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ETAPA 4 – DEFINIR EL MODELO MATEMÁTICO DEL PROBLEMA PLANTEADO – ENTREGA DE RESULTADOS

Presentado al tutor: Santiago Rua

Presentado por Jhon Carlos Franco Del Castillo COD: 72294222 Nathalia Ramírez COD: 1070958961

Grupo: 243005_10

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA INGENIERIA ELECTRONICA MAYO/2019

INTRODUCCION Dentro de la presente actividad se encontrará el modelamiento de un sistema dinámico en el dominio del tiempo para determinar las ecuaciones diferenciales de un sistema electromecánico. Partiendo de las ecuaciones diferenciales se hallará el modelo matemático con dominio de la frecuencia para determinar la función de transferencia. De igual manera, se evidencia los respectivos diagramas de bloque para cada uno de los modelos en función del dominio del tiempo y de la frecuencia, con sus respectivas graficas.

ACTIVIDAD A DESARROLLAR La compañía donde usted trabaja ha realizado la adquisición de un nuevo equipo industrial que permitirá incrementar los niveles de producción de la empresa. Con el fin de prevenir fallas y proteger la alta inversión realizada, el presidente de la compañía ha ordenado la creación de un sistema de monitoreo que permita supervisar el buen funcionamiento de la máquina y diagnosticar la existencia de alguna falla. Para el diseño del sistema de monitoreo y diagnóstico de fallas se requiere conocer de forma precisa el modelo matemático del equipo industrial; de esta manera se dice que la máquina está funcionando correctamente si la salida real es similar a la salida de su modelo matemático; en caso contrario es posible que la máquina esté presentando fallas. Sistemas Electromecánico – Velocidad de rotación del motor A continuación, se presenta un diagrama simplificado del nuevo equipo industrial, en el cual se tiene como variable de entrada el voltaje de armadura del motor aplicada 𝑣(𝑡) y como variable de salida la velocidad de rotación del motor 𝛩(𝑡):

JHON CARLOS FRANCO 2. Los parámetros físicos a tener en cuenta para el Sistema electromecánico 2 son: Momento de inercia del rotor 𝐽 = 0.01 𝐾𝑔 ∗ 𝑚2 Constante de fricción viscosa del motor 𝑏 = 2 𝑁 ∗ 𝑚 ∗ 𝑠 Constante de fuerza electromotriz 𝑘𝑒 =

0.02𝑉 𝑟𝑎𝑑

/𝑠

Constante torque del motor 𝑘𝑡 = 0.01 𝑁 ∗ 𝑚/𝐴 Resistencia eléctrica 𝑅 = 2 𝛺 Inductancia 𝐿 = 1𝐻

Solución: Para tener en cuenta como se trata de un sistema electromecánico debemos realizar los cálculos matemáticos para el sistema eléctrico y el mecánico.

SISTEMA ELECTRICO Como podemos apreciar en el circuito todos nuestros componentes se encuentran es serie, por lo tanto, aplicaremos la ley de voltajes de Kirchhoff (LVK). 𝑉(𝑡) = 𝑉𝑅(𝑡) + 𝑉𝐿(𝑡) + 𝑒(𝑡) Como sabemos: Voltaje en la resistencia: 𝑉𝑅(𝑡) = 𝑅 ∗ 𝐼(𝑡) = 𝐼𝐿 (𝑡) ∗ 𝑅 Voltaje en la bobina:

𝑉𝐿(𝑡) = 𝐿

Voltaje del motor:

𝑒(𝑡) = 𝐾𝑒

De igual manera tenemos que:

𝑑𝜃(𝑡) 𝑑𝑡

𝑑𝐼𝐿 (𝑡) 𝑑𝑡

𝑑𝜃(𝑡) 𝑑𝑡

= 𝜔(𝑡)

Reorganizando nuestra ecuación tenemos:

𝑉(𝑡) = 𝐼𝐿 (𝑡) ∗ 𝑅 + 𝐿

𝑑𝐼𝐿 (𝑡) + 𝐾𝑒𝜔(𝑡) 𝑑𝑡

Reemplazando con los valores suministrados: 𝑉(𝑡) = 2𝐼𝐿 (𝑡) +

𝑑𝐼𝐿 (𝑡) + 0.02𝜔(𝑡) 𝑑𝑡

𝐸𝑐. 1

SISTEMA MECANICO Para desarrollar el cálculo matemático aplicaremos la ley de Newton en relación a la fuerza y movimiento y se tiene:

