Capítulo 4: Modelado matemático de los sistemas dinámicos [email protected] (C-305) Modelado matemático de los sis
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Capítulo 4: Modelado matemático de los sistemas dinámicos [email protected] (C-305)
Modelado matemático de los sistemas dinámicos
Simuladores:
Modelos matemáticos de los sistemas y de las señales que les atacan Una mayor sofisticación de los modelos supondrá que se aproxime más verazmente al comportamiento físico
Modelos
Eléctricos Mecánicos Térmicos
4.1 Sistemas eléctricos y electrónicos
Leyes de Kirchhoff 1 AV s 1 RCs
Adaptación de impedancias AV s AV 1 s AV 2 s AV s
1 1 1 R1C1 s 1 R2 C 2 s
1 R1C1 R2 C 2 s 2 R1C1 R1C 2 R2 C 2 s 1
Amplificadores operacionales
2
-
V-
4
Las características de un AO ideal son: La impedancia de entrada diferencial y la de cada canal respecto a masa son infinitas. Ganancia de tensión diferencial infinita, Ado. Ancho de banda infinito. ue Tensión de desviación de continua nula Ausencia de desviación de las anteriores características con la temperatura. OS1
.
3
+
V+
OUT
7
ud u u Vc u s Ado u d V c u d VT
u d VT u d VT u d VT
u u
OS2
1 6 5
us
Aplicaciones de los AO 2
OS1
ue
.
3
+
Adaptador de señal de mando
V+
OUT
u s t ue t
OS2
1
us
6 5
0 1
i
OS1
OUT
R
3
R
Amplificador inversor
-
+
V+
1 R R
VCC
2 VCC
OS2
1 6 5
7
u m t VCC
R
V-
4
-
V-
4
Seguidor de tensión
7
u e t u t u s t R s 2 R1 R2 u e t R1
um
Aplicaciones de los AO Amplificador no inversor i
Amplificador diferencial
uA
4
R1 -
2
V-
u s A1u B A2 u A R 2 R 2 R 2 R2 u B u A A1 1 u s R1 R1 R 2 R1 R1 R2 A2 R1
R2
-
OS1
OUT
uB
-
3
R1
V+
u e t u s t u e t u s t R 1 2 R1 R2 u e t R1
+
7
R2
OS2
1 6 5
uS
Problema de la práctica del laboratorio Alimentando los AOs con 12V y utilizando una excitación de señal cuadrada de 1V de amplitud y frecuencia 100 Hz, con un nivel de continua nulo, experimentar con los circuitos de las figuras: 1. Para el circuito de la figura izquierda y con la excitación mencionada, obtener las formas de ondas tanto de ue como de us. Utilizar los valores de R=100k, C=10 nF, R1=33k y R2=33k 2. Lo mismo que en 1) pero con R2 = 68k 3. Realizando el montaje de la figura derecha y con la excitación de señal cuadrada, representar la señal de salida, us, con R2 = 33k y R2=68k. Valores de R3=33k y R4=68k.
Problema de la práctica del laboratorio
2 1e-3s+1 Av1
Pulse Generator
Scope
2
2 1e-3s+1
A.D.
Av2
Examen final de julio 2016
Dibujar el diagrama a bloques y demostrar que la ganancia de la cadena abierta es: GH 2 10 3
s 1 s 103
Filtro paso alto de segundo orden de Sallen-Key
Determinar la ganancia de tensión del filtro con AO ideal, y habiendo definido como C el valor de C3 y C4.
Filtro paso alto de segundo orden de Sallen-Key Bode Diagram 20
Magnitude (dB)
0 -20 -40 -60 -80 180
Phase (deg)
135 90 45 0 1
10
2
3
10
10 Frequency (rad/sec)
>> C3=1e-8; >> C4=C3; >> r7=33e3; >> r8=680e3; >> av=tf([C3*C4*r7*r8 0 0],[C3*C4*r7*r8 C3*r7+C4*r7 1]) >>bode(av)
4
10
4.2 Sistemas mecánicos
Leyes de Newton
Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o movimiento uniforme y rectilíneo a no ser que sea obligado a cambiar su estado por fuerzas impresas sobre él.
