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Sistemas Dinámicos Unidad 2: Etapa 2 - Modelar el sistema dinámico en el dominio de la frecuencia

Henry Meneses Código: Iván Andrés Galindo Valero Código: 74347884 Juan David Martínez Código: Carlos Alberto Bonet Código: 1064800957 Lina maria medina velez Código :1094279155

Tutor del Curso: Ing. Edison Andrés Arteaga

Código del Grupo: 243005_41

Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería Universidad Nacional Abierta y a Distancia Octubre 31 de 2019

INTRODUCCION Mediante el análisis en frecuencia de un sistema, es posible determinar factores como la estabilidad y el error en estado estacionario de este. Gracias a la transformada de Laplace se puede hacer el cambio del dominio temporal al dominio frecuencial, además, utilizando criterios como el de Routh Hurwitz se facilita el análisis de estabilidad. A continuación, se realiza el modelamiento de la función de transferencia de 5 sistemas en el dominio de la frecuencia, su análisis de estabilidad y las respectivas simulaciones ante entradas constantes y el escalón unitario.

CONTENIDO INTRODUCCION ........................................................................................................................................ 2 LISTADO DE CONCEPTOS DESCONOCIDOS ....................................................................................... 4 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ..................................................................................................... 7 CONCLUSIONES ...................................................................................................................................... 38 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................................................ 39

LISTADO DE CONCEPTOS DESCONOCIDOS Diagrama De Bloques: Es la representación gráfica del funcionamiento interno de un sistema, que se hace mediante bloques y sus relaciones, y, además, definen la organización de todo el proceso interno, sus entradas y sus salidas. Un diagrama de bloques de procesos de producción es utilizado para indicar la manera en la que se elabora cierto producto, especificando la materia prima, la cantidad de procesos y la forma en la que se presenta el producto terminado. Un diagrama de bloques de modelo matemático es el utilizado para representar el control de sistemas físicos (o reales) mediante un modelo matemático, en el cual, intervienen gran cantidad de variables que se relacionan en todo el proceso de producción. El modelo matemático que representa un sistema físico de alguna complejidad conlleva a la abstracción entre la relación de cada una de sus partes, y que conducen a la pérdida del concepto global. En ingeniería de control, se han desarrollado una representación gráfica de las partes de un sistema y sus interacciones. Luego de la representación gráfica del modelo matemático, se puede encontrar la relación entre la entrada y la salida del proceso del sistema. Estabilidad Del Sistema: Un sistema dinámico es estable si para cualquier entrada acotada se obtiene una salida acotada, independientemente de cual fuese su estado inicial. La inestabilidad de los sistemas es la mayor limitación a la hora de realizar la sintonía del controlador. Normalmente, la estabilidad o inestabilidad de un sistema es intrínseca al mismo, independientemente de la entrada. Por ello se puede verificar su estabilidad mediante la ubicación de los polos de la función de transferencia en lazo abierto, los cuales deben estar ubicados en el semiplano negativo real. Función De Transferencia: Es un modelo matemático que a través de un cociente relaciona la respuesta de un sistema (modelada) con una señal de entrada o excitación (también modelada). Para un Sistema lineal de parámetros constantes, la función de transferencia se define como el cociente entre la Transformada Laplace de la señal de salida Y(s) y la Transformada de Laplace de la señal de entrada U(s), suponiendo todas las condiciones iniciales nulas. 𝐺(𝑠) =

Entrada U(s)

𝑌(𝑠) 𝑏𝑚 𝑠 𝑚 + 𝑏𝑚−1 𝑠 𝑚−1 + ⋯ . +𝑏1 𝑠1 + 𝑏0 = 𝑈(𝑠) 𝑎𝑚 𝑠 𝑚 + 𝑎𝑚−1 𝑠 𝑚−1 + ⋯ . +𝑎1 𝑠1 + 𝑎0

Función de transferencia G(s)

salida Y(s)

Además, El sistema debe ser lineal y estacionario: es decir que el sistema no cambia en el tiempo. Transformada De Laplace: Las transformadas de Laplace es una herramienta matemática, que se encargan de facilitar el cálculo de operaciones integro-diferenciales. Esto se realiza cambiando el dominio del tiempo a uno imaginario que denominaremos Dominio de Laplace, en donde la solución de ecuaciones diferenciales se alcanza mediante procedimientos algebraicos. Las transformadas comunes son las siguientes: ℒ{𝛿𝑡 } = 1

ℒ{𝑡} = 1

ℒ{𝑒 −𝑎𝑡 } = 𝑠+𝑎

1 𝑠2 𝑑𝑋

ℒ{𝑢𝑡 } =

ℒ { 𝑑𝑡 } = 𝑠 ∗ 𝑋(𝑠)

1 𝑠

(𝑛−1)

ℒ{𝑡 𝑛−1 } =

𝑠𝑛 𝑎

ℒ{sin⁡(𝑎𝑡)} = 𝑠2 +𝑎2

Es conveniente recalcar que para realizar las transformaciones inversas de Laplace se utilizan las mimas formulas, pero en sentido contrario1 La transformada de Laplace se define por la expresión: ∞

ℒ[𝑦(𝑡)] = 𝑌(𝑠) = 𝑙𝑖𝑚 ∫ 𝑦(𝑡) ∗ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 0

𝑠 es una variable compleja, 𝑠 = 𝜎 + 𝑗𝑤 ; 𝜎 y 𝑤 son variables reales y ⁡⁡𝑗 = √−1 Error en estado estacionario: Análisis de error en estado estacionario Si en la etapa en estado estable la salida es diferente al valor deseado, se dice que existe un error en estado estacionario, este error depende del tipo de sistema de control (en forma específica de la función de transferencia de lazo abierto) y de la señal de entrada. Polos y ceros: En una función de transferencia, los ceros son las raíces del numerador y los polos son las raíces del denominador. Los valores de los ceros y de los polos son un indicativo respecto al comportamiento el sistema, si es estable o inestable, amortiguando o subamortiguando, etc. Así también los polos y los ceros nos dan indicación del comportamiento en frecuencia del sistema. Señal: Dos definiciones de señal son: La variación en el tiempo o el espacio de una magnitud física. Una función que lleva información, generalmente acerca del estado o comportamiento de un sistema físico.