𝐽∗

𝑑 2 𝜃(𝑡) 𝑑𝜃(𝑡) +𝐵 = 𝜏(𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑡

Donde: 𝜏(𝑡) = 𝐾𝑡 ∗ 𝐼(𝑡) = 𝐾𝑡 ∗ 𝐼𝐿 (𝑡),

𝑑𝜃(𝑡) = 𝜔(𝑡) 𝑑𝑡

Obteniendo como resultado: 𝐽 ∗ 𝜔2 (𝑡) + 𝐵𝜔(𝑡) = 𝐾𝑡 ∗ 𝐼𝐿 (𝑡)

Remplazando los valores suministrados tenemos: 0,01𝜔(𝑡 2 ) + 2𝜔(𝑡) = 0,01𝐼𝐿 (𝑡) 𝐸𝑐. 2

Hallar el modelo matemático del sistema mediando la ecuación de la función de transferencia. 𝑉(𝑡) = 2𝐼𝐿 (𝑡) +

𝑑𝐼𝐿 (𝑡) + 0,02𝜔(𝑡) 𝑑𝑡

0,01𝜔(𝑡 2 ) + 2𝜔(𝑡) = 0,01𝐼𝐿 (𝑡) Aplicando Laplace a cada una de las variables 𝐼𝐿 (𝑡) = 𝐼𝐿 (𝑠)

𝑉(𝑡) = 𝑉(𝑠) = 𝑈(𝑠)

𝑑𝑖𝐿 (𝑡) = 𝑠 ∗ 𝐼𝐿 (𝑠) 𝑑𝑡

𝜔(𝑡) = 𝜔(𝑠)

Ahora pasamos la ecuación 1 del dominio del tiempo a la frecuencia (sistema eléctrico): 𝑉(𝑠) = 2𝐼𝐿 (𝑠) + 𝑠 ∗ 𝐼𝐿 (𝑠) + 0,02𝜔(𝑠) 𝐸𝑐. 3 Ahora pasamos la ecuación 2 del dominio del tiempo a la frecuencia (sistema Mecánico): 0.01𝜔(𝑠)2 + 2𝜔(𝑠) = 0,01𝐼𝐿 (𝑠) 𝐸𝑐. 4 A continuación, despejaremos 𝐼𝐿 (𝑠) de la ecuación 3: 𝑉(𝑠) = 2𝐼𝐿 (𝑠) + 𝑠 ∗ 𝐼𝐿 (𝑠) + 0,02𝜔(𝑠) 𝑉(𝑠) − 0,02𝜔(𝑠) = 2𝐼𝐿 (𝑠) + 𝑠 ∗ 𝐼𝐿 (𝑠) 𝑉(𝑠) − 0,02𝜔(𝑠) = 𝐼𝐿 (𝑠)(2 + 𝑠) 𝑉(𝑠) − 0,02𝜔(𝑠) = 𝐼𝐿 (𝑠) (2 + 𝑠) Ahora reemplazamos el valor de 𝐼𝐿 (𝑠) en la ecuación 4: 0.01𝜔(𝑠)2 + 2𝜔(𝑠) = 0,01𝐼𝐿 (𝑠) 0.01𝜔(𝑠)2 + 2𝜔(𝑠) = 0,01 ∗

0.01𝜔(𝑠)2 + 2𝜔(𝑠) =

𝑉(𝑠) − 0,02𝜔(𝑠) (2 + 𝑠)

0,01𝑉(𝑠) − 0,0002𝜔(𝑠) (2 + 𝑠)

(2 + 𝑠)(0.01𝜔(𝑠)2 + 2𝜔(𝑠)) = 0,01𝑉(𝑠) − 0,0002𝜔(𝑠) 0.02𝜔(𝑠)2 + 4𝜔(𝑠) + 0.01(𝑠 3 ) + 2𝜔(𝑠 2 ) = 0,01𝑉(𝑠) − 0,0002𝜔(𝑠 0.02𝜔(𝑠)2 + 4𝜔(𝑠) + 0.01(𝑠 3 ) + 2𝜔(𝑠 2 ) + 0,0002𝜔(𝑠) = 0,01𝑉(𝑠) 𝜔(𝑠)(0.02𝑠 + 4 + 0.01𝜔(𝑠) + 2𝑠 + 0,0002 = 0,01𝑉(𝑠)