El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre según la línea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime. Con toda acción ocurre siempre una reacción igual y contraria: o sea, las acciones mutuas de dos cuerpos siempre son iguales y dirigidas en sentido opuesto.
4.2 Sistemas mecánicos
Movimiento de traslación
Masa Resorte lineal Fricción (mov.traslación)
f1
a
M
f2
y(t) f(t)
M
f (t ) M yt ..
f(t)
y
y(t)
f (t ) kyt
f(t) = B y
f (t ) By t
Movimiento de traslación
Sistemas de unidades Magnitud Física Fuerza Masa k B
S.I. N kg N/m Ns/m
Sistemas análogos movimiento de traslación
sistema eléctrico
fuerza
corriente
desplazamiento
potencial
Ejemplo 4.1
Obtener la relación causa efecto entre la fuerza aplicada a un carro sujeto a la pared a través de un muelle y el desplazamiento que se produce en éste. La masa del carro es M, el coeficiente del resorte es K y el rozamiento entre las ruedas y la superficie se modela con el coeficiente de rozamiento B. Considere condiciones iniciales nulas.
X(t)
..
F (t ) M x(t ) Kx(t ) B x(t )
K f (t) B
.
X ( s) 1 G( s) F ( s) Ms 2 Bs K
Ejemplo 4.2 El esquema de la figura muestra el comportamiento dinámico de una prensa hidráulica. Al dar presión al fluido, P, transmite una fuerza sobre el pistón que al desplazarse comprimirá al cuerpo. Este efecto se modela por un muelle, cuya constante es kp. Además, se considera despreciable la masa del cuerpo a comprimir respecto al de la prensa. No así la masa del pistón, al que se le asigna por la letra M. La dinámica del tablero, donde se apoya el cuerpo, es modelada por cuatro amortiguadores de constante k. Se pide: 1.
Ecuaciones físicas del sistemas
2.
Linealizar el sistema cuando la presión del fluido sea nula, P=0.
3.
Diagrama a bloques
4.
FDT entre la causa, variación de la presión, y el efecto, grado de compresión del cuerpo. P
Rozamiento viscoso
A
B
M Masa despreciable
x kP
y k k k
k
Ejemplo 4.2 P
1. Ecuaciones físicas del sistemas
Rozamiento viscoso
A
B
M Masa despreciable
x kP
Apt Mg Mxt Bxt k P xt yt
k p ( xt yt ) 4kyt
2. Linealizar el sistema cuando la presión del fluido sea nula, P=0.
Mg K p x0 y0 4ky0 Mg y0 ; 4k
1 Mg 1 x0 y 0 Mg k kp p 4k
Apt Mxt Bx t k p z t
k p z t 4k xt z t
y k k k
k
Ejemplo 4.2 P
3. Diagrama a bloques
Rozamiento viscoso
A
Aps k p z s Ms 2 Bs x( s) z s
4k xs k p 4k
B
M Masa despreciable
x kP
y k k k
1 2 M.s +B.s
A
4*k kp+4*k Dz(s)
Dp(s)
kp
4. FDT entre la causa, variación de la presión, y el efecto, grado de compresión
del cuerpo.
z s 4k A ps Ms 2 Bs k p 4k 4k k p
k
Problema 3: Dinámica de un micrófono El funcionamiento de un micrófono dinámico se basa en el desplazamiento espacial
producido por una bobina dentro de un campo magnético. Hay un diafragma que se desplaza con la fuerza mecánica provocada por las ondas sonoras. Este desplazamiento se transmite a la ferrita de la bobina. La fuerza electromotriz generada en la bobina es proporcional a la inducción de campo, B, al número de espiras, n, a la longitud de espiras, l, y al desplazamiento relativo de la bobina: d yt et 2 B n l
dt
Se considera el modelo simplificado unidimensional de fuerzas adjuntado, donde Md es la masa del diafragma y Mb la masa de la bobina. En el desplazamiento horizontal del diafragma hacia la bobina, se conjetura un rozamiento viscoso, B1 y un amortiguamiento, k1. La bobina está separada de la estructura a través de un amortiguador, k2. Se pide: 1.