Espacio de estados: en ingeniería de control, una representación de espacios de estados es un modelo matemático de un sistema físico descrito por un conjunto de entradas, salidas y variables de estado relacionadas por ecuaciones diferenciales de primer orden que se combinan en una ecuación diferencial matricial de primer orden Modelamiento matemático: es uno de los tipos de modelo científico que emplea algún tipo de formulismo matemático, para expresar, relaciones, proposiciones sustantivas de hechos, variables parámetros variables y relaciones entre variables y/o entidades o el estudio de sistemas complejos ante situaciones difíciles de observar en la realidad. El dominio de la frecuencia: es un término usado para describir el análisis de funciones matemáticas o señales o movimiento periódico respecto a su frecuencia. Un gráfico del dominio temporal muestra la evolución de una señal en el tiempo, mientras que un gráfico frecuencia muestra las componentes de la señal según la frecuencia en la que oscilan dentro de un rango determinado. Frecuencia: Es una magnitud que mide el número de repeticiones por unidad de tiempo de cualquier fenómeno o suceso periódico. Los esquemas de bloques: facilitan la construcción de modelos, su interpretación y reducción. Representan relaciones algebraicas (es decir, no diferenciales) y, en principio, son válidos para sistemas lineales (aunque por abuso de notación pueden incluir bloques no lineales, funciones descriptivas, etc.)

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA La compañía donde usted trabaja ha realizado la adquisición de un nuevo equipo industrial que permitirá incrementar los niveles de producción de la empresa. Con el fin de prevenir fallas y proteger la alta inversión realizada, el presidente de la compañía ha ordenado la creación de un sistema de monitoreo que permita supervisar el buen funcionamiento de la máquina y diagnosticar la existencia de alguna falla. Para el diseño del sistema de monitoreo y diagnóstico de fallas se requiere conocer de forma precisa el modelo matemático del equipo industrial; de esta manera se dice que la máquina está funcionando correctamente si la salida real es similar a la salida de su modelo matemático; en caso contrario es posible que la máquina esté presentando fallas. Se presentan cinco (5) modelos diferentes de sistemas eléctricos que corresponden al equipo industrial que se requiere modelar, cada estudiante selecciona un modelo diferente para ser analizado. Por lo tanto, se requiere que indique en el foro colaborativo el modelo a usar con el fin que no se repitan modelos. Sistemas Eléctricos A continuación, se presenta un diagrama simplificado del nuevo equipo industrial, en el cual se tiene como variable de entrada el voltaje de alimentación V(t) y como variable de salida el voltaje en la bobina.

Estudiante No. 1 Henry Meneses A continuación, se plantean dichas ecuaciones referentes al circuito 1. 𝑑𝑉𝑐 2𝑉𝑐 2𝑖𝐿 𝑉 =− − + ⁡⁡⁡⁡⁡⁡(1) 𝑑𝑡 9 9 6 𝑑𝑖𝐿 4𝑉𝑐 6𝑖𝐿 = − ⁡⁡⁡⁡⁡⁡(2) 𝑑𝑡 5 5 Para pasar dichas ecuaciones al dominio de la frecuencia, aplicamos la transformada de Laplace. Para las ecuaciones se tiene

𝑑𝑉𝑐 = 𝑠 ∗ 𝑉𝑐 (𝑠) 𝑑𝑡 𝑑𝑖𝐿 (𝑡) = 𝑠 ∗ 𝑖𝐿 (𝑠) 𝑑𝑡 𝑉(𝑡) = 𝑉(𝑠) = 𝑈(𝑠) 𝑉𝑐 (𝑡) = 𝑉𝑐 (𝑠) 𝑉𝐿 (𝑡) = 𝑉𝐿 (𝑠) = 𝑌(𝑠) 𝑉𝐿 (𝑡) = 𝐿

𝑑𝑖𝐿 (𝑡) 𝑑𝑡

𝑉𝐿 (𝑠) = 𝐿 ∗ 𝑠 ∗ 𝑖𝐿 (𝑠) = 𝑌(𝑠) Donde 𝑈(𝑠)⁡es la entrada, 𝑌(𝑠) la salida Aplicando esto al sistema de ecuaciones tenemos 𝑠 ∗ 𝑉𝑐 (𝑠) = −

2𝑉𝑐 (𝑆) 2𝑖𝐿 (𝑆) 𝑉(𝑆) − + ⁡⁡(3) 9 9 6

𝑠 ∗ 𝑖𝐿 (𝑠) =

4𝑉𝑐 (𝑆) 6𝑖𝐿 (𝑆) − ⁡⁡⁡⁡⁡(4) 5 5

Despejamos de la ecuación 3 2 2𝑖𝐿 (𝑠) 𝑉(𝑠) 𝑉𝑐 (𝑠) [𝑠 + ] = − + 9 9 6 𝑉𝑐 (𝑠) [

9𝑠 + 2 9𝑉(𝑠) − 12𝑖𝐿 (𝑠) ]= 9 54

𝑉𝑐 (𝑠) =

9𝑉(𝑠) − 12𝑖𝐿 (𝑠) ⁡⁡(5) 54𝑠 + 12

Sustituimos 5 en 4 𝑠 ∗ 𝑖𝐿 (𝑠) = 𝑖𝐿 (𝑠) (𝑠 +

4 9𝑉(𝑠) − 12𝑖𝐿 (𝑠) 6𝑖𝐿 (𝑆) ( )− 5 54𝑠 + 12 5

48 6 36 + ) = 𝑉(𝑠) ( ) 270𝑠 + 60 5 270𝑠 + 60

Se multiplica a ambos lados de la igualdad con el fin de reemplazar por variables deseadas. Y recordando L= 2 H 𝐿 ∗ 𝑠 ∗ 𝑖𝐿 (𝑠) (𝑠 + 𝑌(𝑠) (𝑠 +