𝜔(𝑠)(0.01𝑠 2 + 2.02𝑠 + 4,0002 = 0,01𝑉(𝑠)

Dado que 𝜔(𝑠) = 𝑌(𝑠) y 𝑉(𝑠) = 𝑈(𝑠) La función de transferencia para el motor 𝑌(𝑠) 0.01 = 2 𝑈(𝑠) 0.01𝑠 + 2.02𝑠 + 4.0002

A partir de la ecuación característica del sistema, determinar la estabilidad del mismo. Procedemos hallar los ceros y los polos de la función de transferencia donde los ceros son las raíces del numerador y los polos las raíces del denominador.

Ceros Procedemos a igualar el numerador a cero 𝑠=0 Por lo tanto, témenos 1 cero para nuestra función de transferencia.

Polos Procedemos a igualar el denominador a cero 0.01𝑠 2 + 2.02s + 4.0002 Aplicamos ahora la fórmula de la ecuación cuadrática para hallar los dos valores de los polos 𝑆12 =

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎

Reemplazando valores 𝑆12 =

−2.02 ± √2.022 − 4 ∗ 0.01 ∗ 4.0002 2 ∗ 0.01

𝑆1 = −200 𝑆2 = −2 Partiendo que la ubicación de los polos determina si un sistema es estable o no, para nuestro ejercicio Podemos ver que ambos polos se encuentran ubicados en la parte imaginaria del plano (eje -x) de tal manera que nuestro SISTEMA DINAMICO ES ESTABLE. 4.1.

Generar el diagrama de bloques que representa la ecuación diferencial en el dominio del tiempo del modelo matemático del sistema.

4.2.

Representar la función de transferencia mediante un diagrama de bloques.

4.3.

Utilice MATLAB® para simular los diagramas de bloques y grafique la salida del sistema cuando se aplica una entrada constante 𝑉(𝑡) = 5 𝑉 durante los primeros 5 segundos y en ese momento se aplica una entrada escalón unitario durante 5 segundos más, de manera que la simulación dura 10 segundos.

GRAFICAS DIAGRAMA DOMINIO DEL TIEMPO

Salida sistema mecánico

Salida del sistema Eléctrico

GRAFICA DIAGRAMA DOMINIO DE LA FRECUENCIA

LINK DE VIDEO https://youtu.be/zaVlqSPxQ-o ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ NATHALIA RAMÍREZ 2. Los parámetros físicos a tener en cuenta para el Sistema electromecánico 4 son: Momento de inercia del rotor 𝐽 = 0.03 𝐾𝑔 ∗ 𝑚^2 Constante de fricción viscosa del motor 𝑏 = 1 𝑁 ∗ 𝑚 ∗ 𝑠 Constante de fuerza electromotriz 𝑘𝑒 = 0.03𝑉/rad /𝑠 Constante torque del motor 𝑘𝑡 = 0.03 𝑁 ∗ 𝑚/𝐴 Resistencia eléctrica 𝑅 = 1 𝛺 Inductancia 𝐿 = 2 𝐻

Aplicando LVK para el circuito seleccionado 𝑉(𝑡) = 𝑉𝑟(𝑡) + 𝑉𝑙(𝑡) + 𝑒(𝑡)

Donde 𝑉(𝑡) = 𝐼𝐿(𝑡) ∗ 𝑅 + 𝐿

𝑑𝐼𝑙(𝑡) 𝑑ɵ(𝑡) + 𝐾𝑒 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1 𝑑𝑡 𝑑𝑡

Remplazando 𝑉(𝑡) = 𝐼𝐿(𝑡) + 2

𝐽∗

𝑑𝐼𝑙(𝑡) 𝑑𝜃(𝑡) + 0,03 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑑 2 𝜃(𝑡) 𝑑𝜃(𝑡) +𝐵 = 𝜏(𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝜏(𝑡) = 𝐾𝑡 ∗ 𝐼(𝑡) = 𝐾𝑡 ∗ 𝐼𝐿(𝑡) Tenemos 𝑑2 𝜃(𝑡) 𝑑𝜃(𝑡) 𝐽∗ +𝐵 = 𝐾𝑡 ∗ 𝐼𝐿(𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Remplazando tenemos 𝑑2 𝜃(𝑡) 𝑑𝜃(𝑡) 0,03 + = 0,03𝐼𝐿(𝑡) 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡

4.1.

