• Author / Uploaded
• Quiroz Aldair

Citation preview

SISTEMAS DINÁMICOS DETERMINÍSTICOS OBJETIVOS 

Entender el comportamiento de los sistemas determinísticos.



Como funciona un sistema dinámico determinístico.



Observar el comportamiento de las ecuaciones de Lorentz y entender su funcionamiento.

SISTEMA DINÁMICO DETERMINADO Se denomina sistema determinístico a aquel donde el azar no está involucrado en el desarrollo de los futuros estados del sistema. Un sistema determinista producirá siempre la misma salida a partir de las mismas condiciones de partida o el estado inicial. A diferencia de los estocásticos o aleatorios en lo que los estados futuros no están determinados por los previos. En los deterministas, cada estado futuro del sistema está determinado por el previo en tanto se desprende de cómo queda afectado dadas las variables de entorno y el previsto comportamiento ante los cambios de ambiente. Ejemplos: -La planificación de una línea de producción, en cualquier proceso industrial, es posible realizarla con la implementación de un sistema de gestión de procesos que incluya un modelo determinista en el cual estén cuantificadas con materias primas, la mano de obra, los tiempos de producción y con productos finales asociados a cada proceso. -Un conjunto de ecuaciones diferenciales de un sistema físico macroscópico constituye un modelo determinista que puede predecir la evolución determinista en el tiempo de un buen número de magnitudes características del sistema. SISTEMA DINÁMICO Es un sistema cuyo estado evoluciona con el tiempo. Los sistemas físicos en situación no estacionaria son ejemplos de sistemas dinámicos, pero también existen modelos económicos, matemáticos y de otros tipos que son sistemas dinámicos. El comportamiento en dicho estado se puede caracterizar determinando los límites del sistema, los elementos y sus relaciones; de esta forma se puede elaborar modelos que buscan representar la estructura del mismo sistema al definir los límites del sistema se hacen, en primer lugar, una selección de aquellos componentes que contribuyan a generar los modelos y comportamiento, y luego se determina el espacio donde se llevará a cabo el estudio omitiendo toda clase de aspectos irrelevantes. A considerar: -Un sistema está formado por un conjunto de elementos e interacción. - El comportamiento del sistema se puede mostrar a través de diagramas causales.

-Hay varios tipos de variables (Son aquellas que afectan al sistema sin que éste las provoque) y las variables endógenas(Afectan al sistema pero éste si las provoca) Ejemplos: -Un ejemplo de sistema dinámico se puede ver en una especie de peces que se reproduce de forma tal que éste año la cantidad de peces es Xk, el año próximo será Xk+1. De esta manera podemos poner nombres a las cantidades de peces que habrá cada año, así: Año inicial X0, Año primero X1,….,Año K XK.

CLASIFICACIÓN DE SISTEMAS DINÁMICOS Los sistemas dinámicos se dividen en sistemas dinámicos discretos en el tiempo y continuos en el tiempo. Un sistema dinámico se dice discreto si el tiempo se mide en pequeños lapsos, éstos son modelados como relaciones recursivas, tal como la ecuación logística: Xt + 1 = aX + (1 − Xt) Donde t denota los pasos discretos del tiempo y X es la variable que cambia con éste. Si el sistema es medido de forma continua, el sistema dinámico continuo resultante es expresado como una ecuación diferencial ordinaria. Ejemplo: 𝑑𝑥 𝑑𝑡

= 𝑎𝑋(1 − 𝑋)

Donde: -

X es la variable que cambia con el tiempo t. La variable cambiante es normalmente un número real.

TEORÍA DEL CAOS Es la rama de las matemáticas, física, y otras ciencias que trata de ciertos tipos de sistemas complejos y sistemas dinámicos no lineales muy sensibles a las variaciones en las condiciones iniciales. Pequeñas variaciones en dichas condiciones iniciales pueden implicar grandes diferencias en el comportamiento futuro, imposibilitando la predicción a largo plazo. Esto sucede, aunque estos sistemas son en rigor deterministas, es decir, sui comportamiento puede ser completamente determinado conociendo sus condiciones iniciales. SISTEMA CAÓTICO Los sistemas caóticos cumplen tres características importantes: a) La no linealidad b) La extrema sensibilidad que posee ante cambios muy pequeños de sus condiciones iniciales. c) Y que no se puede prever el comportamiento del sistema hasta que el proceso suceda o se calcule. A pesar de este comportamiento impredecible, el sistema es determinista. Es decir, para unos parámetros dados, el sistema está completamente determinado para tiempos futuros, por muchas veces que los volvamos a calcular o repetir. Eso sí, si cambiamos mínimamente alguno