48 6 36 + ) = 𝐿 ∗ 𝑠 ∗ 𝑉(𝑠) ( ) 270𝑠 + 60 5 270𝑠 + 60 48 6 72𝑠 + ) = 𝑈(𝑠) ( ) 270𝑠 + 60 5 270𝑠 + 60

1350𝑠 2 + 1920𝑠 + 600 72𝑠 𝑌(𝑠) ( ) = 𝑈(𝑠) ( ) 1350𝑠 + 300 270𝑠 + 60 𝑌(𝑠) 360𝑠 = 2 𝑈(𝑠) 1350𝑠 + 1920𝑠 + 600 𝑌(𝑠) 𝑠 = 2 𝑈(𝑠) 3.75𝑠 + 5.333𝑠 + 1.666 Encontrar el error en estado estacionario del sistema hallado cuando se aplica una señal de perturbación tipo escalón unitario Teniendo en cuenta que la señal de error (𝑒) se determina mediante la diferencia de la señal de entrada y la obtenida tenemos: 𝑒 = 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 − 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑒(𝑠) = 𝑢(𝑠) − 𝑌(𝑠) Para el sistema en lazo abierto 𝑒 = (1 − 𝐺(𝑠))𝑈(𝑠) Entonces el error en estado estacionario es: 𝑒𝑜 = lim 𝑠 ∗ 𝑒(𝑠) 𝑠→0

𝓕Para el sistema en lazo cerrado 1 𝑒=( ) 𝑈(𝑠) 1 + 𝐺(𝑠) Para una entrada escalón 1 1 𝑒𝑜 = lim 𝑠 ∗ ( ) 𝑠→0 1 + 𝐺(𝑠) 𝑠

𝑒𝑜 = lim∗ ( 𝑠→0 1+

1

)=1 𝑠 3.75𝑠 2 + 5.333𝑠 + 1.666

A partir de la ecuación característica del sistema, determinar la estabilidad del mismo. Empleando la herramienta Matlab

Dada la ubicación de los polos del sistema el sistema en el semiplano real negativo el sistema es estable. Representar la función de transferencia mediante un diagrama de bloques.

Utilice MATLAB® para simular la función de transferencia hallada y grafique la salida del sistema cuando se aplica una entrada constante V(t)=12 V durante los primeros 5 segundos y en ese momento se aplica una entrada escalón unitario durante 10 segundos más, de manera que la simulación dura 15 segundos.

Cada estudiante elabora un video de la simulación obtenida en MATLAB® donde explique el funcionamiento y comportamiento del modelo hallado en el dominio de la frecuencia, debe estar en su página de YouTube y hace entrega del enlace del video en el foro de interacción y producción de la unidad. Link:

Estudiante No. 2 Iván Andres Galindo Solución:

𝐿 = 3⁡𝐻 Para el circuito seleccionado desarrollar las siguientes actividades teóricas para encontrar el modelo matemático del sistema en el dominio de la frecuencia:

𝑑𝑉𝐶⁡ (𝑡) −2 3 = ⁡⁡ 𝑉𝐶⁡ (𝑡) + ⁡𝑉⁡ (𝑡)⁡⁡⁡𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛⁡1 𝑑𝑡 ⁡⁡3 4 𝑑𝑖𝐿⁡ (𝑡) −1 3 2 =⁡ 𝑖𝐿⁡ (𝑡) + ⁡𝑉⁡ (𝑡) + 𝑉𝐶⁡ (𝑡)⁡⁡𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛⁡2 𝑑𝑡 2 5 5

Hallar el modelo matemático del sistema linealizado mediante la ecuación de la función de transferencia. Valor de la bobina: ⁡𝐿 = 3⁡𝐻

𝑑𝑉𝐶⁡ (𝑡) −2 3 =⁡ 𝑉𝐶⁡ (𝑡) + ⁡𝑉⁡ (𝑡)⁡⁡⁡𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛⁡1 𝑑𝑡 ⁡⁡3 4

De ecuaciones al dominio de la frecuencia al aplicar la transformada de Laplace: 𝑉𝐿⁡ (𝑡) = 𝑉𝐿⁡ (𝑆) = 𝑌(𝑆)

𝑑𝑉𝐶⁡ (𝑡) 𝑑𝑡

𝑖𝐿⁡ (𝑡) = 𝑖𝐿⁡ (𝑠)

𝑑𝑖𝐿⁡ (𝑡)

= 𝑆 ∗ 𝑉𝐶⁡ (𝑆)

𝑑𝑡

𝑉(𝑡) = 𝑉(𝑆) = 𝑈(𝑆)

𝑉𝐿⁡ (𝑡) = 𝐿

= ⁡𝑆 ∗ 𝑖𝐿⁡ (𝑆)

𝑑𝑖𝐿⁡ (𝑡) 𝑑𝑡

𝑉𝐿⁡ (𝑆) = 𝐿 ∗ 𝑆 ∗ 𝑖𝐿⁡ = 𝑌(𝑆)

