esta ecuación por S. 𝑆 ∗ 𝑒𝐿 (𝑠) = 𝑆 ∗ 𝑒(𝑠) − 𝑆 ∗ 𝑒𝑐 (𝑠) − 𝑆 ∗ 𝐿 ∗ 𝑖𝐿 (𝑠) donde 𝑆 ∗ 𝐿 ∗ 𝑖𝐿 (𝑠) = 𝑒𝐿 (𝑠)

𝑆 ∗ 𝑒𝐿 (𝑠) = 𝑆 ∗ 𝑒(𝑠) − 𝑆 ∗ 𝑒𝑐 (𝑠) − 𝑒𝐿 (𝑠) 𝑆 ∗ 𝑒𝐿 (𝑠) + 𝑒𝐿 (𝑠) = 𝑆 ∗ 𝑒(𝑠) − 𝑆 ∗ 𝑒𝑐 (𝑠) Se reemplaza 𝑒𝑐 (𝑠) =

𝑖𝐿 (𝑠) 3∗𝑆

entonces se tiene

𝑆 ∗ 𝑒𝐿 (𝑠) + 𝑒𝐿 (𝑠) = 𝑆 ∗ 𝑒(𝑠) − 𝑆 ∗ 𝑆 ∗ 𝑒𝐿 (𝑠) + 𝑒𝐿 (𝑠) = 𝑆 ∗ 𝑒(𝑠) − 𝑆 ∗

𝑖𝐿 (𝑠) 3∗𝑆

𝑖𝐿 (𝑠) 3∗𝑆

donde 𝑆 ∗ 𝐿 ∗ 𝑖𝐿 (𝑠) = 𝑒𝐿 (𝑠)

Como 𝑒𝐿 (𝑠) = 𝐿 ∗ 𝑆 ∗ 𝑖𝐿 (𝑠) , para poder tener la ecuación #4 en función de 𝑒𝐿 (𝑠) se debe multiplicar esta ecuación por 6S2. 𝑖𝐿 (𝑠) 3𝑆 6𝑆³𝑒𝐿 (𝑠) + 6𝑆²𝑒𝐿 (𝑠) = 6𝑆³𝑒(𝑠) − 2𝑆𝑖𝐿 (𝑠) 6𝑆³𝑒𝐿 (𝑠) + 6𝑆²𝑒𝐿 (𝑠) = 6𝑆³𝑒(𝑠) − 𝑒𝐿 (𝑠) 6𝑆³𝑒𝐿 (𝑠) + 6𝑆²𝑒𝐿 (𝑠) + 𝑒𝐿 (𝑠) = 6𝑆³𝑒(𝑠) 6𝑆³𝑒𝐿 (𝑠) + 6𝑆 2 𝑒𝐿 (𝑠) + 𝑒𝐿 (𝑠) = 6𝑆³𝑒(𝑠) 𝑒𝐿 (𝑠)(6𝑆 3 + 6𝑆 2 + 1) = 6𝑆³𝑒(𝑠) 𝑆𝑒𝐿 (𝑠) + 𝑒𝐿 (𝑠) = 𝑆𝑒(𝑠) − 𝑆

como 𝑒𝐿 (𝑡) = 𝑒𝐿 (𝑠) = 𝑌(𝑠) y

𝑒(𝑡) = 𝑒(𝑠) = 𝑈(𝑠) entonces se tiene

𝑌(𝑠) ∗ (6𝑆 3 + 6𝑆 2 + 1) = 6𝑆 3 ∗ 𝑈(𝑠) La forma de la ecuación de transferencia FT de n sistema dinámico viene dada por: 𝑌(𝑠)

𝐺(𝑠) = 𝑈(𝑠) Por lo tanto, la Función de transferencia del sistema dinámico en estudio es 𝐺(𝑠) =

2.

𝑌(𝑠) 6𝑆 3 = 3 𝑈(𝑠) 6𝑆 + 6𝑆 2 + 1

Represente el sistema linealizado mediante un diagrama de bloques.  La función de trasferencia es FT =

G 1 + GH

 La función de trasferencia obtenida es Y(s)

G(s) = U(s) =

6S3 6S3 +6S2 +1

G 6𝑆 3 = 1 + GH 6𝑆 3 + 6𝑆 2 + 1

Igualando las dos ecuaciones se observa que G = 6S3 , el cual se reemplaza obteniendo lo siguiente 6S 3 6S 3 = 1 + (6S 3 )H 6S 3 + 6S 2 + 1 1 1 = 3 3 1 + (6S )H 6S + 6S 2 + 1

Despejando H 1 + (6S 3 )H = 6S 3 + 6S 2 + 1 (6S 3 )H = 6S 3 + 6S 2 + 1 − 1 (6S 3 )H = 6S 3 + 6S 2 6S 3 + 6S 2 H= 6S 3 H=1+ 3.

1 S

Determine el error en estado estacionario del sistema.