2. 3.
Conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales que definan la dinámica del sistema. Diagrama de bloques. Diafragma Función de transferencia entre la fuerza sonora y la tensión de salida. M
Imanes permanentes
d
N f(t)
k1
B1 x(t)
y(t) k2
S
Bobina Mb e(t)
Problema 3: Dinámica de un micrófono 1. Conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales que definan la dinámica del sistema. k1 y(t)
x(t)
f(t) B1
k2 Bobina Mb
Diafragma Md
Diafragma Md
N f(t)
. . f t M d xt k1 xG yt B1 xt yt
Imanes permanentes
k1
y(t) k2
..
. .. . k1 xt yt B1 xt yt M b yt k 2 yt
et 2Bnl yt k yt .
.
B1 x(t)
S
Bobina Mb e(t)
Problema 3: Dinámica de un micrófono 2. Diagrama de bloques. . . f t M d xt k1 xt yt B1 xt yt . .. . k1 xt yt B1 xt yt M b yt k 2 yt ..
et 2Bnl yt k yt .
.
Diafragma Md
Imanes permanentes
N f(t) 1 Md.s2 +B1.s+k1
B1.s+k1 2 Mb.s +B1.s+k1+k2
k1
k2
k*s
f(s)
y(t)
e(s)
B1*s+k1
B1 x(t)
3. Función de transferencia entre la fuerza sonora y la tensión de salida.
k * sB1 s k1 es f s M d M b s 4 B1 M d M b s 3 k1 M d M b k 2 M d s 2 B1k 2 s k1 .k 2
S
Bobina Mb e(t)
Problema 5: Sistema de suspensión En la figura derecha se muestra un modelo de suspensión de vehículos de tracción. Haciendo suposiciones de simplificación y de reparto del peso del coche sobre las cuatro ruedas, se ha obtenido un segundo modelo. Se pide: 1. Conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales que describe la dinámica del modelo simplificado. 2. Función de transferencia entre el desnivel del pavimento (causa), Y(s), con el desplazamiento del chasis (efecto), X(s). x Datos M El peso del vehículo es de una tonelada y las características del amortiguador están dadas por B = 500 Ns/m y K = 1000 N/m.
y
Problema 5: Sistema de suspensión 1.
Conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales que describe la dinámica del modelo simplificado. x M
Mg Mx t K x t y t B x t y t fn t K x t y t B x t y t y
2.
Función de transferencia entre el desnivel del pavimento (causa), Y(s), con el desplazamiento del chasis (efecto), X(s).
xs K Bs 1 0.5s ys Ms 2 Bs K 1 0.5s 0.25s 2
Problema 5: Sistema de suspensión xs K Bs 1 0.5s ys Ms 2 Bs K 1 0.5s 0.25s 2
M
x
Step Response 1.4
1.2
Amplitude
1
0.8
y 0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5 Time (sec)
3
3.5
4
4.5
5
Control de depósitos (I) Para la dinámica de los tanques de agua se considera los caudales (Qi), la sección de los depósitos (Ai) y de las tuberías de escape (Si), junto los niveles de altura (Hi): 1. Conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales que defina la dinámica del sistema.
2. Linealización del modelo alrededor de un punto de reposo. 3. Determinar la relación que se establece entre las alturas de los depósitos (Hi) y la secciones de las tuberías de escape (Si) 4. Modelo incremental que relacione la variación del caudal de entrada con el caudal de salida.