𝑑𝑉𝐶⁡ (𝑡) 𝑑𝑡

=⁡

−2𝑉𝐶⁡ (𝑡) ⁡⁡3

+

3𝑉⁡ (𝑡)

𝑆 ∗ 𝑉𝐶⁡ (𝑆) = ⁡

⁡

4

−2𝑉𝐶⁡ (𝑆) ⁡⁡3

+

3𝑉⁡ (𝑆) 4

⁡⁡⁡⁡⁡𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛⁡3

𝑑𝑖𝐿⁡ (𝑡) −1 3 2 =⁡ 𝑖𝐿⁡ (𝑡) + ⁡𝑉⁡ (𝑡) + 𝑉𝐶⁡ (𝑡)⁡⁡𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛⁡2 𝑑𝑡 2 5 5 𝑉𝐿⁡ (𝑡) = 𝑉𝐿⁡ (𝑆) = 𝑌(𝑆) 𝑑𝑉𝐶⁡ (𝑡) 𝑑𝑡

𝑖𝐿⁡ (𝑡) = 𝑖𝐿⁡ (𝑠) 𝑑𝑖𝐿⁡ (𝑡)

= 𝑆 ∗ 𝑉𝐶⁡ (𝑆)

𝑑𝑡

𝑉(𝑡) = 𝑉(𝑆) = 𝑈(𝑆) 𝑉𝐿⁡ (𝑡) = 𝐿

= ⁡𝑆 ∗ 𝑖𝐿⁡ (𝑆)

𝑑𝑖𝐿⁡ (𝑡) 𝑑𝑡

𝑉𝐿⁡ (𝑆) = 3 ∗ 𝑆 ∗ 𝑖𝐿⁡ = 𝑌(𝑆) De ecuaciones al dominio de la frecuencia al aplicar la transformada de Laplace:

𝑑𝑖𝐿⁡ (𝑡) 𝑑𝑡

=⁡

−1𝑖𝐿⁡ (𝑡) 2

+

3𝑉⁡ (𝑡) 5

⁡+

2𝑉𝐶⁡ (𝑡) 5

𝑆 ∗ 𝑖𝐿⁡ (𝑆) =

−1𝑖𝐿⁡ (𝑆) 2

+

3𝑉⁡ (𝑆) 5

Despejo 𝑉𝐶⁡ de la ecuación 3 𝑆 ∗ 𝑉𝐶⁡ (𝑆) = ⁡

−2𝑉𝐶⁡ (𝑆) 3𝑉⁡ (𝑆) + ⁡⁡3 4

2 3𝑉⁡ (𝑆) 𝑉𝐶⁡ (⁡𝑆 + ) = 3 4

⁡+

2𝑉𝐶⁡ (𝑆) 5

⁡𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛⁡4

𝑉𝐶⁡ (⁡

3𝑆 + 2 3𝑉⁡ (𝑆) )= 3 4

𝑉𝐶⁡

5𝑆 3𝑉⁡ (𝑆) = 3 4

𝑉𝐶⁡ =

5𝑆 + 3𝑉(𝑆) 3+4

Ahora la ecuación equivalente a 𝑉𝐶⁡ en la ecuación 4 𝑆 ∗ 𝑖𝐿⁡ (𝑆) =

−1𝑖𝐿⁡ (𝑆) 3𝑉⁡ (𝑆) 2𝑉𝐶⁡ (𝑆) + ⁡+ 2 5 5

5𝑆 3𝑉⁡ (𝑆) −1𝑖𝐿⁡ (𝑆) 3𝑉⁡ (𝑆) 2 ( 3 + 4 ⁡) 𝑆 ∗ 𝑖𝐿⁡ (𝑆) = + ⁡+ 2 5 5 𝑆 ∗ 𝑖𝐿⁡ (𝑆) =

−1𝑖𝐿⁡ (𝑆) 3𝑉⁡ (𝑆) 10𝑆 6𝑉(𝑆) + ⁡+ + 2 5 15 20

𝑆 ∗ 𝑖𝐿⁡ (𝑆) =

−1𝑖𝐿⁡ (𝑆) 10𝑆 9𝑉⁡ (𝑆) + 𝑉(𝑆) ( + ⁡) 2 15 25

𝑆 ∗ 𝑖𝐿⁡ (𝑆) = Multiplico por L= 3

−1𝑖𝐿⁡ (𝑆) 10𝑆 9𝑉⁡ (𝑆) + + 2 15 25

3 ∗ 𝑆 ∗ 𝑖𝐿⁡ 𝑆 ∗ 𝑉𝐿⁡ (𝑆) = 𝑆 ∗ 𝑉𝐿⁡ (𝑆) + 𝑉𝐿⁡ (𝑆) (𝑆 +

−1𝑉𝐿⁡ (𝑆) 10(𝑆) 9𝑉(𝑆) + ⁡+ 2 15 25

1𝑉𝐿⁡ (𝑆) 10𝑉⁡ (𝑆) 9𝑉(𝑆) = 𝑉( ⁡+ ) 2 5 25

1𝑉𝐿⁡ (𝑆) 3(𝑠)10𝑉⁡ (𝑆) 3(𝑠)9𝑉(𝑆) ) = 𝑉( ⁡+ ) 2 5 25

𝑉𝐿⁡ (𝑆) (𝑆 + 𝑉𝐿⁡ (𝑆) ∗ (

1𝑉𝐿⁡ (𝑆) 30(𝑆) 27(𝑆) )= 𝑉( ⁡+ ) 2 5 25

2𝑆 + 1 30(𝑆) 27(𝑆) ) = 𝑉( ⁡+ ) 2 5 25

𝑉𝐿⁡ (𝑆) ∗

3 30𝑆 2 27(𝑆) = 𝑉(𝑆) ( ⁡+ ) 2 5 25

3 30𝑆 2 27(𝑆) 𝑉𝐿⁡ (𝑆) 𝑆 2 = 𝑉(𝑆) ( ⁡+ ) 2 5 25 La forma de ecuación de transferencia FT de n sistema viene dada por: 𝑉𝐿⁡ (𝑆) = 𝑌𝑆⁡ 3