Donde la señal de impulso suministrada es de 2V por lo tanto R = 2 𝑅

𝑒𝑠𝑠 = 1+𝐾 ecuación 5 𝑝

𝐾𝑝 = lim 𝐺(𝑠) ecuación 6 𝑠→0

6S 3 𝑠→0 6S 3 + 6S 2 + 1

𝐾𝑝 = lim 𝐾𝑝 =

6(0)3 6(0)3 + 6(0)2 + 1 𝐾𝑝 =

0 0+1

𝐾𝑝 = 0 𝑒𝑠𝑠 =

𝑅 2 entonces 𝑒𝑠𝑠 = 1 + 𝐾𝑝 1+0 𝑒𝑠𝑠 = 2

4.

A partir de la ecuación característica del sistema, determine la estabilidad de este.

 Determino los polos y ceros con la ecuación característica FT 6𝑆 3 𝐺(𝑠) = 3 6𝑆 + 6𝑆 2 + 1  Hallamos los ceros igualando a cero los términos del numerador 6𝑆 3 6𝑆 3 = 0 𝑆3 =

0 6

𝑆3 = 0  Hallamos los polos igualando a cero los términos del denominador 6𝑆 3 + 6𝑆 2 + 1 6𝑆 3 = 0 𝑆3 =

0 6

𝑆3 = 0

6𝑆 ² = 0 𝑆2 =

0 6

1= 0 1= −1

𝑆2 = 0

Circuito 5 Por Jaime Andrés Amaya

𝑅1 = 2 Ω 𝑅2 = 1 Ω 𝐿 = 2𝐻 𝐶 =2𝐹 𝑖𝑅 =

4 3𝑒𝑐 2

Ecuación diferencial 𝑑𝑒𝑐 𝑒(𝑡) 𝑒𝑐 = − 𝑑𝑡 4 4 𝑑𝑖𝐿 𝑒(𝑡) = 𝑑𝑡 2

𝐻(𝑠) =

𝐸𝐿 (𝑠) =1 𝐸(𝑠)

https://drive.google.com/drive/folders/1WwrFiNY2LfFN9xtGekJlZPAMb0dsNU7?usp=sharing Teóricas 1. Exprese el modelo matemático del sistema mediante una función de transferencia. 2. Represente el sistema linealizado mediante un diagrama de bloques.

3. Determine el error en estado estacionario del sistema.

4. A partir de la ecuación característica del sistema, determine la estabilidad del mismo. Practicas Utilice MATLAB® para simular el sistema seleccionado de manera lineal por medio de la función de transferencia hallada y grafique la salida del mismo cuando se aplica una entrada constante 𝑒(𝑡) = 2 𝑉, durante los primeros 2 segundos y en ese momento se aplica una entrada escalón unitario durante 5 segundos más. De manera que la simulación dura 7 segundos.

Cada estudiante elabora de manera individual las actividades planteadas y registra en un documento el desarrollo teórico. Respecto al desarrollo práctico, se requiere que cada estudiante elabore un video de la simulación obtenida en MATLAB® donde explique el funcionamiento y comportamiento del modelo hallado en el dominio de la frecuencia, debe estar en su página de youtube y hace entrega del enlace del video en el foro de interacción y producción de la unidad, se aclara que el video debe estar explicado por el estudiante.

Videos Estudiante Edgardo Tobon

Video -----

Juan David Aparicio

-----

Jaime Andres Maya

-----

Conclusiones 



Resolver ejercicios de circuitos electrónicos por medio de fórmulas matemáticas en el dominio de la frecuencia se desarrollan los ejercicios utilizando el modelamiento en el dominio de la frecuencia. Investigar ejercicios relacionados con la unidad modelamiento en el dominio de la frecuencia podemos adquirir conocimientos en el modelamiento del sistema dinámico en el dominio de la frecuencia

Referencias bibliográficas

Soria, O. E., Martín, G. J. D., & Gómez, C. L. (2004). Teoría de circuitos Cap. 8-9. Madrid, ES: McGraw-Hill España. Recuperado dehttp://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=200&docID= 10498623&tm=1481843758253 Pastor, G. A., & Ortega, J. J. (2014). Circuitos eléctricos. Vol. II. Madrid, ES: UNED Universidad Nacional de Educación a Distancia. Recuperado dehttp://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=29&docID=1 0853795&tm=1481844106731 Villegas, L. (2007). Trabajo teórico práctico con Matlab. Buenos Aires, AR: El Cid Editor Informática. Recuperado dehttp://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=23&docID=1 0165756&tm=1481844464476 Pagola, L. L. (2009). Regulación automática. Madrid, ES: Universidad Pontificia Comillas. Recuperado dehttp://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=1&docID=10 522924&tm=1481844622214 El, H. N. (2007). Sistemas de control: ganancias de realimentación y observadores de estado. Buenos Aires, AR: El Cid Editor - Ingeniería. Recuperado dehttp://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=1&docID=10 165708&tm=1481845234080 Roca, C. A. (2014). Control automático de procesos industriales: con prácticas de simulación y análisis por ordenador PC. Madrid, ES: Ediciones Díaz de Santos. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=74&docID= 11001962&tm=1481845100526 Gil, R. M. (2003). Introducción rápida a Matlab y Simulink para ciencia e ingeniería. Madrid, ES: Ediciones Díaz de Santos. Recuperado dehttp://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=33&docID=1 1059428&tm=1481846504254