5. Diagrama a bloques del modelo incremental.
Control de depósitos (II) Primer parcial 15/16
Movimientos de rotación
Momento de inercia
T t J t J t J t ..
i
T J
M
Resorte torsional
J mi ri 2
1 Mr 2 2
Momento de inercia cilindro
T t k t
Fricción viscosa (mov. rotacional) T
T t B t B t .
B
Movimientos de rotación
Sistemas de unidades Mag.Física
T J k B
Analogías
SI Nm kg m2 Nm/rad Nm s/rad
movimiento de rotación
sistema eléctrico
Par mecánico
corriente
Desplazamiento angular
potencial
Ejemplo Obtener el periodo de oscilación de un péndulo simple (puede apoyarse en la excitación de un pulso de fuerza dado a un péndulo en reposo).
l
M
Conversión entre movimientos de traslación y de rotación
Cinta transportadora M
r
M
Cremalleras M r
M
T t Mr t 2
..
Conversión entre movimientos y trenes
Husillos L 2r M
M L 2 .. t T t M 2
Trenes de engranajes
Adecuar el par y la velocidad angular a la carga
Trenes de engranajes El número de dientes sobre la superficie de los engranajes, N1 y N2, es proporcional a los radios r1 y r2: r r 1
N1
2
N2
La distancia recorrida por la periferia de cada engranaje es la misma. Igualando las circunferencias de ambas según el desplazamiento angular dado para un tiempo determinado:
1 t r1 2 t r2
La potencia transmitida en la entrada en un engranaje es igual al que se da en la salida, ya que se supone que no hay pérdidas:
1 t T1 t 2 t T2 t
Modelo del tren de engranajes
Transformador mecánico
1
2 B1
Tm
B2
T1
T2
JC
Modelo del tren de engranajes
Transformador mecánico 1
2 B1
Tm
B2
T1
T2
JC
T1 t 2 t r1 N1 2 t T2 t 1 t r2 N 2 1 t N Beq B1 B2 1 N2 N Jeq J C 1 N2
2
2 Tm t Beq 1 t Jeq 1 t
Cadenas mecánicas Las cadenas permiten transmitir la energía mecánica a mayor distancia que los trenes de engranajes. Sin embargo, son menos precisas en su transmisión y tienen mayores pérdidas.
T 1 , 1
r1
T 2 , 2
r2 1 t r1 2 t r2 T1 t 1 t T2 t 2 t
Palancas Los sistemas de aproximadamente. f2 x2 l2
f1
l1
palanca
transmiten
movimientos
de
traslación
f1 t l1 f 2 t l 2 f1 t x1 t f 2 t x2 t f1 t x2 t l 2 f 2 t x1 t l1
x1 “Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo” Arquímedes (287 a. C. – c. 212 a. C)
Problema 4: Dinámica de un telégrafo La figura muestra el modelo simplificado de un telégrafo. Ante la recepción de un pulso eléctrico se produce una fuerza magnética proporcional a la corriente de su bobina, originando un desplazamiento en la palanca que provoca el movimiento de la masa del martillo, el cual choca contra una campana, produciendo una onda sonora. Se pide: 1. Conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales que modele la dinámica del telégrafo. 2. Diagrama a bloques y función de transferencia entre el efecto, x2(s), y la causa, e(s).
e(t) R, L
l2
l1
x1
M2
M1
K2 B1
x2
B2
Problema 4: Dinámica de un telégrafo 1.
Conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales modele la dinámica del telégrafo.
e t Ri t Li t ;
f t k pi t
f r 2 t M 2 g M 2 x2 t B2 x2 t k 2 x2 t x1 t
f r1 t l1 f r 2 t l2 ; 2.
l1
x2 t
e(t) R, L
l2
l1
x1
f t M 1 g M 1 x1 t B1 x1 t f r1 t ;
que x2
M2
M1
K2
B2
B1
l2
Diagrama a bloques y función de transferencia entre el efecto, x2(s), y la causa, e(s). x2 s e s
kp
R sL M1
l l1 l l l M 2 2 s 2 B1 1 B2 2 s k2 2 l2 l1 l1 l1 l2
Problema 6: Control sobre un péndulo La siguiente figura representa un péndulo controlado por medio de un electroimán. Un complejo sistema electromecánico permite ejercer una fuera horizontal sobre la barra del péndulo en el punto P proporcional a la intensidad que recorre la bobina: F (t ) 2 NA iL (t )
El ángulo girado por el péndulo respecto de la vertical es medido por medio del potenciómetro lineal mostrado en la figura, de tal forma que cuando el ángulo es de 90º la medida es de 10 V y cuando es de -90º la medida es de -10 v. El montaje del potenciómetro introduce un rozamiento de constante B= 3 .El sistema electrónico contiene el amplificador de error y un driver de potencia, de forma que la tensión de salida es amplificada k veces de la tensión de error. Teniendo en cuenta los datos suministrados en la figura, se pide: N m s radian
1. 2.
Ecuaciones físicas del sistema. Linealizar el sistema respecto del punto 0 30º .Justificar que: s 0.173 2 F s s 3s 11.547
3. 4.
Considérese para este apartado y el siguiente que el valor de K es 10. Diagrama a bloques y función de transferencia ¿Cómo evoluciona el ángulo si se introduce una tensión de referencia de +4 Voltios como valor absoluto?.
Problema 6: Control sobre un péndulo 1.
Ecuaciones físicas del sistema Control: Electroimán:
2.
Ve (t ) K (Vref (V )
di L (t ) Ri L (t ) dt F (t ) 2i L (t )
Ve (t ) L
Potenciómetro:
Péndulo:
V (t )
20
F (t )l 2 cos Ml12
Linealizar el sistema respecto del punto 0 30 . º
Vo 3,33V .
V 6.33
F0 28,87 N
Ve 10(Vref V )
i Lo 14,43 A
i L
Ve 0 1.44v Vref 0 3,47V .
1 Ve s 0,1 F 2i L F l 2 cos 30 F0 sen30 l 2 10 cos 30 3
0,173 F s 3s 11,547 2
(t ) d 2 (t ) d (t ) Mgl sen B 1 dt dt 2
Problema 6: Control sobre un péndulo
Problema 10: Robot limpiador El robot limpiador de fachadas mostrado en la figura, se compone de dos grandes elementos: por un lado un carrier comercial en lo alto de la fachada, y por otro el sistema de limpieza robótico, propiamente dicho, que sustituye a la canasta en la que habitualmente se sitúan los limpiadores. Se desea disminuir las oscilaciones que en el robot provocan los desplazamientos a lo largo del eje X del carrier. Para ello se ha supuesto el conocimiento de la longitud del cable L y de la masa del robot M, ambos datos fácilmente obtenibles por medio de sensores. Analizando la dinámica del sistema y siguiendo el sistema de referencias mostrado en el esquema de la figura, se ha llegado a la siguiente relación: d2 d Mg sin (t ) M 2 X R (t ) B X R (t ) dt dt
y