𝑌𝑆 = 2 𝑆 2

𝑉(𝑆) = ⁡ 𝑈𝑆⁡ ⁡𝑈𝑆⁡ =

30𝑆 2 5

𝐺𝑆⁡ =

⁡+

27(𝑆) 25

𝑌𝑆 𝑈𝑆⁡

3 2 𝑌𝑆 2𝑆 𝐺𝑆⁡ = =⁡ 30𝑆 2 27(𝑆) 𝑈𝑆⁡ ⁡+ 5 25 3.2 Encontrar el error en estado estacionario del sistema hallado cuando se aplica una señal de perturbación tipo escalón unitario. Teorema del valor final 𝑦∞ = ⁡ lim 𝐺(𝑠) 𝑠→0

3 2 2𝑆 𝑦∞ = 30𝑆 2 27(𝑆) ⁡+ 5 25 3 (0)2 2 𝑦∞ = 30(0)2 27(0) ⁡+ 5 25 3 (0)2 2 𝑦∞ = 30(0)2 27(0) ⁡+ 5 25 𝑦∞ =

0 =0 118

A partir de la ecuación característica del sistema, determinar la estabilidad del mismo.

Respuesta: En este caso los polos de la función de transferencia están en el lado izquierdo del plano-s entonces podemos decir que el sistema es estable. Teniendo en cuenta el desarrollo del numeral 3, realizar las siguientes actividades prácticas de acuerdo con el modelo matemático obtenido: Representar la función de transferencia mediante un diagrama de bloques.

Utilice MATLAB® para simular la función de transferencia hallada y grafique la salida del sistema cuando se aplica una entrada constante 𝑉(𝑡) = 12⁡𝑉 durante los primeros 5 segundos y en ese momento se aplica una entrada escalón unitario durante 10 segundos más, de manera que la simulación dura 15 segundos.

Estudiante Nº1 Lina Maria Medina velez Teniendo en cuenta que nuestras ecuaciones son las siguientes: 𝑑𝑉𝑐 2𝑉𝑐 2𝑖𝐿 𝑉 =− − + ⁡⁡⁡⁡⁡⁡(1) 𝑑𝑡 9 9 6

𝑑𝑖𝐿 4𝑉𝑐 6𝑖𝐿 = − ⁡⁡⁡⁡⁡⁡(2) 𝑑𝑡 5 5 Aplicamos Transformada de Laplace: 𝑑𝑉𝑐 = 𝑠 ∗ 𝑉𝑐 (𝑠) 𝑑𝑡 𝑑𝑖𝐿 (𝑡) = 𝑠 ∗ 𝑖𝐿 (𝑠) 𝑑𝑡 𝑉(𝑡) = 𝑉(𝑠) = 𝑈(𝑠) 𝑉𝑐 (𝑡) = 𝑉𝑐 (𝑠) 𝑉𝐿 (𝑡) = 𝑉𝐿 (𝑠) = 𝑌(𝑠)

𝑉𝐿 (𝑡) = 𝐿

𝑑𝑖𝐿 (𝑡) 𝑑𝑡

𝑉𝐿 (𝑠) = 𝐿 ∗ 𝑠 ∗ 𝑖𝐿 (𝑠) = 𝑌(𝑠) La entrada, corresponde al V(t) y la salida al V(l) Aplicando esto al sistema de ecuaciones tenemos

𝑠 ∗ 𝑉𝑐 (𝑠) = −

2𝑉𝑐 (𝑆) 2𝑖𝐿 (𝑆) 𝑉(𝑆) − + ⁡⁡(3) 9 9 6

𝑠 ∗ 𝑖𝐿 (𝑠) =

4𝑉𝑐 (𝑆) 6𝑖𝐿 (𝑆) − ⁡⁡⁡⁡⁡(4)⁡ 5 5

Despejamos Vc(s) de la ecuación 3 2 2𝑖𝐿 (𝑠) 𝑉(𝑠) 𝑉𝑐 (𝑠) [𝑠 + ] = − + 9 9 6

𝑉𝑐 (𝑠) [

9𝑠 + 2 9𝑉(𝑠) − 12𝑖𝐿 (𝑠) ]= 9 54

𝑉𝑐 (𝑠) =

9𝑉(𝑠) − 12𝑖𝐿 (𝑠) ⁡⁡(5) 54𝑠 + 12

Sustituimos 5 en 4

𝑠 ∗ 𝑖𝐿 (𝑠) =

𝑖𝐿 (𝑠) (𝑠 +

4 9𝑉(𝑠) − 12𝑖𝐿 (𝑠) 6𝑖𝐿 (𝑆) ( )− 5 54𝑠 + 12 5

48 6 36 + ) = 𝑉(𝑠) ( ) 270𝑠 + 60 5 270𝑠 + 60

Teniendo en cuenta que nuestra impedencia tiene valor L=2, multiplicamos Ls en cada lado de la igualdad.