Hallar el modelo matemático del sistema mediando la ecuación de la función de transferencia. 𝑉(𝑡) = 𝐼𝐿(𝑡) + 2

0,03

𝑑𝐼𝑙(𝑡) 𝑑𝜃(𝑡) + 0,03 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑑 2 𝜃(𝑡) 𝑑𝜃(𝑡) + = 0,03𝐼𝐿(𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑡

En función de Laplace 𝑉(𝑠) = I(s) + 2𝑠 𝑖(𝑠) + 0,03𝑠𝜃(𝑠) 0.03𝑠 2 ∗ 𝜃(𝑠) + s 𝜃(𝑠) = 0,03𝐼(𝑠)

4.2.

A partir de la ecuación característica del sistema, determinar la estabilidad del mismo. 𝑉(𝑠) = I(s) + 2𝑠 ∗ 𝑖(𝑠) + 0.03𝑠𝜃(𝑠) 0.03𝑠 2 ∗ 𝜃(𝑠) + s 𝜃(𝑠) = 0.03𝐼(𝑠)

despejando I(s) de la segunda ecuación 𝑠 2 𝜃(𝑠) + 33,3s 𝜃(𝑠) = 𝐼(𝑠)

Remplazándolo en 1 queda 𝑉(𝑠) = 𝑠 2 𝜃(𝑠) + 33,3s 𝜃(𝑠) + 2𝑠 ∗ (𝑠 2 𝜃(𝑠) + 33,3s 𝜃(𝑠)) + 0.03𝑠𝜃(𝑠) 𝑉(𝑠) = 𝑠 2 𝜃(𝑠) + 33,3s 𝜃(𝑠) + 2𝑠 3 𝜃(𝑠) + 66,6s 2 𝜃(𝑠) + 0.03𝑠𝜃(𝑠) 𝑉(𝑠) = 𝑠𝜃(𝑠)[𝑠 + 33,3 + 2𝑠 2 + 66,6s + 0.03] 𝑉(𝑠) = 𝑠𝜃(𝑠)[2𝑠 2 + 67,6s + 33,3] Dado que 𝑠𝜃(𝑠) = 𝑌(𝑠) y 𝑉(𝑠) = 𝑈(𝑠)

Forma 1 𝑌(𝑠) 0.5 = 2 𝑈(𝑠) 𝑠 + 33.8s + 16.6

Para un aporte Se procede a hallar los polos de la función, es decir las raíces del denominador. 𝑝1,2 =

−33.8 ± √33.82 − 4 ∗ 16.6 ∗ 1 2∗1 𝑝1 = −0.4984 𝑝2 = −33.30

Dado que las raíces se hallan en el semiplano negativo el sistema es estable.

5. Teniendo en cuenta el desarrollo del numeral 3, realizar las siguientes actividades prácticas de acuerdo a los modelos matemáticos obtenidos:

5.1.

Generar el diagrama de bloques que representa la ecuación diferencial en el dominio del tiempo del modelo matemático del sistema.

5.2.

Representar la función de transferencia mediante un diagrama de bloques.

5.3.

Utilice MATLAB® para simular los diagramas de bloques y grafique la salida del sistema cuando se aplica una entrada constante 𝑉(𝑡) = 5 𝑉 durante los primeros 5 segundos y en ese momento se aplica una entrada escalón unitario durante 5 segundos más, de manera que la simulación dura 10 segundos.

Diagrama de bloques 2

Diagrama de bloques 2

CONCLUSIONES Con el desarrollo de esta actividad pudimos aprender cómo se pueden modelar el comportamiento de un elemento específico dentro de un proceso conociendo sus parámetros o características. Identificamos los sistemas que forman parte en un motor de corriente continua, como es el eléctrico y mecánico realizando los respectivos cálculos matemáticos para brindar solución a los requerimientos solicitados. Para por medio de ellos establecer el correcto funcionamiento del equipo o posible falla.

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