Demostrar que la función de transferencia que relaciona el movimiento en abscisas del robot con el movimiento en abscisas del carrier es: X R ( s) 3.01 G( s) 2 X C ( s) s 0.0875s 3.01
L
x
(t ) Xr(t) Mg Origen de X
Datos:
g 9.8 sm2
L 3.25m M 400Kg
z
Xc(t)
B 35 Ns m
Sistemas electromecánicos
Dínamo tacométricas M
m
+ DT
u DT t k DT m t
Encoders Rotación SMR
Rotación SCMR
A B
900
900
Fundamento del motor de continua
Fuerza en una espira (Ley de Lorentz)
Par del conjunto de espiras
Tm Fi r k1 ia
Fuerza contraelectromotriz (Ley de Lenz) d eb N k2 m dt
Modelo de motor de continua de imán permanente
Perdidas y conversión de energía eléctrica en energía mecánica
dia (t ) u e (t ) Ra ia (t ) La eb (t ) dt Par mecánico proporcional a la corriente de armadura Tm (t ) k p ia (t )
Movimiento de rotación d 2 m d m Tm J m B m dt dt 2
ia
Realimentación del motor
eb (t ) k bm (t )
ue
Ra
La
Jm , B m M
eb
Modelo de motor de continua de imán permanente
Relación entre kp y kb ia
Pm ia .eb Tm . m
Ra
La
ue
ia .eb k p .ia .m k p kb
ia .kb .m k p .ia .m
N.m / A V .s / rad
Jm , B m M
eb
Problema 9: Modelado de una cinta transportadora Para la traslación horizontal de una cámara de vídeo pan-tilt se ha utilizado una cinta transportadora. En el control se ha utilizado un motor de continua y una reductora. Se pide: 1. Diagrama de bloques del sistema 2. FDT entre el desplazamiento de la cámara y la tensión en el motor.
Datos: Motor: Resistencia de armadura = 7.94 , Inductancia equivalente del flujo disperso = 1.54 mH, Constante del par motor = 39.3 mNm/A., Constante de la fuerza contralectromotriz => 243 rpm/V, Momento de inercia del rotor= 26.6 gr cm2 Tren de engranajes: relación de transmisión = 1:198 Cinta transportadora: Radio de las poleas = 25 mm, Peso de la cámara= 1200 gr. Rozamiento viscoso equivalente de las poleas = 10-1 N.m.s/rad
Problema 9: Modelado de una cinta transportadora
Diagrama a bloques
ia
Ra
La
1
1:197
M JM
2
x s 4.96 10 6 1211.33 9 2 5 3 s 5082s 75.17 u m s 4.96 10 s 2.11 10 s 1.56 10
Jc
BC
Examen del primer parcial (curso14/15)
Examen del primer parcial
Examen (julio 2017)
Los parámetros asociados al sistema son los siguientes: 𝑅 = 1Ω Resistencia del inducido del motor 𝐾𝑝 = 0.15 𝑁𝑚 𝐴 Cte. de par del motor −1 𝐾𝑒 = 0.15 𝑉 𝑟𝑎𝑑 · 𝑠𝑒𝑔 Cte. eléctrica del motor 2 𝐽 = 0.01 𝐾𝑔 𝑚 Inercia del motor −1 𝑓 = 0.05 𝑁𝑚 𝑟𝑎𝑑 · 𝑠𝑒𝑔 Fricción viscosa del eje del motor 𝑛 = 100 Relación de reducción 𝑟 = 0.08𝑚 Radio de enrollamiento de la polea 𝑚 = 100𝐾𝑔 Masa a elevar 𝜇 = 0.4 Coef. De fricción seca entre la masa m y la superficie 0 𝛼 = 30 Angulo de inclinación de la rampa Se dispone de una dinamo tacométrica acoplada al eje del motor de ganancia 𝐾𝑤 = 0.08 𝑉 𝑟𝑎𝑑 · 𝑠𝑒𝑔−1
Sistemas térmicos
Resistencia térmica RTH
cambio en la diferencia de temperatur a dT cambio en el flujo de calor dq
Capacitancia térmica CTH
q
cambio en el calor almacenado cambio en la temperatur a
Magnitudes Magnitudes físicas q
q CTH T
CTH mc
Analogías Sistema Internacional kcal s
kJulio o kW s
T
K
c
kcal/kg K
RTH
K/W
CTH
.