2 ∗ 𝑠 ∗ 𝑖𝐿 (𝑠) (𝑠 +

𝑌(𝑠) (𝑠 +

48 6 36 + ) = 2 ∗ 𝑠 ∗ 𝑉(𝑠) ( ) 270𝑠 + 60 5 270𝑠 + 60 48 6 72𝑠 + ) = 𝑈(𝑠) ( ) 270𝑠 + 60 5 270𝑠 + 60

1350𝑠 2 + 1920𝑠 + 600 72𝑠 𝑌(𝑠) ( ) = 𝑈(𝑠) ( ) 1350𝑠 + 300 270𝑠 + 60

𝑌(𝑠) 360𝑠 = 2 𝑈(𝑠) 1350𝑠 + 1920𝑠 + 600 𝑌(𝑠) 𝑠 = 2 𝑈(𝑠) 3.75𝑠 + 5.333𝑠 + 1.666 

Encontrar el error en estado estacionario del sistema hallado cuando se aplica una señal de perturbación tipo escalón unitario

Teniendo en cuenta que la señal de error (𝑒) se determina mediante la diferencia de la señal de entrada y la obtenida tenemos: 𝑒 = 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 − 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑒(𝑠) = 𝑢(𝑠) − 𝑌(𝑠) Para el sistema en lazo abierto 𝑒 = (1 − 𝐺(𝑠))𝑈(𝑠) Entonces el error en estado estacionario es: 𝑒𝑜 = lim 𝑠 ∗ 𝑒(𝑠) 𝑠→0

𝓕Para el sistema en lazo cerrado 1 𝑒=( ) 𝑈(𝑠) 1 + 𝐺(𝑠) Para una entrada escalón

1 1 𝑒𝑜 = lim 𝑠 ∗ ( ) 𝑠→0 1 + 𝐺(𝑠) 𝑠

𝑒𝑜 = lim∗ ( 𝑠→0 1+ 

1

3.75𝑠 2

)=1 𝑠 + 5.333𝑠 + 1.666

A partir de la ecuación característica del sistema, determinar la estabilidad del mismo.

Utilizando Matlab, hallamos el diagrama de polos y ceros. Podemos ver que la posición de los ceros corresponde a la ubicación para un sistema estable. clc clear all s = tf('s'); Gs = s/(3.75*s^2+5.333*s+1.666); pzmap(Gs)



Representar la función de transferencia mediante un diagrama de bloques.



Utilice MATLAB® para simular la función de transferencia hallada y grafique la salida del sistema cuando se aplica una entrada constante V(t)=12 V durante los primeros 5 segundos y en ese momento se aplica una entrada escalón unitario durante 10 segundos más, de manera que la simulación dura 15 segundos.

Estudiante No. 4 Juan David Martinez

𝑑𝑉𝑐 3𝑉𝑐 4𝑖𝐿 6𝑉𝑡 =− − + ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(1) 𝑑𝑡 5 3 5 𝑑𝑖𝐿 13𝑖𝐿 4𝑉𝑐 3𝑉𝑡 =− +⁡ + ⁡⁡⁡⁡⁡(2) 𝑑𝑡 5 5 10

Para pasar dichas ecuaciones al dominio de la frecuencia, aplicamos la transformada de Laplace. 𝑑𝑉𝑐 = 𝑠 ∗ 𝑉𝑐 (𝑠) 𝑑𝑡 𝑑𝑖𝐿 (𝑡) = 𝑠 ∗ 𝑖𝐿 (𝑠) 𝑑𝑡 𝑉(𝑡) = 𝑉(𝑠) = 𝑈(𝑠) 𝑉𝑐 (𝑡) = 𝑉𝑐 (𝑠)

𝑉𝐿 (𝑡) = 𝑉𝐿 (𝑠) = 𝑌(𝑠) 𝑉𝐿 (𝑡) = 𝐿

𝑑𝑖𝐿 (𝑡) 𝑑𝑡

𝑉𝐿 (𝑠) = 𝐿 ∗ 𝑠 ∗ 𝑖𝐿 (𝑠) = 𝑌(𝑠) Donde 𝑈(𝑠)⁡es la entrada, 𝑌(𝑠) la salida Aplicando esto al sistema de ecuaciones tenemos 𝑑𝑉𝑐 3𝑉𝑐 4𝑖𝐿 6𝑉𝑡 =− − + ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(1) 𝑑𝑡 5 3 5 𝑑𝑖𝐿 13𝑖𝐿 4𝑉𝑐 3𝑉𝑡 =− +⁡ + ⁡⁡⁡⁡⁡(2) 𝑑𝑡 5 5 10

𝑠 ∗ 𝑉𝑐 (𝑠) = − 𝑠 ∗ 𝑖𝐿 (𝑠) = −

3𝑉𝑐 (𝑆) 4𝑖𝐿 (𝑆) 6𝑉(𝑆) − + ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(3) 5 3 5