de los parámetros podremos encontrarnos con una sorpresa: Un resultado final muy diferente al original. SISTEMA DINÁMICO DETERMINISTA Un sistema dinámico es un sistema de cualquier naturaleza (material, conceptual, física, biológica, económica, social, etc.), cuya evolución temporal viene descrita mediante un conjunto de reglas determinísticos, que llamaremos ecuación de evolución. En otras palabras, el estado presente viene determinado por los estados anteriores. No es un sistema determinístico describir el precio de la gasolina en función al tiempo, porque este sistema es más aleatorio o probabilístico, ya que no sabemos cómo va a variar el precio otros días o meses. ATRACTORES Es un conjunto de valores numéricos hacia los cuales un sistema tiende a evolucionar, dada una variedad de condiciones iniciales en el sistema. Para que un conjunto sea atractor, las trayectorias que le sean suficientemente próximas han de permanecer próximas si son ligeramente perturbadas. Geométricamente, un atractor puede ser un punto, una curva, una variedad o incluso un conjunto complicado de estructuras fractales conocidas como atractor extraño. La descripción de tractores de sistemas dinámicos han sido uno de los grandes logros de la teoría del caos. La trayectoria del sistema dinámico en el atractor no tiene que satisfacer ninguna propiedad especial excepto la de permanecer en el atractor. Puede ser periódica, caótica o de cualquier otro tipo. ATRACTOR EXTRAÑO A diferencia de los atractores clásicos, los atractores extraños tienen estructuras a todas escalas. Un atractor es extraño si tiene dimensión de Haundorff (Una generalización métrica del concepto de dimensión de un espacio topológico, que permite definir una dimensión fraccionaria para un objeto fractal) FRACTAL Está relacionado con un modelo matemático que describe y estudia objetos y fenómenos frecuentes en la naturaleza que no se pueden explicar por las teorías clásicas y que se obtienen mediante simulaciones del proceso que los crea. LA ECUACIÓN DE LORENZ En 1963 Edward Lorenz trabajaba en unas ecuaciones, las mundialmente conocidas como ecuaciones de Lorenz, que esperaba predijeran el tiempo en la atmósfera, y trató mediante los ordenadores de ver gráficamente el comportamiento de sus ecuaciones. 𝑑𝑢1 = Pr(𝑢2 − 𝑢1) 𝑑𝑡 𝑑𝑢2 𝑅𝑎 = −𝑢1𝑢3 + 𝑢1 − 𝑢2 𝑑𝑡 𝑅𝑎𝑐

𝑑𝑢3 = 𝑢1𝑢2 − 𝑏𝑢3 𝑑𝑡 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑃𝑡: 𝑁°𝑑𝑒 𝑃𝑟𝑎𝑛𝑑𝑡𝑙 𝑅𝑎: 𝑁° 𝑑𝑒 𝑅𝑎𝑦𝑙𝑒𝑖𝑔ℎ 𝑅𝑎𝑐: 𝑁° 𝑑𝑒 𝑅𝑎𝑦𝑙𝑒𝑖𝑔ℎ 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 8 𝜎 = 8, 𝜌 = 26, 𝛽 = , 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 = 1 3 Primer paso: Encontrar los puntos críticos 𝜎(𝑦 − 𝑥) = 0 , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝜎 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒, 𝑥𝑦 − 𝛽𝑧 = 0 … z =

𝑥=𝑦

𝑥2 𝛽

𝜌𝑥 − 𝑦 − 𝑥𝑧 = 0 … 𝑥1,2 = ±√𝛽(𝜌 − 1) Si x=0 ... (0,0,0) Si x= √𝛽(𝜌 − 1) … (√𝛽(𝜌 − 1), √𝛽(𝜌 − 1) , 𝜌 − 1) Si x= −√𝛽(𝜌 − 1) … (−√𝛽(𝜌 − 1), −√𝛽(𝜌 − 1) , 𝜌 − 1) Segundo paso: El jacobiano J(x,y,z)=

−𝜎 𝜌−𝑧 𝑦

𝜎 −1 𝑥

0 −𝑥 −𝛽

Ahora aplicamos el método de auto vector-autovalor para analizar los puntos críticos: Donde det(A- λ*I)=0 Tercer paso: Puntos críticos La matriz jacobiana para el punto (0,0,0): −𝜎 𝜌 0

𝜎 −1 0

−𝜎 − λ 𝜌 0

𝜎 −1−λ 0

J(x,y,z)=

0 −0 −𝛽

Aplicando el método descrito: Donde det(A- λ*I)=

0 −0 −𝛽−λ

=0

λ1 = − 3.3, λ2 = 5.11, λ3 = 16.11 λ1 = − 3.3, λ2 = 5.11, λ3 = 16.11 Los valores de Lambda pertenecen a los reales, tienen signos diferentes y son opuestos, entonces son un punto silla. Aplicamos lo mismo para los puntos:

(√𝛽(𝜌 − 1), √𝛽(𝜌 − 1) , 𝜌 − 1) = (8.32,-8.32, 25) λ1 = − 2.6, λ2 = −2.2984, λ3 = −4.5969 Los valores pertenecen a los reales, son distintos y signos iguales, entonces el punto es un nudo asintomáticamente estable. (−√𝛽(𝜌 − 1), −√𝛽(𝜌 − 1) , 𝜌 − 1) = (-8.32,-8.32,25) λ1 = − 2.6, λ2 = −2.2984, λ3 = −4.5969 Entonces el punto es un nudo asintomáticamente estable. CONCLUSIONES  



Las ecuaciones de Lorenz derivan de las ecuaciones de Navier Stokes, pero para valores simplificados. Se puede observar en la gráfica que las soluciones del sistema varían con el tiempo a las mínimas variaciones iniciales. esto es llamado caos y que a su vez tienen un comportamiento esperado. También se observa que un insignificante cambio en las condiciones de partida se amplifica y propaga exponencialmente