T RTH
Julio Ws / K K o
kcal K
Sistema térmico
Sistema eléctrico
Flujo de calor
Corriente
Temperaturas
Potencial
Resistencia térmica
Resistencia eléctrica
Inercia térmica
Capacidad eléctrica
Ejemplo 4.4
Modelar el comportamiento dinámico de un calentador de agua caliente. Obtener la FDT entre la potencia entregada al calentador y la diferencia de temperatura entre el agua caliente y la fría.
T Ta Qe cTc T f qentragada mT c T T T RTH .
Tc Qe Tf
TT
Si el cauda y la temperatura exterior son constantes Tc s qentregados
1 1 CTH s Qe c RTH
Ta
Qs
Examen enero 2016 El esquema de la figura representa un calentador de agua. Siendo uTc la tensión del sensor de temperatura del agua caliente y uQg la tensión que se aplica a la electroválvula que regula el caudal de gas que le llega al quemador. Se pide: 1.
Determinar el conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales del calentador. Considérese proporcionales las relaciones entre las tensiones y los sensores o actuadores. La potencia del quemador es proporcional al caudal del gas.
2.
Obtener el diagrama a bloque del calentador, indicando la variable de entrada, de salida y las perturbaciones.
Examen enero 2016
Problema 3.4 La figura representa el esquema simplificado de la calefacción de una habitación por medio de un radiador eléctrico. El radiador consiste en una resistencia R alimentada a V voltios situada en un baño de aceite de masa calorífica Mc y temperatura Tc. Posee una superficie Sc de coeficiente global de transmisión Uc hacia el aire.
El aire de la habitación se encuentra a una temperatura Th y tiene una masa calorífica Mh. La temperatura exterior es Te. Las paredes tienen una superficie SP y un coeficiente global de transmisión UP. La temperatura de la habitación se mide con un termómetro situado cerca del radiador, por lo que su indicación Tm viene afectada ligeramente por él. Dicha medida se compara con una referencia Tr y la diferencia, amplificada con un ganancia K se lleva a la resistencia del radiador
.
1) Tm 0.95Th 0.05Tc 2) V k Tr Tm 3) q 0.24V 2 / R dTc q U c Sc Tc Th dt dT 5) M h h U c Sc Tc Th U p S p Th Te dt 4) M c
R 20
k 50V /º C
M c 1000cal /º C
U c S c 12.5cal / s º C
M h 3000cal /º C
U p S p 33cal / s º C
Control de temperatura de la habitación 1) Tm 0.95Th 0.05Tc 2) V k Tr Tm 3) q 0.24V 2 / R dTc 4) M c q U c Sc Tc Th dt dT 5) M h h U c Sc Tc Th U p S p Th Te dt I. Determinar el punto de equilibrio (Tc,o y Th,0) en torno a Te,0 = 5ºC, Tr,0 =25ºC. 1) Tm.0 0.95Th ,0 0.05Tc ,0 2) V k Tr ,0 Tm, 0 3) q0 0.24V0 / R 4) 0 q0 U c S c Tc Th 5) 0 U c S c Tc ,o Th, 0 U p S p Th ,0 Te,0 2
V0 200V
q0 480cal / s Tm,0 21º C Th ,0 19.5º C Tc ,0 56.8º C
II. Linealizar las ecuaciones en torno al punto de equilibrio.
1) Tm t 0.95Th t 0.05Tc t 2) V t k Tr t Tm t 3) qt 0.24 2V / R 0 V t 4) M c Tc t qt U c Sc Tc t Th t 5) M T t U S T t T t U S T t T t h
h
c
c
c
h
p
p
h
e
Control de temperatura de la habitación
Las células Peltier
El efecto Peltier
Pe (t ) Tc 0 i p (t ) pe t C f
dT T dt RTH
RTH T s pe s 1 C f RTH s
El equipo Peltier
ucps
i p s Amplificador Transconductivo
100 mS
u Acond s
T s Célula Peltier
Acondicionamiento 10 20
V K