13𝑖𝐿 (𝑆) 4𝑉𝑐 (𝑆) 3𝑉(𝑆) +⁡ + ⁡⁡⁡⁡⁡(4) 5 5 10

Despejamos de la ecuación 3 𝑠 ∗ 𝑉𝑐 (𝑠) = − 𝑠 ∗ 𝑉𝑐 (𝑠) +

3𝑉𝑐 (𝑆) 4𝑖𝐿 (𝑆) 6𝑉(𝑆) − + 5 3 5

3𝑉𝑐 (𝑆) 4𝑖𝐿 (𝑆) 6𝑉(𝑆) =− + 5 3 5

3 4𝑖𝐿 (𝑆) 6𝑉(𝑆) 𝑉𝑐 (𝑠) (𝑠 + ) = − + 5 3 5 𝑉𝑐 (𝑠) (

5𝑠 + 3 −20𝑖𝐿 (𝑆) + 18𝑉(𝑆) )= 5 15

𝑉𝑐 (𝑠) =

−20𝑖𝐿 (𝑆) + 18𝑉(𝑆) 15𝑠 + 9

Remplazando en 4 𝑠 ∗ 𝑖𝐿 (𝑠) = −

13𝑖𝐿 (𝑆) 4 3𝑉(𝑆) + ⁡ 𝑉𝑐 (𝑠) + 5 5 10

𝑠 ∗ 𝑖𝐿 (𝑠) = −

13𝑖𝐿 (𝑆) 4 −20𝑖𝐿 (𝑆) + 18𝑉(𝑆) 3𝑉(𝑆) +⁡ ( )+ 5 5 15𝑠 + 9 10

𝑠 ∗ 𝑖𝐿 (𝑠) = −

13𝑖𝐿 (𝑆) −80𝑖𝐿 (𝑆) + 72𝑉(𝑆) 3𝑉(𝑆) +⁡( )+ 5 75𝑠 + 45 10

𝑠 ∗ 𝑖𝐿 (𝑠) = −

13𝑖𝐿 (𝑆) 80𝑖𝐿 (𝑆) 3𝑉(𝑆) 72𝑉(𝑆) −⁡ + ⁡+ 5 75𝑠 + 45 10 75𝑠 + 45

𝑠 ∗ 𝑖𝐿 (𝑠) = 𝑖𝐿 (𝑆) (−

13 80 3 72 −⁡ ) + 𝑉(𝑆) ( ⁡ + ) 5 75𝑠 + 45 10 75𝑠 + 45 −195𝑠 − 197 225𝑠 + 855 ) + 𝑉(𝑆) ( ) 75𝑠 + 45 750𝑠 + 450

𝑠 ∗ 𝑖𝐿 (𝑠) = 𝑖𝐿 (𝑆) (⁡

−195𝑠 − 197 225𝑠 + 855 𝑠 ∗ 𝑖𝐿 (𝑠) − 𝑖𝐿 (𝑆) (⁡ ) = 𝑉(𝑆) ( ) 75𝑠 + 45 750𝑠 + 450 𝑖𝐿 (𝑠) (𝑠 − (⁡

−195𝑠 − 197 225𝑠 + 855 )) = 𝑉(𝑆) ( ) 75𝑠 + 45 750𝑠 + 450

75𝑠 2 + 45𝑠 + 195𝑠 + 197 225𝑠 + 855 𝑖𝐿 (𝑠) ( ⁡) = 𝑉(𝑆) ( ) 75𝑠 + 45 750𝑠 + 450 75𝑠 2 + 240𝑠 + 197 225𝑠 + 855 𝑖𝐿 (𝑠) ( ⁡) = 𝑉(𝑆) ( ) 75𝑠 + 45 750𝑠 + 450 Se multiplica a ambos lados de la igualdad con el fin de reemplazar por variables deseadas. Y recordando L= 2 H 75𝑠 2 + 240𝑠 + 197 225𝑠 + 855 𝐿 ∗ 𝑠 ∗ 𝑖𝐿 (𝑠) ( ⁡) = 𝐿 ∗ 𝑠 ∗ 𝑉(𝑆) ( ) 75𝑠 + 45 750𝑠 + 450 𝑉𝐿 (

75𝑠 2 + 240𝑠 + 197 225𝑠 + 855 ⁡) = 2 ∗ 𝑠 ∗ 𝑉(𝑆) ( ) 75𝑠 + 45 750𝑠 + 450

75𝑠 2 + 240𝑠 + 197 225𝑠 2 + 855𝑠 𝑉𝐿 ( ⁡) = 𝑉(𝑆) ( ) 75𝑠 + 45 375𝑠 + 225 𝑉𝐿 (75𝑠 2 + 240𝑠 + 197⁡) = 𝑉(𝑆) (

225𝑠 2 + 855𝑠 ) 5

225𝑠 2 + 855𝑠 𝑉𝐿 = 𝑉(𝑆) ( ) 375𝑠 2 + 1200𝑠 + 985⁡⁡⁡ 𝑉𝐿 225𝑠 2 + 855𝑠 = 𝑉(𝑠) 375𝑠 2 + 1200𝑠 + 985⁡⁡⁡ La forma de la ecuación de la función de transferencia FT de n sistema viene dada por 𝐺(𝑠) =

𝑌(𝑠) 𝑈(𝑠)

Función de transferencia del sistema 𝐺(𝑠) =

𝑌(𝑠) 225𝑠 2 + 855𝑠 = 𝑈(𝑠) 375𝑠 2 + 1200𝑠 + 985⁡⁡⁡

Encontrar el error en estado estacionario del sistema hallado cuando se aplica una señal de perturbación tipo escalón unitario. 𝑦 = (∞)lim⁡𝐺(𝑠) 𝑠→0

𝒚(∞) = 𝒚(∞) =

225𝑠 2 + 855𝑠 375𝑠 2 + 1200𝑠 + 985⁡⁡⁡

225 ∗ 0 + 855 ∗ 0 375 ∗ 0 + 1200 ∗ 0 + 985⁡⁡⁡ 𝑦(∞) =

0 =0 985

A partir de la ecuación característica del sistema, determinar la estabilidad del mismo.

Es estable ya que los polos se encuentran en el lado imaginario del plano

Utilice MATLAB® para simular la función de transferencia hallada y grafique la salida del sistema cuando se aplica una entrada constante 𝑉(𝑡) = 12⁡𝑉 durante los primeros 5 segundos y en ese momento se aplica una entrada escalón unitario durante 10 segundos más, de manera que la simulación dura 15 segundos.

Estudiante No. 5 Carlos Alberto Bonet MODELO MATEMÁTICO 𝑑𝑉𝐶 8𝑉𝑐 5⁡𝐼𝐿 =− + + 5𝑉⁡⁡⁡⁡𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛⁡1 𝑑𝑡 21 21 𝑑𝐼𝐿 4⁡𝐼𝐿 7𝑉𝑐 6⁡𝑉 =− − + ⁡⁡⁡𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛⁡2 𝑑𝑡 21 3 7 En la etapa anterior trabajé con el circuito 3, el valor de inductancia que me corresponde es: L=3 Pasamos las ecuaciones al dominio de la frecuencia al aplicar la transformada de Laplace: 𝑠 ∗ 𝑉𝐶 = − 𝑠 ∗ 𝐼𝐿 = −

8𝑉𝑐 5⁡𝐼𝐿 + + 5𝑉 21 21

4⁡𝐼𝐿 7𝑉𝑐 6⁡𝑉 − + 21 3 7

Como la salida y la entrada que nos interesa son 𝑉𝐿 y V respectivamente, se deben suprimir las demás variables. Comenzamos despejando 𝑉𝐶 de la ecuación 1 𝑠𝑉𝐶 +

8𝑉𝑐 5⁡𝐼𝐿 = + 5𝑉 21 21

Factorizando: 𝑉𝐶 (𝑠 + 𝑉𝐶 ( 𝑉𝐶 =

8 5⁡𝐼𝐿 )= + 5𝑉 21 21

21𝑠 + 8 5⁡𝐼𝐿 + 105𝑉 )= 21 21 5⁡𝐼𝐿 + 105𝑉 ⁡⁡⁡𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛⁡3 21𝑠 + 8

Ahora, reemplazamos el 𝑉𝐶 hallado en la ecuación 3, en la ecuación 2

5⁡𝐼𝐿 + 105𝑉 4⁡𝐼𝐿 7 ( 21𝑠 + 8 ⁡⁡⁡) 6⁡𝑉 𝑠𝐼𝐿 = (− − + ) 21 3 7 Es necesario sacar de la ecuación a 𝐼𝐿 , para ello, se deja en términos de 𝑉𝐿 luego de simplificar la ecuación: 4⁡𝐼𝐿 7(5⁡𝐼𝐿 + 105𝑉) 6⁡𝑉 𝑠𝐼𝐿 = (− − + ) 21 3(21𝑠 + 8) 7 𝑠𝐼𝐿 = (− 𝑠𝐼𝐿 = (−

4⁡𝐼𝐿 (35⁡𝐼𝐿 + 735𝑉) 6⁡𝑉 − + ) 21 3(21𝑠 + 8) 7

4⁡𝐼𝐿 35⁡𝐼𝐿 245𝑉 6⁡𝑉 − − + ) 21 3(21𝑠 + 8) (21𝑠 + 8) 7

Multiplicando por L y por s, se tiene: 𝑠𝑉𝐿 = (− 𝑠𝑉𝐿 +

4⁡𝑉𝐿 35⁡𝑉𝐿 (3𝑠)245𝑉 (3𝑠)6⁡𝑉 − − + ) 21 3(21𝑠 + 8) (21𝑠 + 8) 7

4⁡𝑉𝐿 35⁡𝑉𝐿 (3𝑠)6⁡𝑉 (3𝑠)245𝑉 + =( − ) (21𝑠 + 8) 21 3(21𝑠 + 8) 7

𝑠𝑉𝐿 +

4⁡𝑉𝐿 35⁡𝑉𝐿 18𝑠⁡ 735𝑠 + = 𝑉( − ) 21 3(21𝑠 + 8) 7 21𝑠 + 8

𝑉𝐿 (𝑠 +

4⁡ 35⁡ 18𝑠⁡ 735𝑠 + ) = 𝑉( − ) 21 63𝑠 + 24 7 21𝑠 + 8

1 441𝑠 2 + 252𝑠 + 277 1 378𝑠 2 − 5001𝑠 𝑉𝐿 ∗ ( ) = 𝑉( ) (21𝑠 + 8) 21 21𝑠 + 8 7 𝑉𝐿 ∗ (441𝑠 2 + 252𝑠 + 277) = 3𝑉(378𝑠 2 − 5001𝑠) Se despeja la función de transferencia: 𝐺(𝑠) =

(1134𝑠 2 − 15003𝑠) 𝑉𝐿 = 𝑉 (441𝑠 2 + 252𝑠 + 277)

ERROR EN ESTADO ESTABLE Para una excitación de tipo escalón, el error en estado estable es el siguiente: 𝑒𝑒𝑠 =

1 (756𝑠 2 − 10002𝑠)⁡⁡⁡ 1 + lim ⁡ ⁡⁡⁡⁡⁡ 𝑠→0 (441𝑠 2 + 252𝑠 + 277) 𝑒𝑒𝑠 =

1 1+0

𝑒𝑒𝑠 = 1 ESTABILIDAD DEL SISTEMA Se hallan los polos por medio de Matlab:

El criterio de estabilidad dicta que, si la parte real de los polos se encuentra en el lado negativo, el sistema es estable. De la gráfica se observa que ambos polos tienen parte real igual a -0.286, entonces el sistema es estable.

SIMULACIÓN Y DIAGRAMA DE BLOQUES

CONCLUSIONES -

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Al investigar los conceptos teóricos desconocidos se logró despejar muchas dudas, para lo cual fueron muy indispensables en el desarrollo del ejercicio propuesto en la guía de actividades, y a la vez de esta manera adquirimos conocimientos sobre lo que es el Modelar el sistema dinámico en el dominio de la frecuencia La estabilidad de un sistema se dictamina por la posición de sus polos, si se mueven los polos al semiplano real positivo el sistema se desestabiliza y su respuesta no va a converger a algún valor constante

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